Функции, непрерывные на отрезке. Обратная функция

Прогресс изучения0 из 10

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы10

Теорема Больцано–Коши о нулях непрерывной функции
Теорема о промежуточных значениях
Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности)
Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных граней)
Образ отрезка при непрерывном отображении
Односторонние пределы монотонной функции
Точки разрыва монотонной функции
Критерий непрерывности монотонной функции
Связь непрерывности, инъективности и строгой монотонности
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

теорема

Теорема Больцано–Коши о нулях непрерывной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и на его концах принимает значения разных знаков:

f(a)\cdot f(b) < 0.

Тогда существует точка $c\in(a, b)$ , в которой

f(c) = 0.

Доказательство

Развернуть

Для определённости пусть $f(a) < 0 < f(b)$ (иначе рассмотрим функцию $-f$ , которая непрерывна и имеет те же нули). Построим последовательность вложенных отрезков методом деления пополам. Положим $[a_0, b_0] = [a, b]$ . Пусть построен отрезок $[a_n, b_n]$ , для которого $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ . Обозначим $m_n = \frac{a_n + b_n}2$ . Если $f(m_n) = 0$ , то $c = m_n$ — искомая точка (она лежит в $(a, b)$ ), и доказательство окончено. Если $f(m_n) > 0$ , положим $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [a_n, m_n]$ , если $f(m_n) < 0$ — положим $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [m_n, b_n]$ . В обоих случаях снова $f(a_{n+1}) < 0 < f(b_{n+1})$ .

Если процесс не оборвался, получена система вложенных отрезков $[a_0, b_0]\supset[a_1, b_1]\supset\ldots$ с длинами

b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}\le\frac{b - a}{n}

при $n\ge 1$ (так как $2^n\ge n$ ). По следствию из принципа Архимеда для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $n$ с $\frac{b - a}n < \varepsilon$ , т. е. длины отрезков становятся меньше любого $\varepsilon$ . По принципу вложенных отрезков существует единственная точка $c$ , принадлежащая всем отрезкам $[a_n, b_n]$ ; ясно, что $c\in[a, b]$ .

Так как $a_n\le c\le b_n$ , то $|a_n - c|\le b_n - a_n\le\frac{b - a}n$ и $|b_n - c|\le\frac{b - a}n$ , откуда $a_n\to c$ и $b_n\to c$ . Все $a_n, b_n$ лежат в $[a, b]$ , а $f$ непрерывна в точке $c$ (как функция на $[a, b]$ ), поэтому по определению непрерывности по Гейне

f(a_n)\to f(c),\qquad f(b_n)\to f(c).

Переходя к пределу в неравенствах $f(a_n) < 0$ и $f(b_n) > 0$ , по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем $f(c)\le 0$ и $f(c)\ge 0$ , т. е. $f(c) = 0$ . Наконец, $c\ne a$ и $c\ne b$ , так как $f(a)\ne 0$ и $f(b)\ne 0$ ; значит, $c\in(a, b)$ .

Замечание. Метод даёт приближённое значение корня: середина отрезка $[a_n, b_n]$ отличается от некоторого корня не более чем на $\frac{b - a}{2^{n+1}}$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема о промежуточных значениях

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , $f(a) = A$ , $f(b) = B$ , $A\ne B$ . Тогда для любого числа $C$ , лежащего строго между $A$ и $B$ , существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f(c) = C.

Если функция $f$ непрерывна на промежутке $I$ (любого типа), то множество её значений $f(I)$ — также промежуток (возможно, вырожденный в точку).

Доказательство

Развернуть

Рассмотрим функцию $g(x) = f(x) - C$ . Она непрерывна на $[a, b]$ как разность непрерывных функций. Так как $C$ лежит строго между $A$ и $B$ , числа $g(a) = A - C$ и $g(b) = B - C$ имеют разные знаки: $g(a)\, g(b) < 0$ . По теореме Больцано–Коши существует $c\in(a, b)$ с $g(c) = 0$ , т. е. $f(c) = C$ .
Сначала заметим, что непустое множество $E\subset\mathbb R$ , обладающее свойством

\forall y_1, y_2\in E,\ y_1 < y_2:\quad [y_1, y_2]\subset E,

является промежутком или точкой. Действительно, пусть $m = \inf E$ , $M = \sup E$ (конечные или бесконечные). Если $m < y < M$ , то $y$ не является верхней границей $E$ , и найдётся $y_2\in E$ с $y_2 > y$ ; аналогично (по критерию точной нижней грани или по неограниченности снизу) найдётся $y_1\in E$ с $y_1 < y$ . По свойству $y\in[y_1, y_2]\subset E$ . Значит, $(m, M)\subset E\subset[m, M]$ , т. е. $E$ — промежуток с концами $m$ и $M$ (концы принадлежат или не принадлежат $E$ ); при $m = M$ множество $E$ — точка.

Проверим это свойство для $E = f(I)$ . Пусть $y_1 = f(x_1) < y_2 = f(x_2)$ , $x_1, x_2\in I$ . Тогда $x_1\ne x_2$ , и отрезок $\Delta$ с концами $x_1, x_2$ лежит в промежутке $I$ ; функция $f$ непрерывна на $\Delta$ . По п. 1, применённому к $f$ на $\Delta$ , каждое $y\in(y_1, y_2)$ принимается в некоторой точке $\Delta$ , а значения $y_1, y_2$ принимаются в концах. Итак, $[y_1, y_2]\subset f(I)$ , и $f(I)$ — промежуток. $\blacksquare$

теорема

Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности)

Формулировка

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , то она ограничена на нём:

\exists K > 0\ \ \forall x\in[a, b]:\ |f(x)|\le K.

Для промежутков другого типа утверждение неверно: функция $f(x) = \frac1x$ непрерывна на $(0, 1]$ , но не ограничена на нём.

Доказательство

Развернуть

Предположим противное: $f$ не ограничена на $[a, b]$ . Тогда для каждого $n\in\mathbb N$ найдётся точка $x_n\in[a, b]$ с $|f(x_n)| > n$ .

Последовательность $(x_n)$ ограничена ( $a\le x_n\le b$ ), поэтому по принципу Больцано–Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{n_k}\to c$ . Переходя к пределу в неравенствах $a\le x_{n_k}\le b$ , по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем $c\in[a, b]$ .

Функция $f$ непрерывна в точке $c$ (на множестве $[a, b]$ ), и $x_{n_k}\in[a, b]$ , поэтому по определению непрерывности по Гейне $f(x_{n_k})\to f(c)$ . Сходящаяся последовательность ограничена: $|f(x_{n_k})|\le K_0$ при всех $k$ .

С другой стороны, $|f(x_{n_k})| > n_k\ge k$ , так что последовательность $f(x_{n_k})$ не ограничена. Противоречие доказывает теорему.

Пример $f(x) = \frac1x$ на $(0, 1]$ : $f(\frac1{n+1}) = n + 1 > n$ , так что $f$ не ограничена; здесь ломается шаг $c\in[a, b]$ : подпоследовательность $\frac1{n+1}\to 0\notin(0, 1]$ . $\blacksquare$

теорема

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных граней)

Формулировка

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , то она достигает на нём своих точной верхней и точной нижней граней: существуют $x_1, x_2\in[a, b]$ такие, что

f(x_1) = \inf_{[a, b]} f = \min_{[a, b]} f,\qquad f(x_2) = \sup_{[a, b]} f = \max_{[a, b]} f.

Для интервала утверждение неверно: функция $f(x) = x$ непрерывна и ограничена на $(0, 1)$ , но не достигает ни $\sup = 1$ , ни $\inf = 0$ . Неверно оно и для разрывной функции на отрезке.

Доказательство

Развернуть

По первой теореме Вейерштрасса $f$ ограничена на $[a, b]$ , поэтому множество $f([a, b])$ непусто и ограничено, и по теореме о существовании точной грани существует конечное $M = \sup_{[a, b]} f$ . При этом $f(x)\le M$ для всех $x\in[a, b]$ .

Предположим, что $M$ не достигается: $f(x) < M$ при всех $x\in[a, b]$ . Тогда функция

g(x) = \frac1{M - f(x)}

определена, положительна и непрерывна на $[a, b]$ как частное непрерывных функций с ненулевым знаменателем.

По первой теореме Вейерштрасса $g$ ограничена: $0 < g(x)\le K$ на $[a, b]$ при некотором $K > 0$ . Отсюда $M - f(x)\ge\frac1K$ , т. е. $f(x)\le M - \frac1K$ для всех $x\in[a, b]$ . Это противоречит критерию точной верхней грани (при $\varepsilon = \frac1K$ должна найтись точка с $f(x) > M - \varepsilon$ ). Значит, $M = f(x_2)$ для некоторого $x_2\in[a, b]$ .

Для точной нижней грани применим доказанное к непрерывной функции $-f$ : $\sup(-f) = -\inf f$ достигается в некоторой точке $x_1$ , т. е. $f(x_1) = \inf_{[a, b]} f$ .

Для $f(x) = x$ на $(0, 1)$ : $0 < f(x) < 1$ , и для любого $\varepsilon\in(0, 1)$ значения $f(1 - \frac\varepsilon2) > 1 - \varepsilon$ и $f(\frac\varepsilon2) < \varepsilon$ , так что $\sup = 1$ , $\inf = 0$ , но $f(x)\ne 0$ , $f(x)\ne 1$ . Для разрывной функции на $[0, 1]$ , равной $x$ при $x < 1$ и $0$ при $x = 1$ , точная верхняя грань $1$ также не достигается. $\blacksquare$

следствие

Образ отрезка при непрерывном отображении

Формулировка

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , то множество её значений — отрезок:

f([a, b]) = [m, M],\qquad m = \min_{[a, b]} f,\quad M = \max_{[a, b]} f

(при $m = M$ функция постоянна и отрезок вырождается в точку).

Доказательство

Развернуть

По второй теореме Вейерштрасса существуют $x_1, x_2\in[a, b]$ с $f(x_1) = m = \min f$ и $f(x_2) = M = \max f$ . По определению наибольшего и наименьшего значений $m\le f(x)\le M$ для всех $x\in[a, b]$ , т. е. $f([a, b])\subset[m, M]$ .

Обратно, пусть $m < y < M$ . Тогда $x_1\ne x_2$ , и на отрезке с концами $x_1, x_2$ (он лежит в $[a, b]$ ) функция $f$ непрерывна и принимает в концах значения $m$ и $M$ . По теореме о промежуточных значениях найдётся точка этого отрезка, в которой $f = y$ . Значения $m$ и $M$ принимаются в точках $x_1, x_2$ . Итак, $[m, M]\subset f([a, b])$ , и $f([a, b]) = [m, M]$ . $\blacksquare$

лемма

Односторонние пределы монотонной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ не убывает на промежутке $I$ , $x_0\in I$ .

Если $x_0$ — не левый конец $I$ , то существует конечный предел слева

f(x_0 - 0) = \sup_{x\in I,\ x < x_0} f(x)\le f(x_0).

Если $x_0$ — не правый конец $I$ , то существует конечный предел справа

f(x_0 + 0) = \inf_{x\in I,\ x > x_0} f(x)\ge f(x_0).

Если $x, y\in I$ , $x < y$ , и указанные пределы существуют, то $f(x + 0)\le f(y - 0)$ .

Для невозрастающей функции справедливы аналогичные утверждения с обратными неравенствами (и с заменой $\sup$ на $\inf$ ).

Доказательство

Развернуть

Так как $I$ — промежуток и $x_0$ — не его левый конец, множество $E = \{f(x):\ x\in I,\ x < x_0\}$ непусто; по монотонности оно ограничено сверху числом $f(x_0)$ . По теореме о существовании точной грани существует $s = \sup E$ , причём $s\le f(x_0)$ , так как $f(x_0)$ — верхняя граница $E$ .

Пусть $\varepsilon > 0$ . По критерию точной верхней грани найдётся $x_1\in I$ , $x_1 < x_0$ , с $f(x_1) > s - \varepsilon$ . Положим $\delta = x_0 - x_1 > 0$ . Если $x_0 - \delta < x < x_0$ , то $x_1 < x < x_0$ , поэтому $x\in I$ (промежуток вместе с двумя точками содержит отрезок между ними) и по монотонности

s - \varepsilon < f(x_1)\le f(x)\le s.

Значит, $|f(x) - s| < \varepsilon$ для всех $x\in(x_0 - \delta, x_0)$ , т. е. $f(x_0 - 0) = s$ .

Доказывается так же: множество $\{f(x):\ x\in I,\ x > x_0\}$ непусто и ограничено снизу числом $f(x_0)$ ; его точная нижняя грань $i\ge f(x_0)$ , и по критерию точной нижней грани для $\varepsilon > 0$ найдётся $x_2 > x_0$ с $f(x_2) < i + \varepsilon$ , откуда $i\le f(x) < i + \varepsilon$ при $x_0 < x < x_2$ .
Возьмём любую точку $t\in(x, y)$ ; она лежит в $I$ . По п. 2 $f(x + 0)$ — точная нижняя грань значений справа от $x$ , поэтому $f(x + 0)\le f(t)$ ; по п. 1 $f(y - 0)$ — точная верхняя грань значений слева от $y$ , поэтому $f(t)\le f(y - 0)$ . Итак, $f(x + 0)\le f(y - 0)$ .

Для невозрастающей $f$ применим доказанное к неубывающей функции $-f$ . $\blacksquare$

теорема

Точки разрыва монотонной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ монотонна на промежутке $I$ . Тогда:

каждая точка разрыва $f$ является точкой разрыва первого рода: во внутренней точке это скачок, а в принадлежащем $I$ конце промежутка соответствующий односторонний предел конечен (но отличен от $f(x_0)$ ); при этом для неубывающей $f$ во внутренней точке разрыва $x_0$

f(x_0 - 0)\le f(x_0)\le f(x_0 + 0),\qquad f(x_0 - 0) < f(x_0 + 0);

множество точек разрыва $f$ не более чем счётно.

Доказательство

Развернуть

Пусть для определённости $f$ не убывает (иначе рассмотрим $-f$ : у неё те же точки разрыва). Возьмём внутреннюю точку $x_0$ промежутка $I$ . По лемме об односторонних пределах монотонной функции существуют конечные $f(x_0 - 0)$ и $f(x_0 + 0)$ , и $f(x_0 - 0)\le f(x_0)\le f(x_0 + 0)$ . Если $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$ , то оба односторонних предела равны $f(x_0)$ , и по теореме о связи непрерывности с односторонней непрерывностью $f$ непрерывна в $x_0$ . Значит, в точке разрыва $f(x_0 - 0) < f(x_0 + 0)$ : оба односторонних предела конечны и различны — это скачок, т. е. разрыв первого рода (устранимого разрыва быть не может).

Если $x_0$ — конец промежутка, принадлежащий $I$ , например левый, то непрерывность в $x_0$ на $I$ означает непрерывность справа. По той же лемме существует конечный $f(x_0 + 0)\ge f(x_0)$ , и разрыв возможен только при $f(x_0) < f(x_0 + 0)$ : односторонний предел конечен, но не равен $f(x_0)$ — разрыв первого рода в широком смысле (по классификации, проводимой по одностороннему пределу, — устранимый, но не второго рода). Аналогично для правого конца.

Для доказательства п. 2 обозначим через $D$ множество внутренних точек разрыва. Каждой точке $x\in D$ сопоставим непустой интервал

J_x = \bigl(f(x - 0),\ f(x + 0)\bigr).

При $x < y$ , $x, y\in D$ , по лемме $f(x + 0)\le f(y - 0)$ , поэтому интервалы $J_x$ и $J_y$ не пересекаются.

По следствию из принципа Архимеда (плотность $\mathbb Q$ в $\mathbb R$ ) в каждом интервале $J_x$ найдётся рациональное число; выберем одно из них и обозначим $r(x)$ . Так как интервалы попарно не пересекаются, отображение $r: D\to\mathbb Q$ инъективно, и $D$ равномощно множеству $r(D)\subset\mathbb Q$ .

