Ортонормированные системы и ряды Фурье

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Минимальное свойство коэффициентов Фурье
Неравенство Бесселя
Сходимость ряда Фурье в гильбертовом пространстве
Критерии базисности ортонормированной системы
Обобщённое равенство Парсеваля
Тригонометрическая система в L₂[−π, π]

теорема

Минимальное свойство коэффициентов Фурье

Формулировка

Пусть $e_1,\dots,e_n$ — ОНС, $c_k = (x,e_k)$ . Тогда для любых чисел $a_k$

\left\|x - \sum_{k=1}^na_ke_k\right\|^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^nc_k^2 + \sum_{k=1}^n(a_k - c_k)^2.

Наименьшее значение достигается при $a_k = c_k$ и равно $\|x\|^2 - \sum_{k\le n}c_k^2$ . При этом $x - \sum_{k\le n}c_ke_k\perp e_j$ для $j\le n$ .

Доказательство

Развернуть

Раскрываем скобки, пользуясь ортонормированностью:

\left\|x - \sum a_ke_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2\sum a_kc_k + \sum a_k^2 = \|x\|^2 - \sum c_k^2 + \sum(a_k - c_k)^2.

Ортогональность: $\left(x - \sum c_ke_k, e_j\right) = c_j - c_j = 0$ . $\blacksquare$

следствие

Неравенство Бесселя

Формулировка

Для любой ОНС $\{e_k\}$ и любого $x$

\sum_{k=1}^\infty(x,e_k)^2\le\|x\|^2.

В частности, $(x,e_k)\to0$ .

Доказательство

Развернуть

По минимальному свойству коэффициентов Фурье $\|x\|^2 - \sum_{k\le n}c_k^2\ge0$ при любом $n$ . Частичные суммы ряда с неотрицательными членами ограничены, поэтому он сходится, и неравенство сохраняется в пределе. $\blacksquare$

теорема

Сходимость ряда Фурье в гильбертовом пространстве

Формулировка

В гильбертовом пространстве ряд Фурье $\sum(x,e_k)e_k$ любого элемента $x$ по ОНС сходится. Его сумма $y$ — ортогональная проекция $x$ на подпространство $[\operatorname{span}\{e_k\}]$ , и $x - y\perp e_k$ при всех $k$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме Пифагора $\|S_m - S_n\|^2 = \sum_{k=n+1}^mc_k^2$ . Ряд $\sum c_k^2$ сходится, поэтому частичные суммы фундаментальны и по полноте сходятся к некоторому $y$ .

По непрерывности скалярного произведения $(y, e_j) = \lim_n(S_n, e_j) = c_j$ , то есть $x - y\perp e_j$ . Тогда $x - y$ ортогонален и $L = [\operatorname{span}\{e_k\}]$ . Так как $y\in L$ , по свойству ортогональной проекции $y = P_Lx$ . $\blacksquare$

теорема

Критерии базисности ортонормированной системы

Формулировка

Для ОНС $\{e_k\}$ в гильбертовом пространстве $H$ равносильны условия:

$\{e_k\}$ — ортонормированный базис;
$\{e_k\}$ замкнута (равенство Парсеваля выполнено для всех $x$ );
$\{e_k\}$ полна;
линейная оболочка $\operatorname{span}\{e_k\}$ всюду плотна в $H$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow2$ . По минимальному свойству коэффициентов Фурье $\|x - S_n\|^2 = \|x\|^2 - \sum_{k\le n}c_k^2$ ; левая часть стремится к нулю.

$2\Rightarrow3$ . Если $(x,e_k) = 0$ для всех $k$ , то $\|x\|^2 = \sum0 = 0$ .

$3\Rightarrow1$ . Ряд Фурье сходится к $y$ с $x - y\perp e_k$ для всех $k$ . По полноте системы $x = y$ .

$1\Rightarrow4$ . Частичные суммы ряда Фурье лежат в $\operatorname{span}\{e_k\}$ и сходятся к $x$ .

$4\Rightarrow3$ . По критерию всюду плотности $(\operatorname{span}\{e_k\})^\perp = \{0\}$ . Элемент, ортогональный всем $e_k$ , ортогонален их оболочке, то есть равен нулю. $\blacksquare$

Замечание. Равносильность 1, 2 и 4 верна в любом евклидовом пространстве. Из полноты системы базисность следует только в полном пространстве.

