Сепарабельные гильбертовы пространства

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта
Существование счётного ОНБ в сепарабельном гильбертовом пространстве
Счётность ОНС в сепарабельном пространстве
Теорема Рисса–Фишера
Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств

теорема

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта

Формулировка

Пусть $x_1, x_2,\dots$ — линейно независимая (конечная или счётная) система в евклидовом пространстве. Положим

y_1 = x_1,\qquad y_n = x_n - \sum_{k=1}^{n-1}(x_n,e_k)e_k,\qquad e_n = \frac{y_n}{\|y_n\|}.

Тогда $\{e_n\}$ — ОНС и $\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_n\} = \operatorname{span}\{x_1,\dots,x_n\}$ при каждом $n$ .

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n$ . Пусть $e_1,\dots,e_{n-1}$ ортонормированы и порождают то же, что $x_1,\dots,x_{n-1}$ . Тогда при $j < n$

(y_n, e_j) = (x_n, e_j) - (x_n, e_j) = 0.

Кроме того, $y_n\ne0$ : иначе $x_n\in\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_{n-1}\} = \operatorname{span}\{x_1,\dots,x_{n-1}\}$ , что противоречит линейной независимости. Наконец, $e_n$ выражается через $x_1,\dots,x_n$ , а $x_n$ — через $e_1,\dots,e_n$ , поэтому линейные оболочки совпадают. $\blacksquare$

теорема

Существование счётного ОНБ в сепарабельном гильбертовом пространстве

Формулировка

В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует не более чем счётный ортонормированный базис.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\{z_k\}$ всюду плотно в $H$ . Выбросим из последовательности каждый элемент, являющийся линейной комбинацией предыдущих. Останется линейно независимая система с той же линейной оболочкой, которая по-прежнему всюду плотна. Ортогонализуем её процессом Грама–Шмидта: получим ОНС с той же, всюду плотной, линейной оболочкой. Это ОНБ. $\blacksquare$

теорема

Счётность ОНС в сепарабельном пространстве

Формулировка

В сепарабельном гильбертовом пространстве любая ОНС не более чем счётна.
Гильбертово пространство со счётным ортонормированным базисом сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Для $e_i\ne e_j$ из ОНС $\|e_i - e_j\|^2 = 2$ . Несчётная ОНС противоречила бы признаку несепарабельности.
ОНБ является счётным базисом в смысле Шаудера; а пространство со счётным базисом сепарабельно. $\blacksquare$

теорема

Теорема Рисса–Фишера

Формулировка

Пусть $\{e_k\}$ — ОНС в гильбертовом пространстве $H$ и $\sum c_k^2 < \infty$ . Тогда ряд $\sum c_ke_k$ сходится к элементу $x\in H$ , для которого

(x,e_k) = c_k,\qquad\|x\|^2 = \sum_{k=1}^\infty c_k^2.

Доказательство

Развернуть

По теореме Пифагора $\left\|\sum_{k=n+1}^{n+p}c_ke_k\right\|^2 = \sum_{k=n+1}^{n+p}c_k^2$ , и это мало при больших $n$ . Ряд сходится к некоторому $x$ . По непрерывности скалярного произведения $(x,e_j) = \lim_n\left(\sum_{k\le n}c_ke_k, e_j\right) = c_j$ и $\|x\|^2 = \lim_n\sum_{k\le n}c_k^2$ . $\blacksquare$

теорема

Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств

Формулировка

Любое бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство изоморфно $l_2$ . Следовательно, любые два таких пространства изоморфны между собой.

Доказательство

Развернуть

В $H$ есть счётный ОНБ $\{e_k\}$ ; он бесконечен, так как $H$ бесконечномерно. Положим $Ux = \big((x,e_1),(x,e_2),\dots\big)$ . По неравенству Бесселя $Ux\in l_2$ , а $U$ линейно.

