Выпуклость функции. Точки перегиба

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Лемма о выпуклости (о трёх хордах)
Условие выпуклости по первой производной
Условие выпуклости дважды дифференцируемой функции
Связь выпуклости с положением касательной
Необходимое условие точки перегиба
Достаточные условия точки перегиба
Неравенство Йенсена

лемма

Лемма о выпуклости (о трёх хордах)

Формулировка

Функция $f$ выпукла вниз на промежутке $X$ тогда и только тогда, когда для любых $x_1, x, x_2\in X$ с $x_1 < x < x_2$

\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1}\le\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\le\frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}.

Строгая выпуклость вниз равносильна тем же неравенствам со знаком $<$ . Для выпуклости вверх знаки неравенств меняются на противоположные.

Геометрический смысл: если $M_1, M, M_2$ — точки графика с абсциссами $x_1 < x < x_2$ , то угловые коэффициенты хорд удовлетворяют неравенствам $k_{M_1M}\le k_{M_1M_2}\le k_{MM_2}$ : при движении вправо хорды графика выпуклой вниз функции «поворачиваются против часовой стрелки».

Доказательство

Развернуть

Зафиксируем $x_1 < x < x_2$ и положим $\lambda = \frac{x_2 - x}{x_2 - x_1}\in(0, 1)$ , так что $x = \lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2$ , $1 - \lambda = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ . Неравенство выпуклости для этой тройки после умножения на $x_2 - x_1 > 0$ принимает вид

(x_2 - x_1)f(x)\le(x_2 - x)f(x_1) + (x - x_1)f(x_2).\qquad(*)

Вычтем из обеих частей $(*)$ величину $(x_2 - x_1)f(x_1)$ ; учитывая $(x_2 - x) - (x_2 - x_1) = -(x - x_1)$ , получим равносильное неравенство

(x_2 - x_1)(f(x) - f(x_1))\le(x - x_1)(f(x_2) - f(x_1)),

т. е. после деления на $(x_2 - x_1)(x - x_1) > 0$ — левое неравенство леммы.

Аналогично, вычитая обе части $(*)$ из $(x_2 - x_1)f(x_2)$ и учитывая $(x_2 - x_1) - (x - x_1) = x_2 - x$ , получаем равносильное неравенство

(x_2 - x_1)(f(x_2) - f(x))\ge(x_2 - x)(f(x_2) - f(x_1)),

т. е. после деления на $(x_2 - x_1)(x_2 - x) > 0$ — правое неравенство леммы.

Итак, для каждой тройки $x_1 < x < x_2$ неравенство $(*)$ , левое и правое неравенства леммы равносильны между собой. Поскольку при $x_1 = x_2$ или $\lambda\in\{0, 1\}$ неравенство выпуклости обращается в равенство, выпуклость вниз на $X$ равносильна выполнению $(*)$ для всех троек, т. е. неравенствам леммы. Со строгими неравенствами все преобразования те же. Случай выпуклости вверх получается заменой $f$ на $-f$ . $\blacksquare$

теорема

Условие выпуклости по первой производной

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дифференцируема во внутренних точках $X$ (их множество обозначим $\mathring X$ ). Тогда:

$f$ выпукла вниз на $X$ $\iff$ $f'$ не убывает на $\mathring X$ ;
$f$ строго выпукла вниз на $X$ $\iff$ $f'$ строго возрастает на $\mathring X$ .

Аналогично выпуклость вверх (строгая) равносильна невозрастанию (строгому убыванию) $f'$ .

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть $f$ выпукла вниз, $x_1, x_2\in\mathring X$ , $x_1 < x_2$ . По лемме о трёх хордах для любого $x\in(x_1, x_2)$

\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1}\le\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\le\frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}.

Переходя к пределу в левом неравенстве при $x\to x_1+$ , получаем $f'(x_1)\le\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ ; в правом при $x\to x_2-$ получаем $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\le f'(x_2)$ . Значит, $f'(x_1)\le f'(x_2)$ .

В случае строгой выпуклости возьмём $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и точки $t\in(x_1, x)$ , $s\in(x, x_2)$ . По строгой лемме, применённой к тройкам $x_1 < t < x$ и $x < s < x_2$ , и к тройке $x_1 < x < x_2$ :

\frac{f(t) - f(x_1)}{t - x_1} < \frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} < \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} < \frac{f(x_2) - f(s)}{x_2 - s}.

Предельный переход при $t\to x_1+$ , $s\to x_2-$ даёт $f'(x_1)\le\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} < \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}\le f'(x_2)$ , т. е. $f'(x_1) < f'(x_2)$ .

Достаточность. Пусть $f'$ не убывает на $\mathring X$ , и $x_1 < x < x_2$ — точки $X$ . Функция $f$ непрерывна на $[x_1, x]$ и $[x, x_2]$ и дифференцируема внутри них, поэтому по теореме Лагранжа

\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} = f'(c_1),\qquad\frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} = f'(c_2),\qquad x_1 < c_1 < x < c_2 < x_2.

Так как $c_1, c_2\in\mathring X$ и $c_1 < c_2$ , имеем $f'(c_1)\le f'(c_2)$ (при строгом возрастании $f'$ — строгое неравенство). Обозначим $A = \frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1}$ , $B = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ , $C = \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}$ ; доказано $A\le C$ . Средняя дробь есть взвешенное среднее крайних:

B = \frac{(x - x_1)A + (x_2 - x)C}{x_2 - x_1},

так как $(x - x_1)A + (x_2 - x)C = (f(x) - f(x_1)) + (f(x_2) - f(x)) = f(x_2) - f(x_1)$ . Поэтому $A\le B\le C$ (при $A < C$ — строгие неравенства), т. е. выполнены неравенства леммы о трёх хордах. По лемме $f$ выпукла вниз (строго). Случай выпуклости вверх получается заменой $f$ на $-f$ . $\blacksquare$

теорема

Условие выпуклости дважды дифференцируемой функции

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дважды дифференцируема во внутренних точках $X$ . Тогда

$f$ выпукла вниз на $X$ $\iff$ $f''(x)\ge 0$ при всех внутренних $x\in X$ ; $f$ выпукла вверх $\iff$ $f''\le 0$ ;
(достаточное условие строгой выпуклости) если $f''(x) > 0$ во всех внутренних точках $X$ , то $f$ строго выпукла вниз на $X$ ; если $f'' < 0$ — строго выпукла вверх.

Обратное к пункту 2 неверно: $f(x) = x^4$ строго выпукла вниз на $\mathbb R$ , но $f''(0) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\mathring X$ — множество внутренних точек $X$ ; это интервал, на котором $f'$ дифференцируема (и, значит, непрерывна).

По критерию монотонности, применённому к функции $f'$ на интервале $\mathring X$ , $f'$ не убывает на $\mathring X$ тогда и только тогда, когда $(f')' = f''\ge 0$ на $\mathring X$ .

По условию выпуклости по первой производной $f$ выпукла вниз на $X$ тогда и только тогда, когда $f'$ не убывает на $\mathring X$ . Объединяя, получаем пункт 1.