Множество $\mathbb Q$ счётно, а всякое подмножество счётного множества конечно или счётно (бесконечное подмножество счётного множества счётно). Поэтому $D$ не более чем счётно. Добавление к $D$ не более чем двух концов промежутка не меняет этого вывода. $\blacksquare$

теорема

Критерий непрерывности монотонной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ монотонна на невырожденном промежутке $I$ . Тогда

f \text{ непрерывна на } I\quad\Longleftrightarrow\quad f(I)\ \text{— промежуток}.

В частности, монотонная на отрезке $[a, b]$ функция, принимающая все значения между $f(a)$ и $f(b)$ , непрерывна на $[a, b]$ .

Доказательство

Развернуть

Необходимость не использует монотонность: если $f$ непрерывна на промежутке $I$ , то по теореме о промежуточных значениях $f(I)$ — промежуток.

Достаточность. Пусть для определённости $f$ не убывает (для невозрастающей рассмотрим $-f$ ; $(-f)(I)$ — промежуток одновременно с $f(I)$ ), $f(I)$ — промежуток, и предположим, что $f$ разрывна в некоторой точке $x_0\in I$ . По теореме о связи непрерывности с односторонней непрерывностью $f$ не является непрерывной в $x_0$ справа или слева (на $I$ ). Пусть, например, нарушена непрерывность справа; тогда $x_0$ — не правый конец $I$ (в правом конце непрерывность на $I$ сводится к непрерывности слева).

По лемме об односторонних пределах монотонной функции существует $f(x_0 + 0)\ge f(x_0)$ , и так как $f$ не непрерывна справа в $x_0$ , то $f(x_0) < f(x_0 + 0)$ . Возьмём любую точку $y\in I$ , $y > x_0$ ; тогда $f(y)\ge f(x_0 + 0)$ . Числа $f(x_0)$ и $f(y)$ принадлежат промежутку $f(I)$ , поэтому

\bigl(f(x_0),\ f(x_0 + 0)\bigr)\subset[f(x_0), f(y)]\subset f(I).

С другой стороны, $f$ не принимает ни одного значения из интервала $(f(x_0), f(x_0 + 0))$ : при $x\le x_0$ имеем $f(x)\le f(x_0)$ , а при $x > x_0$ — $f(x)\ge f(x_0 + 0)$ (точная нижняя грань значений справа от $x_0$ ). Противоречие. Случай нарушения непрерывности слева разбирается симметрично (с использованием $f(x_0 - 0) < f(x_0)$ и точки $y < x_0$ ). Значит, $f$ непрерывна на $I$ . $\blacksquare$

теорема

Связь непрерывности, инъективности и строгой монотонности

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $I$ . Тогда

f \text{ инъективна на } I\quad\Longleftrightarrow\quad f \text{ строго монотонна на } I.

Без условия непрерывности импликация « $\Rightarrow$ » неверна: функция, равная $x$ при $0\le x < 1$ и $3 - x$ при $1\le x\le 2$ , инъективна на $[0, 2]$ , но не монотонна.

Доказательство

Развернуть

Импликация « $\Leftarrow$ »: строго монотонная функция инъективна (теорема об обратимости строго монотонной функции).

Импликация « $\Rightarrow$ ». Если $I$ состоит из одной точки, доказывать нечего. Зафиксируем точки $a < b$ из $I$ . По инъективности $f(a)\ne f(b)$ ; пусть для определённости $f(a) < f(b)$ (иначе рассмотрим инъективную непрерывную функцию $-f$ ; её строгое возрастание означает строгое убывание $f$ ). Докажем, что $f$ строго возрастает, т. е. $f(x) < f(y)$ для любых $x < y$ из $I$ .

Для $t\in[0, 1]$ положим

u(t) = (1 - t)a + tx,\qquad v(t) = (1 - t)b + ty.

Точка $u(t)$ лежит между $a$ и $x$ , точка $v(t)$ — между $b$ и $y$ , поэтому $u(t), v(t)\in I$ . Кроме того,

v(t) - u(t) = (1 - t)(b - a) + t(y - x) > 0,

так что $u(t)\ne v(t)$ при всех $t\in[0, 1]$ .

Функция $h(t) = f(v(t)) - f(u(t))$ непрерывна на $[0, 1]$ : $u$ и $v$ — линейные функции, $f$ непрерывна на $I$ , поэтому по теореме о непрерывности сложной функции $f\circ u$ и $f\circ v$ непрерывны, а их разность непрерывна по теореме об арифметических операциях. По инъективности $f$ и неравенству $u(t)\ne v(t)$ имеем $h(t)\ne 0$ при всех $t\in[0, 1]$ .

Имеем $h(0) = f(b) - f(a) > 0$ . Если бы $h(1) < 0$ , то по теореме Больцано–Коши $h$ обращалась бы в нуль на $(0, 1)$ , что невозможно. Так как $h(1)\ne 0$ , то $h(1) > 0$ , т. е. $f(y) - f(x) > 0$ . Итак, $f$ строго возрастает на $I$ .

Пример из формулировки: значения на $[0, 1)$ заполняют $[0, 1)$ , на $[1, 2]$ — отрезок $[1, 2]$ , поэтому функция инъективна; но $f(0) = 0 < f(1) = 2 > f(2) = 1$ , т. е. она не монотонна (и разрывна в точке $1$ ). $\blacksquare$

теорема

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ строго возрастает (строго убывает) и непрерывна на промежутке $I$ . Тогда:

множество значений $J = f(I)$ — промежуток; в частности,

f([a, b]) = [f(a), f(b)]\quad(\text{для возрастающей}),\qquad f((a, b)) = \Bigl(\inf_{(a, b)} f,\ \sup_{(a, b)} f\Bigr),

где $a, b$ могут быть и бесконечными, а грани — бесконечными; 2. $f: I\to J$ — биекция, и существует обратная функция $f^{-1}: J\to I$ ; 3. $f^{-1}$ строго возрастает (строго убывает) на $J$ ; 4. $f^{-1}$ непрерывна на $J$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть для определённости $f$ строго возрастает. По теореме о промежуточных значениях $J = f(I)$ — промежуток. Если $I = [a, b]$ , то по монотонности $f(a)\le f(x)\le f(b)$ , и $f(a), f(b)\in J$ , поэтому $J = [f(a), f(b)]$ . Если $I = (a, b)$ , то для любой $x\in(a, b)$ найдутся $x', x''\in(a, b)$ с $x' < x < x''$ , и $f(x') < f(x) < f(x'')$ ; значит, $J$ не содержит своих точных граней, и промежуток $J$ есть интервал $(\inf f, \sup f)$ .

Строго монотонная функция инъективна, а на $J = f(I)$ отображение $f: I\to J$ сюръективно по определению $J$ . Значит, $f: I\to J$ — биекция, и по теореме о существовании обратного отображения существует $f^{-1}: J\to I$ , причём $f(f^{-1}(y)) = y$ , $f^{-1}(f(x)) = x$ .

По теореме об обратимости строго монотонной функции обратная к строго возрастающей функции строго возрастает: если $y_1 < y_2$ и $x_i = f^{-1}(y_i)$ , то $x_1\ge x_2$ дало бы $y_1 = f(x_1)\ge f(x_2) = y_2$ .

Наконец, $f^{-1}$ монотонна на промежутке $J$ , и множество её значений $f^{-1}(J) = I$ — промежуток. По критерию непрерывности монотонной функции $f^{-1}$ непрерывна на $J$ . Случай строго убывающей $f$ сводится к рассмотренному заменой $f$ на $-f$ (или повторяется дословно).

Замечание. Существование строго монотонной обратной функции на $f(X)$ (пункты 2–3) верно для любой строго монотонной функции на любом множестве $X$ ; непрерывность (пункт 4) существенно использует то, что $I$ — промежуток. $\blacksquare$

Локализация корня уравнения методом деления пополам

Условие

Доказать, что уравнение $x^3 + x - 1 = 0$ имеет на $\mathbb R$ ровно один корень, и методом деления пополам указать отрезок длины $\frac1{16}$ , содержащий этот корень.

Решение

Развернуть

Функция $f(x) = x^3 + x - 1$ — многочлен, она непрерывна на $\mathbb R$ по теореме об арифметических операциях над непрерывными функциями. Функции $x^3$ и $x$ строго возрастают на $\mathbb R$ , значит, строго возрастает и $f$ ; строго монотонная функция инъективна, поэтому корней не более одного.

Существование: $f(0) = -1 < 0$ , $f(1) = 1 > 0$ , по теореме Больцано–Коши корень $x^*\in(0, 1)$ .

Деление пополам:

f\Bigl(\frac12\Bigr) = \frac18 + \frac12 - 1 = -\frac38 < 0\ \Rightarrow\ x^*\in\Bigl(\frac12, 1\Bigr);

f\Bigl(\frac34\Bigr) = \frac{27}{64} + \frac{48}{64} - \frac{64}{64} = \frac{11}{64} > 0\ \Rightarrow\ x^*\in\Bigl(\frac12, \frac34\Bigr);

f\Bigl(\frac58\Bigr) = \frac{125}{512} + \frac{320}{512} - \frac{512}{512} = -\frac{67}{512} < 0\ \Rightarrow\ x^*\in\Bigl(\frac58, \frac34\Bigr);

f\Bigl(\frac{11}{16}\Bigr) = \frac{1331}{4096} + \frac{2816}{4096} - \frac{4096}{4096} = \frac{51}{4096} > 0\ \Rightarrow\ x^*\in\Bigl(\frac58, \frac{11}{16}\Bigr).

Ответ: корень единственный, $x^*\in\bigl[\frac58, \frac{11}{16}\bigr] = [0{,}625;\ 0{,}6875]$ ; середина $\frac{21}{32}\approx 0{,}656$ отличается от корня менее чем на $\frac1{32}$ (на самом деле $x^*\approx 0{,}6823$ ).

Отделение корней кубического уравнения

Условие

Доказать, что уравнение $x^3 - 3x + 1 = 0$ имеет ровно три действительных корня, и для каждого из них указать интервал вида $(k, k + 1)$ , $k\in\mathbb Z$ , который его содержит.

Решение

Развернуть

Функция $f(x) = x^3 - 3x + 1$ непрерывна на $\mathbb R$ (многочлен). Вычислим значения в целых точках:

f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1,\quad f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3,\quad f(0) = 1,\quad f(1) = 1 - 3 + 1 = -1,\quad f(2) = 8 - 6 + 1 = 3.

На каждом из отрезков $[-2, -1]$ , $[0, 1]$ , $[1, 2]$ функция меняет знак: $f(-2)f(-1) < 0$ , $f(0)f(1) < 0$ , $f(1)f(2) < 0$ . По теореме Больцано–Коши на каждом из интервалов $(-2, -1)$ , $(0, 1)$ , $(1, 2)$ есть корень; интервалы не пересекаются, так что корни различны.

Многочлен третьей степени имеет не более трёх корней (по теореме Безу каждый корень $x_i$ даёт множитель $x - x_i$ ). Значит, других корней нет.

Ответ: ровно три корня, они лежат в интервалах $(-2, -1)$ , $(0, 1)$ и $(1, 2)$ (приближённо $-1{,}879$ ; $0{,}347$ ; $1{,}532$ ).

Многочлен нечётной степени имеет действительный корень

Условие

Доказать, что всякий многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами

P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0,\qquad a_n\ne 0,\ n \text{ нечётно},

имеет хотя бы один действительный корень. Верно ли это для многочленов чётной степени?

Решение

Развернуть

Можно считать $a_n > 0$ (иначе рассмотрим $-P$ ). При $x\ne 0$

\frac{P(x)}{x^n} = a_n + \frac{a_{n-1}}x + \ldots + \frac{a_0}{x^n}\to a_n > 0\quad(x\to\infty)

по теореме об арифметических операциях над пределами, так как $\frac1x\to 0$ при $x\to\infty$ .

По теореме о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел, найдётся $R > 0$ такое, что $\frac{P(x)}{x^n} > 0$ при $|x| > R$ . Так как $n$ нечётно, $x^n$ имеет знак $x$ ; поэтому при $x_0 = R + 1$

P(x_0) = x_0^n\cdot\frac{P(x_0)}{x_0^n} > 0,\qquad P(-x_0) = (-x_0)^n\cdot\frac{P(-x_0)}{(-x_0)^n} < 0.

Многочлен непрерывен на отрезке $[-x_0, x_0]$ и принимает на его концах значения разных знаков. По теореме Больцано–Коши существует $c\in(-x_0, x_0)$ с $P(c) = 0$ .

Для чётной степени утверждение неверно: $P(x) = x^2 + 1 > 0$ не имеет действительных корней.

Ответ: многочлен нечётной степени всегда имеет действительный корень; для чётной степени — нет (пример $x^2 + 1$ ).

Существенность условий теорем Вейерштрасса

Условие

Для каждой функции выяснить, ограничена ли она на множестве $X$ , найти $\sup_X f$ и $\inf_X f$ и выяснить, достигаются ли они. Объяснить, почему результат не противоречит теоремам Вейерштрасса.

а) $f(x) = \frac1x$ , $X = (0, 1]$ ; б) $f(x) = x$ , $X = (0, 1)$ ; в) $f(x) = x$ при $0\le x < 1$ , $f(1) = 0$ ; $X = [0, 1]$ ; г) $f(x) = \frac1x$ при $0 < x\le 1$ , $f(0) = 0$ ; $X = [0, 1]$ ; д) $f(x) = \frac{x^2}{1 + x^2}$ , $X = \mathbb R$ ; е) функция Дирихле $D(x)$ ( $1$ в рациональных точках, $0$ в иррациональных), $X = [0, 1]$ .

Решение

Развернуть

а) $f\bigl(\frac1{n+1}\bigr) = n + 1 > n$ , поэтому $f$ не ограничена сверху: $\sup f = +\infty$ . При этом $f(x)\ge 1 = f(1)$ , так что $\inf f = \min f = 1$ достигается. Функция непрерывна, но $X$ — не отрезок.

б) $0 < x < 1$ ; для $\varepsilon\in(0, 1)$ точки $\frac\varepsilon2$ и $1 - \frac\varepsilon2$ дают $f < \varepsilon$ и $f > 1 - \varepsilon$ , поэтому по критерию точной грани $\inf f = 0$ , $\sup f = 1$ ; ни одна из граней не достигается. Функция ограничена (хотя из первой теоремы Вейерштрасса это не следует), но $X$ — не отрезок, и вторая теорема неприменима.

в) $0\le f(x) < 1$ , $\inf f = \min f = f(0) = f(1) = 0$ . Для $\varepsilon\in(0, 1)$ имеем $f(1 - \frac\varepsilon2) = 1 - \frac\varepsilon2 > 1 - \varepsilon$ , поэтому $\sup f = 1$ , но $f(x)\ne 1$ ни в одной точке. $X$ — отрезок, но $f$ разрывна в точке $1$ : $\lim\limits_{x\to 1-0} f(x) = 1\ne f(1)$ .

г) $f(\frac1{n+1}) = n + 1$ , $\sup f = +\infty$ ; $f\ge 0 = f(0)$ , $\inf f = \min f = 0$ . $X$ — отрезок, но $f$ разрывна в точке $0$ (предел справа бесконечен).

д) $f(x) = 1 - \frac1{1 + x^2}\in[0, 1)$ , $\inf f = \min f = f(0) = 0$ . Для $\varepsilon\in(0, 1)$ при $x^2 > \frac1\varepsilon - 1$ имеем $\frac1{1+x^2} < \varepsilon$ , т. е. $f(x) > 1 - \varepsilon$ ; значит, $\sup f = 1$ , и он не достигается. Функция непрерывна на $\mathbb R$ , но $\mathbb R$ — не отрезок.

