Спектр линейного оператора

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Спектр ограничен и замкнут
Тождество Гильберта для резольвенты
Непустота спектра. Спектральный радиус
Свойства собственных элементов
Спектр оператора в конечномерном пространстве
Спектр оператора Вольтерра

теорема

Спектр ограничен и замкнут

Формулировка

При $|\lambda| > \|A\|$ число $\lambda$ регулярно и

R_\lambda = -\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{\lambda^{k+1}}.

Резольвентное множество открыто: если $\lambda_0\in\rho(A)$ и $|\lambda - \lambda_0| < 1/\|R_{\lambda_0}\|$ , то $\lambda\in\rho(A)$ .

Следовательно, спектр — замкнутое множество в круге $|\lambda|\le\|A\|$ , то есть компакт.

Доказательство

Развернуть

$A - \lambda I = -\lambda\left(I - \frac A\lambda\right)$ , и $\left\|\frac A\lambda\right\| < 1$ . По теореме о ряде Неймана оператор обратим и $(A - \lambda I)^{-1} = -\frac1\lambda\sum\frac{A^k}{\lambda^k}$ .
$A - \lambda I = (A - \lambda_0I) - (\lambda - \lambda_0)I$ , и по следствию теоремы о ряде Неймана этот оператор непрерывно обратим при $\|(\lambda - \lambda_0)I\| = |\lambda - \lambda_0| < 1/\|R_{\lambda_0}\|$ . $\blacksquare$

лемма

Тождество Гильберта для резольвенты

Формулировка

Для $\lambda, \mu\in\rho(A)$

R_\lambda - R_\mu = (\lambda - \mu)R_\lambda R_\mu,

резольвенты коммутируют, и функция $\lambda\mapsto R_\lambda$ непрерывна на $\rho(A)$ по норме.

Доказательство

Развернуть

$R_\lambda - R_\mu = R_\lambda\bigl[(A - \mu I) - (A - \lambda I)\bigr]R_\mu = (\lambda - \mu)R_\lambda R_\mu$ . Поменяв ролями $\lambda$ и $\mu$ , получаем $R_\lambda R_\mu = R_\mu R_\lambda$ .

Из доказательства открытости $\rho(A)$ следует, что $\|R_\lambda\|$ ограничена вблизи $\lambda_0$ , и тогда по тождеству $\|R_\lambda - R_{\lambda_0}\|\le|\lambda - \lambda_0|\|R_\lambda\|\|R_{\lambda_0}\|\to 0$ . $\blacksquare$

теорема

Непустота спектра. Спектральный радиус

Формулировка

Спектр ограниченного оператора в комплексном банаховом пространстве $E\ne\{0\}$ непуст, и его спектральный радиус $r(A) = \max_{\lambda\in\sigma(A)}|\lambda|$ равен

r(A) = \lim_{n\to\infty}\|A^n\|^{1/n}\le\|A\|.

Доказательство

Развернуть

В курсе приводится без полного доказательства. Идея: для любого $f\in\mathcal L(E)^*$ функция $\lambda\mapsto f(R_\lambda)$ по тождеству Гильберта аналитична на $\rho(A)$ и стремится к нулю при $|\lambda|\to\infty$ (так как $\|R_\lambda\|\le\frac1{|\lambda| - \|A\|}$ ). Если бы спектр был пуст, она была бы целой ограниченной функцией и по теореме Лиувилля равнялась бы нулю. Тогда по теореме Хана–Банаха $R_\lambda = 0$ , что невозможно. Формула для $r(A)$ получается из разложения $R_\lambda$ в ряд Лорана в области $|\lambda| > r(A)$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства собственных элементов

Формулировка

Собственное подпространство $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ ограниченного оператора замкнуто.
Собственные элементы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство

Развернуть

Это ядро ограниченного оператора $A - \lambda I$ , то есть прообраз замкнутого множества $\{0\}$ .
Индукция по числу элементов. Пусть $Ax_k = \lambda_kx_k$ , $k\le n$ , и $\sum_{k\le n}c_kx_k = 0$ . Применим $A - \lambda_nI$ : $\sum_{k<n}c_k(\lambda_k - \lambda_n)x_k = 0$ . По предположению индукции $c_k(\lambda_k - \lambda_n) = 0$ , то есть $c_k = 0$ при $k < n$ . Тогда $c_nx_n = 0$ и $c_n = 0$ . $\blacksquare$

следствие

Спектр оператора в конечномерном пространстве

Формулировка

В конечномерном пространстве спектр оператора состоит только из собственных значений — корней характеристического многочлена.

Доказательство

Развернуть

Если $\lambda$ не собственное значение, то $A - \lambda I$ инъективен, а по теореме о ранге и дефекте и сюръективен. Обратный оператор линеен и, как любой линейный оператор в конечномерном пространстве, ограничен (это следует из ограниченности координатных функционалов). Значит, $\lambda\in\rho(A)$ . Собственные значения — корни характеристического многочлена. $\blacksquare$

теорема

Спектр оператора Вольтерра

Формулировка

Для оператора Вольтерра $(Vx)(t) = \int_a^tK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным ядром в $C[a, b]$ спектр содержится в $\{0\}$ . Для оператора интегрирования $(Jx)(t) = \int_a^tx(s)\,ds$ спектр равен $\{0\}$ , а собственных значений нет.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda\ne 0$ . Уравнение $(V - \lambda I)x = f$ равносильно уравнению Вольтерра второго рода $x = \frac1\lambda Vx - \frac f\lambda$ , которое по теореме об уравнении Вольтерра однозначно разрешимо при любом значении параметра и любой $f$ (доказательство теоремы об уравнении Вольтерра дословно переносится на комплексные значения параметра). Значит, $V - \lambda I$ — биекция банахова пространства $C[a, b]$ , и по теореме Банаха обратный оператор ограничен: $\lambda\in\rho(V)$ .

Для $J$ : если $Jx = 0$ , то $\int_a^tx = 0$ при всех $t$ , и после дифференцирования $x = 0$ . Значит, $0$ не собственное значение. Но $0\in\sigma(J)$ : образ $J$ состоит из функций с $x(a) = 0$ и не совпадает с $C[a, b]$ . $\blacksquare$

Спектр оператора умножения на t

Условие

Найти спектр и резольвенту оператора $(Ax)(t) = tx(t)$ в $C[0, 1]$ (комплексном). Есть ли у него собственные значения?

Решение

Развернуть

При $\lambda\notin[0, 1]$ функция $t - \lambda$ не обращается в нуль, и $(R_\lambda f)(t) = \dfrac{f(t)}{t - \lambda}$ — ограниченный оператор с нормой $\max_t\frac1{|t - \lambda|}$ .

При $\lambda\in[0, 1]$ все функции из образа $A - \lambda I$ обращаются в нуль в точке $t = \lambda$ , так что оператор не сюръективен и $\lambda\in\sigma(A)$ . Собственных значений нет: из $(t - \lambda)x(t)\equiv 0$ следует $x = 0$ вне точки $\lambda$ , а по непрерывности и всюду.

Ответ: $\sigma(A) = [0, 1]$ , собственных значений нет.

Спектры операторов сдвига в l₂

Условие

Найти собственные значения и спектр операторов левого сдвига $S_l$ и правого сдвига $S_r$ в комплексном $l_2$ .

Решение

Развернуть

$\|S_l\| = \|S_r\| = 1$ , поэтому спектры лежат в круге $|\lambda|\le 1$ .

$S_l$ : уравнение $S_lx = \lambda x$ даёт $x_{k+1} = \lambda x_k$ , $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$ . Это элемент $l_2$ при $|\lambda| < 1$ . Все точки открытого круга — собственные значения. Спектр замкнут, поэтому $\sigma(S_l) = \{|\lambda|\le 1\}$ .

