Сепарабельные пространства

Прогресс изучения0 из 4

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы4

Примеры сепарабельных пространств
Признак несепарабельности
Несепарабельность пространства l∞
Сепарабельность подпространства

теорема

Примеры сепарабельных пространств

Формулировка

Пространства $\mathbb R^n_p$ , $C[a,b]$ , $C_p[a,b]$ , $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и $c_0$ сепарабельны.

Доказательство

Развернуть

Всюду плотны следующие множества, и все они счётны:

$\mathbb Q^n$ в $\mathbb R^n_p$ ;
многочлены с рациональными коэффициентами в $C[a,b]$ и $C_p[a,b]$ : это объединение по степеням $n$ счётных множеств, равномощных $\mathbb Q^{n+1}$ ;
финитные последовательности с рациональными членами в $l_p$ и $c_0$ : это объединение по длине $N$ множеств, равномощных $\mathbb Q^N$ . $\blacksquare$

лемма

Признак несепарабельности

Формулировка

Если в метрическом пространстве $X$ есть несчётное множество $M$ , любые две различные точки которого удалены друг от друга не меньше чем на $\delta > 0$ , то $X$ несепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Шары $B(x,\frac\delta2)$ , $x\in M$ , попарно не пересекаются: общая точка $z$ дала бы $\rho(x,y)\le\rho(x,z) + \rho(z,y) < \delta$ . Всюду плотное множество $D$ должно пересекать каждый такой шар. Выбрав в каждом шаре точку из $D$ , получим инъекцию $M\to D$ , поэтому $D$ несчётно. $\blacksquare$

теорема

Несепарабельность пространства l∞

Формулировка

Пространство $l_\infty$ несепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Множество последовательностей из нулей и единиц несчётно: оно равномощно множеству подмножеств $\mathbb N$ (диагональный аргумент Кантора). Две различные такие последовательности отличаются хотя бы в одной координате, поэтому расстояние между ними в $l_\infty$ равно $1$ . Применяем признак несепарабельности. $\blacksquare$

теорема

Сепарабельность подпространства

Формулировка

Любое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\{x_n\}$ всюду плотно в $X$ и $Y\subset X$ . Для каждой пары $(n,k)$ , при которой шар $B(x_n,\frac1k)$ пересекается с $Y$ , выберем точку $y_{nk}\in B(x_n,\frac1k)\cap Y$ . Получилось не более чем счётное множество.

Пусть $y\in Y$ , $\varepsilon > 0$ , $k > \frac2\varepsilon$ . Найдётся $x_n$ с $\rho(x_n,y) < \frac1k$ . Тогда шар $B(x_n,\frac1k)$ пересекается с $Y$ , точка $y_{nk}$ определена, и $\rho(y,y_{nk})\le\rho(y,x_n) + \rho(x_n,y_{nk}) < \frac2k < \varepsilon$ . $\blacksquare$

Несепарабельность пространства ограниченных функций

Условие

Доказать, что пространство $B[0,1]$ ограниченных на $[0,1]$ функций с метрикой $\rho(x,y) = \sup_t|x(t) - y(t)|$ несепарабельно.

Решение

Развернуть

Для каждого $s\in[0,1]$ рассмотрим индикатор $\chi_s(t)$ , равный $1$ при $t = s$ и $0$ иначе. При $s\ne s'$ имеем $\rho(\chi_s,\chi_{s'}) = 1$ . Множество таких функций несчётно, и пространство несепарабельно.

Сепарабельность пространства всех последовательностей

Условие

Пусть $s$ — пространство всех числовых последовательностей с метрикой

\rho(x,y) = \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}.

Доказать, что $s$ сепарабельно.

Решение

Развернуть

Каждое слагаемое меньше $2^{-k}$ , поэтому ряд сходится. Пусть $x\in s$ , $\varepsilon > 0$ . Выберем $N$ с $\sum_{k>N}2^{-k} < \frac\varepsilon2$ , затем рациональные $r_k$ с $|x_k - r_k| < \frac\varepsilon2$ при $k\le N$ . Для $r = (r_1,\dots,r_N,0,\dots)$

\rho(x,r) < \sum_{k\le N}\frac{1}{2^k}\cdot\frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 < \varepsilon.

Значит, счётное множество финитных рациональных последовательностей всюду плотно, как и в $l_p$ .

Дискретная метрика и сепарабельность

Условие

На множестве $X$ задана дискретная метрика: $\rho(x,y) = 1$ при $x\ne y$ , $\rho(x,x) = 0$ . При каких $X$ пространство сепарабельно?

Решение

Развернуть

В дискретной метрике любая точка изолирована: $B(x,\frac12) = \{x\}$ . Поэтому всюду плотное множество обязано совпадать с $X$ . Пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда $X$ не более чем счётно. Для несчётного $X$ (например, $\mathbb R$ ) это частный случай признака несепарабельности.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Сепарабельное пространство

Метрическое пространство называется сепарабельным, если в нём существует счётное (или конечное) всюду плотное подмножество.

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространство $\mathbb R^n_p$ — множество упорядоченных наборов $x = (x_1, \dots, x_n)$ с метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\sum_{k=1}^n |x_k - y_k|^p\right)^{1/p},\quad p\ge 1, \qquad \rho_\infty(x,y) = \max_{1\le k\le n}|x_k - y_k|.

При $p = 2$ получается евклидова метрика.

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

$C[a,b]$ — множество функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$ , с равномерной (чебышёвской) метрикой

\rho(x, y) = \max_{t\in[a,b]}|x(t) - y(t)|.

