Ряды в нормированных пространствах

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Необходимый признак сходимости ряда
Критерий Коши сходимости ряда в банаховом пространстве
Абсолютно сходящиеся ряды в банаховом пространстве
Банахово пространство со счётным базисом сепарабельно
Счётные базисы в пространствах последовательностей

теорема

Необходимый признак сходимости ряда

Формулировка

Если ряд $\sum x_k$ сходится в нормированном пространстве, то $x_k\to0$ .

Доказательство

Развернуть

$x_k = S_k - S_{k-1}\to S - S = 0$ по непрерывности линейных операций. $\blacksquare$

теорема

Критерий Коши сходимости ряда в банаховом пространстве

Формулировка

Ряд $\sum x_k$ в банаховом пространстве сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $N$ такое, что

\left\|\sum_{k=n+1}^{n+p}x_k\right\| < \varepsilon\quad\text{при всех } n > N,\ p\ge1.

Доказательство

Развернуть

Условие означает фундаментальность частичных сумм: $\|S_{n+p} - S_n\| < \varepsilon$ . В полном пространстве фундаментальность равносильна сходимости. $\blacksquare$

теорема

Абсолютно сходящиеся ряды в банаховом пространстве

Формулировка

В банаховом пространстве абсолютно сходящийся ряд сходится, и $\left\|\sum x_k\right\|\le\sum\|x_k\|$ .
Обратно, если в нормированном пространстве каждый абсолютно сходящийся ряд сходится, то пространство банахово.

Доказательство

Развернуть

$\left\|\sum_{n+1}^{n+p}x_k\right\|\le\sum_{n+1}^{n+p}\|x_k\|$ ; правая часть мала по критерию Коши для числового ряда. Применяем критерий Коши для рядов. Оценка нормы суммы получается переходом к пределу в $\|S_n\|\le\sum_{k\le n}\|x_k\|$ (по непрерывности нормы).
Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна. Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ с $\|x_{n_{k+1}} - x_{n_k}\| < 2^{-k}$ . Ряд $x_{n_1} + \sum_k(x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ сходится абсолютно, значит, сходится. Его частичные суммы — это $x_{n_k}$ . Итак, подпоследовательность сходится, а сходится и вся последовательность. $\blacksquare$

теорема

Банахово пространство со счётным базисом сепарабельно

Формулировка

Нормированное пространство со счётным базисом сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Множество $D$ конечных комбинаций $\sum_{k\le n}r_ke_k$ с рациональными $r_k$ счётно. Пусть $x = \sum c_ke_k$ , $\varepsilon > 0$ . Выберем $n$ с $\left\|x - \sum_{k\le n}c_ke_k\right\| < \frac\varepsilon2$ и рациональные $r_k$ с $\sum_{k\le n}|c_k - r_k|\,\|e_k\| < \frac\varepsilon2$ . Тогда $\left\|x - \sum_{k\le n}r_ke_k\right\| < \varepsilon$ , то есть $D$ всюду плотно. $\blacksquare$

Замечание. Обратное неверно: существуют сепарабельные банаховы пространства без счётного базиса (пример П. Энфло, 1973).

теорема

Счётные базисы в пространствах последовательностей

Формулировка

Последовательность $e_k = (0,\dots,0,1,0,\dots)$ — счётный базис в $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и в $c_0$ , причём $x = \sum x_ke_k$ . В $l_\infty$ счётного базиса нет.

Доказательство

Развернуть

Для $x\in l_p$

\left\|x - \sum_{k\le n}x_ke_k\right\|^p = \sum_{k>n}|x_k|^p\to0,

то есть разложение существует. Единственность: если $x = \sum c_ke_k$ , то, переходя к покоординатной сходимости, получаем $c_k = x_k$ . Для $c_0$ остаток оценивается через $\sup_{k>n}|x_k|\to0$ .

$l_\infty$ несепарабельно, а пространство со счётным базисом сепарабельно. $\blacksquare$

Условно сходящийся ряд в l₂

Условие

Сходится ли ряд $\sum_{k=1}^\infty\frac{e_k}{k}$ в $l_2$ ? Сходится ли он абсолютно?

Решение

Развернуть

$\left\|\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{e_k}{k}\right\|^2 = \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac1{k^2}$ мало при больших $n$ , и ряд сходится к $(1,\frac12,\frac13,\dots)$ . Абсолютной сходимости нет: $\sum\left\|\frac{e_k}{k}\right\| = \sum\frac1k = \infty$ . Это показывает, что из сходимости ряда не следует его абсолютная сходимость.