$S_r$ : из $S_rx = \lambda x$ получаем $\lambda x_1 = 0$ , $\lambda x_{k+1} = x_k$ , откуда $x = 0$ . Собственных значений нет. При $|\lambda| < 1$ образ $S_r - \lambda I$ не всюду плотен: для $y = (1, \bar\lambda, \bar\lambda^2, \dots)\in l_2$ имеем $((S_r - \lambda)x, y) = \sum_k x_k\lambda^{k} - \lambda\sum_kx_k\lambda^{k-1} = 0$ при всех $x$ . Значит, $\sigma(S_r) = \{|\lambda|\le 1\}$ , причём внутренность круга — остаточный спектр.

Резольвента оператора интегрирования

Условие

Найти резольвенту оператора $(Jx)(t) = \int_0^tx(s)\,ds$ в $C[0, 1]$ при $\lambda\ne 0$ .

Решение

Развернуть

Решаем $\int_0^tx(s)\,ds - \lambda x(t) = f(t)$ . Для гладкой $f$ положим $u = Jx$ : $u - \lambda u' = f$ , $u(0) = 0$ . Тогда $u(t) = -\frac1\lambda\int_0^te^{(t-s)/\lambda}f(s)\,ds$ и $x = (u - f)/\lambda$ :

(R_\lambda f)(t) = -\frac{f(t)}\lambda - \frac1{\lambda^2}\int_0^te^{(t-s)/\lambda}f(s)\,ds.

Формула задаёт ограниченный оператор в $C[0, 1]$ и по непрерывности годится для всех $f$ . Проверка при $f\equiv 1$ : $R_\lambda 1 = -\frac1\lambda e^{t/\lambda}$ , и $\int_0^t\left(-\frac1\lambda e^{s/\lambda}\right)ds + e^{t/\lambda} = 1$ .

Спектр одномерного проектора

Условие

Найти спектр и резольвенту оператора $(Ax)(t) = \int_0^1x(s)\,ds$ в $C[0, 1]$ .

Решение

Развернуть

$A$ сопоставляет функции постоянную — её среднее. $\lambda = 1$ — собственное значение (постоянные функции), $\lambda = 0$ — собственное значение (функции с нулевым средним).

При $\lambda\ne 0, 1$ решаем $c - \lambda x = f$ , $c = \int_0^1x$ . Тогда $x = \frac{c - f}\lambda$ , и после интегрирования $c\lambda = c - \int f$ , то есть $c = \frac{\int_0^1f}{1 - \lambda}$ . Получаем

R_\lambda f = \frac1\lambda\left(\frac{1}{1 - \lambda}\int_0^1f(s)\,ds - f\right).

Ответ: $\sigma(A) = \{0, 1\}$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Регулярные значения, резольвента, спектр

Пусть $E$ — комплексное банахово пространство, $A\in\mathcal L(E)$ . Число $\lambda\in\mathbb C$ называется регулярным значением оператора $A$ , если оператор $A - \lambda I$ непрерывно обратим. Оператор

R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}

называется резольвентой. Множество регулярных значений $\rho(A)$ — резольвентное множество, его дополнение $\sigma(A) = \mathbb C\setminus\rho(A)$ — спектр оператора.

Собственные значения и собственные элементы. Части спектра

Число $\lambda$ называется собственным значением оператора $A$ , если существует $x\ne 0$ с $Ax = \lambda x$ ; такой $x$ называется собственным элементом (вектором), а $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ — собственным подпространством. Множество собственных значений называется точечным спектром.

Остальные точки спектра (где $A - \lambda I$ инъективен, но не непрерывно обратим) образуют непрерывный спектр, если образ $A - \lambda I$ всюду плотен, и остаточный спектр, если не плотен.

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра

Уравнение Фредгольма второго рода:

x(t) = \lambda\int_a^b K(t,s)x(s)\,ds + f(t),

где ядро $K$ непрерывно на квадрате $[a,b]^2$ , $f\in C[a,b]$ .