Если $f'' > 0$ на $\mathring X$ , то по достаточному условию строгой монотонности $f'$ строго возрастает на $\mathring X$ , и по тому же условию по первой производной $f$ строго выпукла вниз на $X$ .

Для $x^4$ : $f'(x) = 4x^3$ строго возрастает на $\mathbb R$ , поэтому $x^4$ строго выпукла вниз, хотя $f''(0) = 0$ . Случай выпуклости вверх получается заменой $f$ на $-f$ . $\blacksquare$

теорема

Связь выпуклости с положением касательной

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дифференцируема во внутренних точках $X$ . Тогда $f$ выпукла вниз на $X$ тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже любой своей касательной, проведённой во внутренней точке:

f(x)\ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\quad\text{для всех } x\in X \text{ и всех внутренних } x_0\in X.

Строгая выпуклость вниз равносильна строгому неравенству при $x\ne x_0$ (график лежит выше касательной, касаясь её в одной точке). Для выпуклости вверх — график лежит не выше касательных.

Доказательство

Развернуть

Прямая $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ — касательная к графику в точке $(x_0, f(x_0))$ по геометрическому смыслу производной.

Необходимость. Пусть $f$ выпукла вниз; тогда по условию выпуклости по первой производной $f'$ не убывает на множестве внутренних точек. Пусть $x\in X$ , $x\ne x_0$ . По теореме Лагранжа

f(x) - f(x_0) = f'(c)(x - x_0),\quad c \text{ строго между } x_0 \text{ и } x.

Если $x > x_0$ , то $c > x_0$ , $f'(c)\ge f'(x_0)$ и $f'(c)(x - x_0)\ge f'(x_0)(x - x_0)$ . Если $x < x_0$ , то $f'(c)\le f'(x_0)$ , а $x - x_0 < 0$ , и снова $f'(c)(x - x_0)\ge f'(x_0)(x - x_0)$ . В обоих случаях $f(x)\ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ ; при строгой выпуклости $f'$ строго возрастает, и неравенства строгие.

Достаточность. Пусть $x_1 < x_2$ — внутренние точки $X$ . Запишем неравенство для касательной в точке $x_1$ при $x = x_2$ и для касательной в точке $x_2$ при $x = x_1$ :

f(x_2)\ge f(x_1) + f'(x_1)(x_2 - x_1),\qquad f(x_1)\ge f(x_2) + f'(x_2)(x_1 - x_2).

Складывая, получаем $0\ge(x_2 - x_1)(f'(x_1) - f'(x_2))$ , т. е. $f'(x_1)\le f'(x_2)$ (при строгих неравенствах — $f'(x_1) < f'(x_2)$ ). Значит, $f'$ не убывает (строго возрастает), и по условию выпуклости по первой производной $f$ выпукла вниз (строго). $\blacksquare$

теорема

Необходимое условие точки перегиба

Формулировка

Если $a$ — точка перегиба функции $f$ и функция $f$ дважды дифференцируема в точке $a$ (в частности, если $f''$ существует в окрестности $a$ и непрерывна в $a$ ), то

f''(a) = 0.

Следовательно, точками перегиба могут быть лишь точки, в которых $f''$ равна нулю или не существует.

Доказательство

Развернуть

Так как $f''(a)$ существует, функция $f'$ определена (конечна) в некоторой окрестности $(a - \delta, a + \delta)$ точки $a$ ; уменьшив $\delta$ , можно считать, что на $(a - \delta, a]$ функция выпукла вниз, а на $[a, a + \delta)$ — вверх (противоположный случай сводится к этому заменой $f$ на $-f$ ).

Пусть $x_1\in(a - \delta, a)$ . По лемме о трёх хордах для выпуклой вниз на $(a - \delta, a]$ функции при любом $x\in(x_1, a)$

\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1}\le\frac{f(a) - f(x_1)}{a - x_1}\le\frac{f(a) - f(x)}{a - x}.

Переходя к пределу при $x\to x_1+$ в левом неравенстве и при $x\to a-$ в правом (производные в точках $x_1$ и $a$ существуют), получаем $f'(x_1)\le\frac{f(a) - f(x_1)}{a - x_1}\le f'(a)$ — так же, как в доказательстве необходимости условия выпуклости по первой производной. Аналогично для $x_2\in(a, a + \delta)$ из выпуклости вверх на $[a, a + \delta)$ получаем $f'(a)\ge f'(x_2)$ .

Значит, $f'(x)\le f'(a)$ при всех $x\in(a - \delta, a + \delta)$ , т. е. $a$ — точка локального максимума функции $f'$ .

Функция $f'$ дифференцируема в точке $a$ , поэтому по теореме Ферма $(f')'(a) = f''(a) = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Достаточные условия точки перегиба

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна в точке $a$ , график имеет в точке $(a, f(a))$ касательную (наклонную или вертикальную), $f$ дважды дифференцируема в проколотой окрестности $(a - \delta, a)\cup(a, a + \delta)$ , и $f''$ имеет разные знаки на $(a - \delta, a)$ и на $(a, a + \delta)$ . Тогда $a$ — точка перегиба.
Если $f$ трижды дифференцируема в точке $a$ ,

f''(a) = 0,\qquad f'''(a)\ne 0,

то $a$ — точка перегиба.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Пусть, например, $f'' > 0$ на $(a - \delta, a)$ и $f'' < 0$ на $(a, a + \delta)$ . Функция $f$ непрерывна на $(a - \delta, a]$ (на $(a - \delta, a)$ она дифференцируема, а в $a$ непрерывна по условию) и дважды дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, где $f'' > 0$ ; по условию выпуклости дважды дифференцируемой функции $f$ выпукла вниз на $(a - \delta, a]$ . Аналогично $f$ выпукла вверх на $[a, a + \delta)$ . Так как касательная в точке $a$ существует, по определению $a$ — точка перегиба.

Пункт 2. Существование $f'''(a)$ означает, что $f''$ определена в окрестности $a$ ; в частности, $f'(a)$ конечна и касательная наклонная. Так как $f''(a) = 0$ ,

\frac{f''(x)}{x - a} = \frac{f''(x) - f''(a)}{x - a}\xrightarrow[x\to a]{} f'''(a)\ne 0.

По теореме о знакопостоянстве в некоторой проколотой окрестности точки $a$ дробь $\frac{f''(x)}{x - a}$ имеет знак $f'''(a)$ . Значит, $f''(x)$ имеет разные знаки при $x < a$ и $x > a$ , и по пункту 1 $a$ — точка перегиба. $\blacksquare$

теорема

Неравенство Йенсена

Формулировка

Пусть функция $f$ выпукла вниз на промежутке $X$ , $x_1, \ldots, x_n\in X$ , $\lambda_1, \ldots, \lambda_n\ge 0$ , $\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = 1$ . Тогда

f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\right)\le\sum_{i=1}^{n}\lambda_if(x_i).

Если $f$ строго выпукла вниз и все $\lambda_i > 0$ , то равенство достигается только при $x_1 = \ldots = x_n$ . Для выпуклой вверх функции знак неравенства противоположный.