Тот же ряд в l∞

Условие

Сходится ли ряд $\sum_{k=1}^\infty\frac{e_k}{k}$ в $l_\infty$ ?

Решение

Развернуть

$\left\|\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{e_k}{k}\right\|_\infty = \frac{1}{n+1}\to0$ , и ряд сходится к $(1,\frac12,\frac13,\dots)$ , которая лежит даже в $c_0$ .

Абсолютно сходящийся ряд в C[0,1]

Условие

Доказать, что ряд $\sum_{k=0}^\infty\frac{t^k}{k!}$ сходится в $C[0,1]$ , и найти его сумму.

Решение

Развернуть

$\left\|\frac{t^k}{k!}\right\|_C = \frac1{k!}$ , и $\sum\frac1{k!} = e < \infty$ . Ряд сходится абсолютно, а $C[0,1]$ банахово, поэтому ряд сходится по норме, то есть равномерно. Его сумма — $e^t$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Ряд в нормированном пространстве

Ряд $\sum_{k=1}^\infty x_k$ в нормированном пространстве сходится, если последовательность частичных сумм $S_n = \sum_{k=1}^nx_k$ сходится по норме; её предел $S$ — сумма ряда.

Ряд сходится абсолютно, если сходится числовой ряд $\sum\|x_k\|$ .

Счётный базис (базис Шаудера)

Последовательность $\{e_k\}$ элементов нормированного пространства $E$ называется счётным базисом (базисом Шаудера), если любой $x\in E$ единственным образом представляется в виде сходящегося ряда

x = \sum_{k=1}^\infty c_ke_k.

Банахово пространство

Банаховым пространством (БП) называется полное нормированное пространство.

Сепарабельное пространство

Метрическое пространство называется сепарабельным, если в нём существует счётное (или конечное) всюду плотное подмножество.

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

$l_p$ , $1\le p<\infty$ , — множество числовых последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ с $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < \infty$ и метрикой

\rho(x,y) = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^p\right)^{1/p}.

$l_\infty$ (обозначается также $m$ ) — множество ограниченных последовательностей с метрикой $\rho(x,y) = \sup_k |x_k - y_k|$ .
$c_0$ — множество последовательностей, сходящихся к нулю, с той же метрикой, что в $l_\infty$ .

Основные свойства нормы

Формулировка

$\rho(x,y) = \|x - y\|$ — метрика, причём $\rho(x + z, y + z) = \rho(x,y)$ и $\rho(\lambda x,\lambda y) = |\lambda|\rho(x,y)$ .
$\big|\|x\| - \|y\|\big|\le\|x - y\|$ ; в частности, норма непрерывна.
Линейные операции непрерывны: если $x_n\to x$ , $y_n\to y$ , $\lambda_n\to\lambda$ , то $x_n + y_n\to x + y$ и $\lambda_nx_n\to\lambda x$ .

Доказательство

Развернуть

Аксиомы метрики следуют из аксиом нормы ( $\|y - x\| = |-1|\cdot\|x - y\|$ ). Остальное очевидно.
$\|x\|\le\|x - y\| + \|y\|$ ; затем меняем $x$ и $y$ местами.
$\|(x_n + y_n) - (x + y)\|\le\|x_n - x\| + \|y_n - y\|$ и

\|\lambda_nx_n - \lambda x\|\le|\lambda_n|\,\|x_n - x\| + |\lambda_n - \lambda|\,\|x\|\to0.

$\blacksquare$

Свойства фундаментальных последовательностей

Формулировка

Сходящаяся последовательность фундаментальна.
Фундаментальная последовательность ограничена.
Если у фундаментальной последовательности есть подпоследовательность, сходящаяся к $x$ , то и вся последовательность сходится к $x$ .

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\to x$ , то $\rho(x_n,x_m)\le\rho(x_n,x) + \rho(x,x_m) < \varepsilon$ при больших $n,m$ .
При $n > N$ имеем $\rho(x_n, x_{N+1}) < 1$ ; дальше рассуждаем так же, как для сходящейся последовательности.
Пусть $x_{n_k}\to x$ . При $n, n_k > N$ имеем $\rho(x_n, x)\le\rho(x_n, x_{n_k}) + \rho(x_{n_k}, x) < \varepsilon + \rho(x_{n_k}, x)$ . Переходя к пределу по $k$ , получаем $\rho(x_n,x)\le\varepsilon$ . $\blacksquare$

Теорема Рисса–Фишера

Формулировка

Пусть $\{e_k\}$ — ОНС в гильбертовом пространстве $H$ и $\sum c_k^2 < \infty$ . Тогда ряд $\sum c_ke_k$ сходится к элементу $x\in H$ , для которого

(x,e_k) = c_k,\qquad\|x\|^2 = \sum_{k=1}^\infty c_k^2.