$U$ сохраняет скалярное произведение (обобщённое равенство Парсеваля) и потому инъективно. $U$ сюръективно: для $c\in l_2$ по теореме Рисса–Фишера есть $x$ с $(x,e_k) = c_k$ , то есть $Ux = c$ . Изоморфизм двух пространств получается композицией $U_2^{-1}U_1$ . $\blacksquare$

Ортогонализация 1, t, t² в L₂[−1,1]

Условие

Ортогонализовать систему $1, t, t^2$ в $L_2[-1,1]$ .

Решение

Развернуть

Применяем процесс Грама–Шмидта:

$\|1\|^2 = 2$ , поэтому $e_1 = \frac1{\sqrt2}$ .
$(t,e_1) = 0$ и $\|t\|^2 = \frac23$ , поэтому $e_2 = \sqrt{\frac32}\,t$ .
$(t^2,e_1) = \frac{\sqrt2}3$ , $(t^2,e_2) = 0$ , поэтому $y_3 = t^2 - \frac13$ , $\|y_3\|^2 = \frac8{45}$ и

e_3 = \sqrt{\frac{45}{8}}\left(t^2 - \frac13\right) = \sqrt{\frac58}\,(3t^2 - 1).

Это нормированные многочлены Лежандра $\sqrt{n+\frac12}\,P_n(t)$ , $n = 0,1,2$ .

Существование функции с заданными коэффициентами Фурье

Условие

Существует ли $x\in L_2[-\pi,\pi]$ , у которого коэффициенты Фурье по нормированной тригонометрической системе при $\frac{\sin kt}{\sqrt\pi}$ равны $\frac1k$ , а остальные равны нулю? А с коэффициентами $\frac1{\sqrt k}$ ?

Решение

Развернуть

$\sum\frac1{k^2} < \infty$ , поэтому такой $x$ существует, и $\|x\|^2 = \frac{\pi^2}6$ .

$\sum\frac1k = \infty$ , а сумма квадратов коэффициентов Фурье любого элемента конечна. Значит, элемента с коэффициентами $\frac1{\sqrt k}$ нет.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Изоморфизм гильбертовых пространств

Гильбертовы пространства $H_1$ и $H_2$ называются изоморфными, если существует линейная биекция $U\colon H_1\to H_2$ , сохраняющая скалярное произведение: $(Ux,Uy) = (x,y)$ для всех $x,y$ . Такое $U$ сохраняет и норму, то есть является изометрией.

Ортонормированная система. Коэффициенты и ряд Фурье

Система $\{e_k\}$ евклидова пространства называется ортонормированной (ОНС), если $(e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . Система ненулевых попарно ортогональных элементов называется ортогональной. Ортонормированная система линейно независима.

Числа $c_k = (x,e_k)$ — коэффициенты Фурье элемента $x$ по ОНС $\{e_k\}$ , а ряд $\sum c_ke_k$ — его ряд Фурье.

Линейное многообразие. Линейная оболочка. Прямая сумма

Линейное многообразие $L\subset E$ — непустое подмножество, замкнутое относительно сложения и умножения на число.
Линейная оболочка $\operatorname{span}M$ — множество всех конечных линейных комбинаций элементов $M$ ; это наименьшее линейное многообразие, содержащее $M$ .
$E$ — прямая сумма линейных многообразий $L_1$ и $L_2$ ( $E = L_1\oplus L_2$ ), если любой $x\in E$ единственным образом представляется в виде $x = x_1 + x_2$ , $x_i\in L_i$ . Это равносильно условиям $E = L_1 + L_2$ и $L_1\cap L_2 = \{0\}$ .

Сепарабельное пространство

Метрическое пространство называется сепарабельным, если в нём существует счётное (или конечное) всюду плотное подмножество.

Ортонормированный базис. Замкнутая и полная ОНС

ОНС $\{e_k\}$ в евклидовом пространстве $E$ называется:

ортонормированным базисом (ОНБ), если для любого $x\in E$ его ряд Фурье сходится к $x$ : $x = \sum(x,e_k)e_k$ ;
замкнутой, если для любого $x\in E$ выполнено равенство Парсеваля $\sum(x,e_k)^2 = \|x\|^2$ ;
полной, если из $(x,e_k) = 0$ при всех $k$ следует $x = 0$ .