Доказательство

Развернуть

Сначала заметим, что точка $y = \sum\lambda_ix_i$ лежит в $X$ : так как $\lambda_i\ge 0$ и $\sum\lambda_i = 1$ , имеем $\min_i x_i\le y\le\max_i x_i$ , а промежуток вместе с любыми двумя точками содержит отрезок между ними.

Докажем неравенство индукцией по $n$ . При $n = 1$ оно обращается в равенство, при $n = 2$ это определение выпуклости.

Переход от $n$ к $n + 1$ : пусть утверждение верно для $n$ точек, рассмотрим $n + 1$ точку. Если $\lambda_{n+1} = 1$ , то остальные $\lambda_i = 0$ и доказывать нечего. Иначе положим $\mu_i = \frac{\lambda_i}{1 - \lambda_{n+1}}$ , $i = 1, \ldots, n$ ; тогда $\mu_i\ge 0$ , $\sum_{i=1}^{n}\mu_i = 1$ , и $z = \sum_{i=1}^{n}\mu_ix_i\in X$ . Имеем

\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i = (1 - \lambda_{n+1})z + \lambda_{n+1}x_{n+1}.

По определению выпуклости, а затем по предположению индукции,

f\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i\right)\le(1 - \lambda_{n+1})f(z) + \lambda_{n+1}f(x_{n+1})\le(1 - \lambda_{n+1})\sum_{i=1}^{n}\mu_if(x_i) + \lambda_{n+1}f(x_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1}\lambda_if(x_i).

Случай равенства (строгая выпуклость, все $\lambda_i > 0$ , $n + 1\ge 2$ , так что $0 < \lambda_{n+1} < 1$ ): равенство в итоговой цепочке возможно лишь при равенстве в обоих звеньях. Равенство во втором звене по предположению индукции (все $\mu_i > 0$ ) даёт $x_1 = \ldots = x_n$ , и тогда $z = x_1$ . Равенство в первом звене по определению строгой выпуклости возможно лишь при $z = x_{n+1}$ . Итак, все $x_i$ равны. Случай выпуклости вверх получается заменой $f$ на $-f$ . $\blacksquare$

Промежутки выпуклости и точки перегиба

Условие

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функций: а) $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$ ; б) $g(x) = e^{-x^2}$ .

Решение

Развернуть

а) $f'(x) = 4x^3 - 12x$ , $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x - 1)(x + 1)$ . Имеем $f'' > 0$ при $|x| > 1$ и $f'' < 0$ при $|x| < 1$ . По условию выпуклости дважды дифференцируемой функции $f$ строго выпукла вниз на $(-\infty, -1]$ и на $[1, +\infty)$ и строго выпукла вверх на $[-1, 1]$ . В точках $x = \pm1$ вторая производная меняет знак, а касательная существует ( $f$ дифференцируема), поэтому по достаточному условию это точки перегиба; $f(\pm1) = 1 - 6 + 5 = 0$ .

б) $g'(x) = -2xe^{-x^2}$ , $g''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$ . Так как $e^{-x^2} > 0$ , знак $g''$ совпадает со знаком $4x^2 - 2$ : $g'' > 0$ при $|x| > \frac1{\sqrt2}$ , $g'' < 0$ при $|x| < \frac1{\sqrt2}$ . Значит, $g$ выпукла вниз на $\left(-\infty, -\frac1{\sqrt2}\right]$ и $\left[\frac1{\sqrt2}, +\infty\right)$ , выпукла вверх на $\left[-\frac1{\sqrt2}, \frac1{\sqrt2}\right]$ ; точки перегиба $x = \pm\frac1{\sqrt2}$ , $g\left(\pm\frac1{\sqrt2}\right) = e^{-1/2} = \frac1{\sqrt e}$ .

Ответ: а) выпукла вниз на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$ , вверх на $[-1, 1]$ , точки перегиба графика $(\pm1, 0)$ ; б) выпукла вниз при $|x|\ge\frac1{\sqrt2}$ , вверх при $|x|\le\frac1{\sqrt2}$ , точки перегиба графика $\left(\pm\frac1{\sqrt2}, \frac1{\sqrt e}\right)$ .

Три точки перегиба на одной прямой

Условие

Найти точки перегиба графика функции $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ и доказать, что они лежат на одной прямой.

Решение

Развернуть

Функция бесконечно дифференцируема на $\mathbb R$ .

f'(x) = \frac{(1 + x^2) - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2},

f''(x) = \frac{-2x(1 + x^2)^2 - (1 - x^2)\cdot 2(1 + x^2)\cdot 2x}{(1 + x^2)^4} = \frac{-2x(1 + x^2) - 4x(1 - x^2)}{(1 + x^2)^3} = \frac{2x(x^2 - 3)}{(1 + x^2)^3}.

Знак $f''$ совпадает со знаком $x(x - \sqrt3)(x + \sqrt3)$ : $f'' < 0$ на $(-\infty, -\sqrt3)$ , $f'' > 0$ на $(-\sqrt3, 0)$ , $f'' < 0$ на $(0, \sqrt3)$ , $f'' > 0$ на $(\sqrt3, +\infty)$ . В точках $-\sqrt3$ , $0$ , $\sqrt3$ вторая производная меняет знак, и по достаточному условию это точки перегиба.

Точки перегиба графика: $\left(-\sqrt3, -\frac{\sqrt3}{4}\right)$ , $(0, 0)$ , $\left(\sqrt3, \frac{\sqrt3}{4}\right)$ . Все три лежат на прямой $y = \frac x4$ : при $x = \pm\sqrt3$ имеем $\frac x4 = \pm\frac{\sqrt3}{4}$ , а прямая проходит через начало координат.

Ответ: точки перегиба $x = 0, \pm\sqrt3$ ; они лежат на прямой $y = \frac{x}{4}$ .

Подбор параметров по заданной точке перегиба

Условие

При каких $a$ и $b$ точка $(1, 3)$ является точкой перегиба графика функции $y = ax^3 + bx^2$ ?

Решение

Развернуть

Функция — многочлен, $y'' = 6ax + 2b$ непрерывна. По необходимому условию точки перегиба должно быть $y''(1) = 6a + 2b = 0$ ; кроме того, точка $(1, 3)$ лежит на графике: $a + b = 3$ .

Из системы $b = -3a$ , $a - 3a = 3$ находим $a = -\frac32$ , $b = \frac92$ .

Проверка достаточности: $y''' = 6a = -9\ne 0$ , $y''(1) = 0$ , поэтому по достаточному условию (по третьей производной) $x = 1$ — точка перегиба. Действительно, $y'' = -9x + 9$ меняет знак в точке $1$ , и $y(1) = -\frac32 + \frac92 = 3$ .

Ответ: $a = -\frac32$ , $b = \frac92$ .

Неравенства из выпуклости — касательная и хорда

Условие

Доказать неравенства:

а) $e^x\ge 1 + x$ при всех $x\in\mathbb R$ , причём равенство только при $x = 0$ ;

б) $\ln x\le x - 1$ при всех $x > 0$ ;

в) (неравенство Жордана) $\sin x\ge\frac{2}{\pi}x$ при $0\le x\le\frac\pi2$ .