Уравнение Вольтерра второго рода:

x(t) = \lambda\int_a^t K(t,s)x(s)\,ds + f(t),

где $K$ непрерывно на треугольнике $a\le s\le t\le b$ . Интегральный оператор Вольтерра: $(Vx)(t) = \int_a^tK(t,s)x(s)\,ds$ .

Обратимость оператора, близкого к тождественному. Ряд Неймана

Формулировка

Пусть $E$ банахово, $A\in\mathcal L(E)$ и $\|A\| < 1$ . Тогда оператор $I - A$ непрерывно обратим и

(I - A)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty A^k,\qquad\|(I - A)^{-1}\|\le\frac1{1 - \|A\|}.

Следствие: если $A$ непрерывно обратим и $\|B\| < 1/\|A^{-1}\|$ , то $A - B$ непрерывно обратим (множество непрерывно обратимых операторов открыто).

Доказательство

Развернуть

$\sum\|A^k\|\le\sum\|A\|^k < \infty$ , и так как $\mathcal L(E)$ банахово, ряд сходится к некоторому $S$ , причём $\|S\|\le\frac1{1 - \|A\|}$ . Для частичных сумм

(I - A)S_n = S_n(I - A) = I - A^{n+1}\to I,

откуда $(I - A)S = S(I - A) = I$ .

Следствие: $A - B = A(I - A^{-1}B)$ , и $\|A^{-1}B\| < 1$ . $\blacksquare$

Непрерывность и ограниченность линейного оператора

Формулировка

Линейный оператор $A\colon E\to F$ непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен (и тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле). При этом $\|Ax\|\le\|A\|\|x\|$ .

Доказательство

Развернуть

Дословно повторяет доказательство для функционалов с заменой $|f(x)|$ на $\|Ax\|$ : если $\|Ax_n\| > n\|x_n\|$ , то $y_n = x_n/(n\|x_n\|)\to 0$ , но $\|Ay_n\| > 1$ ; обратно, $\|Ax_n - Ax\|\le C\|x_n - x\|$ . $\blacksquare$

Собственные значения компактного оператора

Формулировка

Пусть $A$ — компактный оператор в банаховом пространстве. Тогда:

при $\lambda\ne 0$ собственное подпространство $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ конечномерно;
для любого $\delta > 0$ собственных значений с $|\lambda|\ge\delta$ конечное число.

Следовательно, ненулевые собственные значения образуют не более чем счётное множество, которое может накапливаться только к нулю.

Доказательство

Развернуть

На $N = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ оператор действует как $\lambda I$ , поэтому единичный шар $B_N = \frac1\lambda A(B_N)$ относительно компактен. По критерию конечномерности $N$ конечномерно.
Пусть есть бесконечно много различных $\lambda_n$ с $|\lambda_n|\ge\delta$ и собственные элементы $x_n$ . Они линейно независимы, и подпространства $L_n = \operatorname{span}\{x_1, \dots, x_n\}$ строго возрастают. При этом $AL_n\subset L_n$ и $(A - \lambda_n)L_n\subset L_{n-1}$ . По лемме Рисса возьмём $y_n\in L_n$ , $\|y_n\| = 1$ , $\rho(y_n, L_{n-1})\ge\frac12$ . При $n > m$

Ay_n - Ay_m = \lambda_ny_n - \bigl[(\lambda_n - A)y_n + Ay_m\bigr],

где скобка лежит в $L_{n-1}$ . Поэтому $\|Ay_n - Ay_m\|\ge|\lambda_n|\cdot\frac12\ge\frac\delta2$ , и у ограниченной последовательности $y_n$ образы не имеют сходящейся подпоследовательности — противоречие с компактностью. $\blacksquare$

Теорема о ранге и дефекте

Формулировка

Для линейного отображения $\mathcal A\colon V\to W$ , $\dim V = n$ :

\operatorname{rank}\mathcal A + \operatorname{def}\mathcal A = n.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_k$ — базис $\operatorname{Ker}\mathcal A$ . Дополним его до базиса $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$ . Покажем, что $\mathcal Ae_{k+1},\dots,\mathcal Ae_n$ — базис $\operatorname{Im}\mathcal A$ ; тогда $\operatorname{rank}\mathcal A = n - k$ .