Гильбертово пространство

Гильбертовым пространством (ГП) называется полное евклидово пространство.

Примеры:

$\mathbb R^n$ с $(x,y) = \sum x_ky_k$ ;
$l_2$ с $(x,y) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k$ (ряд сходится по неравенству Коши–Буняковского);
$C_2[a,b]$ с $(x,y) = \int_a^bx(t)y(t)\,dt$ — евклидово, но не полное;
его пополнение $L_2[a,b]$ (функции с интегрируемым по Лебегу квадратом) — гильбертово.

Счётный базис (базис Шаудера)

Последовательность $\{e_k\}$ элементов нормированного пространства $E$ называется счётным базисом (базисом Шаудера), если любой $x\in E$ единственным образом представляется в виде сходящегося ряда

x = \sum_{k=1}^\infty c_ke_k.

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

$l_p$ , $1\le p<\infty$ , — множество числовых последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ с $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < \infty$ и метрикой

\rho(x,y) = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^p\right)^{1/p}.

$l_\infty$ (обозначается также $m$ ) — множество ограниченных последовательностей с метрикой $\rho(x,y) = \sup_k |x_k - y_k|$ .
$c_0$ — множество последовательностей, сходящихся к нулю, с той же метрикой, что в $l_\infty$ .

Критерии базисности ортонормированной системы

Формулировка

Для ОНС $\{e_k\}$ в гильбертовом пространстве $H$ равносильны условия:

$\{e_k\}$ — ортонормированный базис;
$\{e_k\}$ замкнута (равенство Парсеваля выполнено для всех $x$ );
$\{e_k\}$ полна;
линейная оболочка $\operatorname{span}\{e_k\}$ всюду плотна в $H$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow2$ . По минимальному свойству коэффициентов Фурье $\|x - S_n\|^2 = \|x\|^2 - \sum_{k\le n}c_k^2$ ; левая часть стремится к нулю.

$2\Rightarrow3$ . Если $(x,e_k) = 0$ для всех $k$ , то $\|x\|^2 = \sum0 = 0$ .

$3\Rightarrow1$ . Ряд Фурье сходится к $y$ с $x - y\perp e_k$ для всех $k$ . По полноте системы $x = y$ .

$1\Rightarrow4$ . Частичные суммы ряда Фурье лежат в $\operatorname{span}\{e_k\}$ и сходятся к $x$ .

$4\Rightarrow3$ . По критерию всюду плотности $(\operatorname{span}\{e_k\})^\perp = \{0\}$ . Элемент, ортогональный всем $e_k$ , ортогонален их оболочке, то есть равен нулю. $\blacksquare$

Замечание. Равносильность 1, 2 и 4 верна в любом евклидовом пространстве. Из полноты системы базисность следует только в полном пространстве.

Признак несепарабельности

Формулировка

Если в метрическом пространстве $X$ есть несчётное множество $M$ , любые две различные точки которого удалены друг от друга не меньше чем на $\delta > 0$ , то $X$ несепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Шары $B(x,\frac\delta2)$ , $x\in M$ , попарно не пересекаются: общая точка $z$ дала бы $\rho(x,y)\le\rho(x,z) + \rho(z,y) < \delta$ . Всюду плотное множество $D$ должно пересекать каждый такой шар. Выбрав в каждом шаре точку из $D$ , получим инъекцию $M\to D$ , поэтому $D$ несчётно. $\blacksquare$

Банахово пространство со счётным базисом сепарабельно

Формулировка

Нормированное пространство со счётным базисом сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Множество $D$ конечных комбинаций $\sum_{k\le n}r_ke_k$ с рациональными $r_k$ счётно. Пусть $x = \sum c_ke_k$ , $\varepsilon > 0$ . Выберем $n$ с $\left\|x - \sum_{k\le n}c_ke_k\right\| < \frac\varepsilon2$ и рациональные $r_k$ с $\sum_{k\le n}|c_k - r_k|\,\|e_k\| < \frac\varepsilon2$ . Тогда $\left\|x - \sum_{k\le n}r_ke_k\right\| < \varepsilon$ , то есть $D$ всюду плотно. $\blacksquare$

Замечание. Обратное неверно: существуют сепарабельные банаховы пространства без счётного базиса (пример П. Энфло, 1973).

