Асимптоты. Исследование функций и построение графиков

Прогресс изучения0 из 3

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы3

Теорема о наклонной асимптоте
Асимптоты рациональной функции
Общая схема исследования функции и построения графика

теорема

Теорема о наклонной асимптоте

Формулировка

Пусть функция $f$ определена на $(c, +\infty)$ . Прямая $y = kx + b$ является наклонной асимптотой графика $f$ при $x\to+\infty$ тогда и только тогда, когда существуют и конечны оба предела

k = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad b = \lim_{x\to+\infty}\big(f(x) - kx\big).

Аналогичное утверждение верно при $x\to-\infty$ . В частности, если хотя бы один из этих пределов не существует или бесконечен, наклонной (и горизонтальной) асимптоты при $x\to+\infty$ нет.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть $\alpha(x) = f(x) - kx - b\to 0$ при $x\to+\infty$ . Тогда при $x > \max(c, 0)$

\frac{f(x)}{x} = k + \frac bx + \frac{\alpha(x)}{x}.

По арифметическим свойствам пределов $\frac bx\to 0$ , $\frac{\alpha(x)}{x}\to 0$ , поэтому $\frac{f(x)}{x}\to k$ . Далее $f(x) - kx = b + \alpha(x)\to b$ .

Достаточность. Если $\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x) - kx) = b$ с конечными $k, b$ , то $f(x) - (kx + b) = (f(x) - kx) - b\to 0$ , т. е. $y = kx + b$ — асимптота по определению.

Для $x\to-\infty$ доказательство дословно то же. $\blacksquare$

следствие

Асимптоты рациональной функции

Формулировка

Пусть $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ , где $P, Q$ — многочлены без общих корней, $\deg P = m$ , $\deg Q = n$ , и $P = SQ + T$ — деление с остатком ( $\deg T < n$ ). Тогда

вертикальными асимптотами графика $R$ являются прямые $x = a$ для всех действительных корней $a$ многочлена $Q$ , и только они;
при $m\le n$ график имеет горизонтальную асимптоту ( $y = 0$ при $m < n$ , $y = \frac{p_m}{q_n}$ при $m = n$ , где $p_m, q_n$ — старшие коэффициенты);
при $m = n + 1$ наклонная асимптота (одна и та же при $x\to\pm\infty$ ) есть $y = S(x)$ — целая часть дроби;
при $m\ge n + 2$ наклонных асимптот нет.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Если $Q(a) = 0$ , то $P(a)\ne 0$ (нет общих корней), и при $x\to a$ имеем $Q(x)\to 0$ , $P(x)\to P(a)\ne 0$ ; по связи бесконечно малых и бесконечно больших $\frac1{Q(x)}$ — бесконечно большая, а значит, $|R(x)|\to+\infty$ , и хотя бы один односторонний предел бесконечен. Если $Q(a)\ne 0$ , то $R$ непрерывна в точке $a$ , её односторонние пределы конечны, и вертикальной асимптоты нет.

Представим $R(x) = S(x) + \frac{T(x)}{Q(x)}$ . Так как $\deg T < \deg Q$ , по теореме об эквивалентных бесконечно больших $\frac{T(x)}{Q(x)}\sim\frac{t_jx^j}{q_nx^n}\to 0$ при $x\to\pm\infty$ (если $T\not\equiv 0$ , $t_j$ — его старший коэффициент, $j < n$ ).

Пункты 2 и 3. При $m < n$ имеем $S\equiv 0$ и $R(x)\to 0$ ; при $m = n$ $S\equiv\frac{p_m}{q_n}$ — константа; при $m = n + 1$ $S(x) = kx + b$ — многочлен первой степени. В каждом случае $R(x) - S(x)\to 0$ при $x\to\pm\infty$ , т. е. $y = S(x)$ — асимптота по определению.

Пункт 4. При $m\ge n + 2$ по теореме об эквивалентных бесконечно больших $\frac{R(x)}{x}\sim\frac{p_m}{q_n}x^{m-n-1}$ , и $\left|\frac{R(x)}{x}\right|\to+\infty$ ; по теореме о наклонной асимптоте асимптоты нет. $\blacksquare$

теорема

Общая схема исследования функции и построения графика

Формулировка

Пусть функция $f$ (как правило, элементарная) такова, что $f$ , $f'$ и $f''$ непрерывны на своих областях определения, а точек, где $f'$ или $f''$ обращаются в нуль или не существуют, конечное число на каждом отрезке, содержащемся в $D(f)$ . (Даже для элементарной функции второе условие может нарушаться: например, $|x| + |x - 1| = 1$ на $[0, 1]$ , и все точки $(0, 1)$ стационарны.) Следующая последовательность шагов позволяет описать все промежутки монотонности и выпуклости, экстремумы, перегибы и асимптоты графика:

Найти область определения $D(f)$ , точки разрыва и односторонние пределы на границе $D(f)$ .
Выяснить чётность, нечётность, периодичность (график симметричен относительно оси $Oy$ , начала координат или повторяется со сдвигом; исследование можно вести на части области).
Найти точки пересечения с осями и промежутки знакопостоянства $f$ : на каждом промежутке $D(f)$ между соседними нулями знак $f$ постоянен.
Найти асимптоты: вертикальные — только в точках разрыва и в конечных граничных точках $D(f)$ ; наклонные при $x\to\pm\infty$ — по формулам $k = \lim\frac{f(x)}x$ , $b = \lim(f(x) - kx)$ .
Найти $f'$ , критические точки и промежутки знакопостоянства $f'$ ; на них $f$ строго монотонна; экстремумы — в критических точках, где $f'$ меняет знак (или по знаку $f''$ в стационарной точке).
Найти $f''$ , точки, где $f''$ равна нулю или не существует, промежутки знакопостоянства $f''$ ; на них $f$ строго выпукла вниз ( $f'' > 0$ ) или вверх ( $f'' < 0$ ); точки перегиба — те из найденных точек, где $f''$ меняет знак и существует касательная.
Свести результаты в таблицу, найти множество значений и построить эскиз графика по найденным точкам, промежуткам и асимптотам.

Доказательство

Развернуть

Пункты 1–2 (область определения, симметрия) состоят в вычислении и не требуют обоснования; отметим лишь, что для чётной (нечётной) функции график симметричен относительно оси $Oy$ (начала координат), поскольку вместе с точкой $(x, f(x))$ ему принадлежит точка $(-x, f(x))$ (соответственно $(-x, -f(x))$ ).

Пункт 3 (знакопостоянство). Пусть $I\subset D(f)$ — промежуток, на котором $f$ непрерывна и не обращается в нуль. Если бы $f(x_1)f(x_2) < 0$ для $x_1, x_2\in I$ , то по теореме Больцано–Коши $f$ обратилась бы в нуль между ними. Значит, знак $f$ на $I$ постоянен, и его достаточно определить в одной точке.

Пункт 4 (асимптоты). Если $f$ непрерывна в точке $a$ , то $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$ конечен, и прямая $x = a$ не является вертикальной асимптотой; поэтому вертикальные асимптоты могут быть лишь в точках разрыва и в конечных граничных точках $D(f)$ . Элементарные функции непрерывны в своей области определения, так что кандидатов немного. Наклонные асимптоты находятся по теореме о наклонной асимптоте, которая даёт и необходимое, и достаточное условие.

Пункт 5 (монотонность и экстремумы). Между соседними критическими точками (и точками разрыва) производная $f'$ непрерывна и не обращается в нуль, поэтому, как в пункте 3, по теореме Больцано–Коши сохраняет знак. По достаточному условию строгой монотонности $f$ строго монотонна на каждом таком промежутке (включая его концы, где $f$ непрерывна). По необходимому условию экстремума экстремумы могут быть только в критических точках; по достаточному условию по первой производной экстремум есть там, где $f'$ меняет знак, и его нет, где знак сохраняется; в стационарной точке можно также использовать достаточное условие по второй производной.

Пункт 6 (выпуклость и перегибы). Аналогично $f''$ сохраняет знак между соседними точками, где она равна нулю или не существует. По условию выпуклости дважды дифференцируемой функции на промежутках с $f'' > 0$ функция строго выпукла вниз, с $f'' < 0$ — строго выпукла вверх. По необходимому условию точки перегиба перегиб возможен лишь там, где $f''$ равна нулю или не существует, а по достаточному условию он есть там, где $f''$ меняет знак и касательная существует.