Решение

Развернуть

а) $(e^x)'' = e^x > 0$ , поэтому по достаточному условию строгой выпуклости $e^x$ строго выпукла вниз на $\mathbb R$ . Касательная к графику в точке $x_0 = 0$ : $y = e^0 + e^0(x - 0) = 1 + x$ . По связи выпуклости с положением касательной график строго выпуклой вниз функции лежит выше касательной при $x\ne 0$ : $e^x > 1 + x$ при $x\ne 0$ , а при $x = 0$ равенство.

б) $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$ на $(0, +\infty)$ : функция строго выпукла вверх, и её график лежит не выше касательной в точке $x_0 = 1$ , т. е. прямой $y = \ln 1 + 1\cdot(x - 1) = x - 1$ .

в) $(\sin x)'' = -\sin x < 0$ на $\left(0, \frac\pi2\right)$ , поэтому $\sin$ выпукла вверх на $\left[0, \frac\pi2\right]$ , и дуга графика лежит не ниже хорды, соединяющей точки $(0, 0)$ и $\left(\frac\pi2, 1\right)$ . Формально: для $x\in\left[0, \frac\pi2\right]$ запишем $x = \lambda\cdot 0 + (1 - \lambda)\frac\pi2$ , $1 - \lambda = \frac{2x}{\pi}$ ; по определению выпуклости вверх

\sin x\ge\lambda\sin 0 + (1 - \lambda)\sin\frac\pi2 = \frac{2x}{\pi}.

Ответ: неравенства доказаны.

Неравенство о средних через неравенство Йенсена

Условие

Доказать, что для любых положительных $x_1, \ldots, x_n$

\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n},

причём равенство достигается только при $x_1 = x_2 = \ldots = x_n$ .

Решение

Развернуть

Функция $f(x) = \ln x$ на $(0, +\infty)$ имеет $f''(x) = -\frac1{x^2} < 0$ , поэтому по достаточному условию строгой выпуклости она строго выпукла вверх.

Применим неравенство Йенсена для выпуклой вверх функции с весами $\lambda_i = \frac1n > 0$ :

\ln\frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}\ge\frac1n\sum_{i=1}^{n}\ln x_i = \ln\sqrt[n]{x_1\ldots x_n}.

Так как $\ln$ строго возрастает, отсюда следует требуемое неравенство.

Равенство в неравенстве Йенсена для строго выпуклой функции с положительными весами возможно лишь при $x_1 = \ldots = x_n$ ; обратно, при равных $x_i$ обе части, очевидно, равны.

Ответ: неравенство доказано; равенство только при $x_1 = \ldots = x_n$ .

Перегиб без второй производной и вторая производная без перегиба

Условие

Исследовать на перегиб в точке $x = 0$ функции и объяснить, как эти примеры соотносятся с необходимым и достаточными условиями перегиба:

\text{а)}\ f(x) = x^4;\qquad \text{б)}\ g(x) = \sqrt[3]x;\qquad \text{в)}\ h(x) = \begin{cases}x^2, & x\le 0,\\ \sqrt x, & x > 0.\end{cases}

Решение

Развернуть

а) $f''(x) = 12x^2\ge 0$ на $\mathbb R$ , поэтому $x^4$ выпукла вниз на всей прямой, и направление выпуклости в нуле не меняется: перегиба нет. При этом $f''(0) = 0$ — необходимое условие перегиба выполнено, но не является достаточным (и $f'''(0) = 0$ , так что достаточное условие по третьей производной неприменимо).

б) $g$ непрерывна, $g'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ при $x\ne 0$ , а в нуле $\frac{g(h) - g(0)}{h} = h^{-2/3}\to+\infty$ : $g'(0) = +\infty$ , касательная вертикальная ( $x = 0$ ). При $x\ne 0$

g''(x) = -\frac{2}{9}x^{-5/3},

$g'' > 0$ при $x < 0$ и $g'' < 0$ при $x > 0$ . По достаточному условию (смена знака $g''$ при существующей касательной) $0$ — точка перегиба, хотя $g''(0)$ не существует; необходимое условие в виде $g''(0) = 0$ здесь неприменимо, так как $g$ не дважды дифференцируема в нуле.

в) $h$ непрерывна в нуле ( $h(0) = 0 = \lim_{x\to 0+}\sqrt x$ ); на $(-\infty, 0]$ она выпукла вниз ( $h'' = 2$ ), на $[0, +\infty)$ выпукла вверх ( $h''(x) = -\frac14x^{-3/2} < 0$ при $x > 0$ ). Однако $h'_-(0) = 0$ , $h'_+(0) = +\infty$ : односторонние касательные различны, и касательной к графику в точке $(0, 0)$ нет. По определению это не точка перегиба (это угловая точка), хотя направление выпуклости меняется.

Ответ: а) перегиба нет; б) перегиб с вертикальной касательной; в) перегиба нет (касательная не существует).

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Выпуклость функции вниз и вверх

Пусть функция $f$ определена на промежутке $X$ . Функция $f$ называется выпуклой вниз на $X$ , если для любых $x_1, x_2\in X$ и любого $\lambda\in[0, 1]$

f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2)\le\lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2).

Если при $x_1\ne x_2$ и $\lambda\in(0, 1)$ неравенство строгое, функция называется строго выпуклой вниз. Функция $f$ называется выпуклой вверх (строго выпуклой вверх) на $X$ , если выполнено противоположное неравенство $\ge$ (соответственно $>$ ), т. е. если $-f$ выпукла вниз (строго выпукла вниз). Выпуклую вниз функцию называют также выпуклой, выпуклую вверх — вогнутой.

Геометрический смысл. Пусть $x_1 < x_2$ , $M_1 = (x_1, f(x_1))$ , $M_2 = (x_2, f(x_2))$ . Каждая точка $x\in[x_1, x_2]$ однозначно представляется в виде $x = \lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2$ , $\lambda = \frac{x_2 - x}{x_2 - x_1}$ , а хорда $M_1M_2$ — график линейной функции

\ell(x) = \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2) = f(x_1)\frac{x_2 - x}{x_2 - x_1} + f(x_2)\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}.

Поэтому выпуклость вниз означает, что для любых двух точек графика дуга графика над $[x_1, x_2]$ лежит не выше хорды $M_1M_2$ ; выпуклость вверх — что она лежит не ниже хорды; строгая выпуклость — что все точки дуги, кроме концов, лежат строго ниже (выше) хорды.

Примеры: $x^2$ , $e^x$ , $|x|$ выпуклы вниз на $\mathbb R$ (первые две строго); $\ln x$ и $\sqrt x$ строго выпуклы вверх на $(0, +\infty)$ ; линейная функция выпукла и вниз, и вверх.