следствие

Обобщённое равенство Парсеваля

Формулировка

Если $\{e_k\}$ — ортонормированный базис, то для любых $x, y$

(x,y) = \sum_{k=1}^\infty(x,e_k)(y,e_k).

Доказательство

Развернуть

$\left(\sum_{k\le n}(x,e_k)e_k,\ y\right) = \sum_{k\le n}(x,e_k)(y,e_k)$ . Левая часть стремится к $(x,y)$ по непрерывности скалярного произведения, так как частичные суммы ряда Фурье сходятся к $x$ . $\blacksquare$

теорема

Тригонометрическая система в L₂[−π, π]

Формулировка

Система

\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\quad\frac{\cos kt}{\sqrt\pi},\quad\frac{\sin kt}{\sqrt\pi},\qquad k = 1,2,\dots

является ортонормированным базисом в $L_2[-\pi,\pi]$ .

Доказательство

Развернуть

Ортонормированность проверяется по формулам произведения тригонометрических функций, например

\int_{-\pi}^\pi\cos kt\cos mt\,dt = \frac12\int_{-\pi}^\pi\big(\cos(k - m)t + \cos(k + m)t\big)\,dt = \pi\delta_{km}\quad(k,m\ge1).

Остальные интегралы аналогичны.

Базисность. По второй теореме Вейерштрасса из курса анализа тригонометрические многочлены равномерно приближают любую непрерывную функцию с $x(-\pi) = x(\pi)$ . Такие функции плотны в $C_2[-\pi,\pi]$ , а $C_2$ плотно в $L_2$ . Значит, линейная оболочка системы всюду плотна, и система — ОНБ. $\blacksquare$

Сумма ряда Σ1/k² через равенство Парсеваля

Условие

Применив равенство Парсеваля к функции $x(t) = t$ в $L_2[-\pi,\pi]$ , найти $\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}$ .

Решение

Развернуть

Функция нечётная, поэтому коэффициенты при $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ и $\frac{\cos kt}{\sqrt\pi}$ равны нулю. Далее,

\int_{-\pi}^\pi t\sin kt\,dt = \frac{2\pi(-1)^{k+1}}{k},\qquad c_k = \left(t,\frac{\sin kt}{\sqrt\pi}\right) = \frac{2\sqrt\pi(-1)^{k+1}}{k}.

$\|t\|^2 = \int_{-\pi}^\pi t^2\,dt = \frac{2\pi^3}{3}$ . Система — ОНБ, поэтому выполнено равенство Парсеваля:

\sum_{k=1}^\infty\frac{4\pi}{k^2} = \frac{2\pi^3}{3}\quad\Longrightarrow\quad\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}{6}.

ОНС, не являющаяся базисом

Условие

Является ли система $\{e_{2k}\}_{k\ge1}$ ортонормированным базисом в $l_2$ ?

Решение

Развернуть

Это ОНС, но она не полна: $e_1\ne0$ ортогонален всем $e_{2k}$ . Она не является базисом. Для $x = e_1$ неравенство Бесселя строгое: $0 < 1$ .

Наилучшее приближение тригонометрическим многочленом

Условие

Найти тригонометрический многочлен первого порядка, наилучшим образом приближающий $x(t) = t$ в $L_2[-\pi,\pi]$ , и квадрат погрешности.

Решение

Развернуть

Это отрезок ряда Фурье. Коэффициенты Фурье функции $t$ уже вычислены в задаче о сумме ряда $\sum\frac1{k^2}$ : ненулевой только $c_1 = 2\sqrt\pi$ при $\frac{\sin t}{\sqrt\pi}$ . Наилучшее приближение $2\sin t$ , а квадрат погрешности

\|t - 2\sin t\|^2 = \frac{2\pi^3}{3} - 4\pi\approx8{,}10.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Ортонормированная система. Коэффициенты и ряд Фурье

Система $\{e_k\}$ евклидова пространства называется ортонормированной (ОНС), если $(e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . Система ненулевых попарно ортогональных элементов называется ортогональной. Ортонормированная система линейно независима.

Числа $c_k = (x,e_k)$ — коэффициенты Фурье элемента $x$ по ОНС $\{e_k\}$ , а ряд $\sum c_ke_k$ — его ряд Фурье.