Пункт 7 (сводка). Найденные промежутки покрывают всю область определения, поэтому таблица полностью описывает характер монотонности и выпуклости на $D(f)$ ; множество значений на каждом промежутке строгой монотонности непрерывной функции есть промежуток между её значениями (пределами) на концах. Эскиз строится по этим данным. $\blacksquare$

Асимптоты графиков функций

Условие

Найти асимптоты графиков функций:

\text{а)}\ y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 1};\qquad \text{б)}\ y = x + \operatorname{arctg}x;\qquad \text{в)}\ y = \sqrt{x^2 + 2x}.

Решение

Развернуть

а) Числитель $x^2 + 2x - 3 = (x + 1)^2 - 4$ не обращается в нуль при $x = -1$ , и

y = x + 1 - \frac{4}{x + 1}.

При $x\to -1-0$ имеем $y\to+\infty$ , при $x\to -1+0$ $y\to-\infty$ : вертикальная асимптота $x = -1$ . Так как $y - (x + 1) = -\frac{4}{x+1}\to 0$ при $x\to\pm\infty$ , наклонная асимптота $y = x + 1$ (при $x\to\pm\infty$ ).

б) Функция непрерывна на $\mathbb R$ — вертикальных асимптот нет. По теореме о наклонной асимптоте

k = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x + \operatorname{arctg}x}{x} = 1,\qquad b_\pm = \lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{arctg}x = \pm\frac\pi2.

Асимптоты: $y = x + \frac\pi2$ при $x\to+\infty$ и $y = x - \frac\pi2$ при $x\to-\infty$ .

в) Область определения $x^2 + 2x\ge 0$ : $(-\infty, -2]\cup[0, +\infty)$ ; функция непрерывна на ней и вертикальных асимптот нет. При $x\to+\infty$ : $\frac{\sqrt{x^2 + 2x}}{x} = \sqrt{1 + \frac2x}\to 1$ ,

b_+ = \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2 + 2x} - x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{1 + 2/x} + 1} = 1.

При $x\to-\infty$ : $\sqrt{x^2 + 2x} = |x|\sqrt{1 + \frac2x} = -x\sqrt{1 + \frac2x}$ , так что $k_- = -1$ и

b_- = \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2 + 2x} + x\right) = \lim_{x\to-\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \lim_{x\to-\infty}\frac{2x}{-x\left(\sqrt{1 + 2/x} + 1\right)} = -1.

Ответ: а) $x = -1$ и $y = x + 1$ ; б) $y = x + \frac\pi2$ при $x\to+\infty$ , $y = x - \frac\pi2$ при $x\to-\infty$ ; в) $y = x + 1$ при $x\to+\infty$ , $y = -x - 1$ при $x\to-\infty$ .

Односторонняя вертикальная асимптота и отсутствие асимптоты в точке разрыва

Условие

Найти асимптоты графиков функций: а) $y = xe^{1/x}$ ; б) $y = \frac{\sin x}{x}$ .

Решение

Развернуть

а) Область определения $x\ne 0$ . Положим $t = \frac1x$ .

При $x\to 0+0$ имеем $t\to+\infty$ и $xe^{1/x} = \frac{e^t}{t}\to+\infty$ по сравнению роста степенной и показательной функций. При $x\to 0-0$ имеем $t\to-\infty$ , $e^{1/x}\to 0$ , и $xe^{1/x}\to 0$ . Значит, $x = 0$ — вертикальная асимптота (только справа).

Наклонные асимптоты:

k = \lim_{x\to\pm\infty}e^{1/x} = 1,\qquad b = \lim_{x\to\pm\infty}x\left(e^{1/x} - 1\right) = \lim_{t\to 0}\frac{e^t - 1}{t} = 1,

по таблице эквивалентных ( $e^t - 1\sim t$ ). Асимптота $y = x + 1$ при $x\to\pm\infty$ .

б) Функция непрерывна при $x\ne 0$ , и $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ конечен; разрыв в нуле устранимый, вертикальной асимптоты нет. Так как $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1{|x|}\to 0$ , при $x\to\pm\infty$ есть горизонтальная асимптота $y = 0$ . График пересекает асимптоту бесконечно много раз — в точках $x = \pi m$ , $m\in\mathbb Z\setminus\{0\}$ : асимптота может пересекаться с графиком.

Ответ: а) $x = 0$ (при $x\to 0+0$ ) и $y = x + 1$ ; б) $y = 0$ .

Асимптоты и производная — контрпримеры

Условие

а) Привести пример функции, для которой $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = k$ конечен, но наклонной асимптоты при $x\to+\infty$ нет.

б) Доказать, что график $f(x) = x + \frac{\sin(x^2)}{x}$ имеет асимптоту $y = x$ при $x\to+\infty$ , но $f'(x)$ не имеет предела при $x\to+\infty$ (так что угловой коэффициент асимптоты нельзя, вообще говоря, находить как $\lim f'(x)$ ).

Решение

Развернуть

а) Пусть $f(x) = x + \ln x$ , $x > 0$ . Тогда $\frac{f(x)}{x} = 1 + \frac{\ln x}{x}\to 1$ (логарифм растёт медленнее степени), но $f(x) - x = \ln x\to+\infty$ . По теореме о наклонной асимптоте асимптоты нет: второй предел бесконечен.

б) $f(x) - x = \frac{\sin(x^2)}{x}$ и $\left|\frac{\sin(x^2)}{x}\right|\le\frac1x\to 0$ , поэтому $y = x$ — асимптота при $x\to+\infty$ . Производная

f'(x) = 1 + \frac{2x^2\cos(x^2) - \sin(x^2)}{x^2} = 1 + 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2}.

Последнее слагаемое стремится к нулю, а $\cos(x^2)$ предела не имеет: на последовательности $x_m = \sqrt{2\pi m}$ оно равно $1$ , на $y_m = \sqrt{(2m+1)\pi}$ равно $-1$ . Поэтому $f'(x_m)\to 3$ , $f'(y_m)\to -1$ , и $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)$ не существует, хотя $k = 1$ .

Ответ: а) например, $f(x) = x + \ln x$ ; б) утверждение доказано.

Полное исследование функции y = x³/(x² − 1)

Условие

Провести полное исследование функции $y = \frac{x^3}{x^2 - 1}$ и описать её график.

Решение

Развернуть

Область определения $x\ne\pm1$ . Функция нечётна: $y(-x) = -y(x)$ , график симметричен относительно начала координат. Единственный нуль $x = 0$ ; $y > 0$ при $x\in(-1, 0)\cup(1, +\infty)$ , $y < 0$ при $x\in(-\infty, -1)\cup(0, 1)$ .

Асимптоты. Делением получаем

y = x + \frac{x}{x^2 - 1} = x + \frac12\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}\right).

При $x\to 1+0$ $y\to+\infty$ , при $x\to 1-0$ $y\to-\infty$ ; при $x\to -1-0$ $y\to-\infty$ , при $x\to -1+0$ $y\to+\infty$ . Вертикальные асимптоты $x = \pm1$ . Наклонная асимптота $y = x$ при $x\to\pm\infty$ , причём $y - x = \frac{x}{x^2-1} > 0$ при $x > 1$ (график выше асимптоты) и $< 0$ при $x < -1$ (ниже).

Монотонность и экстремумы.

y' = 1 - \frac12\left(\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{(x+1)^2}\right) = 1 - \frac{x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2}.

Стационарные точки $x = 0$ , $x = \pm\sqrt3$ . $y' > 0$ при $|x| > \sqrt3$ , $y' < 0$ при $0 < |x| < \sqrt3$ , $x\ne\pm1$ . Функция возрастает на $(-\infty, -\sqrt3]$ и $[\sqrt3, +\infty)$ , убывает на $[-\sqrt3, -1)$ , $(-1, 1)$ , $(1, \sqrt3]$ . В точке $x = -\sqrt3$ — максимум $y(-\sqrt3) = -\frac{3\sqrt3}{2}\approx -2{,}60$ ; в точке $x = \sqrt3$ — минимум $y(\sqrt3) = \frac{3\sqrt3}{2}\approx 2{,}60$ ; в точке $x = 0$ знак $y'$ не меняется — экстремума нет.

Выпуклость и перегибы.

y'' = \frac{1}{(x-1)^3} + \frac{1}{(x+1)^3} = \frac{(x+1)^3 + (x-1)^3}{(x^2 - 1)^3} = \frac{2x(x^2 + 3)}{(x^2 - 1)^3}.

Знак $y''$ совпадает со знаком $\frac{x}{x^2 - 1}$ : $y'' < 0$ на $(-\infty, -1)$ , $y'' > 0$ на $(-1, 0)$ , $y'' < 0$ на $(0, 1)$ , $y'' > 0$ на $(1, +\infty)$ . Выпукла вверх на $(-\infty, -1)$ и $[0, 1)$ , вниз на $(-1, 0]$ и $(1, +\infty)$ . Точка перегиба $(0, 0)$ , касательная в ней горизонтальна ( $y'(0) = 0$ ): график проходит через начало координат, касаясь оси $Ox$ и переходя через неё.