Точка перегиба графика функции

Пусть функция $f$ определена в окрестности точки $a$ , непрерывна в $a$ , и график $f$ имеет в точке $(a, f(a))$ касательную — наклонную (существует конечная $f'(a)$ ) или вертикальную ( $f'(a) = +\infty$ или $f'(a) = -\infty$ ). Точка $a$ называется точкой перегиба функции $f$ (а точка $(a, f(a))$ — точкой перегиба графика), если существует $\delta > 0$ такое, что на одном из промежутков

(a - \delta, a],\qquad [a, a + \delta)

функция $f$ выпукла вниз, а на другом — выпукла вверх, т. е. при переходе через $a$ меняется направление выпуклости.

В точке перегиба с наклонной касательной график переходит с одной стороны касательной на другую (см. связь выпуклости с положением касательной).

Примеры: $x^3$ и $\sqrt[3]x$ имеют перегиб в точке $0$ (у второй — с вертикальной касательной); у $x^4$ точки перегиба нет, хотя $(x^4)''|_{x=0} = 0$ .

Производная функции в точке

Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности $U(a)$ точки $a$ . Для $\Delta x\ne 0$ с $a + \Delta x\in U(a)$ положим

\Delta y = \Delta f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)

— приращение функции, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$ .

Производной функции $f$ в точке $a$ называется конечный предел

f'(a) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} = \lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a},

если он существует. Обозначения: $f'(a)$ , $y'(a)$ , $\dfrac{df}{dx}(a)$ .

Если этот предел равен $+\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ , говорят, что $f$ имеет в точке $a$ бесконечную производную ( $f'(a) = +\infty$ , $-\infty$ или $\infty$ соответственно).

Если $f$ имеет конечную производную в каждой точке интервала $X$ , то говорят, что $f$ имеет производную на множестве $X$ ; функция $x\mapsto f'(x)$ , $x\in X$ , называется производной функцией (или просто производной) функции $f$ . Для отрезка $[a, b]$ в концах используются односторонние производные. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Примеры: для $f(x)\equiv c$ имеем $\Delta y = 0$ , $f'(x) = 0$ ; для $f(x) = x$ имеем $\Delta y = \Delta x$ , $f'(x) = 1$ . Механический смысл: если $s = s(t)$ — путь, пройденный точкой за время $t$ , то $s'(t_0)$ — мгновенная скорость в момент $t_0$ .

Производные высших порядков

Пусть функция $f$ имеет производную $f'$ в некоторой окрестности точки $x$ . Если функция $f'$ имеет производную в точке $x$ , то она называется второй производной функции $f$ в точке $x$ :

f''(x) = (f')'(x).

По индукции: если $f^{(n-1)}$ определена в окрестности точки $x$ и имеет производную в точке $x$ , то

f^{(n)}(x) = \left(f^{(n-1)}\right)'(x)

— производная $n$ -го порядка ( $n$ -я производная); $f^{(0)} = f$ . Обозначения: $y''$ , $y^{(n)}$ , $\dfrac{d^ny}{dx^n}$ .

Функция, имеющая конечную $n$ -ю производную в точке $x$ (на интервале $X$ ), называется $n$ раз дифференцируемой в точке $x$ (на $X$ ).

Через $C^n(X)$ обозначается класс функций, $n$ раз дифференцируемых на промежутке $X$ , у которых $f^{(n)}$ непрерывна на $X$ (на концах промежутка — односторонние производные); $C^0(X)$ — непрерывные функции, $C^\infty(X) = \bigcap_n C^n(X)$ — бесконечно дифференцируемые.

Механический смысл: если $s(t)$ — закон движения, то $s''(t)$ — ускорение.

Касательная и нормаль к графику функции

Пусть $f$ определена в окрестности точки $a$ и непрерывна в ней, $M_0 = (a, f(a))$ , $M = (a + \Delta x, f(a + \Delta x))$ , $\Delta x\ne 0$ — точки графика. Прямая $M_0M$ называется секущей; её угловой коэффициент и угол наклона к оси $Ox$ равны

k(\Delta x) = \frac{\Delta y}{\Delta x},\qquad \varphi(\Delta x) = \operatorname{arctg}k(\Delta x)\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right).

При $\Delta x\to 0$ точка $M$ стремится к $M_0$ по графику (в силу непрерывности $f$ в точке $a$ ).

Наклонной касательной к графику функции $f$ в точке $M_0$ называется прямая, проходящая через $M_0$ под углом $\varphi_0\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ к оси $Ox$ , где

\varphi_0 = \lim_{\Delta x\to 0}\varphi(\Delta x),

т. е. предельное положение секущей $M_0M$ при $M\to M_0$ .

Если $|\varphi(\Delta x)|\to\frac\pi2$ при $\Delta x\to 0$ , то предельным положением секущей считается прямая $x = a$ ; она называется вертикальной касательной.

Если предел угла $\varphi(\Delta x)$ берётся лишь при $\Delta x\to -0$ (при $\Delta x\to +0$ ), получаем левую (правую) наклонную касательную (полукасательную).

Нормалью к графику в точке $M_0$ называется прямая, проходящая через $M_0$ перпендикулярно касательной.

Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$ . Тогда существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

Если положить $a = x_0$ , $b = x_0 + \Delta x$ (допускается и $\Delta x < 0$ ), то получится формула конечных приращений

\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0 + \theta\Delta x)\,\Delta x,\qquad 0 < \theta < 1.

В отличие от приближённого равенства $\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x$ она точна, но содержит неизвестную промежуточную точку.

Геометрический смысл: отношение $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ графика; на дуге $AB$ есть точка $(c, f(c))$ , в которой касательная параллельна хорде $AB$ .

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим вспомогательную функцию — разность между $f$ и линейной функцией, график которой есть хорда $AB$ :

\varphi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a).

Функция $\varphi$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ как разность таких функций, причём

\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Непосредственно проверяется, что $\varphi(a) = 0$ и $\varphi(b) = f(b) - f(a) - (f(b) - f(a)) = 0$ .

По теореме Ролля существует $c\in(a, b)$ с $\varphi'(c) = 0$ , т.е. $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ , что равносильно доказываемому равенству.

Формула конечных приращений получается применением доказанного к отрезку с концами $x_0$ и $x_0 + \Delta x$ : точка $c$ , лежащая строго между ними, записывается в виде $c = x_0 + \theta\Delta x$ с $\theta\in(0, 1)$ (равенство симметрично относительно перестановки концов, поэтому годится и $\Delta x < 0$ ). $\blacksquare$

Предельный переход в неравенстве

Формулировка

Пусть $f, g$ определены на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , существует $\delta_0 > 0$ такое, что

f(x)\le g(x)\quad\forall x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X,

и существуют конечные пределы $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ , $\lim\limits_{x\to a}g(x) = B$ . Тогда $A\le B$ .

В частности, если $f(x)\ge c$ в проколотой окрестности $a$ , то $A\ge c$ . Строгое неравенство при предельном переходе может не сохраниться: $|x| > 0$ при $x\ne 0$ , но $\lim\limits_{x\to 0}|x| = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Предположим противное: $A > B$ . По теореме об арифметических операциях над пределами $g(x) - f(x)\to B - A < 0$ при $x\to a$ .