Ортонормированный базис. Замкнутая и полная ОНС

ОНС $\{e_k\}$ в евклидовом пространстве $E$ называется:

ортонормированным базисом (ОНБ), если для любого $x\in E$ его ряд Фурье сходится к $x$ : $x = \sum(x,e_k)e_k$ ;
замкнутой, если для любого $x\in E$ выполнено равенство Парсеваля $\sum(x,e_k)^2 = \|x\|^2$ ;
полной, если из $(x,e_k) = 0$ при всех $k$ следует $x = 0$ .

Гильбертово пространство

Гильбертовым пространством (ГП) называется полное евклидово пространство.

Примеры:

$\mathbb R^n$ с $(x,y) = \sum x_ky_k$ ;
$l_2$ с $(x,y) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k$ (ряд сходится по неравенству Коши–Буняковского);
$C_2[a,b]$ с $(x,y) = \int_a^bx(t)y(t)\,dt$ — евклидово, но не полное;
его пополнение $L_2[a,b]$ (функции с интегрируемым по Лебегу квадратом) — гильбертово.

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Множество $A$ плотно в множестве $B$ , если $B\subset[A]$ .
$A$ всюду плотно в $X$ , если $[A] = X$ .
$A$ нигде не плотно в $X$ , если в каждом шаре $B(a, r)$ найдётся шар $B(b, s)\subset B(a,r)$ , не содержащий точек множества $A$ .

Слабая сходимость в гильбертовом пространстве

Формулировка

В гильбертовом пространстве:

$x_n\rightharpoonup x\iff(x_n, y)\to(x, y)$ для всех $y\in H$ ;
любая ортонормированная система $e_n$ слабо сходится к нулю, но не сходится сильно;
если $x_n\rightharpoonup x$ и $\|x_n\|\to\|x\|$ , то $x_n\to x$ сильно.

Доказательство

Развернуть

По теореме Рисса все функционалы имеют вид $(\cdot, y)$ .
По неравенству Бесселя $\sum_n|(y, e_n)|^2\le\|y\|^2$ , так что $(e_n, y)\to 0$ . Но $\|e_n - e_m\| = \sqrt2$ .
$\|x_n - x\|^2 = \|x_n\|^2 - 2\operatorname{Re}(x_n, x) + \|x\|^2\to\|x\|^2 - 2\|x\|^2 + \|x\|^2 = 0$ . $\blacksquare$

Теорема Гильберта–Шмидта

Формулировка

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$ . Существует конечная или счётная ортонормированная система собственных элементов $e_k$ , $Ae_k = \lambda_ke_k$ , с вещественными $\lambda_k\ne 0$ , $|\lambda_1|\ge|\lambda_2|\ge\dots$ , $\lambda_k\to 0$ (если их бесконечно много), такая что для любого $x\in H$

x = x_0 + \sum_k(x, e_k)e_k,\quad x_0\in\operatorname{Ker}A,\qquad Ax = \sum_k\lambda_k(x, e_k)e_k.

Доказательство

Развернуть

Положим $H_1 = H$ и по предыдущей теореме найдём $e_1$ , $|\lambda_1| = \|A\|$ . Подпространство $H_2 = \{e_1\}^\perp$ инвариантно: $(Ax, e_1) = (x, Ae_1) = \lambda_1(x, e_1) = 0$ при $x\in H_2$ . Сужение $A$ на $H_2$ компактно и самосопряжено. Если оно не нулевое, находим $e_2\in H_2$ с $|\lambda_2| = \|A|_{H_2}\|\le|\lambda_1|$ , и так далее. Процесс обрывается, если на очередном $H_n$ оператор равен нулю.

Если процесс бесконечен, то $e_n\rightharpoonup 0$ , и $|\lambda_n| = \|Ae_n\|\to 0$ по теореме о компактных операторах.

Для $x\in H$ элемент $y_n = x - \sum_{k<n}(x, e_k)e_k$ лежит в $H_n$ , и $\|Ay_n\|\le|\lambda_n|\|y_n\|\le|\lambda_n|\|x\|\to 0$ (или $Ay_n = 0$ при конечном процессе). Значит, $Ax = \sum\lambda_k(x, e_k)e_k$ . Ряд $\sum(x, e_k)e_k$ сходится по неравенству Бесселя и теореме Рисса–Фишера, и для $x_0 = x - \sum(x, e_k)e_k$ по непрерывности $A$ получаем $Ax_0 = 0$ . $\blacksquare$

Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств

Формулировка

Любое бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство изоморфно $l_2$ . Следовательно, любые два таких пространства изоморфны между собой.