$C_p[a,b]$ , $p\ge 1$ , — то же множество функций с интегральной метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\int_a^b |x(t) - y(t)|^p\,dt\right)^{1/p}.

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

$l_p$ , $1\le p<\infty$ , — множество числовых последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ с $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < \infty$ и метрикой

\rho(x,y) = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^p\right)^{1/p}.

$l_\infty$ (обозначается также $m$ ) — множество ограниченных последовательностей с метрикой $\rho(x,y) = \sup_k |x_k - y_k|$ .
$c_0$ — множество последовательностей, сходящихся к нулю, с той же метрикой, что в $l_\infty$ .

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Пусть $a\in X$ , $r > 0$ .

Открытый шар: $B(a, r) = \{x\in X: \rho(x,a) < r\}$ ; замкнутый шар: $B[a, r] = \{x\in X: \rho(x,a)\le r\}$ . Шар $B(a,\varepsilon)$ называют также $\varepsilon$ -окрестностью точки $a$ .
Множество $M\subset X$ ограничено, если оно содержится в некотором шаре.
Диаметр множества: $\operatorname{diam} M = \sup_{x,y\in M}\rho(x,y)$ .
Расстояние от точки до множества: $\rho(x, M) = \inf_{y\in M}\rho(x,y)$ .

Подпространство метрического пространства

Если $Y\subset X$ , то $Y$ с ограничением на него метрики $\rho$ — тоже метрическое пространство. Его называют подпространством метрического пространства $X$ .

В нормированных пространствах термин «подпространство» имеет другой смысл: так называют замкнутое линейное многообразие.

Примеры всюду плотных множеств

Формулировка

$\mathbb Q^n$ всюду плотно в $\mathbb R^n_p$ .
Финитные последовательности (с конечным числом ненулевых членов), в том числе с рациональными членами, всюду плотны в $l_p$ при $1\le p<\infty$ и в $c_0$ . В $l_\infty$ они не всюду плотны.
Многочлены, в том числе с рациональными коэффициентами, всюду плотны в $C[a,b]$ и в $C_p[a,b]$ .

Доказательство

Развернуть

Каждую координату приближаем рациональным числом и пользуемся покоординатной сходимостью.
Пусть $x\in l_p$ , $\varepsilon > 0$ . Выберем $N$ так, что $\sum_{k>N}|x_k|^p < \frac{\varepsilon^p}{2}$ , и рациональные $r_k$ с $|x_k - r_k|^p < \frac{\varepsilon^p}{2N}$ при $k\le N$ . Для $r = (r_1,\dots,r_N,0,\dots)$ получаем $\rho(x,r)^p < \varepsilon^p$ . Для $c_0$ рассуждение то же, с супремумом вместо суммы. В $l_\infty$ последовательность $(1,1,1,\dots)$ отстоит от любой финитной не меньше чем на $1$ .
По теореме Вейерштрасса из курса анализа для $x\in C[a,b]$ есть многочлен $P(t) = \sum_{k=0}^n a_kt^k$ с $\rho(x,P) < \frac\varepsilon2$ . Пусть $K = \max(|a|,|b|,1)$ . Возьмём рациональные $q_k$ с $\sum|a_k - q_k|K^k < \frac\varepsilon2$ ; тогда многочлен $Q = \sum q_kt^k$ удовлетворяет $\rho(x,Q) < \varepsilon$ . Для $C_p[a,b]$ используем неравенство $\rho_p\le(b-a)^{1/p}\rho$ . $\blacksquare$

Счётность ОНС в сепарабельном пространстве

Формулировка

В сепарабельном гильбертовом пространстве любая ОНС не более чем счётна.
Гильбертово пространство со счётным ортонормированным базисом сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Для $e_i\ne e_j$ из ОНС $\|e_i - e_j\|^2 = 2$ . Несчётная ОНС противоречила бы признаку несепарабельности.
ОНБ является счётным базисом в смысле Шаудера; а пространство со счётным базисом сепарабельно. $\blacksquare$

Счётные базисы в пространствах последовательностей

Формулировка

Последовательность $e_k = (0,\dots,0,1,0,\dots)$ — счётный базис в $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и в $c_0$ , причём $x = \sum x_ke_k$ . В $l_\infty$ счётного базиса нет.

Доказательство

Развернуть

Для $x\in l_p$

\left\|x - \sum_{k\le n}x_ke_k\right\|^p = \sum_{k>n}|x_k|^p\to0,

то есть разложение существует. Единственность: если $x = \sum c_ke_k$ , то, переходя к покоординатной сходимости, получаем $c_k = x_k$ . Для $c_0$ остаток оценивается через $\sup_{k>n}|x_k|\to0$ .

$l_\infty$ несепарабельно, а пространство со счётным базисом сепарабельно. $\blacksquare$

Сепарабельные пространства

Примеры сепарабельных пространств

Формулировка

Доказательство

Признак несепарабельности

Формулировка

Доказательство

Несепарабельность пространства l∞

Формулировка

Доказательство

Сепарабельность подпространства

Формулировка

Доказательство

Несепарабельность пространства ограниченных функций

Условие

Решение

Сепарабельность пространства всех последовательностей

Условие

Решение

Дискретная метрика и сепарабельность

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Сепарабельное пространство

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Подпространство метрического пространства

Примеры всюду плотных множеств

Формулировка

Доказательство

Счётность ОНС в сепарабельном пространстве

Формулировка

Доказательство

Счётные базисы в пространствах последовательностей

Формулировка

Доказательство