По теореме о знакопостоянстве найдётся $\delta_1 > 0$ такое, что $g(x) - f(x) < 0$ для всех $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ .

Пусть $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}$ . Так как $a$ — предельная точка $X$ , существует $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ . Для этой точки одновременно $f(x)\le g(x)$ и $g(x) < f(x)$ — противоречие. Значит, $A\le B$ .

Частный случай получается при $g$ — постоянной: $c\le f(x)$ влечёт $c\le A$ . $\blacksquare$

Необходимые и достаточные условия монотонности

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дифференцируема во всех его внутренних точках (множество внутренних точек обозначим $\mathring X$ ).

$f$ не убывает на $X$ тогда и только тогда, когда

f'(x)\ge 0\quad\text{для всех } x\in\mathring X;

аналогично $f$ не возрастает на $X$ $\iff$ $f'(x)\le 0$ на $\mathring X$ . 2. Если $f'(x) > 0$ на $\mathring X$ , то $f$ строго возрастает на $X$ (если $f' < 0$ — строго убывает). Обратное неверно: $f(x) = x^3$ строго возрастает на $\mathbb R$ , но $f'(0) = 0$ . 3. (Критерий строгой монотонности.) $f$ строго возрастает на $X$ тогда и только тогда, когда $f'(x)\ge 0$ на $\mathring X$ и $f'$ не обращается тождественно в нуль ни на каком интервале $(\alpha, \beta)\subset X$ .

Доказательство

Развернуть

Необходимость в пункте 1. Пусть $f$ не убывает на $X$ и $x\in\mathring X$ . Для всех достаточно малых $h\ne 0$ точка $x + h\in X$ , и разностное отношение $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\ge 0$ : при $h > 0$ числитель неотрицателен, при $h < 0$ неположителен. Переходя к пределу в неравенстве при $h\to 0$ , получаем $f'(x)\ge 0$ .

Достаточность в пунктах 1 и 2. Пусть $x_1, x_2\in X$ , $x_1 < x_2$ . На отрезке $[x_1, x_2]$ функция $f$ непрерывна, а на $(x_1, x_2)\subset\mathring X$ дифференцируема. По теореме Лагранжа

f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1),\quad c\in(x_1, x_2).

Если $f'\ge 0$ на $\mathring X$ , то $f(x_2)\ge f(x_1)$ ; если $f' > 0$ , то $f(x_2) > f(x_1)$ . Случай невозрастания получается заменой $f$ на $-f$ .

Необходимость в пункте 3. Если $f$ строго возрастает, то по пункту 1 $f'\ge 0$ на $\mathring X$ . Если бы $f'\equiv 0$ на некотором интервале $(\alpha, \beta)\subset X$ , то по следствию теоремы Лагранжа $f$ была бы постоянной на $(\alpha, \beta)$ , что противоречит строгому возрастанию.

Достаточность в пункте 3. По пункту 1 $f$ не убывает. Пусть $f$ не является строго возрастающей: $f(x_1) = f(x_2)$ для некоторых $x_1 < x_2$ . Тогда для $x\in[x_1, x_2]$ из монотонности $f(x_1)\le f(x)\le f(x_2) = f(x_1)$ , т. е. $f$ постоянна на $[x_1, x_2]$ и $f'\equiv 0$ на $(x_1, x_2)$ — противоречие с условием. $\blacksquare$

Общая схема исследования функции и построения графика

Формулировка

Пусть функция $f$ (как правило, элементарная) такова, что $f$ , $f'$ и $f''$ непрерывны на своих областях определения, а точек, где $f'$ или $f''$ обращаются в нуль или не существуют, конечное число на каждом отрезке, содержащемся в $D(f)$ . (Даже для элементарной функции второе условие может нарушаться: например, $|x| + |x - 1| = 1$ на $[0, 1]$ , и все точки $(0, 1)$ стационарны.) Следующая последовательность шагов позволяет описать все промежутки монотонности и выпуклости, экстремумы, перегибы и асимптоты графика:

Найти область определения $D(f)$ , точки разрыва и односторонние пределы на границе $D(f)$ .
Выяснить чётность, нечётность, периодичность (график симметричен относительно оси $Oy$ , начала координат или повторяется со сдвигом; исследование можно вести на части области).
Найти точки пересечения с осями и промежутки знакопостоянства $f$ : на каждом промежутке $D(f)$ между соседними нулями знак $f$ постоянен.
Найти асимптоты: вертикальные — только в точках разрыва и в конечных граничных точках $D(f)$ ; наклонные при $x\to\pm\infty$ — по формулам $k = \lim\frac{f(x)}x$ , $b = \lim(f(x) - kx)$ .
Найти $f'$ , критические точки и промежутки знакопостоянства $f'$ ; на них $f$ строго монотонна; экстремумы — в критических точках, где $f'$ меняет знак (или по знаку $f''$ в стационарной точке).
Найти $f''$ , точки, где $f''$ равна нулю или не существует, промежутки знакопостоянства $f''$ ; на них $f$ строго выпукла вниз ( $f'' > 0$ ) или вверх ( $f'' < 0$ ); точки перегиба — те из найденных точек, где $f''$ меняет знак и существует касательная.
Свести результаты в таблицу, найти множество значений и построить эскиз графика по найденным точкам, промежуткам и асимптотам.

Доказательство

Развернуть

Пункты 1–2 (область определения, симметрия) состоят в вычислении и не требуют обоснования; отметим лишь, что для чётной (нечётной) функции график симметричен относительно оси $Oy$ (начала координат), поскольку вместе с точкой $(x, f(x))$ ему принадлежит точка $(-x, f(x))$ (соответственно $(-x, -f(x))$ ).

Пункт 3 (знакопостоянство). Пусть $I\subset D(f)$ — промежуток, на котором $f$ непрерывна и не обращается в нуль. Если бы $f(x_1)f(x_2) < 0$ для $x_1, x_2\in I$ , то по теореме Больцано–Коши $f$ обратилась бы в нуль между ними. Значит, знак $f$ на $I$ постоянен, и его достаточно определить в одной точке.

Пункт 4 (асимптоты). Если $f$ непрерывна в точке $a$ , то $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$ конечен, и прямая $x = a$ не является вертикальной асимптотой; поэтому вертикальные асимптоты могут быть лишь в точках разрыва и в конечных граничных точках $D(f)$ . Элементарные функции непрерывны в своей области определения, так что кандидатов немного. Наклонные асимптоты находятся по теореме о наклонной асимптоте, которая даёт и необходимое, и достаточное условие.

Пункт 5 (монотонность и экстремумы). Между соседними критическими точками (и точками разрыва) производная $f'$ непрерывна и не обращается в нуль, поэтому, как в пункте 3, по теореме Больцано–Коши сохраняет знак. По достаточному условию строгой монотонности $f$ строго монотонна на каждом таком промежутке (включая его концы, где $f$ непрерывна). По необходимому условию экстремума экстремумы могут быть только в критических точках; по достаточному условию по первой производной экстремум есть там, где $f'$ меняет знак, и его нет, где знак сохраняется; в стационарной точке можно также использовать достаточное условие по второй производной.