е) $D$ разрывна в каждой точке, но $\max D = 1 = D(0)$ и $\min D = 0 = D\bigl(\frac{\sqrt2}2\bigr)$ . Это показывает, что условия теорем Вейерштрасса достаточные, но не необходимые.

Ответ: а) не ограничена сверху, $\min = 1$ ; б) $\sup = 1$ , $\inf = 0$ , не достигаются; в) $\sup = 1$ не достигается, $\min = 0$ ; г) не ограничена сверху, $\min = 0$ ; д) $\sup = 1$ не достигается, $\min = 0$ ; е) $\max = 1$ , $\min = 0$ . Противоречий нет: в а), б), д) область — не отрезок, в в), г) функция разрывна, в е) условия теорем нарушены, а заключение всё равно выполняется.

Неподвижная точка и горизонтальная хорда

Условие

а) Пусть функция $f$ непрерывна на $[a, b]$ и $f([a, b])\subset[a, b]$ . Доказать, что существует $c\in[a, b]$ , для которого $f(c) = c$ .

б) Пусть функция $f$ непрерывна на $[0, 1]$ и $f(0) = f(1)$ . Доказать, что существует $x_0\in\bigl[0, \frac12\bigr]$ , для которого

f\Bigl(x_0 + \frac12\Bigr) = f(x_0)

(график имеет горизонтальную хорду длины $\frac12$ ).

Решение

Развернуть

а) Рассмотрим $g(x) = f(x) - x$ ; она непрерывна на $[a, b]$ по теореме об арифметических операциях. Так как $a\le f(x)\le b$ , то $g(a) = f(a) - a\ge 0$ и $g(b) = f(b) - b\le 0$ . Если $g(a) = 0$ или $g(b) = 0$ , то $c = a$ или $c = b$ . Иначе $g(a) > 0 > g(b)$ , и по теореме Больцано–Коши существует $c\in(a, b)$ с $g(c) = 0$ , т. е. $f(c) = c$ .

б) Рассмотрим на $\bigl[0, \frac12\bigr]$ функцию

g(x) = f\Bigl(x + \frac12\Bigr) - f(x).

Функция $x\mapsto f(x + \frac12)$ непрерывна на $[0, \frac12]$ по теореме о непрерывности сложной функции (внутренняя функция $x + \frac12$ непрерывна и принимает значения в $[\frac12, 1]$ ), поэтому $g$ непрерывна.

Вычислим $g$ на концах:

g(0) = f\Bigl(\frac12\Bigr) - f(0),\qquad g\Bigl(\frac12\Bigr) = f(1) - f\Bigl(\frac12\Bigr) = f(0) - f\Bigl(\frac12\Bigr) = -g(0).

Если $g(0) = 0$ , то $x_0 = 0$ . Иначе $g(0)\, g(\frac12) = -g(0)^2 < 0$ , и по теореме Больцано–Коши найдётся $x_0\in(0, \frac12)$ с $g(x_0) = 0$ .

Ответ: утверждения доказаны; в б) $x_0 = 0$ , если $f(\frac12) = f(0)$ , иначе $x_0$ — нуль функции $g$ на $(0, \frac12)$ .

Существование и непрерывность арифметического корня

Условие

Пусть $n\in\mathbb N$ . Доказать, что для любого $y\ge 0$ существует единственное $x\ge 0$ с $x^n = y$ (оно обозначается $\sqrt[n]y$ ), и что функция $y\mapsto\sqrt[n]y$ строго возрастает и непрерывна на $[0, +\infty)$ . Доказать, что при нечётном $n$ функция $x^n$ имеет непрерывную обратную на всей прямой.

Решение

Развернуть

Функция $f(x) = x^n$ непрерывна на $I = [0, +\infty)$ как произведение $n$ непрерывных множителей $x$ . Она строго возрастает на $I$ : если $0\le x < x'$ , то, перемножая $n$ неравенств между неотрицательными числами, получаем $x^n < x'^n$ .

Найдём $J = f(I)$ . По теореме о промежуточных значениях $J$ — промежуток; $0 = f(0)\in J$ и $J\subset[0, +\infty)$ . При $x\ge 1$ имеем $x^n\ge x$ , поэтому $J$ не ограничено сверху: для любого $y > 0$ найдётся $y'\in J$ , $y' > y$ , и тогда $[0, y']\subset J$ . Значит, $J = [0, +\infty)$ .

По теореме о существовании и непрерывности обратной функции $f: [0, +\infty)\to[0, +\infty)$ — биекция, обратная функция $f^{-1}(y) = \sqrt[n]y$ определена на $[0, +\infty)$ , строго возрастает и непрерывна. Существование $x$ с $x^n = y$ — это сюръективность $f$ , единственность — инъективность (строго монотонная функция инъективна).

При нечётном $n$ функция $x^n$ нечётна и строго возрастает на всей прямой: при $x < x' \le 0$ имеем $0\le -x' < -x$ , откуда $(-x')^n < (-x)^n$ , т. е. $x^n < x'^n$ ; при $x < 0\le x'$ имеем $x^n < 0\le x'^n$ . Множество значений — промежуток, содержащий $[0, +\infty)$ и (по нечётности) $(-\infty, 0]$ , т. е. $\mathbb R$ . По той же теореме обратная функция $\sqrt[n]y$ строго возрастает и непрерывна на $\mathbb R$ .

Ответ: $\sqrt[n]y$ существует, единственен, строго возрастает и непрерывен на $[0, +\infty)$ ; при нечётном $n$ — на всей прямой $\mathbb R$ .

Существенность условия «I — промежуток» в теореме об обратной функции

Условие

а) Пусть $X = [0, 1)\cup[2, 3]$ и $f(x) = x$ при $x\in[0, 1)$ , $f(x) = x - 1$ при $x\in[2, 3]$ . Доказать, что $f$ непрерывна и строго возрастает на $X$ , $f(X) = [0, 2]$ , но обратная функция разрывна. Почему это не противоречит теореме о непрерывности обратной функции?

б) Пусть $f(x) = x$ при $x\in[0, 1]$ и $f(x) = x + 1$ при $x\in(1, 2]$ . Доказать, что $f$ строго возрастает и разрывна на $[0, 2]$ , а обратная функция непрерывна на своей области определения.

Решение

Развернуть

а) Расстояние между частями $[0, 1)$ и $[2, 3]$ не меньше $1$ , поэтому для $x_0\in X$ и $\delta\le 1$ все точки $X$ из $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ лежат в той же части, что и $x_0$ , где $f$ совпадает с непрерывной функцией $x$ или $x - 1$ . Значит, $f$ непрерывна в каждой точке $X$ . Строгое возрастание: внутри каждой части оно очевидно, а при $x\in[0, 1)$ , $x'\in[2, 3]$ имеем $f(x) = x < 1\le x' - 1 = f(x')$ .

Множество значений $f(X) = [0, 1)\cup[1, 2] = [0, 2]$ . Обратная функция $g = f^{-1}$ существует (строго монотонная функция инъективна) и равна

g(y) = \begin{cases} y, & 0\le y < 1,\\ y + 1, & 1\le y\le 2.\end{cases}

В точке $y = 1$ : $g(1 - 0) = 1\ne g(1) = 2$ — скачок. Противоречия нет: в теореме об обратной функции требуется, чтобы $f$ была задана на промежутке, а $X$ — не промежуток. Это согласуется и с критерием непрерывности монотонной функции: $g$ монотонна на промежутке $[0, 2]$ , а её множество значений $X$ — не промежуток, поэтому $g$ обязана иметь разрыв.

б) Строгое возрастание проверяется так же: при $x\le 1 < x'$ имеем $f(x)\le 1 < 2 < x' + 1$ . В точке $1$ : $f(1) = 1$ , $f(1 + 0) = 2$ , так что $f$ разрывна; по критерию непрерывности монотонной функции это видно и из того, что $f([0, 2]) = [0, 1]\cup(2, 3]$ — не промежуток. Обратная функция определена на $Y = [0, 1]\cup(2, 3]$ :

g(y) = \begin{cases} y, & 0\le y\le 1,\\ y - 1, & 2 < y\le 3,\end{cases}

и так как части $Y$ находятся на расстоянии $1$ друг от друга, $g$ в окрестности каждой точки $Y$ совпадает с непрерывной функцией $y$ или $y - 1$ , т. е. непрерывна на $Y$ .

Ответ: а) $f^{-1}$ разрывна в точке $1$ , потому что область определения $f$ — не промежуток; б) $f$ разрывна в точке $1$ , но $f^{-1}$ непрерывна на $[0, 1]\cup(2, 3]$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве

Пусть функция $f$ определена на множестве $X\subset\mathbb R$ , $E\subset X$ , $E\ne\varnothing$ , и $f(E) = \{f(x):\ x\in E\}$ — множество её значений на $E$ . Точной верхней гранью функции $f$ на $E$ называется точная верхняя грань множества её значений:

\sup_{x\in E} f(x) = \sup f(E),\qquad \inf_{x\in E} f(x) = \inf f(E)

(точная нижняя грань функции). Если $f$ не ограничена сверху (снизу) на $E$ , то по соглашению $\sup_E f = +\infty$ ( $\inf_E f = -\infty$ ).

Число $M$ называется наибольшим значением (максимумом) функции $f$ на $E$ , если

\exists x_0\in E:\ f(x_0) = M\qquad\text{и}\qquad \forall x\in E\ \ f(x)\le M;

пишут $M = \max\limits_{x\in E} f(x)$ . Аналогично определяется наименьшее значение $m = \min\limits_{x\in E} f(x)$ : $f(x_1) = m$ для некоторого $x_1\in E$ и $f(x)\ge m$ при всех $x\in E$ .

Говорят, что функция достигает на $E$ своей точной верхней (нижней) грани, если $\sup_E f\in f(E)$ (соответственно $\inf_E f\in f(E)$ ); в этом случае точная грань совпадает с наибольшим (наименьшим) значением.

По критерию точной верхней грани $M = \sup_E f$ (конечное) тогда и только тогда, когда

\forall x\in E\ \ f(x)\le M\qquad\text{и}\qquad \forall\varepsilon>0\ \exists x\in E:\ f(x) > M - \varepsilon.

Пример: для $f(x) = x^2$ на $E = (-1, 1)$ имеем $\inf_E f = \min_E f = f(0) = 0$ , а $\sup_E f = 1$ не достигается: наибольшего значения на $E$ нет.

Непрерывность функции в точке

Пусть функция $f$ определена на множестве $X\subset\mathbb R$ и $a\in X$ . Функция $f$ называется непрерывной в точке $a$ , если

\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X:\ |x - a| < \delta\ \Rightarrow\ |f(x) - f(a)| < \varepsilon.

На языке окрестностей: для любой окрестности $V(f(a))$ существует окрестность $U(a)$ , такая что $f\big(U(a)\cap X\big)\subset V(f(a))$ .

Если $a$ — предельная точка $X$ (в частности, если $f$ определена в некоторой окрестности точки $a$ ), то непрерывность в $a$ равносильна равенству

\lim_{x\to a}f(x) = f(a),

т. е. предел существует, конечен и равен значению функции в точке («знаки предела и функции перестановочны»: $\lim f(x) = f(\lim x)$ ).

Определение по Гейне: $f$ непрерывна в $a$ , если для любой последовательности $x_n\in X$ , $x_n\to a$ , выполнено $f(x_n)\to f(a)$ .

Приращением аргумента в точке $a$ называется $\Delta x = x - a$ , приращением функции — $\Delta y = \Delta f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)$ . Непрерывность в точке $a$ (предельной для $X$ ) равносильна условию

\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y = 0:

бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

В изолированной точке множества $X$ любая функция непрерывна (по первому определению).

Односторонняя непрерывность. Непрерывность на множестве

Пусть $f$ определена на $X$ , $a\in X$ . Функция $f$ называется непрерывной слева в точке $a$ , если

\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X:\ a - \delta < x\le a\ \Rightarrow\ |f(x) - f(a)| < \varepsilon,

и непрерывной справа, если то же выполнено для $a\le x < a + \delta$ . Если $a$ — предельная точка множества $X\cap(-\infty, a)$ , то непрерывность слева означает $f(a - 0) = f(a)$ ; аналогично непрерывность справа — $f(a + 0) = f(a)$ .

Функция называется непрерывной на множестве $E\subset X$ , если она непрерывна в каждой точке $E$ . В частности:

$f$ непрерывна на интервале $(a, b)$ , если она непрерывна в каждой точке $x_0\in(a, b)$ ;
$f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , если она непрерывна в каждой точке интервала $(a, b)$ , непрерывна справа в точке $a$ и непрерывна слева в точке $b$ (это равносильно непрерывности сужения $f|_{[a, b]}$ в каждой точке отрезка).

Аналогично определяется непрерывность на полуинтервалах. Множество функций, непрерывных на $[a, b]$ , обозначается $C[a, b]$ .

Промежутки. Окрестности конечной точки и бесконечности

Пусть $a, b\in\mathbb R$ , $a < b$ . Промежутками называются множества:

отрезок $[a, b] = \{x:\ a\le x\le b\}$ (допускается и $a = b$ );
интервал $(a, b) = \{x:\ a < x < b\}$ ;
полуинтервалы $[a, b) = \{x:\ a\le x < b\}$ и $(a, b] = \{x:\ a < x\le b\}$ ;
бесконечные промежутки $(a, +\infty) = \{x:\ x > a\}$ , $[a, +\infty)$ , $(-\infty, b)$ , $(-\infty, b]$ , $(-\infty, +\infty) = \mathbb R$ .

Число $b - a$ — длина конечного промежутка.

Расширенная числовая прямая $\overline{\mathbb R} = \mathbb R\cup\{-\infty, +\infty\}$ , где по определению $-\infty < x < +\infty$ для всех $x\in\mathbb R$ .

$\varepsilon$ -окрестностью точки $a\in\mathbb R$ ( $\varepsilon > 0$ ) называется интервал

U_\varepsilon(a) = (a - \varepsilon, a + \varepsilon) = \{x:\ |x - a| < \varepsilon\},

проколотой $\varepsilon$ -окрестностью — множество $\mathring U_\varepsilon(a) = U_\varepsilon(a)\setminus\{a\} = \{x:\ 0 < |x - a| < \varepsilon\}$ . Правая и левая полуокрестности: $U^+_\varepsilon(a) = [a, a + \varepsilon)$ , $U^-_\varepsilon(a) = (a - \varepsilon, a]$ .

Окрестности бесконечно удалённых точек ( $\varepsilon > 0$ ):

U_\varepsilon(+\infty) = \Bigl(\frac1\varepsilon, +\infty\Bigr),\qquad U_\varepsilon(-\infty) = \Bigl(-\infty, -\frac1\varepsilon\Bigr),\qquad U_\varepsilon(\infty) = \Bigl\{x:\ |x| > \frac1\varepsilon\Bigr\}.

Эквивалентно, окрестность $+\infty$ — любой луч $(M, +\infty)$ , окрестность $\infty$ (бесконечности без знака) — множество $\{x:\ |x| > M\}$ . Проколотые окрестности бесконечностей совпадают с самими окрестностями.

Точные верхняя и нижняя грани множества

Точной верхней гранью (супремумом) множества $E\subset\mathbb R$ называется наименьшая из его верхних границ, т. е. число $M = \sup E$ , такое что

$M$ — верхняя граница $E$ : $\forall x\in E\ \ x\le M$ ;
любая верхняя граница $M'$ множества $E$ удовлетворяет $M'\ge M$ , т. е.

\forall M' < M\ \ \exists x\in E:\ \ x > M'.

Точной нижней гранью (инфимумом) $\inf E$ называется наибольшая из нижних границ $E$ .