Доказательство

Развернуть

По теореме Пифагора $\left\|\sum_{k=n+1}^{n+p}c_ke_k\right\|^2 = \sum_{k=n+1}^{n+p}c_k^2$ , и это мало при больших $n$ . Ряд сходится к некоторому $x$ . По непрерывности скалярного произведения $(x,e_j) = \lim_n\left(\sum_{k\le n}c_ke_k, e_j\right) = c_j$ и $\|x\|^2 = \lim_n\sum_{k\le n}c_k^2$ . $\blacksquare$

Теорема Банаха об обратном операторе

Формулировка

Если $E$ , $F$ банаховы и $A\in\mathcal L(E, F)$ — биекция, то обратный оператор $A^{-1}$ ограничен.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $B_r$ открытый шар радиуса $r$ с центром $0$ в $E$ , $V_r$ — в $F$ .

Шаг 1. $F = \bigcup_n[A(B_n)]$ , так как $A$ сюръективен. По теореме Бэра некоторое $[A(B_n)]$ содержит шар $V(y_0, \varepsilon)$ . Если $\|y\| < \varepsilon$ , то $y = (y_0 + y) - y_0$ — разность элементов $[A(B_n)]$ , поэтому $y\in[A(B_{2n})]$ . По однородности $[A(B_1)]\supset V_\delta$ , $\delta = \frac\varepsilon{2n}$ , и вообще $[A(B_r)]\supset V_{r\delta}$ .

Шаг 2. Докажем, что $A(B_2)\supset V_\delta$ . Пусть $\|y\| < \delta$ . Выберем $x_1\in B_1$ с $\|y - Ax_1\| < \frac\delta2$ , затем $x_2\in B_{1/2}$ с $\|y - Ax_1 - Ax_2\| < \frac\delta4$ , и т. д., $x_k\in B_{2^{1-k}}$ . Ряд $\sum x_k$ сходится абсолютно в банаховом $E$ к элементу $x$ с $\|x\| < 2$ , и $Ax = \lim A\sum_{k\le n}x_k = y$ .

Шаг 3. Для $y\ne 0$ элемент $y' = \frac{\delta}{2\|y\|}y$ лежит в $V_\delta$ , так что $\|A^{-1}y'\| < 2$ , то есть $\|A^{-1}y\|\le\frac4\delta\|y\|$ . $\blacksquare$

Обратимость оператора, близкого к тождественному. Ряд Неймана

Формулировка

Пусть $E$ банахово, $A\in\mathcal L(E)$ и $\|A\| < 1$ . Тогда оператор $I - A$ непрерывно обратим и

(I - A)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty A^k,\qquad\|(I - A)^{-1}\|\le\frac1{1 - \|A\|}.

Следствие: если $A$ непрерывно обратим и $\|B\| < 1/\|A^{-1}\|$ , то $A - B$ непрерывно обратим (множество непрерывно обратимых операторов открыто).

Доказательство

Развернуть

$\sum\|A^k\|\le\sum\|A\|^k < \infty$ , и так как $\mathcal L(E)$ банахово, ряд сходится к некоторому $S$ , причём $\|S\|\le\frac1{1 - \|A\|}$ . Для частичных сумм

(I - A)S_n = S_n(I - A) = I - A^{n+1}\to I,

откуда $(I - A)S = S(I - A) = I$ .

Следствие: $A - B = A(I - A^{-1}B)$ , и $\|A^{-1}B\| < 1$ . $\blacksquare$

Счётность ОНС в сепарабельном пространстве

Формулировка

В сепарабельном гильбертовом пространстве любая ОНС не более чем счётна.
Гильбертово пространство со счётным ортонормированным базисом сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Для $e_i\ne e_j$ из ОНС $\|e_i - e_j\|^2 = 2$ . Несчётная ОНС противоречила бы признаку несепарабельности.
ОНБ является счётным базисом в смысле Шаудера; а пространство со счётным базисом сепарабельно. $\blacksquare$

Несепарабельность пространства l∞

Формулировка

Пространство $l_\infty$ несепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Множество последовательностей из нулей и единиц несчётно: оно равномощно множеству подмножеств $\mathbb N$ (диагональный аргумент Кантора). Две различные такие последовательности отличаются хотя бы в одной координате, поэтому расстояние между ними в $l_\infty$ равно $1$ . Применяем признак несепарабельности. $\blacksquare$

Сходимость в основных метрических пространствах

Формулировка

В $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ) сходимость равносильна покоординатной.
Сходимость в $C[a,b]$ — это равномерная сходимость на $[a,b]$ .
Из сходимости в $C[a,b]$ следует сходимость в $C_p[a,b]$ ; обратное неверно.
Из сходимости в $l_p$ следует покоординатная сходимость; обратное неверно.