Образ порождается векторами $\mathcal Ae_1,\dots,\mathcal Ae_n$ , из которых первые $k$ нулевые.

Если $\sum_{i>k}c_i\mathcal Ae_i = 0$ , то $\sum_{i>k}c_ie_i\in\operatorname{Ker}\mathcal A$ , то есть $\sum_{i>k}c_ie_i = \sum_{i\le k}d_ie_i$ . По независимости базиса все $c_i = 0$ . $\blacksquare$

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Число $\lambda$ (из поля, над которым рассматривается пространство) является собственным значением тогда и только тогда, когда $\chi(\lambda) = 0$ .
$\dim V_\lambda = n - \operatorname{rank}(A - \lambda E)$ ; собственные векторы находятся из однородной системы $(A - \lambda E)X = 0$ .
Геометрическая кратность собственного значения не превосходит алгебраической.

Доказательство

Развернуть

$\lambda$ — собственное значение $\iff\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)\ne\{0\}\iff\det(A - \lambda E) = 0$ по критерию обратимости оператора.
Теорема о ранге и дефекте для $\mathcal A - \lambda\mathcal I$ .
Пусть $g = \dim V_\lambda$ . Дополним базис $V_\lambda$ до базиса $V$ . В нём матрица блочно-треугольная с левым верхним блоком $\lambda E_g$ , так как $V_\lambda$ инвариантно. Разлагая определитель по первым столбцам, получаем $\chi(t) = (\lambda - t)^g\chi_C(t)$ , где $C$ — правый нижний блок. Значит, кратность корня $\lambda$ не меньше $g$ . $\blacksquare$

Функционалы на конечномерном пространстве

Формулировка

Любой линейный функционал на конечномерном нормированном пространстве ограничен.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1, \dots, e_n$ — базис, $x = \sum x_ke_k$ . Тогда $|f(x)| = \left|\sum x_kf(e_k)\right|\le\max_k|f(e_k)|\sum|x_k|$ . Функция $\sum|x_k|$ — норма на $E$ , а в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, так что $\sum|x_k|\le c\|x\|$ . $\blacksquare$

Свойства оператора Вольтерра и разрешимость уравнения Вольтерра

Формулировка

Пусть $M = \max|K(t,s)|$ .

Для степеней оператора Вольтерра при всех $z\in C[a,b]$ , $t\in[a,b]$

|(V^nz)(t)|\le\frac{M^n(t-a)^n}{n!}\max_{[a,b]}|z|.

Уравнение Вольтерра второго рода имеет единственное решение в $C[a,b]$ при любом $\lambda$ , и метод последовательных приближений сходится.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n$ . При $n = 0$ неравенство очевидно. Если оно верно для $n-1$ , то

|(V^nz)(t)|\le M\int_a^t|(V^{n-1}z)(s)|\,ds\le M\int_a^t\frac{M^{n-1}(s-a)^{n-1}}{(n-1)!}\max|z|\,ds = \frac{M^n(t-a)^n}{n!}\max|z|.

Пусть $Ax = \lambda Vx + f$ . Тогда $Ax - Ay = \lambda V(x - y)$ и по индукции $A^nx - A^ny = \lambda^nV^n(x - y)$ . По п. 1

\rho(A^nx, A^ny)\le\frac{(|\lambda|M(b-a))^n}{n!}\rho(x,y).

Коэффициент стремится к нулю, поэтому при некотором $n$ он меньше $1$ , и $A^n$ — сжатие полного пространства $C[a,b]$ . Применяем теорему об отображении, степень которого — сжатие. $\blacksquare$

Теорема Банаха об обратном операторе

Формулировка

Если $E$ , $F$ банаховы и $A\in\mathcal L(E, F)$ — биекция, то обратный оператор $A^{-1}$ ограничен.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $B_r$ открытый шар радиуса $r$ с центром $0$ в $E$ , $V_r$ — в $F$ .