Точная грань единственна: если $M_1$ , $M_2$ — две наименьшие верхние границы, то $M_1\le M_2$ и $M_2\le M_1$ . Если у $E$ есть максимум, то $\sup E = \max E$ ; но $\sup E$ может не принадлежать $E$ : $\sup[0, 1) = 1$ .

Соглашение: если $E$ не ограничено сверху, полагают $\sup E = +\infty$ ; если не ограничено снизу — $\inf E = -\infty$ .

Ограниченные, монотонные, чётные и периодические функции

Пусть $f\colon X\to\mathbb R$ , $X\subset\mathbb R$ .

Ограниченность. Функция $f$ ограничена сверху на $X$ , если $\exists M\ \forall x\in X\ \ f(x)\le M$ ; ограничена снизу, если $\exists m\ \forall x\in X\ \ f(x)\ge m$ ; ограничена, если

\exists C > 0\ \ \forall x\in X\quad|f(x)|\le C.

Иначе говоря, $f$ ограничена (сверху, снизу) на $X$ , если таково множество $f(X)$ . Обозначают $\sup_Xf = \sup f(X)$ , $\inf_Xf = \inf f(X)$ .

Монотонность. Функция $f$ называется неубывающей на $X$ , если

\forall x_1, x_2\in X\ \ \bigl(x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)\bigr),

и (строго) возрастающей, если $x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ . Аналогично определяются невозрастающие ( $f(x_1)\ge f(x_2)$ ) и (строго) убывающие ( $f(x_1) > f(x_2)$ ) функции. Все они называются монотонными, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. (В литературе встречается и другая терминология: «возрастающая» в смысле «неубывающая».)

Чётность. Множество $X$ симметрично относительно нуля, если $x\in X\Rightarrow -x\in X$ . Функция $f$ , заданная на симметричном $X$ , называется чётной, если $f(-x) = f(x)$ , и нечётной, если $f(-x) = -f(x)$ при всех $x\in X$ .

Периодичность. Число $T\ne 0$ называется периодом функции $f$ , если для любого $x\in X$

x\pm T\in X\quad\text{и}\quad f(x + T) = f(x).

Функция, имеющая период, называется периодической. Наименьший положительный период (если он существует) называется основным периодом.

Подпоследовательность. Частичный предел. Верхний и нижний пределы

Пусть дана последовательность $\{x_n\}$ и строго возрастающая последовательность натуральных чисел $n_1 < n_2 < \ldots < n_k < \ldots$ Последовательность

x_{n_1}, x_{n_2}, \ldots, x_{n_k}, \ldots

называется подпоследовательностью последовательности $\{x_n\}$ и обозначается $\{x_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ . Индукцией по $k$ проверяется, что $n_k\ge k$ .

Точка $a$ (конечная или $\pm\infty$ ) называется частичным пределом (предельной точкой) последовательности $\{x_n\}$ , если существует подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ такая, что

\lim_{k\to\infty}x_{n_k} = a.

Верхним пределом $\varlimsup\limits_{n\to\infty}x_n$ последовательности называется её наибольший частичный предел, нижним пределом $\varliminf\limits_{n\to\infty}x_n$ — наименьший (в смысле порядка расширенной прямой $-\infty < x < +\infty$ ). Для ограниченной последовательности они существуют и конечны.

Частичный предел последовательности и предельная точка множества её значений — разные понятия: у постоянной последовательности $x_n = 1$ частичный предел $1$ , а множество значений $\{1\}$ предельных точек не имеет. Пример: у $x_n = (-1)^n$ частичные пределы $1$ и $-1$ , $\varlimsup x_n = 1$ , $\varliminf x_n = -1$ .

Отображение и функция. График

Пусть $X$ , $Y$ — множества. Отображением $f\colon X\to Y$ называется правило (закон), по которому каждому элементу $x\in X$ ставится в соответствие единственный элемент $f(x)\in Y$ . Элемент $f(x)$ называется образом $x$ (значением $f$ в точке $x$ ), а $x$ — прообразом элемента $f(x)$ .

Множество $X = D(f)$ называется областью определения отображения, множество

E(f) = f(X) = \{f(x):\ x\in X\}\subset Y

— множеством значений. Для $A\subset X$ и $B\subset Y$ определены образ множества $A$ и полный прообраз множества $B$ :

f(A) = \{f(x):\ x\in A\},\qquad f^{-1}(B) = \{x\in X:\ f(x)\in B\}.

(Обозначение $f^{-1}(B)$ имеет смысл для любого отображения, а не только обратимого.)

Графиком отображения называется множество

\Gamma_f = \{(x, f(x)):\ x\in X\}\subset X\times Y.

Если $X\subset\mathbb R$ и $Y = \mathbb R$ , отображение называется числовой функцией (функцией действительного переменного); её график — подмножество плоскости $\mathbb R^2$ . Отображения $f\colon X\to Y$ и $g\colon X\to Y$ равны, если $f(x) = g(x)$ при всех $x\in X$ . Сужением $f$ на $A\subset X$ называется отображение $f|_A\colon A\to Y$ , $f|_A(x) = f(x)$ . Тождественное отображение $\mathrm{id}_X\colon X\to X$ , $\mathrm{id}_X(x) = x$ .

Односторонние пределы

Пусть $f$ определена на $X$ , $a\in\mathbb R$ .

Если $a$ — предельная точка множества $X\cap(-\infty, a)$ , то число $A$ называется пределом слева (левым односторонним пределом) функции $f$ в точке $a$ , если

\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X:\quad a - \delta < x < a\ \Rightarrow\ |f(x) - A| < \varepsilon .

Обозначения: $f(a - 0) = \lim\limits_{x\to a - 0}f(x) = A$ .

Если $a$ — предельная точка множества $X\cap(a, +\infty)$ , то число $A$ называется пределом справа функции $f$ в точке $a$ , если

\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X:\quad a < x < a + \delta\ \Rightarrow\ |f(x) - A| < \varepsilon ,

обозначения: $f(a + 0) = \lim\limits_{x\to a + 0}f(x) = A$ . При $a = 0$ пишут $f(-0)$ , $f(+0)$ .

Иначе говоря, односторонний предел — это предел сужения $f$ на множество $X\cap(-\infty, a)$ (соответственно $X\cap(a, +\infty)$ ). Аналогично определяются бесконечные односторонние пределы: например, $f(a + 0) = -\infty$ , если $\forall M\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X\cap(a, a + \delta)$ : $f(x) < M$ .

Пример: для $f(x) = \operatorname{sgn}x$ имеем $f(-0) = -1$ , $f(+0) = 1$ .

Точки разрыва и их классификация

Пусть функция $f$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $a$ (в самой точке $a$ она может быть как определена, так и не определена). Точка $a$ называется точкой разрыва функции $f$ , если $f$ не является непрерывной в точке $a$ (в частности, если $f$ не определена в $a$ ).

Точка $a$ — точка устранимого разрыва, если существует конечный предел $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ , но $f$ либо не определена в $a$ , либо $f(a)\ne A$ . Положив $f(a) = A$ , получаем функцию, непрерывную в $a$ .
Точка $a$ — точка разрыва первого рода (скачок), если односторонние пределы $f(a - 0)$ и $f(a + 0)$ существуют, конечны, но различны. Число

f(a + 0) - f(a - 0)

называется скачком функции в точке $a$ .

Точка $a$ — точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов $f(a - 0)$ , $f(a + 0)$ не существует или бесконечен.

Замечание. Во многих учебниках (например, у Фихтенгольца) разрывом первого рода называют любой разрыв, в котором оба односторонних предела конечны; тогда устранимый разрыв — частный случай разрыва первого рода (скачок, равный нулю). Если $f$ определена лишь по одну сторону от $a$ (например, $a$ — конец промежутка), классификация проводится по соответствующему одностороннему пределу.

Мощность множества. Счётные множества

Множества $A$ и $B$ называются равномощными ( $A\sim B$ ), если существует биекция $A\to B$ . Говорят, что равномощные множества имеют одинаковую мощность (обозначается $\operatorname{card}A$ или $|A|$ ).

Множество $A$ называется конечным, если $A = \varnothing$ или $A\sim\{1, 2,\dots, n\}$ при некотором $n\in\mathbb N$ (тогда $n$ — число элементов $A$ ); в противном случае $A$ бесконечно.

Множество называется счётным, если оно равномощно $\mathbb N$ , т. е. его элементы можно занумеровать натуральными числами без повторений:

A = \{a_1, a_2,\dots, a_n,\dots\},\qquad a_i\ne a_j\ \text{при}\ i\ne j.

Множество называется не более чем счётным, если оно конечно или счётно, и несчётным, если оно бесконечно и не является счётным. Мощность счётного множества обозначают $\aleph_0$ , мощность множества $\mathbb R$ называют мощностью континуума.

Замечание. Отношение равномощности рефлексивно, симметрично и транзитивно (это следует из свойств обратного отображения и композиции биекций).

Сюръекция, инъекция, биекция

Отображение $f\colon X\to Y$ называется:

сюръекцией (отображением «на»), если $f(X) = Y$ :

\forall y\in Y\ \ \exists x\in X:\ f(x) = y;

инъекцией, если различные элементы имеют различные образы:

\forall x_1, x_2\in X\ \ \bigl(f(x_1) = f(x_2)\Rightarrow x_1 = x_2\bigr);

биекцией (взаимно однозначным соответствием), если оно одновременно сюръективно и инъективно, т. е.

\forall y\in Y\ \ \exists!\,x\in X:\ f(x) = y.

Примеры. $f(x) = x^2$ как отображение $\mathbb R\to\mathbb R$ не сюръективно и не инъективно, как отображение $\mathbb R\to[0, +\infty)$ сюръективно, но не инъективно, а как отображение $[0, +\infty)\to[0, +\infty)$ биективно. Любое отображение $f\colon X\to Y$ является сюръекцией $X\to f(X)$ .

Обратное отображение. Композиция

Пусть $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ . Композицией (суперпозицией, сложной функцией) отображений $f$ и $g$ называется отображение $g\circ f\colon X\to Z$ ,

(g\circ f)(x) = g(f(x)).

(Композиция определена и тогда, когда $f(X)$ содержится в области определения $g$ .)

Отображение $g\colon Y\to X$ называется обратным к отображению $f\colon X\to Y$ , если

g\circ f = \mathrm{id}_X,\qquad f\circ g = \mathrm{id}_Y,

т. е. $g(f(x)) = x$ при всех $x\in X$ и $f(g(y)) = y$ при всех $y\in Y$ . Обратное отображение обозначается $f^{-1}$ , а $f$ называется обратимым. Для биекции $f$ обратное отображение задаётся правилом: $f^{-1}(y)$ — тот единственный $x\in X$ , для которого $f(x) = y$ .

Для числовой функции $y = f(x)$ точка $(x, y)$ лежит на графике $f$ тогда и только тогда, когда $(y, x)$ лежит на графике $f^{-1}$ ; поэтому графики $f$ и $f^{-1}$ (в одной системе координат) симметричны относительно прямой $y = x$ .

Принцип вложенных отрезков (Коши–Кантора)

Формулировка

Пусть $[a_n, b_n]$ , $n\in\mathbb N$ , — последовательность вложенных отрезков:

[a_1, b_1]\supset[a_2, b_2]\supset\ldots\supset[a_n, b_n]\supset[a_{n+1}, b_{n+1}]\supset\ldots

Тогда:

существует точка, принадлежащая всем отрезкам: $\bigcap_{n=1}^\infty[a_n, b_n]\ne\varnothing$ ;
если, кроме того, для любого $\varepsilon > 0$ найдётся отрезок $[a_n, b_n]$ длины $b_n - a_n < \varepsilon$ , то общая точка единственна.

Доказательство

Развернуть

Из вложенности $[a_{n+1}, b_{n+1}]\subset[a_n, b_n]$ следует $a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n$ . Индукцией по $k$ отсюда получаем $a_n\le a_k$ и $b_k\le b_n$ при $n\le k$ .

Покажем, что $a_n\le b_m$ при любых $n, m\in\mathbb N$ . Пусть $k = \max(n, m)$ ; тогда

a_n\le a_k\le b_k\le b_m.

Множества $A = \{a_n:\ n\in\mathbb N\}$ и $B = \{b_m:\ m\in\mathbb N\}$ непусты, и каждый элемент $A$ не больше каждого элемента $B$ . По аксиоме полноты существует $c$ с $a_n\le c\le b_m$ при всех $n, m$ . В частности, $a_n\le c\le b_n$ , т. е. $c\in[a_n, b_n]$ при всех $n$ . Пункт 1 доказан.

Пункт 2. Допустим противное: две различные общие точки $c < c'$ . Так как $c, c'\in[a_n, b_n]$ , то $a_n\le c < c'\le b_n$ и $b_n - a_n\ge c' - c$ при всех $n$ . Взяв $\varepsilon = c' - c > 0$ , получаем противоречие с условием существования отрезка длины меньше $\varepsilon$ . $\blacksquare$

Следствия из принципа Архимеда

Формулировка

Для любого $\varepsilon > 0$ существует $n\in\mathbb N$ , такое что $\frac1n < \varepsilon$ ; тогда и $\frac1m < \varepsilon$ при всех $m\ge n$ .
(Целая часть.) Для любого $x\in\mathbb R$ существует единственное целое $k$ , такое что

k\le x < k + 1;

оно называется целой частью числа $x$ и обозначается $[x]$ . 3. (Плотность $\mathbb Q$ в $\mathbb R$ .) Для любых $a < b$ существует $r\in\mathbb Q$ с $a < r < b$ . Следовательно, в любом интервале бесконечно много рациональных чисел.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. По принципу Архимеда (с $a = 1$ , $b = \varepsilon$ ) найдётся $n$ с $n\varepsilon > 1$ , т. е. $\frac1n < \varepsilon$ . При $m\ge n$ имеем $\frac1m\le\frac1n < \varepsilon$ .

Пункт 2, существование. Рассмотрим $E = \{k\in\mathbb Z:\ k\le x\}$ . По принципу Архимеда найдётся $n\in\mathbb N$ с $n > -x$ ; тогда $-n\in\mathbb Z$ и $-n < x$ , так что $E\ne\varnothing$ . Множество $E$ ограничено сверху числом $x$ , поэтому существует $s = \sup E$ .

По критерию точной верхней грани (с $\varepsilon = 1$ ) найдётся $k\in E$ с $k > s - 1$ . Тогда $k + 1 > s$ , и так как $k + 1\in\mathbb Z$ , а все элементы $E$ не превосходят $s$ , то $k + 1\notin E$ , т. е. $k + 1 > x$ . Вместе с $k\le x$ (так как $k\in E$ ) получаем $k\le x < k + 1$ .

Единственность. Если $k\le x < k + 1$ и $k'\le x < k' + 1$ , то $k' < k + 1$ и $k < k' + 1$ , т. е. $-1 < k - k' < 1$ . Единственное целое число с модулем меньше $1$ — нуль, поэтому $k = k'$ .

Пункт 3. По пункту 1 выберем $n\in\mathbb N$ с $\frac1n < b - a$ , т. е. $nb - na > 1$ . Положим $m = [na] + 1\in\mathbb Z$ . По определению целой части $m - 1\le na < m$ , поэтому

a < \frac mn,\qquad m\le na + 1 < nb,\ \text{ т. е. }\ \frac mn < b.

Число $r = \frac mn$ рационально и лежит в $(a, b)$ .

Бесконечность. Если бы в $(a, b)$ было лишь конечное число рациональных чисел (по доказанному — хотя бы одно), то среди них нашлось бы наименьшее $r_1$ ; но в интервале $(a, r_1)$ по доказанному есть рациональное число, меньшее $r_1$ , — противоречие. $\blacksquare$

Предельный переход в неравенствах

Формулировка

Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a$ , $\lim\limits_{n\to\infty}y_n = b$ , $a, b\in\mathbb R$ .