Доказательство

Развернуть

Для любой координаты $|x_k - y_k|\le\rho_p(x,y)\le n^{1/p}\max_k|x_k - y_k|$ .
Неравенство $\max_t|x_n(t) - x(t)| < \varepsilon$ при $n > N$ — определение равномерной сходимости.
$\rho_p(x,y)\le(b-a)^{1/p}\rho(x,y)$ . Обратное неверно: на $[0,1]$ для $x_n(t) = t^n$

\rho_p(x_n, 0)^p = \int_0^1 t^{np}\,dt = \frac{1}{np + 1}\to 0,\quad\text{но}\quad \rho(x_n, 0) = \max_{[0,1]} t^n = 1.

$|x_k^{(n)} - x_k|\le\rho(x^{(n)}, x)$ . Обратное неверно: последовательность $e_n = (0,\dots,0,1,0,\dots)$ (единица на $n$ -м месте) сходится к нулю покоординатно, но $\rho(e_n, 0) = 1$ . $\blacksquare$

Общий вид непрерывного функционала в lₚ

Формулировка

Пусть $1\le p < \infty$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ ( $q = \infty$ при $p = 1$ ). Каждый ограниченный линейный функционал на $l_p$ имеет вид

f(x) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k,\qquad y = (y_k)\in l_q,\qquad\|f\| = \|y\|_q,

и, обратно, каждый $y\in l_q$ задаёт такой функционал.

Доказательство

Развернуть

Положим $y_k = f(e_k)$ . Так как $x = \sum x_ke_k$ в $l_p$ , по непрерывности $f(x) = \sum x_ky_k$ .

$1 < p < \infty$ . Возьмём $x^{(n)}$ с координатами $|y_k|^{q-1}\operatorname{sign}y_k$ при $k\le n$ и $0$ при $k > n$ (в комплексном случае вместо $\operatorname{sign}y_k$ берём $\overline{\operatorname{sign}y_k}$ , где $\operatorname{sign}z = z/|z|$ ). Тогда $f(x^{(n)}) = \sum_{k\le n}|y_k|^q$ , а $\|x^{(n)}\|_p = \left(\sum_{k\le n}|y_k|^q\right)^{1/p}$ , так как $(q - 1)p = q$ . Из $f(x^{(n)})\le\|f\|\|x^{(n)}\|_p$ получаем $\left(\sum_{k\le n}|y_k|^q\right)^{1/q}\le\|f\|$ , то есть $y\in l_q$ и $\|y\|_q\le\|f\|$ .

$p = 1$ : $|y_k| = |f(e_k)|\le\|f\|$ , то есть $\|y\|_\infty\le\|f\|$ .

Обратно, по неравенству Гёльдера $|f(x)|\le\|x\|_p\|y\|_q$ , так что $\|f\|\le\|y\|_q$ . $\blacksquare$

Ряды в нормированных пространствах

Необходимый признак сходимости ряда

Формулировка

Доказательство

Критерий Коши сходимости ряда в банаховом пространстве

Формулировка

Доказательство

Абсолютно сходящиеся ряды в банаховом пространстве

Формулировка

Доказательство

Банахово пространство со счётным базисом сепарабельно

Формулировка

Доказательство

Счётные базисы в пространствах последовательностей

Формулировка

Доказательство

Условно сходящийся ряд в l₂

Условие

Решение

Тот же ряд в l∞

Условие

Решение

Абсолютно сходящийся ряд в C[0,1]

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Ряд в нормированном пространстве

Счётный базис (базис Шаудера)

Банахово пространство

Сепарабельное пространство

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

Основные свойства нормы

Формулировка

Доказательство

Свойства фундаментальных последовательностей

Формулировка

Доказательство

Теорема Рисса–Фишера

Формулировка

Доказательство

Теорема Банаха об обратном операторе

Формулировка

Доказательство

Обратимость оператора, близкого к тождественному. Ряд Неймана

Формулировка

Доказательство

Счётность ОНС в сепарабельном пространстве

Формулировка

Доказательство

Несепарабельность пространства l∞

Формулировка

Доказательство

Сходимость в основных метрических пространствах

Формулировка

Доказательство

Общий вид непрерывного функционала в lₚ

Формулировка

Доказательство