Пункт 6 (выпуклость и перегибы). Аналогично $f''$ сохраняет знак между соседними точками, где она равна нулю или не существует. По условию выпуклости дважды дифференцируемой функции на промежутках с $f'' > 0$ функция строго выпукла вниз, с $f'' < 0$ — строго выпукла вверх. По необходимому условию точки перегиба перегиб возможен лишь там, где $f''$ равна нулю или не существует, а по достаточному условию он есть там, где $f''$ меняет знак и касательная существует.

Пункт 7 (сводка). Найденные промежутки покрывают всю область определения, поэтому таблица полностью описывает характер монотонности и выпуклости на $D(f)$ ; множество значений на каждом промежутке строгой монотонности непрерывной функции есть промежуток между её значениями (пределами) на концах. Эскиз строится по этим данным. $\blacksquare$

Геометрический смысл производной

Формулировка

Пусть $f$ определена в окрестности точки $a$ и непрерывна в точке $a$ , $M_0 = (a, f(a))$ .

Наклонная касательная к графику $f$ в точке $M_0$ существует тогда и только тогда, когда существует конечная производная $f'(a)$ ; при этом угловой коэффициент касательной равен $\operatorname{tg}\varphi_0 = f'(a)$ , а её уравнение

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Вертикальная касательная $x = a$ существует тогда и только тогда, когда $f'(a) = \infty$ (т. е. $\left|\frac{\Delta y}{\Delta x}\right|\to+\infty$ ; в частности, при $f'(a) = \pm\infty$ ).
Левая (правая) наклонная касательная существует тогда и только тогда, когда существует конечная $f'_-(a)$ (соответственно $f'_+(a)$ ); её угловой коэффициент равен этой односторонней производной.
Если $f'(a)$ конечна, уравнение нормали:

(x - a) + f'(a)\,(y - f(a)) = 0,

т. е. $y = f(a) - \frac{x - a}{f'(a)}$ при $f'(a)\ne 0$ и $x = a$ при $f'(a) = 0$ . При вертикальной касательной нормаль — прямая $y = f(a)$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $k(\Delta x) = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ и $\varphi(\Delta x) = \operatorname{arctg}k(\Delta x)$ — угловой коэффициент и угол наклона секущей. Функции $\operatorname{arctg}$ (на $\mathbb R$ ) и $\operatorname{tg}$ (на $\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ ) непрерывны по теореме о непрерывности основных элементарных функций.

Пусть существует конечная $f'(a) = k_0$ , т. е. $k(\Delta x)\to k_0$ . Так как $\operatorname{arctg}$ непрерывен в точке $k_0$ , по теореме о предельном переходе под знаком непрерывной функции $\varphi(\Delta x) = \operatorname{arctg}k(\Delta x)\to\operatorname{arctg}k_0 = \varphi_0\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ . Значит, наклонная касательная существует и $\operatorname{tg}\varphi_0 = k_0 = f'(a)$ .

Обратно, пусть $\varphi(\Delta x)\to\varphi_0\in\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ . Так как $\operatorname{tg}$ непрерывен в точке $\varphi_0$ , то $k(\Delta x) = \operatorname{tg}\varphi(\Delta x)\to\operatorname{tg}\varphi_0$ , т. е. существует конечная производная $f'(a) = \operatorname{tg}\varphi_0$ . Прямая через $M_0$ с угловым коэффициентом $f'(a)$ имеет уравнение $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Пункт 1 доказан.

Пункт 2. Функция $\operatorname{arctg}$ нечётна и строго возрастает, поэтому $|\varphi| = \operatorname{arctg}|k|$ . Если $|k(\Delta x)|\to+\infty$ , то для любого $\varepsilon\in\left(0, \frac\pi2\right)$ при $|k| > \operatorname{tg}\left(\frac\pi2 - \varepsilon\right)$ имеем $|\varphi| > \frac\pi2 - \varepsilon$ , т. е. $|\varphi(\Delta x)|\to\frac\pi2$ . Обратно, если $|\varphi(\Delta x)|\to\frac\pi2$ , то для любого $E > 0$ , взяв $\varepsilon = \frac\pi2 - \operatorname{arctg}E$ , при $|\varphi| > \frac\pi2 - \varepsilon$ получаем $|k| = \operatorname{tg}|\varphi| > E$ , т. е. $|k(\Delta x)|\to+\infty$ .

Пункт 3 доказывается дословно так же, как пункт 1, с заменой $\Delta x\to 0$ на $\Delta x\to\mp 0$ .

Пункт 4. Касательная имеет направляющий вектор $(1, f'(a))$ . Нормаль — прямая через $M_0$ , для которой этот вектор является нормальным: $1\cdot(x - a) + f'(a)(y - f(a)) = 0$ . При $f'(a)\ne 0$ это $y = f(a) - \frac{x - a}{f'(a)}$ , при $f'(a) = 0$ — прямая $x = a$ . Вертикальная касательная имеет направляющий вектор $(0, 1)$ , и нормаль к ней через $M_0$ — прямая $y = f(a)$ . $\blacksquare$

Замечание

Условие непрерывности существенно. Для $f(x) = \operatorname{sign}x$ имеем $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac1{|\Delta x|}\to+\infty$ , т. е. $f'(0) = +\infty$ , но касательной в точке $(0, 0)$ нет: точки графика не приближаются к $M_0$ .

Теорема Ферма

Формулировка

Пусть $c$ — точка локального экстремума функции $f$ (в частности, $c$ — внутренняя точка области определения) и в точке $c$ существует производная $f'(c)$ (конечная или бесконечная определённого знака). Тогда

f'(c) = 0.

Геометрический смысл: если в точке локального экстремума существует касательная к графику, не параллельная оси $Oy$ , то она горизонтальна (параллельна оси $Ox$ ).

Замечание. Условие « $c$ — внутренняя точка» существенно: функция $f(x) = x$ на отрезке $[0, 1]$ принимает наибольшее значение в точке $1$ , но $f'_-(1) = 1\ne 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть для определённости $c$ — точка локального максимума (для минимума рассуждение аналогично или сводится к $-f$ ). Тогда существует $\delta > 0$ такое, что $f(c + h)\le f(c)$ при $|h| < \delta$ , т.е. $f(c + h) - f(c)\le 0$ .

Отсюда для разностного отношения получаем

\frac{f(c + h) - f(c)}{h}\le 0\ \ \text{при}\ 0 < h < \delta,\qquad \frac{f(c + h) - f(c)}{h}\ge 0\ \ \text{при}\ -\delta < h < 0.

Так как производная $f'(c)$ существует, по теореме о связи производной с односторонними производными существуют и односторонние производные, причём $f'_+(c) = f'_-(c) = f'(c)$ .

Покажем, что $f'(c)$ конечна. Если бы $f'(c) = +\infty$ , то разностное отношение было бы положительным при всех достаточно малых $h > 0$ , а если бы $f'(c) = -\infty$ , — отрицательным при всех достаточно малых по модулю $h < 0$ ; оба случая противоречат полученным неравенствам.