(Сохранение знака.) Если $a > c$ , то существует $N$ такое, что $x_n > c$ при всех $n > N$ ; если $a < c$ , то $x_n < c$ при $n > N$ . В частности, если $a\ne 0$ , то начиная с некоторого номера $x_n$ имеет знак $a$ .
Если $a < b$ , то существует $N$ такое, что $x_n < y_n$ при всех $n > N$ .
Если существует $N_0$ такое, что

x_n\le y_n\quad\text{при всех } n > N_0,

то $a\le b$ . В частности, если $x_n\le c$ (или $x_n\ge c$ ) начиная с некоторого номера, то $a\le c$ (соответственно $a\ge c$ ).

Строгое неравенство при предельном переходе, вообще говоря, не сохраняется: $\frac1n > 0$ , но $\lim\frac1n = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $a > c$ . Возьмём $\varepsilon = a - c > 0$ ; найдётся $N$ такое, что $|x_n - a| < \varepsilon$ при $n > N$ . Тогда $x_n > a - \varepsilon = c$ при $n > N$ . Случай $a < c$ аналогичен: при $\varepsilon = c - a$ имеем $x_n < a + \varepsilon = c$ .
Пусть $a < b$ и $c = \frac{a + b}2$ , так что $a < c < b$ . По п. 1 существуют $N_1$ и $N_2$ такие, что $x_n < c$ при $n > N_1$ и $y_n > c$ при $n > N_2$ . При $n > \max(N_1, N_2)$ получаем $x_n < c < y_n$ .
Предположим, что $a > b$ . Тогда по п. 2 (с переменой ролей последовательностей) $y_n < x_n$ при всех $n$ , больших некоторого $N$ . Для $n > \max(N, N_0)$ это противоречит условию $x_n\le y_n$ . Значит, $a\le b$ . Частный случай получается, если взять постоянную последовательность $y_n = c$ (или $x_n = c$ ). $\blacksquare$

Эквивалентность определений непрерывности

Формулировка

Пусть $f: X\to\mathbb R$ , $a\in X$ . Следующие условия равносильны:

( $\varepsilon$ – $\delta$ ) $\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in X:\ |x - a| < \delta\Rightarrow|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ ;
(по Гейне) для любой последовательности $x_n\in X$ , $x_n\to a$ , выполнено $f(x_n)\to f(a)$ .

Если, кроме того, $a$ — предельная точка $X$ , то условия 1, 2 равносильны также каждому из условий:

(через предел) $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$ ;
(через приращения) $\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y = 0$ , где $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ , $a + \Delta x\in X$ .

Если $a$ — изолированная точка $X$ , то условия 1 и 2 выполнены для любой функции $f$ .

Доказательство

Развернуть

(1 $\Rightarrow$ 2). Пусть $x_n\in X$ , $x_n\to a$ , и задано $\varepsilon > 0$ . Возьмём $\delta$ из условия 1. По определению предела последовательности найдётся $N$ , такое что $|x_n - a| < \delta$ при $n > N$ ; тогда $|f(x_n) - f(a)| < \varepsilon$ при $n > N$ . Значит, $f(x_n)\to f(a)$ .
(2 $\Rightarrow$ 1). Пусть условие 1 нарушено: существует $\varepsilon_0 > 0$ , такое что для любого $\delta > 0$ найдётся $x\in X$ с $|x - a| < \delta$ , но $|f(x) - f(a)|\ge\varepsilon_0$ . Беря $\delta = \frac1n$ , получаем $x_n\in X$ , $|x_n - a| < \frac1n$ , $|f(x_n) - f(a)|\ge\varepsilon_0$ . Тогда $x_n\to a$ , но $f(x_n)\not\to f(a)$ — противоречие с условием 2.
Изолированная точка. Если $a$ изолирована, то найдётся $\delta_0 > 0$ с $X\cap(a - \delta_0, a + \delta_0) = \{a\}$ ; при $\delta = \delta_0$ единственная точка $x\in X$ с $|x - a| < \delta$ — это $a$ , и $|f(a) - f(a)| = 0 < \varepsilon$ . Условие 1 выполнено, а значит, и условие 2.
(1 $\Rightarrow$ 3). Пусть $a$ — предельная точка $X$ . Из условия 1 тем более следует: $\forall\varepsilon\ \exists\delta\ \forall x\in X:\ 0 < |x - a| < \delta\Rightarrow|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ , а это и есть определение $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$ по Коши.
(3 $\Rightarrow$ 1). Обратно, если выполнено определение предела по Коши с $A = f(a)$ , то неравенство $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ верно при $0 < |x - a| < \delta$ , а при $x = a$ оно верно тривиально: $|f(a) - f(a)| = 0 < \varepsilon$ . Получаем условие 1. (Связь с условием 2 видна и через определение Гейне: условие 2 содержит, в частности, все последовательности $x_n\ne a$ , т. е. влечёт равенство $\lim f = f(a)$ в смысле Гейне, равносильное определению по Коши по теореме об эквивалентности определений предела.)
(3 $\Leftrightarrow$ 4). Функция $g(\Delta x) = f(a + \Delta x) - f(a)$ определена на множестве $X - a = \{x - a: x\in X\}$ , для которого $0$ — предельная точка. Условие $\lim\limits_{\Delta x\to 0}g(\Delta x) = 0$ по определению Коши означает:

\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0:\ 0 < |\Delta x| < \delta,\ a + \Delta x\in X\ \Rightarrow\ |f(a + \Delta x) - f(a)| < \varepsilon.

После подстановки $x = a + \Delta x$ это дословно определение $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$ . $\blacksquare$

Общая схема исследования функции и построения графика

Формулировка

Пусть функция $f$ (как правило, элементарная) такова, что $f$ , $f'$ и $f''$ непрерывны на своих областях определения, а точек, где $f'$ или $f''$ обращаются в нуль или не существуют, конечное число на каждом отрезке, содержащемся в $D(f)$ . (Даже для элементарной функции второе условие может нарушаться: например, $|x| + |x - 1| = 1$ на $[0, 1]$ , и все точки $(0, 1)$ стационарны.) Следующая последовательность шагов позволяет описать все промежутки монотонности и выпуклости, экстремумы, перегибы и асимптоты графика:

Найти область определения $D(f)$ , точки разрыва и односторонние пределы на границе $D(f)$ .
Выяснить чётность, нечётность, периодичность (график симметричен относительно оси $Oy$ , начала координат или повторяется со сдвигом; исследование можно вести на части области).
Найти точки пересечения с осями и промежутки знакопостоянства $f$ : на каждом промежутке $D(f)$ между соседними нулями знак $f$ постоянен.
Найти асимптоты: вертикальные — только в точках разрыва и в конечных граничных точках $D(f)$ ; наклонные при $x\to\pm\infty$ — по формулам $k = \lim\frac{f(x)}x$ , $b = \lim(f(x) - kx)$ .
Найти $f'$ , критические точки и промежутки знакопостоянства $f'$ ; на них $f$ строго монотонна; экстремумы — в критических точках, где $f'$ меняет знак (или по знаку $f''$ в стационарной точке).
Найти $f''$ , точки, где $f''$ равна нулю или не существует, промежутки знакопостоянства $f''$ ; на них $f$ строго выпукла вниз ( $f'' > 0$ ) или вверх ( $f'' < 0$ ); точки перегиба — те из найденных точек, где $f''$ меняет знак и существует касательная.
Свести результаты в таблицу, найти множество значений и построить эскиз графика по найденным точкам, промежуткам и асимптотам.

Доказательство

Развернуть

Пункты 1–2 (область определения, симметрия) состоят в вычислении и не требуют обоснования; отметим лишь, что для чётной (нечётной) функции график симметричен относительно оси $Oy$ (начала координат), поскольку вместе с точкой $(x, f(x))$ ему принадлежит точка $(-x, f(x))$ (соответственно $(-x, -f(x))$ ).

Пункт 3 (знакопостоянство). Пусть $I\subset D(f)$ — промежуток, на котором $f$ непрерывна и не обращается в нуль. Если бы $f(x_1)f(x_2) < 0$ для $x_1, x_2\in I$ , то по теореме Больцано–Коши $f$ обратилась бы в нуль между ними. Значит, знак $f$ на $I$ постоянен, и его достаточно определить в одной точке.

Пункт 4 (асимптоты). Если $f$ непрерывна в точке $a$ , то $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$ конечен, и прямая $x = a$ не является вертикальной асимптотой; поэтому вертикальные асимптоты могут быть лишь в точках разрыва и в конечных граничных точках $D(f)$ . Элементарные функции непрерывны в своей области определения, так что кандидатов немного. Наклонные асимптоты находятся по теореме о наклонной асимптоте, которая даёт и необходимое, и достаточное условие.

Пункт 5 (монотонность и экстремумы). Между соседними критическими точками (и точками разрыва) производная $f'$ непрерывна и не обращается в нуль, поэтому, как в пункте 3, по теореме Больцано–Коши сохраняет знак. По достаточному условию строгой монотонности $f$ строго монотонна на каждом таком промежутке (включая его концы, где $f$ непрерывна). По необходимому условию экстремума экстремумы могут быть только в критических точках; по достаточному условию по первой производной экстремум есть там, где $f'$ меняет знак, и его нет, где знак сохраняется; в стационарной точке можно также использовать достаточное условие по второй производной.

Пункт 6 (выпуклость и перегибы). Аналогично $f''$ сохраняет знак между соседними точками, где она равна нулю или не существует. По условию выпуклости дважды дифференцируемой функции на промежутках с $f'' > 0$ функция строго выпукла вниз, с $f'' < 0$ — строго выпукла вверх. По необходимому условию точки перегиба перегиб возможен лишь там, где $f''$ равна нулю или не существует, а по достаточному условию он есть там, где $f''$ меняет знак и касательная существует.

Пункт 7 (сводка). Найденные промежутки покрывают всю область определения, поэтому таблица полностью описывает характер монотонности и выпуклости на $D(f)$ ; множество значений на каждом промежутке строгой монотонности непрерывной функции есть промежуток между её значениями (пределами) на концах. Эскиз строится по этим данным. $\blacksquare$

Арифметические операции над непрерывными функциями

Формулировка

Пусть функции $f, g: X\to\mathbb R$ непрерывны в точке $a\in X$ . Тогда в точке $a$ непрерывны функции

f + g,\qquad f - g,\qquad f\cdot g,\qquad c\,f\ (c\in\mathbb R),

а если $g(a)\ne 0$ , то и частное $\frac fg$ , рассматриваемое на множестве $X' = \{x\in X: g(x)\ne 0\}$ ; при этом $X'$ содержит все точки $X$ из некоторой окрестности точки $a$ .

Следствие: сумма, разность и произведение функций, непрерывных на множестве $E$ , непрерывны на $E$ ; частное непрерывно во всех точках $E$ , где знаменатель не равен нулю.

Доказательство

Развернуть

Воспользуемся определением непрерывности по Гейне (оно равносильно определению на языке $\varepsilon$ – $\delta$ для любой точки $a\in X$ , в том числе изолированной). Пусть $x_n\in X$ , $x_n\to a$ . По непрерывности $f$ и $g$ имеем $f(x_n)\to f(a)$ , $g(x_n)\to g(a)$ .
По теореме об арифметических операциях с пределами последовательностей

f(x_n)\pm g(x_n)\to f(a)\pm g(a),\qquad f(x_n)g(x_n)\to f(a)g(a),\qquad c\,f(x_n)\to c\,f(a).

Так как последовательность $x_n$ произвольна, функции $f\pm g$ , $fg$ , $cf$ непрерывны в $a$ по Гейне.

Частное. Пусть $g(a)\ne 0$ . По теореме о знакопостоянстве непрерывной функции существует $\delta > 0$ , при котором $g(x)\ne 0$ для всех $x\in X\cap(a - \delta, a + \delta)$ ; значит, эти точки (и сама $a$ ) лежат в $X'$ , т. е. $f/g$ определена вблизи $a$ на всём $X$ .
Пусть $x_n\in X'$ , $x_n\to a$ . Тогда $g(x_n)\ne 0$ , $g(x_n)\to g(a)\ne 0$ , $f(x_n)\to f(a)$ , и по теореме о пределе частного последовательностей

\frac{f(x_n)}{g(x_n)}\to\frac{f(a)}{g(a)}.

Следовательно, $\frac fg$ непрерывна в $a$ . Следствие получается применением доказанного в каждой точке $E$ . $\blacksquare$

Существование точной верхней грани

Формулировка

Всякое непустое ограниченное сверху множество $E\subset\mathbb R$ имеет точную верхнюю грань $\sup E\in\mathbb R$ , и притом единственную.
Всякое непустое ограниченное снизу множество $E\subset\mathbb R$ имеет точную нижнюю грань $\inf E\in\mathbb R$ , и притом единственную.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Пусть $B$ — множество всех верхних границ $E$ . Оно непусто, так как $E$ ограничено сверху; $E$ непусто по условию. По определению верхней границы

\forall x\in E\ \ \forall y\in B\quad x\le y.

По аксиоме полноты существует $c\in\mathbb R$ , такое что $x\le c\le y$ для всех $x\in E$ , $y\in B$ .

Неравенство $x\le c$ при всех $x\in E$ означает, что $c$ — верхняя граница $E$ , т. е. $c\in B$ . Неравенство $c\le y$ при всех $y\in B$ означает, что $c$ не больше любой верхней границы. Следовательно, $c$ — наименьшая верхняя граница: $c = \sup E$ .

Единственность: если $c$ и $c'$ — наименьшие верхние границы, то каждая из них — верхняя граница, и по минимальности $c\le c'$ и $c'\le c$ , т. е. $c = c'$ .

Пункт 2. Пусть $A$ — множество всех нижних границ $E$ ; $A\ne\varnothing$ и $y\le x$ для всех $y\in A$ , $x\in E$ . По аксиоме полноты существует $c$ с $y\le c\le x$ для всех $y\in A$ , $x\in E$ . Тогда $c$ — нижняя граница $E$ , не меньшая любой нижней границы, т. е. $c = \inf E$ ; единственность — как в пункте 1. $\blacksquare$

Критерий точной верхней грани

Формулировка

Пусть $E\subset\mathbb R$ , $E\ne\varnothing$ , $M\in\mathbb R$ . Тогда $M = \sup E$ в том и только в том случае, когда

\bigl(\forall x\in E\ \ x\le M\bigr)\ \land\ \bigl(\forall\varepsilon > 0\ \ \exists x\in E:\ x > M - \varepsilon\bigr).

Аналогично, $m = \inf E$ тогда и только тогда, когда

\bigl(\forall x\in E\ \ x\ge m\bigr)\ \land\ \bigl(\forall\varepsilon > 0\ \ \exists x\in E:\ x < m + \varepsilon\bigr).

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть $M = \sup E$ . Тогда $M$ — верхняя граница, т. е. выполнено первое условие. Пусть $\varepsilon > 0$ ; так как $M - \varepsilon < M$ , число $M - \varepsilon$ не может быть верхней границей (иначе $M\le M - \varepsilon$ ). По правилу построения отрицания « $M - \varepsilon$ не является верхней границей» означает: $\exists x\in E:\ x > M - \varepsilon$ .

Достаточность. Пусть выполнены оба условия. По первому $M$ — верхняя граница $E$ . Пусть $M'$ — произвольная верхняя граница, и допустим, что $M' < M$ . Положим $\varepsilon = M - M' > 0$ . По второму условию найдётся $x\in E$ с $x > M - \varepsilon = M'$ , что противоречит тому, что $M'$ — верхняя граница. Значит, $M'\ge M$ для любой верхней границы, и $M = \sup E$ .