Описание графика. Ветвь на $(1, +\infty)$ : спускается с $+\infty$ у асимптоты $x = 1$ , выпукла вниз, достигает минимума $\frac{3\sqrt3}2$ при $x = \sqrt3$ и далее возрастает, приближаясь к прямой $y = x$ сверху. Средняя ветвь на $(-1, 1)$ : убывает от $+\infty$ (у $x = -1$ справа) до $-\infty$ (у $x = 1$ слева), проходя через перегиб $(0, 0)$ с горизонтальной касательной. Ветвь на $(-\infty, -1)$ симметрична правой относительно начала координат. Множество значений — $\mathbb R$ .

Ответ: асимптоты $x = \pm1$ , $y = x$ ; $y_{\max} = y(-\sqrt3) = -\frac{3\sqrt3}2$ , $y_{\min} = y(\sqrt3) = \frac{3\sqrt3}2$ ; перегиб в $(0, 0)$ ; выпукла вверх на $(-\infty, -1)$ и $[0, 1)$ , вниз на $(-1, 0]$ и $(1, +\infty)$ .

Полное исследование функции y = x e^{−x}

Условие

Провести полное исследование функции $y = xe^{-x}$ и описать её график.

Решение

Развернуть

Область определения $\mathbb R$ ; функция непрерывна, вертикальных асимптот нет. Функция ни чётная, ни нечётная ( $y(-1) = -e$ , $y(1) = \frac1e$ ). Единственный нуль $x = 0$ ; $y > 0$ при $x > 0$ , $y < 0$ при $x < 0$ .

Асимптоты. При $x\to+\infty$ $xe^{-x} = \frac{x}{e^x}\to 0$ (степенная функция растёт медленнее показательной): горизонтальная асимптота $y = 0$ . При $x\to-\infty$ $y\to-\infty$ и $\frac yx = e^{-x}\to+\infty$ — наклонной асимптоты нет.

Монотонность. $y' = (1 - x)e^{-x}$ : $y' > 0$ при $x < 1$ , $y' < 0$ при $x > 1$ . Функция возрастает на $(-\infty, 1]$ , убывает на $[1, +\infty)$ ; максимум $y(1) = \frac1e\approx 0{,}368$ .

Выпуклость. $y'' = (x - 2)e^{-x}$ : выпукла вверх на $(-\infty, 2]$ , вниз на $[2, +\infty)$ ; точка перегиба $\left(2, \frac{2}{e^2}\right)\approx(2;\ 0{,}271)$ .

Описание графика. Ветвь слева поднимается из $-\infty$ (быстрее любой прямой), проходит через начало координат с касательной $y = x$ ( $y'(0) = 1$ ), достигает максимума $\frac1e$ при $x = 1$ , затем убывает, при $x = 2$ меняет выпуклость и асимптотически приближается к оси $Ox$ сверху. Множество значений $\left(-\infty, \frac1e\right]$ .

Ответ: асимптота $y = 0$ при $x\to+\infty$ ; $y_{\max} = y(1) = \frac1e$ ; перегиб в точке $\left(2, \frac2{e^2}\right)$ ; выпукла вверх на $(-\infty, 2]$ , вниз на $[2, +\infty)$ ; $E(y) = \left(-\infty, \frac1e\right]$ .

Полное исследование функции y = (x+1)²/(x−1)

Условие

Провести полное исследование функции $y = \frac{(x+1)^2}{x - 1}$ и описать её график.

Решение

Развернуть

Область определения $x\ne 1$ ; функция ни чётная, ни нечётная. Нуль $x = -1$ ; $y(0) = -1$ ; $y < 0$ при $x < 1$ , $x\ne -1$ , и $y > 0$ при $x > 1$ .

Асимптоты. Так как $(x + 1)^2 = (x - 1)(x + 3) + 4$ ,

y = x + 3 + \frac{4}{x - 1}.

При $x\to 1+0$ $y\to+\infty$ , при $x\to 1-0$ $y\to-\infty$ : вертикальная асимптота $x = 1$ . Наклонная асимптота $y = x + 3$ при $x\to\pm\infty$ ; график выше неё при $x > 1$ и ниже при $x < 1$ .

Монотонность и экстремумы.

y' = 1 - \frac{4}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}.

$y' > 0$ при $x < -1$ и $x > 3$ , $y' < 0$ при $-1 < x < 1$ и $1 < x < 3$ . Возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[3, +\infty)$ , убывает на $[-1, 1)$ и $(1, 3]$ . Максимум $y(-1) = 0$ , минимум $y(3) = \frac{16}{2} = 8$ .

Выпуклость. $y'' = \frac{8}{(x - 1)^3}$ : выпукла вверх на $(-\infty, 1)$ , вниз на $(1, +\infty)$ . Точек перегиба нет: $y''$ меняет знак только в точке $x = 1$ , не входящей в область определения.

Описание графика. Левая ветвь ( $x < 1$ ): поднимается из $-\infty$ вдоль асимптоты $y = x + 3$ (под ней), касается оси $Ox$ в точке максимума $(-1, 0)$ , затем убывает через $(0, -1)$ к $-\infty$ у асимптоты $x = 1$ ; ветвь выпукла вверх. Правая ветвь ( $x > 1$ ): спускается с $+\infty$ у асимптоты $x = 1$ до минимума $(3, 8)$ , затем возрастает, приближаясь к $y = x + 3$ сверху; ветвь выпукла вниз. Множество значений $(-\infty, 0]\cup[8, +\infty)$ .

Ответ: асимптоты $x = 1$ , $y = x + 3$ ; $y_{\max} = y(-1) = 0$ , $y_{\min} = y(3) = 8$ ; перегибов нет; выпукла вверх на $(-\infty, 1)$ , вниз на $(1, +\infty)$ ; $E(y) = (-\infty, 0]\cup[8, +\infty)$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Асимптоты графика функции

Прямая $x = a$ называется вертикальной асимптотой графика функции $f$ , если хотя бы один из односторонних пределов $f(a - 0)$ , $f(a + 0)$ бесконечен (равен $+\infty$ или $-\infty$ ):

\lim_{x\to a-0}f(x) = \pm\infty\quad\text{или}\quad\lim_{x\to a+0}f(x) = \pm\infty.

Пусть $f$ определена на промежутке $(c, +\infty)$ . Прямая $y = kx + b$ называется наклонной асимптотой графика $f$ при $x\to+\infty$ , если

\lim_{x\to+\infty}\big(f(x) - (kx + b)\big) = 0.

Аналогично определяется наклонная асимптота при $x\to-\infty$ . В случае $k = 0$ асимптота $y = b$ называется горизонтальной; она существует при $x\to+\infty$ тогда и только тогда, когда $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = b$ .

Геометрически: расстояние от точки $(x, f(x))$ графика до асимптоты стремится к нулю при удалении точки в бесконечность вдоль соответствующей ветви. Для наклонной асимптоты это расстояние равно $\frac{|f(x) - kx - b|}{\sqrt{1 + k^2}}$ .

Примеры: $y = \frac1x$ — вертикальная асимптота $x = 0$ и горизонтальная $y = 0$ при $x\to\pm\infty$ ; $y = \operatorname{arctg}x$ — горизонтальные асимптоты $y = \frac\pi2$ при $x\to+\infty$ и $y = -\frac\pi2$ при $x\to-\infty$ .

Бесконечно большая функция

Пусть $f$ определена на $X$ , $a\in\overline{\mathbb R}$ — предельная точка $X$ . Функция $f$ называется бесконечно большой (б.б.) при $x\to a$ , если

\forall M > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\in\dot U_\delta(a)\cap X:\quad |f(x)| > M ,

т. е. $\lim\limits_{x\to a}|f(x)| = +\infty$ ; пишут $\lim\limits_{x\to a}f(x) = \infty$ . Если при этом в той же окрестности $f(x) > M$ (соответственно $f(x) < -M$ ), пишут $\lim\limits_{x\to a}f(x) = +\infty$ (соответственно $-\infty$ ).

Примеры: $\frac1x$ — б.б. при $x\to 0$ , причём $\lim\limits_{x\to 0}\frac1x = \infty$ , но не $+\infty$ и не $-\infty$ ; $\frac1{x^2}\to +\infty$ при $x\to 0$ ; $x^3\to\infty$ при $x\to\infty$ .