Доказательство

Развернуть

В $H$ есть счётный ОНБ $\{e_k\}$ ; он бесконечен, так как $H$ бесконечномерно. Положим $Ux = \big((x,e_1),(x,e_2),\dots\big)$ . По неравенству Бесселя $Ux\in l_2$ , а $U$ линейно.

$U$ сохраняет скалярное произведение (обобщённое равенство Парсеваля) и потому инъективно. $U$ сюръективно: для $c\in l_2$ по теореме Рисса–Фишера есть $x$ с $(x,e_k) = c_k$ , то есть $Ux = c$ . Изоморфизм двух пространств получается композицией $U_2^{-1}U_1$ . $\blacksquare$

Теорема Пифагора

Формулировка

Если $x_1,\dots,x_n$ попарно ортогональны, то

\left\|\sum_{i=1}^nx_i\right\|^2 = \sum_{i=1}^n\|x_i\|^2.

Доказательство

Развернуть

$\left\|\sum x_i\right\|^2 = \sum_{i,j}(x_i,x_j) = \sum_i(x_i,x_i)$ , так как при $i\ne j$ скалярные произведения равны нулю. $\blacksquare$

Непрерывность скалярного произведения

Формулировка

Если $x_n\to x$ и $y_n\to y$ , то $(x_n,y_n)\to(x,y)$ .

Доказательство

Развернуть

Сходящаяся последовательность $y_n$ ограничена. По неравенству Коши–Буняковского

|(x_n,y_n) - (x,y)|\le|(x_n - x, y_n)| + |(x, y_n - y)|\le\|x_n - x\|\,\|y_n\| + \|x\|\,\|y_n - y\|\to0.

$\blacksquare$

Расстояние до подпространства. Ортогональная проекция

Формулировка

Пусть $L$ — подпространство гильбертова пространства $H$ , $x\in H$ . Элемент $y\in L$ является ближайшим к $x$ элементом $L$ тогда и только тогда, когда $x - y\perp L$ . Такой $y$ существует и единственен; его называют ортогональной проекцией $x$ на $L$ и обозначают $P_Lx$ .

Доказательство

Развернуть

Подпространство замкнуто и выпукло, поэтому ближайший элемент существует и единственен.

$\Rightarrow$ : пусть $y$ ближайший, $z\in L$ . Функция

\varphi(t) = \|x - y - tz\|^2 = \|x - y\|^2 - 2t(x - y,z) + t^2\|z\|^2

имеет минимум при $t = 0$ , поэтому $\varphi'(0) = -2(x - y,z) = 0$ .

$\Leftarrow$ : если $x - y\perp L$ , то для любого $z\in L$ по теореме Пифагора (учитывая $y - z\in L$ )

\|x - z\|^2 = \|x - y\|^2 + \|y - z\|^2\ge\|x - y\|^2.

$\blacksquare$

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Для любого множества $M$ евклидова пространства:

$M^\perp$ — подпространство (замкнутое линейное многообразие);
$M\cap M^\perp\subset\{0\}$ ;
$M^\perp = \left([\operatorname{span}M]\right)^\perp$ .

Доказательство

Развернуть

Если $x_1,x_2\perp M$ , то и $\alpha x_1 + \beta x_2\perp M$ по линейности скалярного произведения. Если $x_n\in M^\perp$ , $x_n\to x$ , то $(x,y) = \lim(x_n,y) = 0$ для $y\in M$ .
Если $x\in M\cap M^\perp$ , то $(x,x) = 0$ , то есть $x = 0$ .
Элемент, ортогональный $M$ , ортогонален всем линейным комбинациям элементов $M$ , а по непрерывности скалярного произведения — и их пределам. Обратное включение очевидно. $\blacksquare$

Критерий всюду плотности линейного многообразия

Формулировка

Линейное многообразие $M$ всюду плотно в гильбертовом пространстве $H$ тогда и только тогда, когда $M^\perp = \{0\}$ .