Для точной нижней грани рассуждение симметрично. Если $m = \inf E$ и $\varepsilon > 0$ , то $m + \varepsilon > m$ не является нижней границей (иначе $m + \varepsilon\le m$ ), т. е. $\exists x\in E:\ x < m + \varepsilon$ . Обратно, если выполнены оба условия и $m' > m$ — нижняя граница, то при $\varepsilon = m' - m$ найдётся $x\in E$ с $x < m'$ — противоречие; значит, $m$ — наибольшая нижняя граница. $\blacksquare$

Принцип Больцано–Вейерштрасса

Формулировка

Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность; иначе говоря, ограниченная последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел.
Всякое бесконечное ограниченное множество $X\subset\mathbb R$ имеет хотя бы одну конечную предельную точку.
Из всякой последовательности, не ограниченной сверху, можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к $+\infty$ (из не ограниченной снизу — к $-\infty$ ). В частности, из неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

Доказательство

Развернуть

Пусть $|x_n|\le C$ при всех $n$ , $[a_0, b_0] = [-C, C]$ ; этот отрезок содержит $x_n$ при всех $n$ . Разделим его пополам. Хотя бы одна из половин содержит $x_n$ для бесконечного множества номеров $n$ (иначе обе половины содержали бы члены лишь с конечным числом номеров, а всех номеров бесконечно много). Обозначим такую половину (левую, если подходят обе) $[a_1, b_1]$ .

Продолжая, получим систему вложенных отрезков $[a_k, b_k]$ длины $b_k - a_k = \frac{2C}{2^k}$ , каждый из которых содержит $x_n$ для бесконечного множества номеров. По принципу вложенных отрезков существует точка $c$ , принадлежащая всем $[a_k, b_k]$ .

Выберем номер $n_1$ с $x_{n_1}\in[a_1, b_1]$ , затем $n_2 > n_1$ с $x_{n_2}\in[a_2, b_2]$ , и вообще $n_k > n_{k-1}$ с $x_{n_k}\in[a_k, b_k]$ — это возможно, так как подходящих номеров бесконечно много. Получаем подпоследовательность, для которой, поскольку $x_{n_k}$ и $c$ лежат в $[a_k, b_k]$ ,

0\le|x_{n_k} - c|\le b_k - a_k = 2C\left(\frac12\right)^k.

По лемме об основных пределах $\left(\frac12\right)^k\to 0$ , и по теореме о трёх последовательностях $x_{n_k}\to c$ .

Так как $X$ бесконечно, можно по индукции выбрать попарно различные точки $x_n\in X$ (множество $X\setminus\{x_1, \ldots, x_{n-1}\}$ непусто). Последовательность $\{x_n\}$ ограничена, и по п. 1 существует подпоследовательность $x_{n_k}\to c\in\mathbb R$ . Её члены попарно различны, поэтому по теореме о предельной точке множества как пределе последовательности $c$ — предельная точка $X$ .
Пусть $\{x_n\}$ не ограничена сверху. Тогда для любых $M$ и $N$ найдётся $n > N$ с $x_n > M$ : иначе $x_n\le\max(M, x_1, \ldots, x_N)$ при всех $n$ . Выберем $n_1$ с $x_{n_1} > 1$ и далее $n_k > n_{k-1}$ с $x_{n_k} > k$ . Для $E > 0$ при $k > E$ имеем $x_{n_k} > k > E$ , т. е. $x_{n_k}\to+\infty$ . Случай неограниченности снизу аналогичен. Неограниченная последовательность не ограничена сверху или снизу, и построенная подпоследовательность стремится к $+\infty$ или к $-\infty$ , а значит, бесконечно большая. $\blacksquare$

Ограниченность сходящейся последовательности

Формулировка

Всякая сходящаяся последовательность ограничена: если $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a\in\mathbb R$ , то

\exists C > 0\ \ \forall n\in\mathbb N:\ |x_n|\le C.

Обратное неверно: последовательность $(-1)^n$ ограничена, но расходится.

Доказательство

Развернуть

Возьмём в определении предела $\varepsilon = 1$ : найдётся $N$ такое, что $|x_n - a| < 1$ при всех $n > N$ . Тогда при $n > N$

|x_n| = |(x_n - a) + a|\le|x_n - a| + |a| < 1 + |a|.

Членов с номерами $n\le N$ конечное число, поэтому можно положить

C = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|, 1 + |a|\}.

Тогда $|x_n|\le C$ при $n\le N$ по выбору $C$ и $|x_n| < 1 + |a|\le C$ при $n > N$ , т. е. $|x_n|\le C$ для всех $n$ .

Для обратного утверждения достаточно примера $(-1)^n$ : он ограничен ( $|x_n| = 1$ ), но расходится, так как два соседних члена $1$ и $-1$ не могут одновременно лежать в интервале длины $2\varepsilon < 2$ . $\blacksquare$

Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной

Формулировка

Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $[a, b]$ (в концах — односторонние производные $f'(a) = f'_+(a)$ , $f'(b) = f'_-(b)$ ). Тогда для любого числа $C$ , лежащего строго между $f'(a)$ и $f'(b)$ , существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f'(c) = C.

Следствие. Производная, существующая во всех точках промежутка, не может иметь на нём разрывов первого рода (скачков и устранимых разрывов): если в точке $x_0$ существует односторонний предел $f'(x_0 + 0)$ (или $f'(x_0 - 0)$ ), то он равен $f'(x_0)$ .

Замечание. Непрерывность $f'$ здесь не предполагается: например, $f(x) = x^2\sin\frac1x$ , $f(0) = 0$ , имеет разрывную в нуле производную, и тем не менее теорема Дарбу для неё верна.

Доказательство

Развернуть

Пусть для определённости $f'(a) < C < f'(b)$ (противоположный случай сводится к этому заменой $f$ на $-f$ и $C$ на $-C$ ). Рассмотрим $g(x) = f(x) - Cx$ . Она дифференцируема на $[a, b]$ , и

g'(a) = f'(a) - C < 0,\qquad g'(b) = f'(b) - C > 0.

Функция $g$ непрерывна на $[a, b]$ (дифференцируемая функция непрерывна), поэтому по второй теореме Вейерштрасса она достигает наименьшего значения в некоторой точке $c\in[a, b]$ .

Покажем, что $c\ne a$ . Так как $\lim\limits_{x\to a+0}\frac{g(x) - g(a)}{x - a} = g'(a) < 0$ , по теореме о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел, это отношение отрицательно при $x\in(a, a + \eta)$ для некоторого $\eta > 0$ ; при таких $x$ имеем $x - a > 0$ , значит, $g(x) < g(a)$ , и $a$ — не точка минимума.

Аналогично $c\ne b$ : так как $\lim\limits_{x\to b-0}\frac{g(x) - g(b)}{x - b} = g'(b) > 0$ , при $x$ , близких к $b$ слева, отношение положительно, а $x - b < 0$ , т.е. $g(x) < g(b)$ .

Итак, $c\in(a, b)$ — внутренняя точка, в которой $g$ принимает наименьшее на $[a, b]$ значение, т.е. точка локального минимума, и $g'(c)$ существует. По теореме Ферма $g'(c) = f'(c) - C = 0$ , т.е. $f'(c) = C$ .

Следствие. Пусть $f'(x_0 + 0) = L$ существует. Тогда $f$ непрерывна на $[x_0, x_0 + \delta)$ (дифференцируемая функция непрерывна) и дифференцируема на $(x_0, x_0 + \delta)$ , и по п. 4 следствий теоремы Лагранжа $f'_+(x_0) = L$ ; так как $f'(x_0)$ существует, $f'(x_0) = f'_+(x_0) = L$ , и разрыва в точке $x_0$ нет. Для $f'(x_0 - 0)$ — аналогично. (Можно рассуждать и по теореме Дарбу: если бы $L\ne f'(x_0)$ , то при $x_1 > x_0$ , близком к $x_0$ , значение $f'(x_1)$ было бы ближе к $L$ , чем середина $M$ отрезка между $f'(x_0)$ и $L$ , а по доказанному $f'$ принимала бы на $(x_0, x_1)$ значение $M$ — вопреки тому, что все значения $f'$ на $(x_0, x_1)$ ближе к $L$ , чем $M$ .) $\blacksquare$

Теорема Ролля

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ , дифференцируема на интервале $(a, b)$ (допускается и бесконечная производная определённого знака) и $f(a) = f(b)$ . Тогда существует точка $c\in(a, b)$ такая, что

f'(c) = 0.

(О корнях производной.) Если функция $f$ дифференцируема на промежутке $I$ , то между любыми двумя корнями $f$ на $I$ лежит корень $f'$ . Следовательно, если $f'$ имеет на $I$ не более $k$ различных корней, то $f$ имеет на $I$ не более $k + 1$ различных корней.

Геометрический смысл: если концы гладкой дуги графика находятся на одной высоте, то на дуге есть точка, в которой касательная горизонтальна.

Замечание. Каждое условие существенно: для $f(x) = |x|$ на $[-1, 1]$ нарушена дифференцируемость в точке $0$ ; для $f(x) = x$ при $x\in[0, 1)$ , $f(1) = 0$ нарушена непрерывность в точке $1$ ; для $f(x) = x$ на $[0, 1]$ нарушено условие $f(a) = f(b)$ . Во всех трёх случаях $f'$ на $(a, b)$ в нуль не обращается.

Доказательство

Развернуть

По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений: существуют точки $x_1, x_2\in[a, b]$ , для которых $f(x_1) = M = \max\limits_{[a, b]}f$ , $f(x_2) = m = \min\limits_{[a, b]}f$ .

Если $M = m$ , то $f$ постоянна на $[a, b]$ , и $f'(c) = 0$ в любой точке $c\in(a, b)$ .

Пусть $M > m$ . Так как $f(a) = f(b)$ , значения $M$ и $m$ не могут оба достигаться только на концах отрезка: иначе $M$ и $m$ были бы равны одному и тому же числу $f(a) = f(b)$ . Значит, хотя бы одна из точек $x_1, x_2$ (обозначим её $c$ ) лежит в интервале $(a, b)$ .

Точка $c$ — внутренняя точка отрезка, и $f(c)$ — наибольшее (или наименьшее) значение $f$ на $[a, b]$ , поэтому $c$ — точка локального экстремума. Производная $f'(c)$ существует по условию, и по теореме Ферма $f'(c) = 0$ . Это доказывает п. 1.

Для п. 2 пусть $x' < x''$ — корни $f$ на $I$ . На отрезке $[x', x'']\subset I$ функция $f$ непрерывна (как дифференцируемая) и дифференцируема, $f(x') = f(x'') = 0$ ; по п. 1 найдётся $\xi\in(x', x'')$ с $f'(\xi) = 0$ .

Если бы $f$ имела $k + 2$ различных корня $x_0 < x_1 < \ldots < x_{k + 1}$ , то в каждом из $k + 1$ попарно непересекающихся интервалов $(x_{i}, x_{i + 1})$ нашёлся бы корень $f'$ , т.е. $f'$ имела бы не менее $k + 1$ различных корней — противоречие. $\blacksquare$

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ . Тогда она достигает на $[a, b]$ наибольшего и наименьшего значений, и каждое из них достигается либо на конце отрезка, либо в критической точке $f$ из интервала $(a, b)$ .
Алгоритм. Если критических точек в $(a, b)$ конечное число $x_1, \ldots, x_k$ , то

\max_{[a, b]}f = \max\{f(a), f(x_1), \ldots, f(x_k), f(b)\},\qquad \min_{[a, b]}f = \min\{f(a), f(x_1), \ldots, f(x_k), f(b)\}.

Если функция $f$ непрерывна на произвольном промежутке $X$ и имеет во внутренних точках $X$ единственную точку локального экстремума $x_0$ , являющуюся точкой строгого локального максимума (минимума), то $f(x_0)$ — наибольшее (наименьшее) значение $f$ на $X$ .

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. По второй теореме Вейерштрасса существуют $c, d\in[a, b]$ , в которых $f(c) = \max_{[a,b]}f$ , $f(d) = \min_{[a,b]}f$ . Если $c\in(a, b)$ , то $c$ — внутренняя точка и $f(c)\ge f(x)$ для всех $x$ из некоторой окрестности $c$ , т. е. $c$ — точка локального максимума; по необходимому условию экстремума $c$ — критическая точка. Иначе $c$ — конец отрезка. Для $d$ аналогично.

Пункт 2. По пункту 1 наибольшее значение есть одно из чисел $f(a), f(x_1), \ldots, f(x_k), f(b)$ , и оно не меньше любого из них (все они — значения функции на $[a, b]$ ); значит, оно равно их максимуму. Для минимума аналогично.

Пункт 3. Пусть $x_0$ — точка строгого локального максимума и предположим, что $f(x_1)\ge f(x_0)$ для некоторого $x_1\in X$ , $x_1\ne x_0$ ; пусть для определённости $x_1 > x_0$ . На отрезке $[x_0, x_1]$ функция $f$ по теореме Вейерштрасса достигает наименьшего значения $m$ в некоторой точке $\xi$ .

Так как $x_0$ — точка строгого максимума, найдутся точки $x\in(x_0, x_1)$ сколь угодно близко к $x_0$ с $f(x) < f(x_0)\le f(x_1)$ ; поэтому $m < f(x_0)$ и $m < f(x_1)$ , и $\xi\in(x_0, x_1)$ . Тогда $\xi$ — внутренняя точка $X$ и точка локального минимума $f$ , отличная от $x_0$ , — противоречие с единственностью точки экстремума. Значит, $f(x) < f(x_0)$ при всех $x\ne x_0$ . Случай минимума сводится к рассмотрению $-f$ . $\blacksquare$

Связь непрерывности с односторонней непрерывностью

Формулировка

Пусть $f: X\to\mathbb R$ , $a\in X$ . Функция $f$ непрерывна в точке $a$ тогда и только тогда, когда она непрерывна в $a$ и слева, и справа.

Если $f$ определена в некоторой окрестности точки $a$ , это равносильно равенствам

f(a - 0) = f(a + 0) = f(a).

В частности, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не равен $f(a)$ , то $a$ — точка разрыва.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Если $\forall x\in X$ , $|x - a| < \delta$ , выполнено $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ , то это неравенство верно и для $x\in X\cap(a - \delta, a]$ , и для $x\in X\cap[a, a + \delta)$ . Значит, $f$ непрерывна слева и справа.
Достаточность. Пусть задано $\varepsilon > 0$ . По непрерывности слева найдётся $\delta_1 > 0$ , такое что $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ при $x\in X$ , $a - \delta_1 < x\le a$ ; по непрерывности справа — $\delta_2 > 0$ с тем же неравенством при $a\le x < a + \delta_2$ . Положим $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ . Любая точка $x\in X$ с $|x - a| < \delta$ попадает в один из промежутков $(a - \delta_1, a]$ или $[a, a + \delta_2)$ , поэтому $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ . Значит, $f$ непрерывна в $a$ .
Пусть $f$ определена в окрестности $a$ . Тогда $a$ — предельная точка как для $X$ , так и для левой и правой полуокрестностей. Рассуждая так же, как в теореме об эквивалентности определений непрерывности (переход от $0 < |x - a| < \delta$ к $|x - a| < \delta$ ), получаем: непрерывность слева $\iff f(a - 0) = f(a)$ , непрерывность справа $\iff f(a + 0) = f(a)$ , а непрерывность $\iff\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$ . По теореме о связи двустороннего предела с односторонними последнее равносильно тому, что $f(a - 0)$ и $f(a + 0)$ существуют и оба равны $f(a)$ . $\blacksquare$

Свойства счётных множеств

Формулировка

Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно; всякое подмножество счётного множества не более чем счётно.
Если $A$ бесконечно и существует инъекция $A$ в счётное множество, то $A$ счётно.
Множество $\mathbb N\times\mathbb N$ счётно.
Объединение конечного или счётного семейства $A_1, A_2,\dots$ не более чем счётных множеств, хотя бы одно из которых бесконечно, счётно.
Множества $\mathbb Z$ и $\mathbb Q$ счётны.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Пусть $A = \{a_1, a_2,\dots\}$ (нумерация $n\mapsto a_n$ — биекция $\mathbb N\to A$ ), $B\subset A$ бесконечно. Положим $n_1 = \min\{n:\ a_n\in B\}$ и рекуррентно $n_{k+1} = \min\{n > n_k:\ a_n\in B\}$ . Минимумы существуют по принципу наименьшего элемента: множества непусты, так как иначе $B\subset\{a_1,\dots, a_{n_k}\}$ было бы конечно. По построению $n_1 < n_2 < \ldots$ , и индукцией $n_k\ge k$ .