Замечание. Б.б. функция не ограничена ни в какой проколотой окрестности точки $a$ , но обратное неверно: $x\sin x$ не ограничена при $x\to +\infty$ , однако не является б.б., так как $x\sin x = 0$ в точках $x = \pi n$ .

Стационарные и критические точки

Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $a$ . Точка $a$ называется стационарной точкой функции $f$ , если

f'(a) = 0.

Точка $a$ называется критической точкой функции $f$ (точкой, подозрительной на экстремум), если либо $f'(a) = 0$ , либо конечная производная $f'(a)$ не существует.

Примеры: для $f(x) = x^3$ точка $0$ стационарная; для $f(x) = |x|$ и $f(x) = \sqrt[3]{x}$ точка $0$ критическая, но не стационарная (у $|x|$ нет производной, у $\sqrt[3]x$ производная бесконечна).

Точка перегиба графика функции

Пусть функция $f$ определена в окрестности точки $a$ , непрерывна в $a$ , и график $f$ имеет в точке $(a, f(a))$ касательную — наклонную (существует конечная $f'(a)$ ) или вертикальную ( $f'(a) = +\infty$ или $f'(a) = -\infty$ ). Точка $a$ называется точкой перегиба функции $f$ (а точка $(a, f(a))$ — точкой перегиба графика), если существует $\delta > 0$ такое, что на одном из промежутков

(a - \delta, a],\qquad [a, a + \delta)

функция $f$ выпукла вниз, а на другом — выпукла вверх, т. е. при переходе через $a$ меняется направление выпуклости.

В точке перегиба с наклонной касательной график переходит с одной стороны касательной на другую (см. связь выпуклости с положением касательной).

Примеры: $x^3$ и $\sqrt[3]x$ имеют перегиб в точке $0$ (у второй — с вертикальной касательной); у $x^4$ точки перегиба нет, хотя $(x^4)''|_{x=0} = 0$ .

Ограниченные, монотонные, чётные и периодические функции

Пусть $f\colon X\to\mathbb R$ , $X\subset\mathbb R$ .

Ограниченность. Функция $f$ ограничена сверху на $X$ , если $\exists M\ \forall x\in X\ \ f(x)\le M$ ; ограничена снизу, если $\exists m\ \forall x\in X\ \ f(x)\ge m$ ; ограничена, если

\exists C > 0\ \ \forall x\in X\quad|f(x)|\le C.

Иначе говоря, $f$ ограничена (сверху, снизу) на $X$ , если таково множество $f(X)$ . Обозначают $\sup_Xf = \sup f(X)$ , $\inf_Xf = \inf f(X)$ .

Монотонность. Функция $f$ называется неубывающей на $X$ , если

\forall x_1, x_2\in X\ \ \bigl(x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)\bigr),

и (строго) возрастающей, если $x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ . Аналогично определяются невозрастающие ( $f(x_1)\ge f(x_2)$ ) и (строго) убывающие ( $f(x_1) > f(x_2)$ ) функции. Все они называются монотонными, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. (В литературе встречается и другая терминология: «возрастающая» в смысле «неубывающая».)

Чётность. Множество $X$ симметрично относительно нуля, если $x\in X\Rightarrow -x\in X$ . Функция $f$ , заданная на симметричном $X$ , называется чётной, если $f(-x) = f(x)$ , и нечётной, если $f(-x) = -f(x)$ при всех $x\in X$ .

Периодичность. Число $T\ne 0$ называется периодом функции $f$ , если для любого $x\in X$

x\pm T\in X\quad\text{и}\quad f(x + T) = f(x).

Функция, имеющая период, называется периодической. Наименьший положительный период (если он существует) называется основным периодом.

Локальный экстремум

Пусть функция $f$ определена на множестве $X\subset\mathbb R$ . Точка $x_0\in X$ называется внутренней точкой множества $X$ , если некоторая её окрестность целиком содержится в $X$ : $\exists\,\delta > 0:\ (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\subset X$ .

Внутренняя точка $x_0$ множества $X$ называется точкой локального максимума функции $f$ , если

\exists\,\delta > 0:\quad (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\subset X\ \ \text{и}\ \ f(x)\le f(x_0)\quad\forall x\in(x_0 - \delta, x_0 + \delta),

и точкой строгого локального максимума, если при этом $f(x) < f(x_0)$ для всех $x\in(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ , $x\ne x_0$ .

Аналогично определяются точка локального минимума ( $f(x)\ge f(x_0)$ ) и точка строгого локального минимума ( $f(x) > f(x_0)$ при $x\ne x_0$ ).

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения $f(x_0)$ в них — локальными максимумами и минимумами (экстремумами) функции.

Замечание. Слово «локальный» подчёркивает, что $f(x_0)$ сравнивается со значениями функции лишь в малой окрестности $x_0$ : локальный максимум может быть меньше локального минимума. Наибольшее значение функции на отрезке, достигнутое во внутренней точке, является локальным максимумом; если же оно достигается на конце отрезка, то этот конец по определению точкой локального экстремума не является (он не внутренний).

Пример. Для $f(x) = |x|$ на $\mathbb R$ точка $x_0 = 0$ — точка строгого локального минимума; для $f(x) = \operatorname{sign}^2 x$ каждая точка $x\ne 0$ является точкой нестрогого локального максимума и минимума одновременно.

Арифметические операции над функциями, имеющими предел

Формулировка

Пусть $f, g$ определены на $X$ , $a$ — предельная точка $X$ , и

\lim_{x\to a}f(x) = A\in\mathbb R,\qquad \lim_{x\to a}g(x) = B\in\mathbb R .

Тогда:

$\lim\limits_{x\to a}(f(x)\pm g(x)) = A\pm B$ ;
$\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x) = AB$ , в частности $\lim\limits_{x\to a}cf(x) = cA$ ;
если $B\ne 0$ , то $g(x)\ne 0$ в некоторой проколотой окрестности $\dot U_{\delta_0}(a)$ , и на множестве $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac AB .

Доказательство

Развернуть

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой $f = A + \alpha$ , $g = B + \beta$ , где $\alpha, \beta$ — б.м. при $x\to a$ . Каждое утверждение сведём к тому, что соответствующая разность является б.м., и снова применим ту же теорему.

$(f\pm g) - (A\pm B) = \alpha\pm\beta$ — б.м. как сумма б.м. (произведение $\beta$ на постоянную $-1$ — б.м.).
$fg - AB = (A + \alpha)(B + \beta) - AB = A\beta + B\alpha + \alpha\beta$ . Слагаемые $A\beta$ , $B\alpha$ — б.м. как произведения б.м. на постоянные, $\alpha\beta$ — б.м. как произведение б.м. По свойству суммы б.м. $fg - AB$ — б.м. При $g\equiv c$ получаем $cf\to cA$ .
По теореме о знакопостоянстве существует $\delta_0 > 0$ такое, что $|g(x)| > \frac{|B|}2 > 0$ при $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ . Точка $a$ остаётся предельной для множества $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ (любая меньшая проколотая окрестность содержит его точки). На этом множестве

\frac fg - \frac AB = \frac{Bf - Ag}{Bg} = \frac{B(A + \alpha) - A(B + \beta)}{Bg} = (B\alpha - A\beta)\cdot\frac1{Bg} .

Множитель $B\alpha - A\beta$ — б.м. по пп. 1, 2 свойств б.м., а $\left|\frac1{Bg(x)}\right| < \frac2{B^2}$ , т. е. $\frac1{Bg}$ локально ограничена. По свойству произведения б.м. на локально ограниченную функцию разность $\frac fg - \frac AB$ — б.м., и $\frac fg\to\frac AB$ . $\blacksquare$

Теоремы об эквивалентных бесконечно больших

Формулировка

Пусть $f, f_1, g, g_1$ — бесконечно большие при $x\to a$ .

Если $f\sim f_1$ , $g\sim g_1$ , то

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f_1(x)}{g_1(x)},

и вообще в произведении и частном бесконечно большие можно заменять эквивалентными (пределы существуют или не существуют одновременно).

Если $g$ — бесконечно большая более низкого порядка роста, чем $f$ (т. е. $g = o(f)$ ), то

f + g\sim f:

сумма бесконечно больших разных порядков роста эквивалентна слагаемому старшего порядка.

Многочлен $P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + a_0$ , $a_n\ne 0$ , $n\ge 1$ , эквивалентен своему старшему члену при $x\to\infty$ :

P(x)\sim a_nx^n.