Итак, $f'(c)$ — число. Переходя к пределу в неравенствах для разностного отношения (предельный переход в неравенстве), получаем $f'_+(c)\le 0$ и $f'_-(c)\ge 0$ . Значит, $0\le f'_-(c) = f'(c) = f'_+(c)\le 0$ , т.е. $f'(c) = 0$ . $\blacksquare$

Знакопостоянство функции, имеющей ненулевой предел

Формулировка

Пусть $f$ определена на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ и $c\in\mathbb R$ .

Если $A > c$ (здесь $A\in\mathbb R$ или $A = +\infty$ ), то существует $\delta > 0$ такое, что $f(x) > c$ для всех $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ . Аналогично, если $A < c$ ( $A\in\mathbb R$ или $A = -\infty$ ), то $f(x) < c$ в некоторой проколотой окрестности.
В частности, если $0 < A < +\infty$ , то в некоторой проколотой окрестности

f(x) > \frac A2 > 0,

а если $A\in\mathbb R$ , $A\ne 0$ , то в некоторой проколотой окрестности $|f(x)| > \frac{|A|}2$ ; в частности, $f(x)$ сохраняет знак числа $A$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $A\in\mathbb R$ , $A > c$ . Возьмём $\varepsilon = A - c > 0$ ; найдётся $\delta > 0$ с $|f(x) - A| < A - c$ при $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ , откуда $f(x) > A - (A - c) = c$ . Если $A = +\infty$ , то по определению бесконечного предела для числа $M = c$ найдётся $\delta > 0$ с $f(x) > c$ при $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ . Случай $A < c$ получается заменой $f$ на $-f$ , $c$ на $-c$ .
Для $0 < A < +\infty$ применим п. 1 с $c = \frac A2 < A$ . Для конечного $A\ne 0$ возьмём $\varepsilon = \frac{|A|}2$ : при $|f(x) - A| < \frac{|A|}2$ имеем

|f(x)|\ge |A| - |f(x) - A| > \frac{|A|}2,

а также $f(x)$ лежит в интервале $\left(A - \frac{|A|}2, A + \frac{|A|}2\right)$ , не содержащем нуля, и потому имеет тот же знак, что $A$ . $\blacksquare$

Принцип математической индукции

Формулировка

Пусть $\mathbb N = \{1, 2, 3,\dots\}$ и выполнен принцип наименьшего элемента: всякое непустое подмножество $\mathbb N$ имеет наименьший элемент (основное свойство натуральных чисел; при аксиоматическом построении $\mathbb R$ оно выводится из определения $\mathbb N$ как наименьшего индуктивного множества). Пусть $P(n)$ — предикат на $\mathbb N$ .

(Принцип индукции.) Если $P(1)$ истинно (база) и для любого $n\in\mathbb N$ из $P(n)$ следует $P(n+1)$ (шаг), то $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ :

\Bigl(P(1)\land\forall n\in\mathbb N\ \bigl(P(n)\Rightarrow P(n+1)\bigr)\Bigr)\Rightarrow\forall n\in\mathbb N\ \ P(n).

(Индукция с базой $n_0$ .) Пусть $n_0\in\mathbb Z$ и $P(n)$ — предикат на множестве целых $n\ge n_0$ . Если $P(n_0)$ истинно и для любого целого $n\ge n_0$ из $P(n)$ следует $P(n+1)$ , то $P(n)$ истинно при всех целых $n\ge n_0$ .
(Полная индукция.) Если $P(1)$ истинно и для любого $n\in\mathbb N$ из истинности $P(1),\dots,P(n)$ следует истинность $P(n+1)$ , то $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Рассуждаем от противного. Пусть множество $M = \{n\in\mathbb N:\ P(n)\ \text{ложно}\}$ непусто. По принципу наименьшего элемента в $M$ есть наименьший элемент $m$ .

Так как $P(1)$ истинно, $m\ne 1$ , поэтому $m\ge 2$ и $m - 1\in\mathbb N$ . Поскольку $m - 1 < m$ и $m$ — наименьший элемент $M$ , имеем $m - 1\notin M$ , т. е. $P(m - 1)$ истинно.

По условию шага из $P(m-1)$ следует $P(m)$ , т. е. $P(m)$ истинно, что противоречит $m\in M$ . Значит, $M = \varnothing$ , и $P(n)$ истинно при всех $n\in\mathbb N$ .

Пункт 2. Положим $Q(k) = P(n_0 + k - 1)$ , $k\in\mathbb N$ . Тогда $Q(1) = P(n_0)$ истинно, а при любом $k\in\mathbb N$ число $n = n_0 + k - 1\ge n_0$ , и из $Q(k) = P(n)$ следует $P(n + 1) = Q(k+1)$ . По пункту 1 $Q(k)$ истинно при всех $k$ . Любое целое $n\ge n_0$ имеет вид $n_0 + k - 1$ с $k = n - n_0 + 1\in\mathbb N$ , поэтому $P(n)$ истинно.

Пункт 3. Положим $Q(n) = P(1)\land P(2)\land\ldots\land P(n)$ . Тогда $Q(1) = P(1)$ истинно. Если $Q(n)$ истинно, то по условию истинно $P(n+1)$ , а значит, и $Q(n+1) = Q(n)\land P(n+1)$ . По пункту 1 $Q(n)$ истинно при всех $n$ , откуда истинно и каждое $P(n)$ . $\blacksquare$

Выпуклость функции. Точки перегиба

Лемма о выпуклости (о трёх хордах)

Формулировка

Доказательство

Условие выпуклости по первой производной

Формулировка

Доказательство

Условие выпуклости дважды дифференцируемой функции

Формулировка

Доказательство

Связь выпуклости с положением касательной

Формулировка

Доказательство

Необходимое условие точки перегиба

Формулировка

Доказательство

Достаточные условия точки перегиба

Формулировка

Доказательство

Неравенство Йенсена

Формулировка

Доказательство

Промежутки выпуклости и точки перегиба

Условие

Решение

Три точки перегиба на одной прямой

Условие

Решение

Подбор параметров по заданной точке перегиба

Условие

Решение

Неравенства из выпуклости — касательная и хорда

Условие

Решение

Неравенство о средних через неравенство Йенсена

Условие

Решение

Перегиб без второй производной и вторая производная без перегиба

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Выпуклость функции вниз и вверх

Точка перегиба графика функции

Производная функции в точке

Производные высших порядков

Касательная и нормаль к графику функции

Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Формулировка

Доказательство

Предельный переход в неравенстве

Формулировка

Доказательство

Необходимые и достаточные условия монотонности

Формулировка

Доказательство

Общая схема исследования функции и построения графика

Формулировка

Доказательство

Геометрический смысл производной

Формулировка

Доказательство

Замечание

Теорема Ферма

Формулировка

Доказательство

Знакопостоянство функции, имеющей ненулевой предел

Формулировка

Доказательство

Принцип математической индукции

Формулировка

Доказательство