Теорема Пифагора

Формулировка

Если $x_1,\dots,x_n$ попарно ортогональны, то

\left\|\sum_{i=1}^nx_i\right\|^2 = \sum_{i=1}^n\|x_i\|^2.

Доказательство

Развернуть

$\left\|\sum x_i\right\|^2 = \sum_{i,j}(x_i,x_j) = \sum_i(x_i,x_i)$ , так как при $i\ne j$ скалярные произведения равны нулю. $\blacksquare$

Непрерывность скалярного произведения

Формулировка

Если $x_n\to x$ и $y_n\to y$ , то $(x_n,y_n)\to(x,y)$ .

Доказательство

Развернуть

Сходящаяся последовательность $y_n$ ограничена. По неравенству Коши–Буняковского

|(x_n,y_n) - (x,y)|\le|(x_n - x, y_n)| + |(x, y_n - y)|\le\|x_n - x\|\,\|y_n\| + \|x\|\,\|y_n - y\|\to0.

$\blacksquare$

Критерий Коши сходимости ряда в банаховом пространстве

Формулировка

Ряд $\sum x_k$ в банаховом пространстве сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $N$ такое, что

\left\|\sum_{k=n+1}^{n+p}x_k\right\| < \varepsilon\quad\text{при всех } n > N,\ p\ge1.

Доказательство

Развернуть

Условие означает фундаментальность частичных сумм: $\|S_{n+p} - S_n\| < \varepsilon$ . В полном пространстве фундаментальность равносильна сходимости. $\blacksquare$

Уравнение первого рода. Теорема Пикара

Формулировка

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор с нулевым ядром. Уравнение $Ax = f$ разрешимо тогда и только тогда, когда

\sum_k\frac{|(f, e_k)|^2}{\lambda_k^2} < \infty,

и тогда решение единственно: $x = \sum_k\frac{(f, e_k)}{\lambda_k}e_k$ . В бесконечномерном пространстве образ $R(A)$ всюду плотен, но не замкнут, так что малые изменения $f$ могут вызывать большие изменения решения.

Доказательство

Развернуть

Если $Ax = f$ , то $(f, e_k) = (Ax, e_k) = (x, Ae_k) = \lambda_k(x, e_k)$ , и по равенству Парсеваля $\sum|(f, e_k)|^2/\lambda_k^2 = \|x\|^2 < \infty$ .

Обратно, при сходимости ряда по теореме Рисса–Фишера существует $x$ с коэффициентами $(f, e_k)/\lambda_k$ , и $Ax = \sum\lambda_k(x, e_k)e_k = \sum(f, e_k)e_k = f$ , так как $\{e_k\}$ — базис. Единственность следует из $\operatorname{Ker}A = \{0\}$ .

Образ плотен: $e_k = A(e_k/\lambda_k)\in R(A)$ , а $\{e_k\}$ — базис. Неустойчивость: $f + \varepsilon e_k$ даёт решение $x + \frac\varepsilon{\lambda_k}e_k$ , а $\frac\varepsilon{|\lambda_k|}\to\infty$ ; значит, обратный оператор $A^{-1}$ на $R(A)$ не ограничен. Если бы образ был замкнут, то $R(A) = H$ , и по теореме Банаха об обратном операторе $A^{-1}$ был бы ограничен — противоречие. $\blacksquare$

Теорема Гильберта–Шмидта

Формулировка

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$ . Существует конечная или счётная ортонормированная система собственных элементов $e_k$ , $Ae_k = \lambda_ke_k$ , с вещественными $\lambda_k\ne 0$ , $|\lambda_1|\ge|\lambda_2|\ge\dots$ , $\lambda_k\to 0$ (если их бесконечно много), такая что для любого $x\in H$

x = x_0 + \sum_k(x, e_k)e_k,\quad x_0\in\operatorname{Ker}A,\qquad Ax = \sum_k\lambda_k(x, e_k)e_k.