Следовательно, для многочлена $Q(x) = b_mx^m + \ldots + b_0$ , $b_m\ne 0$ ,

\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} = \begin{cases}\dfrac{a_n}{b_m}, & n = m,\\[2mm] 0, & n < m,\\[1mm] \infty, & n > m.\end{cases}

Доказательство

Развернуть

Теорема о замене эквивалентными в пределах доказана для произвольных функций $\alpha\sim\alpha_1$ (бесконечная малость там не использовалась), поэтому она применима к $f\sim f_1$ , $g\sim g_1$ : $\lim\frac fg = \lim\frac{f_1}{g} = \lim\frac{f_1}{g_1}$ ; так же для произведения $fh$ .
Поскольку $\frac gf\to 0$ , по теореме о пределе суммы

\frac{f + g}{f} = 1 + \frac gf\to 1,

т. е. $f + g\sim f$ .

Для многочлена при $x\ne 0$

\frac{P(x)}{a_nx^n} = 1 + \sum_{k = 0}^{n - 1}\frac{a_k}{a_n}\cdot\frac{1}{x^{n - k}}.

При $x\to\infty$ функции $x^{n - k}$ ( $n - k\ge 1$ ) бесконечно большие, поэтому по теореме о связи бесконечно больших и бесконечно малых $\frac1{x^{n - k}}\to 0$ , и правая часть стремится к $1$ (предел суммы). Итак, $P(x)\sim a_nx^n$ .

По пункту 1

\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n}{b_mx^m} = \frac{a_n}{b_m}\lim_{x\to\infty}x^{n - m}.

При $n = m$ предел равен $\frac{a_n}{b_m}$ ; при $n < m$ функция $x^{n - m} = \frac{1}{x^{m - n}}\to 0$ ; при $n > m$ функция $x^{n - m}$ бесконечно большая, и отношение стремится к $\infty$ . $\blacksquare$

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций

Формулировка

Пусть рассматривается процесс $x\to a$ , $a$ — предельная точка $X$ .

Если $f$ — б.б. при $x\to a$ , то $f(x)\ne 0$ в некоторой проколотой окрестности $\dot U_{\delta_0}(a)$ , и функция $\frac1f$ (на $\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ ) — б.м. при $x\to a$ .
Если $\alpha$ — б.м. при $x\to a$ и $\alpha(x)\ne 0$ при $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ , то $\frac1\alpha$ — б.б. при $x\to a$ .

Доказательство

Развернуть

По определению б.б. при $M = 1$ найдётся $\delta_0 > 0$ с $|f(x)| > 1$ , в частности $f(x)\ne 0$ , при $x\in\dot U_{\delta_0}(a)\cap X$ . Пусть дано $\varepsilon > 0$ . Для $M = \frac1\varepsilon$ найдётся $\delta_1 > 0$ такое, что $|f(x)| > \frac1\varepsilon$ при $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ . При $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}$ и $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$

\left|\frac1{f(x)}\right| < \varepsilon ,

т. е. $\frac1f$ — б.м.

Пусть дано $M > 0$ . Для $\varepsilon = \frac1M$ найдётся $\delta_1 > 0$ такое, что $|\alpha(x)| < \frac1M$ при $x\in\dot U_{\delta_1}(a)\cap X$ . При $\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}$ и $x\in\dot U_\delta(a)\cap X$ имеем $0 < |\alpha(x)| < \frac1M$ , откуда $\left|\frac1{\alpha(x)}\right| > M$ . Значит, $\frac1\alpha$ — б.б. $\blacksquare$

Теорема Больцано–Коши о нулях непрерывной функции

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и на его концах принимает значения разных знаков:

f(a)\cdot f(b) < 0.

Тогда существует точка $c\in(a, b)$ , в которой

f(c) = 0.

Доказательство

Развернуть

Для определённости пусть $f(a) < 0 < f(b)$ (иначе рассмотрим функцию $-f$ , которая непрерывна и имеет те же нули). Построим последовательность вложенных отрезков методом деления пополам. Положим $[a_0, b_0] = [a, b]$ . Пусть построен отрезок $[a_n, b_n]$ , для которого $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ . Обозначим $m_n = \frac{a_n + b_n}2$ . Если $f(m_n) = 0$ , то $c = m_n$ — искомая точка (она лежит в $(a, b)$ ), и доказательство окончено. Если $f(m_n) > 0$ , положим $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [a_n, m_n]$ , если $f(m_n) < 0$ — положим $[a_{n+1}, b_{n+1}] = [m_n, b_n]$ . В обоих случаях снова $f(a_{n+1}) < 0 < f(b_{n+1})$ .

Если процесс не оборвался, получена система вложенных отрезков $[a_0, b_0]\supset[a_1, b_1]\supset\ldots$ с длинами

b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}\le\frac{b - a}{n}

при $n\ge 1$ (так как $2^n\ge n$ ). По следствию из принципа Архимеда для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $n$ с $\frac{b - a}n < \varepsilon$ , т. е. длины отрезков становятся меньше любого $\varepsilon$ . По принципу вложенных отрезков существует единственная точка $c$ , принадлежащая всем отрезкам $[a_n, b_n]$ ; ясно, что $c\in[a, b]$ .

Так как $a_n\le c\le b_n$ , то $|a_n - c|\le b_n - a_n\le\frac{b - a}n$ и $|b_n - c|\le\frac{b - a}n$ , откуда $a_n\to c$ и $b_n\to c$ . Все $a_n, b_n$ лежат в $[a, b]$ , а $f$ непрерывна в точке $c$ (как функция на $[a, b]$ ), поэтому по определению непрерывности по Гейне

f(a_n)\to f(c),\qquad f(b_n)\to f(c).

Переходя к пределу в неравенствах $f(a_n) < 0$ и $f(b_n) > 0$ , по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем $f(c)\le 0$ и $f(c)\ge 0$ , т. е. $f(c) = 0$ . Наконец, $c\ne a$ и $c\ne b$ , так как $f(a)\ne 0$ и $f(b)\ne 0$ ; значит, $c\in(a, b)$ .

Замечание. Метод даёт приближённое значение корня: середина отрезка $[a_n, b_n]$ отличается от некоторого корня не более чем на $\frac{b - a}{2^{n+1}}$ . $\blacksquare$

Непрерывность основных элементарных функций

Формулировка

Функции $y = c$ и $y = x$ непрерывны на $\mathbb R$ ; $x^n$ ( $n\in\mathbb N$ ) и многочлены непрерывны на $\mathbb R$ ; дробно-рациональная функция $\frac{P(x)}{Q(x)}$ непрерывна в каждой точке, где $Q(x)\ne 0$ .
$\sin x$ и $\cos x$ непрерывны на $\mathbb R$ , причём

|\sin x - \sin a|\le|x - a|,\qquad|\cos x - \cos a|\le|x - a|;

$\operatorname{tg} x$ непрерывен при $x\ne\frac\pi2 + \pi k$ , $\operatorname{ctg} x$ — при $x\ne\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ . 3. $\arcsin x$ и $\arccos x$ непрерывны на $[-1, 1]$ ; $\operatorname{arctg} x$ и $\operatorname{arcctg} x$ — на $\mathbb R$ . 4. Показательная функция $a^x$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ), в частности $e^x$ , непрерывна на $\mathbb R$ . 5. Логарифмическая функция $\log_a x$ ( $a > 0$ , $a\ne 1$ ) непрерывна на $(0, +\infty)$ . 6. Степенная функция $x^\alpha$ непрерывна на $(0, +\infty)$ при любом $\alpha\in\mathbb R$ , а при $\alpha > 0$ — на $[0, +\infty)$ (где $0^\alpha = 0$ ). 7. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Доказательство

Развернуть

Для $f(x) = c$ имеем $|f(x) - f(a)| = 0 < \varepsilon$ при любом $\delta$ ; для $f(x) = x$ достаточно взять $\delta = \varepsilon$ . Тогда $x^n = x\cdot\ldots\cdot x$ непрерывна как произведение непрерывных функций (индукция по $n$ ), многочлен $\sum c_kx^k$ — как сумма произведений непрерывных функций, а $\frac PQ$ — как частное непрерывных функций в точках, где $Q\ne 0$ (теорема об арифметических операциях над непрерывными функциями).
При доказательстве первого замечательного предела установлено неравенство $\sin t < t$ при $0 < t < \frac\pi2$ ; по нечётности $|\sin t| < |t|$ при $0 < |t| < \frac\pi2$ , а при $|t|\ge\frac\pi2 > 1$ имеем $|\sin t|\le 1 < |t|$ . Итак, $|\sin t|\le|t|$ для всех $t$ . Отсюда

|\sin x - \sin a| = 2\Bigl|\sin\frac{x - a}2\Bigr|\Bigl|\cos\frac{x + a}2\Bigr|\le 2\cdot\frac{|x - a|}2 = |x - a|,

и аналогично $|\cos x - \cos a| = 2\bigl|\sin\frac{x - a}2\bigr|\bigl|\sin\frac{x + a}2\bigr|\le|x - a|$ . Поэтому в определении непрерывности на языке $\varepsilon$ – $\delta$ можно взять $\delta = \varepsilon$ . Функции $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ непрерывны как частные там, где знаменатель не равен нулю.