Отображение $\varphi(k) = a_{n_k}$ из $\mathbb N$ в $B$ инъективно, так как номера $n_k$ различны, а нумерация $A$ инъективна. Докажем сюръективность. Пусть $b\in B$ , $b = a_m$ . Множество $K = \{k:\ n_k\ge m\}$ непусто ( $n_m\ge m$ ); пусть $k = \min K$ . Если $k = 1$ , то $n_1\le m$ по минимальности $n_1$ (так как $a_m\in B$ ). Если $k > 1$ , то $n_{k-1} < m$ , и $m$ входит в множество $\{n > n_{k-1}:\ a_n\in B\}$ , поэтому $n_k\le m$ . С другой стороны, $n_k\ge m$ , так как $k\in K$ . Итак, $n_k = m$ и $b = \varphi(k)$ . Итак, $\varphi$ — биекция, $B$ счётно. Подмножество счётного множества либо конечно, либо бесконечно и тогда счётно.

Пункт 2. Пусть $g\colon A\to C$ — инъекция, $C$ счётно. Тогда $g\colon A\to g(A)$ — биекция, и $g(A)$ бесконечно (иначе бесконечное $A$ было бы равномощно конечному множеству, а значит, конечно). По пункту 1 $g(A)\sim\mathbb N$ , и по транзитивности равномощности $A\sim\mathbb N$ .

Пункт 3. Отображение $(k, m)\mapsto 2^k3^m$ из $\mathbb N\times\mathbb N$ в $\mathbb N$ инъективно по единственности разложения натурального числа на простые множители. Множество $\mathbb N\times\mathbb N$ бесконечно (содержит различные пары $(k, 1)$ ). По пункту 2 оно счётно.

Пункт 4. Отбросим пустые множества (не все они пусты). Для каждого непустого не более чем счётного $A_k$ зададим сюръекцию $m\mapsto a_{km}$ из $\mathbb N$ на $A_k$ : для счётного — нумерацию, для $A_k = \{x_1,\dots, x_r\}$ — $a_{km} = x_{\min(m, r)}$ . Если множеств конечное число $A_1,\dots, A_p$ , положим $a_{km} = a_{pm}$ при $k > p$ . Тогда отображение $(k, m)\mapsto a_{km}$ из $\mathbb N\times\mathbb N$ на $A = \bigcup A_k$ сюръективно.

Пусть $\psi\colon\mathbb N\to\mathbb N\times\mathbb N$ — биекция (пункт 3). Для $x\in A$ положим $\nu(x) = \min\{j\in\mathbb N:\ a_{\psi(j)} = x\}$ (множество непусто по сюръективности). Отображение $\nu\colon A\to\mathbb N$ инъективно: из $\nu(x) = \nu(x') = j$ следует $x = a_{\psi(j)} = x'$ . Множество $A$ бесконечно, так как содержит бесконечное $A_k$ . По пункту 2 $A$ счётно.

Пункт 5. Отображение $\mathbb N\to\mathbb Z$ , $n\mapsto\frac n2$ при чётном $n$ и $n\mapsto-\frac{n-1}2$ при нечётном $n$ , — биекция (нумерация $0, 1, -1, 2, -2,\dots$ ), поэтому $\mathbb Z$ счётно. Далее $\mathbb Q = \bigcup_{q\in\mathbb N}Q_q$ , где $Q_q = \{\frac pq:\ p\in\mathbb Z\}$ ; отображение $p\mapsto\frac pq$ — биекция $\mathbb Z\to Q_q$ , так что все $Q_q$ счётны. По пункту 4 $\mathbb Q$ счётно. $\blacksquare$

Непрерывность сложной функции. Предельный переход под знаком непрерывной функции

Формулировка

Пусть $f: X\to Y$ , $g: Y\to\mathbb R$ .

Если $f$ непрерывна в точке $a\in X$ , а $g$ непрерывна в точке $b = f(a)$ , то сложная функция $g\circ f$ непрерывна в точке $a$ .
Если $a$ — предельная точка $X$ , существует конечный предел $\lim\limits_{x\to a}f(x) = b$ , причём $b\in Y$ и $g$ непрерывна в точке $b$ , то

\lim_{x\to a}g(f(x)) = g(b) = g\Big(\lim_{x\to a}f(x)\Big).

(В отличие от теоремы о пределе сложной функции, условие $f(x)\ne b$ здесь не требуется.)

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Используем определение по Гейне. Пусть $x_n\in X$ , $x_n\to a$ . По непрерывности $f$ в точке $a$ последовательность $y_n = f(x_n)\in Y$ сходится к $b = f(a)$ . По непрерывности $g$ в точке $b$ (определение Гейне для $g$ ) $g(y_n)\to g(b)$ , т. е. $(g\circ f)(x_n)\to(g\circ f)(a)$ . Значит, $g\circ f$ непрерывна в $a$ .
Пункт 2. Зададим $\varepsilon > 0$ . По непрерывности $g$ в точке $b$ найдётся $\eta > 0$ , такое что

y\in Y,\ |y - b| < \eta\ \Rightarrow\ |g(y) - g(b)| < \varepsilon.

По определению предела $f(x)\to b$ для этого $\eta$ найдётся $\delta > 0$ , такое что $|f(x) - b| < \eta$ при $x\in X$ , $0 < |x - a| < \delta$ .
Тогда при $x\in X$ , $0 < |x - a| < \delta$ точка $y = f(x)\in Y$ удовлетворяет $|y - b| < \eta$ , и потому $|g(f(x)) - g(b)| < \varepsilon$ . Это и означает $\lim\limits_{x\to a}g(f(x)) = g(b)$ . Заметим, что равенство $f(x) = b$ при некоторых $x$ ничему не мешает: тогда $|g(f(x)) - g(b)| = 0$ . $\blacksquare$

Строго монотонная функция обратима

Формулировка

Пусть $X\subset\mathbb R$ и $f\colon X\to\mathbb R$ строго возрастает (строго убывает) на $X$ . Тогда:

$f$ инъективна, и потому $f\colon X\to f(X)$ — биекция;
обратная функция $f^{-1}\colon f(X)\to X$ строго возрастает (соответственно строго убывает).

Замечание: обратное неверно — инъективная функция не обязана быть монотонной; например, $f(x) = \frac1x$ при $x\ne 0$ , $f(0) = 0$ , инъективна на $\mathbb R$ , но не монотонна ( $f(-1) < f(0) < f(1)$ , но $f(1) > f(2)$ ).

Доказательство

Развернуть

Пусть $f$ строго возрастает. Пункт 1: если $x_1\ne x_2$ , то, скажем, $x_1 < x_2$ , и $f(x_1) < f(x_2)$ , т. е. $f(x_1)\ne f(x_2)$ . Итак, $f$ инъективна; как отображение на $f(X)$ она сюръективна, значит, $f\colon X\to f(X)$ — биекция, и по теореме о существовании обратного отображения существует $f^{-1}\colon f(X)\to X$ .

Пункт 2. Пусть $y_1, y_2\in f(X)$ , $y_1 < y_2$ , и $x_i = f^{-1}(y_i)$ , т. е. $f(x_i) = y_i$ . Допустим, что $x_1\ge x_2$ . Если $x_1 = x_2$ , то $y_1 = y_2$ ; если $x_1 > x_2$ , то по строгому возрастанию $y_1 > y_2$ . Оба случая противоречат $y_1 < y_2$ . Значит, $x_1 < x_2$ , т. е. $f^{-1}$ строго возрастает.

Пусть $f$ строго убывает. Инъективность: при $x_1 < x_2$ имеем $f(x_1) > f(x_2)$ , т. е. $f(x_1)\ne f(x_2)$ . Пусть $y_1 < y_2$ , $x_i = f^{-1}(y_i)$ , и допустим, что $x_1\le x_2$ . При $x_1 = x_2$ получаем $y_1 = y_2$ , при $x_1 < x_2$ — $y_1 = f(x_1) > f(x_2) = y_2$ ; оба случая противоречат $y_1 < y_2$ . Значит, $x_1 > x_2$ , и $f^{-1}$ строго убывает. $\blacksquare$

Существование обратного отображения

Формулировка

Пусть $f\colon X\to Y$ . Тогда:

$f$ имеет обратное отображение (т. е. существует $g\colon Y\to X$ с $g\circ f = \mathrm{id}_X$ , $f\circ g = \mathrm{id}_Y$ ) тогда и только тогда, когда $f$ — биекция;
обратное отображение единственно: если $g$ обратно к $f$ , то $g(y)$ — единственный $x$ с $f(x) = y$ ;
обратное отображение $f^{-1}$ также является биекцией и

(f^{-1})^{-1} = f.

Доказательство

Развернуть

Необходимость в пункте 1. Пусть $g\circ f = \mathrm{id}_X$ и $f\circ g = \mathrm{id}_Y$ . Инъективность $f$ : если $f(x_1) = f(x_2)$ , то $x_1 = g(f(x_1)) = g(f(x_2)) = x_2$ . Сюръективность $f$ : для любого $y\in Y$ элемент $x = g(y)$ удовлетворяет $f(x) = f(g(y)) = y$ .

Достаточность в пункте 1. Пусть $f$ — биекция. Для каждого $y\in Y$ существует единственный $x\in X$ с $f(x) = y$ ; положим $g(y) = x$ . Тогда $f(g(y)) = y$ при всех $y$ по построению. Для $x\in X$ элемент $g(f(x))$ — единственный прообраз точки $f(x)$ , а $x$ — её прообраз, поэтому $g(f(x)) = x$ .

Пункт 2. Пусть $g$ обратно к $f$ , $y\in Y$ , и $x$ — единственный прообраз $y$ (по пункту 1 $f$ — биекция). Тогда $g(y) = g(f(x)) = x$ . Итак, любое обратное отображение совпадает с построенным, т. е. единственно.

Пункт 3. Равенства $f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_X$ , $f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y$ означают также, что $f$ обратно к $f^{-1}$ . По пункту 1 (применённому к $f^{-1}$ ) $f^{-1}$ — биекция, а по пункту 2 её обратное отображение единственно и равно $f$ . $\blacksquare$

Производная обратной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна и строго монотонна на промежутке $I$ , $x_0$ — внутренняя точка $I$ , и существует конечная производная $f'(x_0)\ne 0$ . Тогда обратная функция $g = f^{-1}$ , определённая на промежутке $J = f(I)$ , дифференцируема в точке $y_0 = f(x_0)$ и

g'(y_0) = \frac1{f'(x_0)}.

Если же $f'(x_0) = 0$ , то $g'(y_0) = +\infty$ при возрастающей $f$ и $g'(y_0) = -\infty$ при убывающей.

Геометрически: графики $f$ и $g$ симметричны относительно прямой $y = x$ , и если касательные образуют с осями абсцисс углы $\alpha$ и $\beta$ , то $\operatorname{tg}\beta = \frac1{\operatorname{tg}\alpha}$ , т. е. $\alpha + \beta = \frac\pi2$ для возрастающей $f$ и $\alpha + \beta = -\frac\pi2$ для убывающей.

Доказательство

Развернуть

По теореме о существовании и непрерывности обратной функции $g$ определена на промежутке $J$ , строго монотонна (того же характера, что $f$ ) и непрерывна на $J$ . Точка $y_0$ внутренняя для $J$ : найдутся $x_1 < x_0 < x_2$ из $I$ , значения $f(x_1)$ и $f(x_2)$ лежат по разные стороны от $y_0$ и отличны от него, а весь отрезок между ними лежит в промежутке $J$ .

Пусть $\Delta y\ne 0$ , $y_0 + \Delta y\in J$ , и $\Delta x = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0)$ . Так как $g$ инъективна, $\Delta x\ne 0$ ; так как $g$ непрерывна в $y_0$ , $\Delta x\to 0$ при $\Delta y\to 0$ . Кроме того, $f(x_0 + \Delta x) = y_0 + \Delta y$ , т. е. $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ .

Положим $h(\Delta x) = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ ; по условию $h(\Delta x)\to f'(x_0)$ при $\Delta x\to 0$ . Внутренняя функция $\Delta x(\Delta y)$ стремится к $0$ и не обращается в $0$ при $\Delta y\ne 0$ , поэтому по теореме о пределе сложной функции $h(\Delta x(\Delta y))\to f'(x_0)$ при $\Delta y\to 0$ . Тогда

\frac{g(y_0 + \Delta y) - g(y_0)}{\Delta y} = \frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac1{h(\Delta x(\Delta y))}\to\frac1{f'(x_0)}

по теореме об арифметических операциях с пределами (так как $f'(x_0)\ne 0$ ).

Если $f'(x_0) = 0$ , то $h(\Delta x(\Delta y))$ — бесконечно малая, отличная от нуля (так как $\Delta y\ne 0$ ), и по связи бесконечно больших и бесконечно малых $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ бесконечно велико. При возрастающей $f$ приращения $\Delta x$ и $\Delta y$ одного знака, поэтому $\frac{\Delta x}{\Delta y} > 0$ и $g'(y_0) = +\infty$ ; при убывающей — $g'(y_0) = -\infty$ . $\blacksquare$

Производная функции, заданной параметрически и неявно

Формулировка

Пусть $x = \varphi(t)$ , $y = \psi(t)$ , $t\in T$ ( $T$ — интервал), $\varphi$ непрерывна и строго монотонна на $T$ .

Если $\varphi$ и $\psi$ дифференцируемы в точке $t_0\in T$ и $\varphi'(t_0)\ne 0$ , то функция $y = \psi(\varphi^{-1}(x))$ дифференцируема в точке $x_0 = \varphi(t_0)$ и

y'_x(x_0) = \frac{\psi'(t_0)}{\varphi'(t_0)}.

Если $\varphi$ , $\psi$ дифференцируемы на $T$ , $\varphi'(t)\ne 0$ на $T$ , а $\varphi'$ , $\psi'$ дифференцируемы в точке $t_0$ , то

y''_{xx}(x_0) = \frac{\psi''(t_0)\varphi'(t_0) - \psi'(t_0)\varphi''(t_0)}{\varphi'^3(t_0)}.

(Неявная функция.) Пусть $y = y(x)$ дифференцируема на интервале $X$ и $F(x, y(x)) = 0$ при всех $x\in X$ , где выражение $G(x) = F(x, y(x))$ составлено из $x$ и $y(x)$ с помощью арифметических операций и композиций с дифференцируемыми функциями. Тогда $G'(x) = 0$ на $X$ ; вычисленное по правилам дифференцирования, это равенство линейно относительно $y'$ :

P(x, y)\,y' + Q(x, y) = 0,\qquad y' = -\frac{Q(x, y)}{P(x, y)}\quad\text{там, где } P\ne 0.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. По теореме о существовании и непрерывности обратной функции $\varphi^{-1}$ определена на интервале $X = \varphi(T)$ , непрерывна и строго монотонна; $t_0$ — внутренняя точка $T$ . По теореме о производной обратной функции $(\varphi^{-1})'(x_0) = \frac1{\varphi'(t_0)}$ . Функция $y = \psi\circ\varphi^{-1}$ , и $\psi$ дифференцируема в точке $t_0 = \varphi^{-1}(x_0)$ , поэтому по теореме о производной сложной функции

y'_x(x_0) = \psi'(t_0)\cdot\frac1{\varphi'(t_0)}.