Доказательство

Развернуть

$L = [M]$ — подпространство, и $M^\perp = L^\perp$ . Имеем разложение $H = L\oplus L^\perp$ , поэтому $L = H\iff L^\perp = \{0\}$ . $\blacksquare$

Полнота системы собственных элементов

Формулировка

Если компактный самосопряжённый оператор имеет нулевое ядро, то его собственные элементы $e_k$ образуют ортонормированный базис пространства $H$ ; в частности, $H$ сепарабельно. В общем случае базис образует система $\{e_k\}$ , дополненная ортонормированным базисом подпространства $\operatorname{Ker}A$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме Гильберта–Шмидта $x = x_0 + \sum(x, e_k)e_k$ с $x_0\in\operatorname{Ker}A$ . При $\operatorname{Ker}A = \{0\}$ получаем $x = \sum(x, e_k)e_k$ для всех $x$ , то есть система — базис, и она не более чем счётна. $\blacksquare$

Существование счётного ОНБ в сепарабельном гильбертовом пространстве

Формулировка

В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует не более чем счётный ортонормированный базис.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\{z_k\}$ всюду плотно в $H$ . Выбросим из последовательности каждый элемент, являющийся линейной комбинацией предыдущих. Останется линейно независимая система с той же линейной оболочкой, которая по-прежнему всюду плотна. Ортогонализуем её процессом Грама–Шмидта: получим ОНС с той же, всюду плотной, линейной оболочкой. Это ОНБ. $\blacksquare$

Уравнение первого рода. Теорема Пикара

Формулировка

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор с нулевым ядром. Уравнение $Ax = f$ разрешимо тогда и только тогда, когда

\sum_k\frac{|(f, e_k)|^2}{\lambda_k^2} < \infty,

и тогда решение единственно: $x = \sum_k\frac{(f, e_k)}{\lambda_k}e_k$ . В бесконечномерном пространстве образ $R(A)$ всюду плотен, но не замкнут, так что малые изменения $f$ могут вызывать большие изменения решения.

Доказательство

Развернуть

Если $Ax = f$ , то $(f, e_k) = (Ax, e_k) = (x, Ae_k) = \lambda_k(x, e_k)$ , и по равенству Парсеваля $\sum|(f, e_k)|^2/\lambda_k^2 = \|x\|^2 < \infty$ .

Обратно, при сходимости ряда по теореме Рисса–Фишера существует $x$ с коэффициентами $(f, e_k)/\lambda_k$ , и $Ax = \sum\lambda_k(x, e_k)e_k = \sum(f, e_k)e_k = f$ , так как $\{e_k\}$ — базис. Единственность следует из $\operatorname{Ker}A = \{0\}$ .

Образ плотен: $e_k = A(e_k/\lambda_k)\in R(A)$ , а $\{e_k\}$ — базис. Неустойчивость: $f + \varepsilon e_k$ даёт решение $x + \frac\varepsilon{\lambda_k}e_k$ , а $\frac\varepsilon{|\lambda_k|}\to\infty$ ; значит, обратный оператор $A^{-1}$ на $R(A)$ не ограничен. Если бы образ был замкнут, то $R(A) = H$ , и по теореме Банаха об обратном операторе $A^{-1}$ был бы ограничен — противоречие. $\blacksquare$

Ортонормированные системы и ряды Фурье

Минимальное свойство коэффициентов Фурье

Формулировка

Доказательство

Неравенство Бесселя

Формулировка

Доказательство

Сходимость ряда Фурье в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Критерии базисности ортонормированной системы

Формулировка

Доказательство

Обобщённое равенство Парсеваля

Формулировка

Доказательство

Тригонометрическая система в L₂[−π, π]

Формулировка

Доказательство

Сумма ряда Σ1/k² через равенство Парсеваля

Условие

Решение

ОНС, не являющаяся базисом

Условие

Решение

Наилучшее приближение тригонометрическим многочленом

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Ортонормированная система. Коэффициенты и ряд Фурье

Ортонормированный базис. Замкнутая и полная ОНС

Гильбертово пространство

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Слабая сходимость в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Теорема Гильберта–Шмидта

Формулировка

Доказательство

Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств

Формулировка

Доказательство

Теорема Пифагора

Формулировка

Доказательство

Непрерывность скалярного произведения

Формулировка

Доказательство

Расстояние до подпространства. Ортогональная проекция

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Доказательство

Критерий всюду плотности линейного многообразия

Формулировка

Доказательство

Полнота системы собственных элементов

Формулировка

Доказательство

Существование счётного ОНБ в сепарабельном гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Уравнение первого рода. Теорема Пикара

Формулировка

Доказательство