На $[-\frac\pi2, \frac\pi2]$ функция $\sin$ непрерывна и строго возрастает: при $-\frac\pi2\le x < y\le\frac\pi2$ имеем $\sin y - \sin x = 2\sin\frac{y - x}2\cos\frac{y + x}2 > 0$ . По теореме об обратной функции её множество значений — отрезок $[\sin(-\frac\pi2), \sin\frac\pi2] = [-1, 1]$ , а обратная функция $\arcsin$ непрерывна на $[-1, 1]$ . Аналогично $\cos$ строго убывает на $[0, \pi]$ ( $\cos y - \cos x = -2\sin\frac{y + x}2\sin\frac{y - x}2 < 0$ ), и $\arccos$ непрерывен на $[-1, 1]$ . На $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$ функция $\operatorname{tg}$ непрерывна и строго возрастает: $\operatorname{tg} y - \operatorname{tg} x = \frac{\sin(y - x)}{\cos x\cos y} > 0$ при $x < y$ . При $x\to\frac\pi2 - 0$ имеем $\sin x\to 1$ , $\cos x\to+0$ , поэтому $\frac1{\cos x}$ — бесконечно большая (связь бесконечно малых и бесконечно больших) и $\operatorname{tg} x\to+\infty$ ; аналогично $\operatorname{tg} x\to-\infty$ при $x\to-\frac\pi2 + 0$ . По теореме об обратной функции множество значений — интервал $(\inf\operatorname{tg}, \sup\operatorname{tg}) = \mathbb R$ , и $\operatorname{arctg}$ непрерывен на $\mathbb R$ . Для $\operatorname{ctg}$ на $(0, \pi)$ (строго убывает: $\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} y = \frac{\sin(y - x)}{\sin x\sin y} > 0$ ) рассуждение то же, и $\operatorname{arcctg}$ непрерывен на $\mathbb R$ .
Пусть $a > 1$ . Используем известные свойства степени с действительным показателем: $a^x > 0$ , $a^{x + y} = a^xa^y$ , $a^0 = 1$ , $a^x$ строго возрастает. Покажем, что $a^{1/n}\to 1$ . Положим $h_n = a^{1/n} - 1 > 0$ ; по неравенству Бернулли $a = (1 + h_n)^n\ge 1 + nh_n$ , откуда $0 < h_n\le\frac{a - 1}n$ , и по теореме о трёх последовательностях $h_n\to 0$ . Тогда и $a^{-1/n} = \frac1{a^{1/n}}\to 1$ . Для $\varepsilon\in(0, 1)$ выберем $n$ так, что $a^{1/n} < 1 + \varepsilon$ и $a^{-1/n} > 1 - \varepsilon$ . При $|x| < \delta = \frac1n$ по монотонности

1 - \varepsilon < a^{-1/n} < a^x < a^{1/n} < 1 + \varepsilon,

т. е. $|a^x - 1| < \varepsilon$ : функция непрерывна в нуле. В произвольной точке $x_0$ приращение

\Delta y = a^{x_0 + \Delta x} - a^{x_0} = a^{x_0}\bigl(a^{\Delta x} - 1\bigr)\to 0\quad(\Delta x\to 0),

что по определению непрерывности через приращения означает непрерывность в $x_0$ . При $0 < a < 1$ имеем $a^x = \frac1{(1/a)^x}$ , где $\frac1a > 1$ , и непрерывность следует из теоремы о частном. Частный случай $a = e > 1$ даёт непрерывность $e^x$ .

Пусть $a > 1$ . Функция $a^x$ непрерывна и строго возрастает на $\mathbb R$ . По неравенству Бернулли $a^n = (1 + (a - 1))^n\ge 1 + n(a - 1)$ , так что $a^x$ не ограничена сверху, а $a^{-n} = \frac1{a^n}\le\frac1{1 + n(a - 1)}$ , так что $\inf a^x = 0$ (все значения положительны). По теореме об обратной функции множество значений есть $(0, +\infty)$ , а обратная функция $\log_a x$ строго возрастает и непрерывна на $(0, +\infty)$ . При $0 < a < 1$ имеем $\log_a x = -\log_{1/a} x$ , и непрерывность следует из уже доказанного.
При $x > 0$ по определению степени $x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$ . Функция $\ln x$ непрерывна на $(0, +\infty)$ (п. 5), $\alpha\ln x$ — тоже, а $e^t$ непрерывна на $\mathbb R$ (п. 4); по теореме о непрерывности сложной функции $x^\alpha$ непрерывна на $(0, +\infty)$ . Пусть $\alpha > 0$ ; тогда $x^\alpha$ строго возрастает на $(0, +\infty)$ как композиция возрастающих функций, и для $\varepsilon > 0$ при $0\le x < \delta = \varepsilon^{1/\alpha}$ имеем $0\le x^\alpha < \delta^\alpha = \varepsilon$ , т. е. $x^\alpha$ непрерывна справа в нуле.
Элементарная функция получается из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. Индукцией по числу операций: если функции, участвующие в очередной операции, непрерывны в каждой точке своих областей определения, то по теоремам об арифметических операциях над непрерывными функциями и о непрерывности сложной функции результат непрерывен в каждой точке своей области определения. База — пп. 1–6. $\blacksquare$

Необходимые и достаточные условия монотонности

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дифференцируема во всех его внутренних точках (множество внутренних точек обозначим $\mathring X$ ).

$f$ не убывает на $X$ тогда и только тогда, когда

f'(x)\ge 0\quad\text{для всех } x\in\mathring X;

аналогично $f$ не возрастает на $X$ $\iff$ $f'(x)\le 0$ на $\mathring X$ . 2. Если $f'(x) > 0$ на $\mathring X$ , то $f$ строго возрастает на $X$ (если $f' < 0$ — строго убывает). Обратное неверно: $f(x) = x^3$ строго возрастает на $\mathbb R$ , но $f'(0) = 0$ . 3. (Критерий строгой монотонности.) $f$ строго возрастает на $X$ тогда и только тогда, когда $f'(x)\ge 0$ на $\mathring X$ и $f'$ не обращается тождественно в нуль ни на каком интервале $(\alpha, \beta)\subset X$ .

Доказательство

Развернуть

Необходимость в пункте 1. Пусть $f$ не убывает на $X$ и $x\in\mathring X$ . Для всех достаточно малых $h\ne 0$ точка $x + h\in X$ , и разностное отношение $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\ge 0$ : при $h > 0$ числитель неотрицателен, при $h < 0$ неположителен. Переходя к пределу в неравенстве при $h\to 0$ , получаем $f'(x)\ge 0$ .

Достаточность в пунктах 1 и 2. Пусть $x_1, x_2\in X$ , $x_1 < x_2$ . На отрезке $[x_1, x_2]$ функция $f$ непрерывна, а на $(x_1, x_2)\subset\mathring X$ дифференцируема. По теореме Лагранжа

f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1),\quad c\in(x_1, x_2).

Если $f'\ge 0$ на $\mathring X$ , то $f(x_2)\ge f(x_1)$ ; если $f' > 0$ , то $f(x_2) > f(x_1)$ . Случай невозрастания получается заменой $f$ на $-f$ .

Необходимость в пункте 3. Если $f$ строго возрастает, то по пункту 1 $f'\ge 0$ на $\mathring X$ . Если бы $f'\equiv 0$ на некотором интервале $(\alpha, \beta)\subset X$ , то по следствию теоремы Лагранжа $f$ была бы постоянной на $(\alpha, \beta)$ , что противоречит строгому возрастанию.

Достаточность в пункте 3. По пункту 1 $f$ не убывает. Пусть $f$ не является строго возрастающей: $f(x_1) = f(x_2)$ для некоторых $x_1 < x_2$ . Тогда для $x\in[x_1, x_2]$ из монотонности $f(x_1)\le f(x)\le f(x_2) = f(x_1)$ , т. е. $f$ постоянна на $[x_1, x_2]$ и $f'\equiv 0$ на $(x_1, x_2)$ — противоречие с условием. $\blacksquare$

Достаточное условие экстремума по первой производной

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна в точке $a$ и дифференцируема в проколотой окрестности $(a - \delta, a)\cup(a, a + \delta)$ .