Доказательство

Развернуть

Положим $H_1 = H$ и по предыдущей теореме найдём $e_1$ , $|\lambda_1| = \|A\|$ . Подпространство $H_2 = \{e_1\}^\perp$ инвариантно: $(Ax, e_1) = (x, Ae_1) = \lambda_1(x, e_1) = 0$ при $x\in H_2$ . Сужение $A$ на $H_2$ компактно и самосопряжено. Если оно не нулевое, находим $e_2\in H_2$ с $|\lambda_2| = \|A|_{H_2}\|\le|\lambda_1|$ , и так далее. Процесс обрывается, если на очередном $H_n$ оператор равен нулю.

Если процесс бесконечен, то $e_n\rightharpoonup 0$ , и $|\lambda_n| = \|Ae_n\|\to 0$ по теореме о компактных операторах.

Для $x\in H$ элемент $y_n = x - \sum_{k<n}(x, e_k)e_k$ лежит в $H_n$ , и $\|Ay_n\|\le|\lambda_n|\|y_n\|\le|\lambda_n|\|x\|\to 0$ (или $Ay_n = 0$ при конечном процессе). Значит, $Ax = \sum\lambda_k(x, e_k)e_k$ . Ряд $\sum(x, e_k)e_k$ сходится по неравенству Бесселя и теореме Рисса–Фишера, и для $x_0 = x - \sum(x, e_k)e_k$ по непрерывности $A$ получаем $Ax_0 = 0$ . $\blacksquare$

Обобщённое равенство Парсеваля

Формулировка

Если $\{e_k\}$ — ортонормированный базис, то для любых $x, y$

(x,y) = \sum_{k=1}^\infty(x,e_k)(y,e_k).

Доказательство

Развернуть

$\left(\sum_{k\le n}(x,e_k)e_k,\ y\right) = \sum_{k\le n}(x,e_k)(y,e_k)$ . Левая часть стремится к $(x,y)$ по непрерывности скалярного произведения, так как частичные суммы ряда Фурье сходятся к $x$ . $\blacksquare$

Неравенство Бесселя

Формулировка

Для любой ОНС $\{e_k\}$ и любого $x$

\sum_{k=1}^\infty(x,e_k)^2\le\|x\|^2.

В частности, $(x,e_k)\to0$ .

Доказательство

Развернуть

По минимальному свойству коэффициентов Фурье $\|x\|^2 - \sum_{k\le n}c_k^2\ge0$ при любом $n$ . Частичные суммы ряда с неотрицательными членами ограничены, поэтому он сходится, и неравенство сохраняется в пределе. $\blacksquare$

Сепарабельные гильбертовы пространства

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта

Формулировка

Доказательство

Существование счётного ОНБ в сепарабельном гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Счётность ОНС в сепарабельном пространстве

Формулировка

Доказательство

Теорема Рисса–Фишера

Формулировка

Доказательство

Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств

Формулировка

Доказательство

Ортогонализация 1, t, t² в L₂[−1,1]

Условие

Решение

Существование функции с заданными коэффициентами Фурье

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Изоморфизм гильбертовых пространств

Ортонормированная система. Коэффициенты и ряд Фурье

Линейное многообразие. Линейная оболочка. Прямая сумма

Сепарабельное пространство

Ортонормированный базис. Замкнутая и полная ОНС

Гильбертово пространство

Счётный базис (базис Шаудера)

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

Критерии базисности ортонормированной системы

Формулировка

Доказательство

Признак несепарабельности

Формулировка

Доказательство

Банахово пространство со счётным базисом сепарабельно

Формулировка

Доказательство

Теорема Пифагора

Формулировка

Доказательство

Непрерывность скалярного произведения

Формулировка

Доказательство

Критерий Коши сходимости ряда в банаховом пространстве

Формулировка

Доказательство

Уравнение первого рода. Теорема Пикара

Формулировка

Доказательство

Теорема Гильберта–Шмидта

Формулировка

Доказательство

Обобщённое равенство Парсеваля

Формулировка

Доказательство

Неравенство Бесселя

Формулировка

Доказательство