Пункт 2. По пункту 1, применённому в каждой точке $t\in T$ , производная $y'_x$ как функция от $x$ задана параметрически: $x = \varphi(t)$ , $y'_x = \chi(t)$ , где $\chi(t) = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ . По правилу дифференцирования частного $\chi$ дифференцируема в точке $t_0$ и $\chi'(t_0) = \frac{\psi''\varphi' - \psi'\varphi''}{\varphi'^2}(t_0)$ . Применяя пункт 1 к паре $(\varphi, \chi)$ , получаем

y''_{xx}(x_0) = \frac{\chi'(t_0)}{\varphi'(t_0)} = \frac{\psi''(t_0)\varphi'(t_0) - \psi'(t_0)\varphi''(t_0)}{\varphi'^3(t_0)}.

Пункт 3. Функция $G$ тождественно равна нулю на $X$ , поэтому все её приращения равны нулю и $G'(x) = 0$ . С другой стороны, $G'$ вычисляется по правилам дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции (с внутренней функцией $y(x)$ ). Линейность относительно $y'$ проверяется индукцией по построению выражения: $x' = 0\cdot y' + 1$ и $(y)' = 1\cdot y' + 0$ линейны; если $A' = P_Ay' + Q_A$ и $B' = P_By' + Q_B$ , то $(A\pm B)'$ , $(AB)' = A'B + AB'$ , $\left(\frac AB\right)' = \frac{A'B - AB'}{B^2}$ и $(\omega(A))' = \omega'(A)A'$ — снова линейные выражения относительно $y'$ . Разрешая $Py' + Q = 0$ там, где $P\ne 0$ , находим $y'$ . $\blacksquare$

Замечание

Вторую производную неявной функции находят, дифференцируя равенство $G'(x) = 0$ ещё раз (считая $y$ и $y'$ функциями от $x$ ) и подставляя найденное $y'$ .

Непрерывность основных элементарных функций

Формулировка

Функции $y = c$ и $y = x$ непрерывны на $\mathbb R$ ; $x^n$ ( $n\in\mathbb N$ ) и многочлены непрерывны на $\mathbb R$ ; дробно-рациональная функция $\frac{P(x)}{Q(x)}$ непрерывна в каждой точке, где $Q(x)\ne 0$ .
$\sin x$ и $\cos x$ непрерывны на $\mathbb R$ , причём

|\sin x - \sin a|\le|x - a|,\qquad|\cos x - \cos a|\le|x - a|;

$\operatorname{tg} x$ непрерывен при $x\ne\frac\pi2 + \pi k$ , $\operatorname{ctg} x$ — при $x\ne\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ . 3. $\arcsin x$ и $\arccos x$ непрерывны на $[-1, 1]$ ; $\operatorname{arctg} x$ и $\operatorname{arcctg} x$ — на $\mathbb R$ . 4. Показательная функция $a^x$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ), в частности $e^x$ , непрерывна на $\mathbb R$ . 5. Логарифмическая функция $\log_a x$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ) непрерывна на $(0, +\infty)$ . 6. Степенная функция $x^\alpha$ непрерывна на $(0, +\infty)$ при любом $\alpha\in\mathbb R$ , а при $\alpha > 0$ — на $[0, +\infty)$ (где $0^\alpha = 0$ ). 7. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Доказательство

Развернуть

Для $f(x) = c$ имеем $|f(x) - f(a)| = 0 < \varepsilon$ при любом $\delta$ ; для $f(x) = x$ достаточно взять $\delta = \varepsilon$ . Тогда $x^n = x\cdot\ldots\cdot x$ непрерывна как произведение непрерывных функций (индукция по $n$ ), многочлен $\sum c_kx^k$ — как сумма произведений непрерывных функций, а $\frac PQ$ — как частное непрерывных функций в точках, где $Q\ne 0$ (теорема об арифметических операциях над непрерывными функциями).
При доказательстве первого замечательного предела установлено неравенство $\sin t < t$ при $0 < t < \frac\pi2$ ; по нечётности $|\sin t| < |t|$ при $0 < |t| < \frac\pi2$ , а при $|t|\ge\frac\pi2 > 1$ имеем $|\sin t|\le 1 < |t|$ . Итак, $|\sin t|\le|t|$ для всех $t$ . Отсюда

|\sin x - \sin a| = 2\Bigl|\sin\frac{x - a}2\Bigr|\Bigl|\cos\frac{x + a}2\Bigr|\le 2\cdot\frac{|x - a|}2 = |x - a|,

и аналогично $|\cos x - \cos a| = 2\bigl|\sin\frac{x - a}2\bigr|\bigl|\sin\frac{x + a}2\bigr|\le|x - a|$ . Поэтому в определении непрерывности на языке $\varepsilon$ – $\delta$ можно взять $\delta = \varepsilon$ . Функции $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ непрерывны как частные там, где знаменатель не равен нулю.

На $[-\frac\pi2, \frac\pi2]$ функция $\sin$ непрерывна и строго возрастает: при $-\frac\pi2\le x < y\le\frac\pi2$ имеем $\sin y - \sin x = 2\sin\frac{y - x}2\cos\frac{y + x}2 > 0$ . По теореме об обратной функции её множество значений — отрезок $[\sin(-\frac\pi2), \sin\frac\pi2] = [-1, 1]$ , а обратная функция $\arcsin$ непрерывна на $[-1, 1]$ . Аналогично $\cos$ строго убывает на $[0, \pi]$ ( $\cos y - \cos x = -2\sin\frac{y + x}2\sin\frac{y - x}2 < 0$ ), и $\arccos$ непрерывен на $[-1, 1]$ . На $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$ функция $\operatorname{tg}$ непрерывна и строго возрастает: $\operatorname{tg} y - \operatorname{tg} x = \frac{\sin(y - x)}{\cos x\cos y} > 0$ при $x < y$ . При $x\to\frac\pi2 - 0$ имеем $\sin x\to 1$ , $\cos x\to+0$ , поэтому $\frac1{\cos x}$ — бесконечно большая (связь бесконечно малых и бесконечно больших) и $\operatorname{tg} x\to+\infty$ ; аналогично $\operatorname{tg} x\to-\infty$ при $x\to-\frac\pi2 + 0$ . По теореме об обратной функции множество значений — интервал $(\inf\operatorname{tg}, \sup\operatorname{tg}) = \mathbb R$ , и $\operatorname{arctg}$ непрерывен на $\mathbb R$ . Для $\operatorname{ctg}$ на $(0, \pi)$ (строго убывает: $\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} y = \frac{\sin(y - x)}{\sin x\sin y} > 0$ ) рассуждение то же, и $\operatorname{arcctg}$ непрерывен на $\mathbb R$ .
Пусть $a > 1$ . Используем известные свойства степени с действительным показателем: $a^x > 0$ , $a^{x + y} = a^xa^y$ , $a^0 = 1$ , $a^x$ строго возрастает. Покажем, что $a^{1/n}\to 1$ . Положим $h_n = a^{1/n} - 1 > 0$ ; по неравенству Бернулли $a = (1 + h_n)^n\ge 1 + nh_n$ , откуда $0 < h_n\le\frac{a - 1}n$ , и по теореме о трёх последовательностях $h_n\to 0$ . Тогда и $a^{-1/n} = \frac1{a^{1/n}}\to 1$ . Для $\varepsilon\in(0, 1)$ выберем $n$ так, что $a^{1/n} < 1 + \varepsilon$ и $a^{-1/n} > 1 - \varepsilon$ . При $|x| < \delta = \frac1n$ по монотонности

1 - \varepsilon < a^{-1/n} < a^x < a^{1/n} < 1 + \varepsilon,

т. е. $|a^x - 1| < \varepsilon$ : функция непрерывна в нуле. В произвольной точке $x_0$ приращение

\Delta y = a^{x_0 + \Delta x} - a^{x_0} = a^{x_0}\bigl(a^{\Delta x} - 1\bigr)\to 0\quad(\Delta x\to 0),

что по определению непрерывности через приращения означает непрерывность в $x_0$ . При $0 < a < 1$ имеем $a^x = \frac1{(1/a)^x}$ , где $\frac1a > 1$ , и непрерывность следует из теоремы о частном. Частный случай $a = e > 1$ даёт непрерывность $e^x$ .

Пусть $a > 1$ . Функция $a^x$ непрерывна и строго возрастает на $\mathbb R$ . По неравенству Бернулли $a^n = (1 + (a - 1))^n\ge 1 + n(a - 1)$ , так что $a^x$ не ограничена сверху, а $a^{-n} = \frac1{a^n}\le\frac1{1 + n(a - 1)}$ , так что $\inf a^x = 0$ (все значения положительны). По теореме об обратной функции множество значений есть $(0, +\infty)$ , а обратная функция $\log_a x$ строго возрастает и непрерывна на $(0, +\infty)$ . При $0 < a < 1$ имеем $\log_a x = -\log_{1/a} x$ , и непрерывность следует из уже доказанного.
При $x > 0$ по определению степени $x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$ . Функция $\ln x$ непрерывна на $(0, +\infty)$ (п. 5), $\alpha\ln x$ — тоже, а $e^t$ непрерывна на $\mathbb R$ (п. 4); по теореме о непрерывности сложной функции $x^\alpha$ непрерывна на $(0, +\infty)$ . Пусть $\alpha > 0$ ; тогда $x^\alpha$ строго возрастает на $(0, +\infty)$ как композиция возрастающих функций, и для $\varepsilon > 0$ при $0\le x < \delta = \varepsilon^{1/\alpha}$ имеем $0\le x^\alpha < \delta^\alpha = \varepsilon$ , т. е. $x^\alpha$ непрерывна справа в нуле.
Элементарная функция получается из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. Индукцией по числу операций: если функции, участвующие в очередной операции, непрерывны в каждой точке своих областей определения, то по теоремам об арифметических операциях над непрерывными функциями и о непрерывности сложной функции результат непрерывен в каждой точке своей области определения. База — пп. 1–6. $\blacksquare$

Знакопостоянство функции, имеющей ненулевой предел

Формулировка

Пусть $f$ определена на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , $\lim\limits_{x\to a}f(x) = A$ и $c\in\mathbb R$ .

Если $A > c$ (здесь $A\in\mathbb R$ или $A = +\infty$ ), то существует $\delta > 0$ такое, что $f(x) > c$ для всех $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ . Аналогично, если $A < c$ ( $A\in\mathbb R$ или $A = -\infty$ ), то $f(x) < c$ в некоторой проколотой окрестности.
В частности, если $0 < A < +\infty$ , то в некоторой проколотой окрестности

f(x) > \frac A2 > 0,

а если $A\in\mathbb R$ , $A\ne 0$ , то в некоторой проколотой окрестности $|f(x)| > \frac{|A|}2$ ; в частности, $f(x)$ сохраняет знак числа $A$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $A\in\mathbb R$ , $A > c$ . Возьмём $\varepsilon = A - c > 0$ ; найдётся $\delta > 0$ с $|f(x) - A| < A - c$ при $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ , откуда $f(x) > A - (A - c) = c$ . Если $A = +\infty$ , то по определению бесконечного предела для числа $M = c$ найдётся $\delta > 0$ с $f(x) > c$ при $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ . Случай $A < c$ получается заменой $f$ на $-f$ , $c$ на $-c$ .
Для $0 < A < +\infty$ применим п. 1 с $c = \frac A2 < A$ . Для конечного $A\ne 0$ возьмём $\varepsilon = \frac{|A|}2$ : при $|f(x) - A| < \frac{|A|}2$ имеем

|f(x)|\ge |A| - |f(x) - A| > \frac{|A|}2,

а также $f(x)$ лежит в интервале $\left(A - \frac{|A|}2, A + \frac{|A|}2\right)$ , не содержащем нуля, и потому имеет тот же знак, что $A$ . $\blacksquare$

Арифметические операции над функциями, имеющими предел

Формулировка

Пусть $f, g$ определены на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , и

\lim_{x\to a}f(x) = A\in\mathbb R,\qquad \lim_{x\to a}g(x) = B\in\mathbb R .

Тогда:

$\lim\limits_{x\to a}(f(x)\pm g(x)) = A\pm B$ ;
$\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x) = AB$ , в частности $\lim\limits_{x\to a}cf(x) = cA$ ;
если $B\ne 0$ , то $g(x)\ne 0$ в некоторой проколотой окрестности $\dot U_{\delta_0}(a)$ , и на множестве $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac AB .

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой $f = A + \alpha$ , $g = B + \beta$ , где $\alpha, \beta$ — б.м. при $x\to a$ . Каждое утверждение сведём к тому, что соответствующая разность является б.м., и снова применим ту же теорему.

$(f\pm g) - (A\pm B) = \alpha\pm\beta$ — б.м. как сумма б.м. (произведение $\beta$ на постоянную $-1$ — б.м.).
$fg - AB = (A + \alpha)(B + \beta) - AB = A\beta + B\alpha + \alpha\beta$ . Слагаемые $A\beta$ , $B\alpha$ — б.м. как произведения б.м. на постоянные, $\alpha\beta$ — б.м. как произведение б.м. По свойству суммы б.м. $fg - AB$ — б.м. При $g\equiv c$ получаем $cf\to cA$ .
По теореме о знакопостоянстве существует $\delta_0 > 0$ такое, что $|g(x)| > \frac{|B|}2 > 0$ при $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ . Точка $a$ остаётся предельной для множества $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ (любая меньшая проколотая окрестность содержит его точки). На этом множестве

\frac fg - \frac AB = \frac{Bf - Ag}{Bg} = \frac{B(A + \alpha) - A(B + \beta)}{Bg} = (B\alpha - A\beta)\cdot\frac1{Bg} .

Множитель $B\alpha - A\beta$ — б.м. по пп. 1, 2 свойств б.м., а $\left|\frac1{Bg(x)}\right| < \frac2{B^2}$ , т. е. $\frac1{Bg}$ локально ограничена. По свойству произведения б.м. на локально ограниченную функцию разность $\frac fg - \frac AB$ — б.м., и $\frac fg\to\frac AB$ . $\blacksquare$

Функции, непрерывные на отрезке. Обратная функция

Теорема Больцано–Коши о нулях непрерывной функции

Формулировка

Доказательство

Теорема о промежуточных значениях

Формулировка

Доказательство

Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности)

Формулировка

Доказательство

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных граней)

Формулировка

Доказательство

Образ отрезка при непрерывном отображении

Формулировка

Доказательство

Односторонние пределы монотонной функции

Формулировка

Доказательство

Точки разрыва монотонной функции

Формулировка

Доказательство

Критерий непрерывности монотонной функции

Формулировка

Доказательство

Связь непрерывности, инъективности и строгой монотонности

Формулировка

Доказательство

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

Формулировка

Доказательство

Локализация корня уравнения методом деления пополам

Условие

Решение

Отделение корней кубического уравнения

Условие

Решение

Многочлен нечётной степени имеет действительный корень

Условие

Решение

Существенность условий теорем Вейерштрасса

Условие

Решение

Неподвижная точка и горизонтальная хорда

Условие

Решение

Существование и непрерывность арифметического корня

Условие

Решение

Существенность условия «I — промежуток» в теореме об обратной функции

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве

Непрерывность функции в точке

Односторонняя непрерывность. Непрерывность на множестве

Промежутки. Окрестности конечной точки и бесконечности

Точные верхняя и нижняя грани множества

Ограниченные, монотонные, чётные и периодические функции

Подпоследовательность. Частичный предел. Верхний и нижний пределы

Отображение и функция. График

Односторонние пределы

Точки разрыва и их классификация

Мощность множества. Счётные множества

Сюръекция, инъекция, биекция

Обратное отображение. Композиция

Принцип вложенных отрезков (Коши–Кантора)

Формулировка

Доказательство

Следствия из принципа Архимеда

Формулировка

Доказательство

Предельный переход в неравенствах

Формулировка

Доказательство

Эквивалентность определений непрерывности

Формулировка

Доказательство

Общая схема исследования функции и построения графика