Если $f'(x) > 0$ при $x\in(a - \delta, a)$ и $f'(x) < 0$ при $x\in(a, a + \delta)$ (производная меняет знак с « $+$ » на « $-$ »), то $a$ — точка строгого локального максимума.
Если $f' < 0$ на $(a - \delta, a)$ и $f' > 0$ на $(a, a + \delta)$ (смена знака с « $-$ » на « $+$ »), то $a$ — точка строгого локального минимума.
Если $f'$ имеет один и тот же знак на $(a - \delta, a)$ и на $(a, a + \delta)$ , то экстремума в точке $a$ нет.

Доказательство

Развернуть

Функция $f$ дифференцируема, а значит, непрерывна на $(a - \delta, a)$ и непрерывна в точке $a$ ; поэтому для любого $x\in(a - \delta, a)$ она непрерывна на $[x, a]$ и дифференцируема на $(x, a)$ . Аналогично для $x\in(a, a+\delta)$ и отрезка $[a, x]$ .

Пункт 1. Для $x\in(a - \delta, a)$ по теореме Лагранжа

f(a) - f(x) = f'(c)(a - x) > 0,\quad c\in(x, a),

так как $f'(c) > 0$ . Для $x\in(a, a + \delta)$ :

f(x) - f(a) = f'(c)(x - a) < 0,\quad c\in(a, x).

Итак, $f(x) < f(a)$ при всех $x\ne a$ из окрестности — строгий максимум.

Пункт 2 получается применением пункта 1 к функции $-f$ .

Пункт 3. Пусть $f' > 0$ с обеих сторон. Те же оценки дают $f(x) < f(a)$ при $x\in(a - \delta, a)$ и $f(x) > f(a)$ при $x\in(a, a+\delta)$ , так что в любой окрестности $a$ есть значения как меньше, так и больше $f(a)$ ; экстремума нет. Случай $f' < 0$ аналогичен. $\blacksquare$

Достаточное условие экстремума по второй производной

Формулировка

Пусть функция $f$ дважды дифференцируема в точке $a$ и

f'(a) = 0.

Если $f''(a) > 0$ , то $a$ — точка строгого локального минимума; если $f''(a) < 0$ — точка строгого локального максимума. При $f''(a) = 0$ вывод сделать нельзя (функции $x^3$ , $x^4$ , $-x^4$ в точке $0$ ).

Доказательство

Развернуть

По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано порядка $2$ с учётом $f'(a) = 0$

f(x) - f(a) = \frac{f''(a)}{2}(x - a)^2 + o((x - a)^2) = (x - a)^2\left(\frac{f''(a)}{2} + \alpha(x)\right),

где $\alpha(x)\to 0$ при $x\to a$ .

Выражение в скобках стремится к $\frac{f''(a)}{2}\ne 0$ , поэтому по теореме о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел, оно имеет знак $f''(a)$ в некоторой проколотой окрестности точки $a$ .

Так как $(x - a)^2 > 0$ при $x\ne a$ , в этой окрестности разность $f(x) - f(a)$ имеет знак $f''(a)$ : при $f''(a) > 0$ имеем $f(x) > f(a)$ (строгий минимум), при $f''(a) < 0$ имеем $f(x) < f(a)$ (строгий максимум).

Для $x^3$ , $x^4$ , $-x^4$ в нуле $f' = f'' = 0$ , а в нуле соответственно нет экстремума, минимум и максимум. $\blacksquare$

Условие выпуклости дважды дифференцируемой функции

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $X$ и дважды дифференцируема во внутренних точках $X$ . Тогда

$f$ выпукла вниз на $X$ $\iff$ $f''(x)\ge 0$ при всех внутренних $x\in X$ ; $f$ выпукла вверх $\iff$ $f''\le 0$ ;
(достаточное условие строгой выпуклости) если $f''(x) > 0$ во всех внутренних точках $X$ , то $f$ строго выпукла вниз на $X$ ; если $f'' < 0$ — строго выпукла вверх.

Обратное к пункту 2 неверно: $f(x) = x^4$ строго выпукла вниз на $\mathbb R$ , но $f''(0) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\mathring X$ — множество внутренних точек $X$ ; это интервал, на котором $f'$ дифференцируема (и, значит, непрерывна).

По критерию монотонности, применённому к функции $f'$ на интервале $\mathring X$ , $f'$ не убывает на $\mathring X$ тогда и только тогда, когда $(f')' = f''\ge 0$ на $\mathring X$ .

По условию выпуклости по первой производной $f$ выпукла вниз на $X$ тогда и только тогда, когда $f'$ не убывает на $\mathring X$ . Объединяя, получаем пункт 1.

Если $f'' > 0$ на $\mathring X$ , то по достаточному условию строгой монотонности $f'$ строго возрастает на $\mathring X$ , и по тому же условию по первой производной $f$ строго выпукла вниз на $X$ .

Для $x^4$ : $f'(x) = 4x^3$ строго возрастает на $\mathbb R$ , поэтому $x^4$ строго выпукла вниз, хотя $f''(0) = 0$ . Случай выпуклости вверх получается заменой $f$ на $-f$ . $\blacksquare$

Необходимое условие точки перегиба

Формулировка

Если $a$ — точка перегиба функции $f$ и функция $f$ дважды дифференцируема в точке $a$ (в частности, если $f''$ существует в окрестности $a$ и непрерывна в $a$ ), то

f''(a) = 0.

Следовательно, точками перегиба могут быть лишь точки, в которых $f''$ равна нулю или не существует.

Доказательство

Развернуть

Так как $f''(a)$ существует, функция $f'$ определена (конечна) в некоторой окрестности $(a - \delta, a + \delta)$ точки $a$ ; уменьшив $\delta$ , можно считать, что на $(a - \delta, a]$ функция выпукла вниз, а на $[a, a + \delta)$ — вверх (противоположный случай сводится к этому заменой $f$ на $-f$ ).

Пусть $x_1\in(a - \delta, a)$ . По лемме о трёх хордах для выпуклой вниз на $(a - \delta, a]$ функции при любом $x\in(x_1, a)$

\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1}\le\frac{f(a) - f(x_1)}{a - x_1}\le\frac{f(a) - f(x)}{a - x}.

Переходя к пределу при $x\to x_1+$ в левом неравенстве и при $x\to a-$ в правом (производные в точках $x_1$ и $a$ существуют), получаем $f'(x_1)\le\frac{f(a) - f(x_1)}{a - x_1}\le f'(a)$ — так же, как в доказательстве необходимости условия выпуклости по первой производной. Аналогично для $x_2\in(a, a + \delta)$ из выпуклости вверх на $[a, a + \delta)$ получаем $f'(a)\ge f'(x_2)$ .

Значит, $f'(x)\le f'(a)$ при всех $x\in(a - \delta, a + \delta)$ , т. е. $a$ — точка локального максимума функции $f'$ .

Функция $f'$ дифференцируема в точке $a$ , поэтому по теореме Ферма $(f')'(a) = f''(a) = 0$ . $\blacksquare$

Достаточные условия точки перегиба

Формулировка

Пусть функция $f$ непрерывна в точке $a$ , график имеет в точке $(a, f(a))$ касательную (наклонную или вертикальную), $f$ дважды дифференцируема в проколотой окрестности $(a - \delta, a)\cup(a, a + \delta)$ , и $f''$ имеет разные знаки на $(a - \delta, a)$ и на $(a, a + \delta)$ . Тогда $a$ — точка перегиба.
Если $f$ трижды дифференцируема в точке $a$ ,

f''(a) = 0,\qquad f'''(a)\ne 0,

то $a$ — точка перегиба.

Доказательство

Развернуть

Пункт 1. Пусть, например, $f'' > 0$ на $(a - \delta, a)$ и $f'' < 0$ на $(a, a + \delta)$ . Функция $f$ непрерывна на $(a - \delta, a]$ (на $(a - \delta, a)$ она дифференцируема, а в $a$ непрерывна по условию) и дважды дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, где $f'' > 0$ ; по условию выпуклости дважды дифференцируемой функции $f$ выпукла вниз на $(a - \delta, a]$ . Аналогично $f$ выпукла вверх на $[a, a + \delta)$ . Так как касательная в точке $a$ существует, по определению $a$ — точка перегиба.

Пункт 2. Существование $f'''(a)$ означает, что $f''$ определена в окрестности $a$ ; в частности, $f'(a)$ конечна и касательная наклонная. Так как $f''(a) = 0$ ,

\frac{f''(x)}{x - a} = \frac{f''(x) - f''(a)}{x - a}\xrightarrow[x\to a]{} f'''(a)\ne 0.