Шаг 1. $F = \bigcup_n[A(B_n)]$ , так как $A$ сюръективен. По теореме Бэра некоторое $[A(B_n)]$ содержит шар $V(y_0, \varepsilon)$ . Если $\|y\| < \varepsilon$ , то $y = (y_0 + y) - y_0$ — разность элементов $[A(B_n)]$ , поэтому $y\in[A(B_{2n})]$ . По однородности $[A(B_1)]\supset V_\delta$ , $\delta = \frac\varepsilon{2n}$ , и вообще $[A(B_r)]\supset V_{r\delta}$ .

Шаг 2. Докажем, что $A(B_2)\supset V_\delta$ . Пусть $\|y\| < \delta$ . Выберем $x_1\in B_1$ с $\|y - Ax_1\| < \frac\delta2$ , затем $x_2\in B_{1/2}$ с $\|y - Ax_1 - Ax_2\| < \frac\delta4$ , и т. д., $x_k\in B_{2^{1-k}}$ . Ряд $\sum x_k$ сходится абсолютно в банаховом $E$ к элементу $x$ с $\|x\| < 2$ , и $Ax = \lim A\sum_{k\le n}x_k = y$ .

Шаг 3. Для $y\ne 0$ элемент $y' = \frac{\delta}{2\|y\|}y$ лежит в $V_\delta$ , так что $\|A^{-1}y'\| < 2$ , то есть $\|A^{-1}y\|\le\frac4\delta\|y\|$ . $\blacksquare$

У ядра Вольтерра нет характеристических чисел

Формулировка

Однородное уравнение Вольтерра второго рода $x(t) = \lambda\int_a^tK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным ядром имеет только нулевое решение при любом $\lambda$ , а неоднородное однозначно разрешимо при любых $\lambda$ и $f$ .

Доказательство

Развернуть

Если $x\in L_2[a, b]$ — решение однородного уравнения, то $x = \lambda Vx$ непрерывна: интеграл $\int_a^tK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным ядром от интегрируемой функции непрерывен по $t$ . Поэтому достаточно рассмотреть уравнение в $C[a, b]$ .

По теореме об уравнении Вольтерра оно однозначно разрешимо в $C[a, b]$ при любом $\lambda$ , в частности, при $f = 0$ его решение — нулевое. Иначе говоря, спектр оператора Вольтерра содержится в $\{0\}$ , и характеристических чисел ( $1/\lambda$ для ненулевых собственных значений) нет. $\blacksquare$

Спектр линейного оператора

Спектр ограничен и замкнут

Формулировка

Доказательство

Тождество Гильберта для резольвенты

Формулировка

Доказательство

Непустота спектра. Спектральный радиус

Формулировка

Доказательство

Свойства собственных элементов

Формулировка

Доказательство

Спектр оператора в конечномерном пространстве

Формулировка

Доказательство

Спектр оператора Вольтерра

Формулировка

Доказательство

Спектр оператора умножения на t

Условие

Решение

Спектры операторов сдвига в l₂

Условие

Решение

Резольвента оператора интегрирования

Условие

Решение

Спектр одномерного проектора

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Регулярные значения, резольвента, спектр

Собственные значения и собственные элементы. Части спектра

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра

Обратимость оператора, близкого к тождественному. Ряд Неймана

Формулировка

Доказательство

Непрерывность и ограниченность линейного оператора

Формулировка

Доказательство

Собственные значения компактного оператора

Формулировка

Доказательство

Теорема о ранге и дефекте

Формулировка

Доказательство

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Доказательство

Функционалы на конечномерном пространстве

Формулировка

Доказательство

Свойства оператора Вольтерра и разрешимость уравнения Вольтерра

Формулировка

Доказательство

Теорема Банаха об обратном операторе

Формулировка

Доказательство

У ядра Вольтерра нет характеристических чисел

Формулировка

Доказательство