По теореме о знакопостоянстве в некоторой проколотой окрестности точки $a$ дробь $\frac{f''(x)}{x - a}$ имеет знак $f'''(a)$ . Значит, $f''(x)$ имеет разные знаки при $x < a$ и $x > a$ , и по пункту 1 $a$ — точка перегиба. $\blacksquare$

Сравнение роста логарифмической, степенной и показательной функций

Формулировка

Пусть $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ , $a > 1$ . Тогда при $x\to+\infty$

\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^\beta x}{x^\alpha} = 0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{a^x} = 0,

т.е. $\ln^\beta x = o(x^\alpha)$ и $x^\alpha = o(a^x)$ : любая положительная степень логарифма растёт медленнее любой положительной степени $x$ , а любая степень $x$ — медленнее любой показательной функции с основанием $a > 1$ .

Следствия.

$\lim\limits_{x\to 0 + 0}x^\alpha\ln^\beta\frac1x = 0$ ; в частности, $\lim\limits_{x\to 0 + 0}x^\alpha\ln x = 0$ .
Для последовательностей: $\frac{\ln^\beta n}{n^\alpha}\to 0$ , $\frac{n^\alpha}{a^n}\to 0$ при $n\to\infty$ .

Доказательство

Развернуть

Сначала докажем, что $\frac{\ln x}{x^\gamma}\to 0$ при любом $\gamma > 0$ . Это неопределённость $\left[\frac\infty\infty\right]$ : функции $\ln x$ и $x^\gamma$ дифференцируемы на $(1, +\infty)$ , $(x^\gamma)' = \gamma x^{\gamma - 1}\ne 0$ , $x^\gamma\to+\infty$ , и

\frac{(\ln x)'}{(x^\gamma)'} = \frac{1/x}{\gamma x^{\gamma - 1}} = \frac{1}{\gamma x^\gamma}\to 0.

По теореме Бернулли–Лопиталя для неопределённости $\left[\frac\infty\infty\right]$ $\frac{\ln x}{x^\gamma}\to 0$ .

Далее при $x > 1$ , $\gamma = \alpha/\beta$ :

\frac{\ln^\beta x}{x^\alpha} = \left(\frac{\ln x}{x^{\alpha/\beta}}\right)^\beta.

Функция $t\mapsto t^\beta$ непрерывна в точке $t = 0$ (справа) и $0^\beta = 0$ , поэтому по теореме о предельном переходе под знаком непрерывной функции предел равен $0^\beta = 0$ .

Аналогично сначала докажем, что $\frac{x}{b^x}\to 0$ при $b > 1$ : по той же теореме, так как $b^x\to+\infty$ , $(b^x)' = b^x\ln b\ne 0$ и

\frac{(x)'}{(b^x)'} = \frac{1}{b^x\ln b}\to 0.

Затем $\frac{x^\alpha}{a^x} = \left(\frac{x}{b^x}\right)^\alpha$ с $b = a^{1/\alpha} > 1$ , и снова по непрерывности $t^\alpha$ в нуле предел равен $0$ .

Следствие 1: замена $x = 1/t$ , $t\to+\infty$ , даёт $x^\alpha\ln^\beta\frac1x = \frac{\ln^\beta t}{t^\alpha}\to 0$ ; при $\beta = 1$ получаем $x^\alpha\ln x = -\frac{\ln t}{t^\alpha}\to 0$ .

Следствие 2 вытекает из определения предела функции по Гейне (эквивалентного определению по Коши): если $\varphi(x)\to 0$ при $x\to+\infty$ , то $\varphi(n)\to 0$ для последовательности $x_n = n\to+\infty$ . $\blacksquare$

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Формулировка

При $x\to 0$ справедливы эквивалентности

\sin x\sim x,\quad \operatorname{tg}x\sim x,\quad \arcsin x\sim x,\quad \operatorname{arctg}x\sim x,

\ln(1 + x)\sim x,\qquad e^x - 1\sim x,

a^x - 1\sim x\ln a,\qquad \log_a(1 + x)\sim\frac{x}{\ln a}\qquad(a > 0,\ a\ne 1),

1 - \cos x\sim\frac{x^2}2,\qquad (1 + x)^\mu - 1\sim\mu x\qquad(\mu\ne 0).

Равносильно (по критерию эквивалентности): $\sin x = x + o(x)$ , $\ln(1 + x) = x + o(x)$ , $e^x = 1 + x + o(x)$ , $\cos x = 1 - \frac{x^2}2 + o(x^2)$ , $(1 + x)^\mu = 1 + \mu x + o(x)$ и т. д.

Доказательство

Развернуть

Все функции, стоящие в таблице, отличны от нуля в некоторой проколотой окрестности нуля (например, $\sin x\ne 0$ при $0 < |x| < \pi$ , $1 - \cos x\ne 0$ при $0 < |x| < 2\pi$ , $(1 + x)^\mu\ne 1$ при $x\ne 0$ , $x > -1$ ), так что отношения определены. Нужно проверить, что отношение левой и правой частей стремится к $1$ .

По первому замечательному пределу $\frac{\sin x}x\to 1$ . По следствиям из него

\frac{\operatorname{tg}x}x\to 1,\qquad\frac{\arcsin x}x\to 1,\qquad\frac{\operatorname{arctg}x}x\to 1,

а также $\frac{1 - \cos x}{x^2}\to\frac12$ , откуда

\frac{1 - \cos x}{x^2/2} = 2\cdot\frac{1 - \cos x}{x^2}\to 1.

По следствиям второго замечательного предела $\frac{\ln(1 + x)}x\to 1$ и $\frac{e^x - 1}x\to 1$ .
Для $a > 0$ , $a\ne 1$ имеем $\ln a\ne 0$ и $\frac{a^x - 1}{x}\to\ln a$ , поэтому

\frac{a^x - 1}{x\ln a} = \frac1{\ln a}\cdot\frac{a^x - 1}x\to 1.

Так как $\log_a(1 + x) = \frac{\ln(1 + x)}{\ln a}$ , то $\dfrac{\log_a(1 + x)}{x/\ln a} = \dfrac{\ln(1 + x)}{x}\to 1$ .

По следствию второго замечательного предела $\frac{(1 + x)^\mu - 1}x\to\mu$ , и при $\mu\ne 0$

\frac{(1 + x)^\mu - 1}{\mu x}\to\frac\mu\mu = 1.

Запись через $o$ следует из критерия эквивалентности: $\alpha\sim\beta\iff\alpha = \beta + o(\beta)$ ; например, $1 - \cos x = \frac{x^2}2 + o\big(\frac{x^2}2\big) = \frac{x^2}2 + o(x^2)$ (постоянный множитель внутри $o$ можно опустить). $\blacksquare$

Асимптоты. Исследование функций и построение графиков

Теорема о наклонной асимптоте

Формулировка

Доказательство

Асимптоты рациональной функции

Формулировка

Доказательство

Общая схема исследования функции и построения графика

Формулировка

Доказательство

Асимптоты графиков функций

Условие

Решение

Односторонняя вертикальная асимптота и отсутствие асимптоты в точке разрыва

Условие

Решение

Асимптоты и производная — контрпримеры

Условие

Решение

Полное исследование функции y = x³/(x² − 1)

Условие

Решение

Полное исследование функции y = x e^{−x}

Условие

Решение

Полное исследование функции y = (x+1)²/(x−1)

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Асимптоты графика функции

Бесконечно большая функция

Стационарные и критические точки

Точка перегиба графика функции

Ограниченные, монотонные, чётные и периодические функции

Локальный экстремум

Арифметические операции над функциями, имеющими предел

Формулировка

Доказательство

Теоремы об эквивалентных бесконечно больших

Формулировка

Доказательство

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций

Формулировка

Доказательство

Теорема Больцано–Коши о нулях непрерывной функции

Формулировка

Доказательство

Непрерывность основных элементарных функций

Формулировка

Доказательство

Необходимые и достаточные условия монотонности

Формулировка

Доказательство

Достаточное условие экстремума по первой производной

Формулировка

Доказательство

Достаточное условие экстремума по второй производной

Формулировка

Доказательство

Условие выпуклости дважды дифференцируемой функции

Формулировка

Доказательство

Необходимое условие точки перегиба

Формулировка

Доказательство

Достаточные условия точки перегиба

Формулировка

Доказательство

Сравнение роста логарифмической, степенной и показательной функций

Формулировка

Доказательство

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Формулировка

Доказательство