Линейные нормированные пространства

Прогресс изучения0 из 8

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы8

Основные свойства нормы
Примеры банаховых пространств
Замыкание линейного многообразия
Эквивалентность норм в конечномерном пространстве
Полнота конечномерных пространств и замкнутость конечномерных многообразий
Компактность в конечномерных пространствах
Лемма Рисса о почти перпендикуляре
Критерий конечномерности (компактность единичного шара)

теорема

Основные свойства нормы

Формулировка

$\rho(x,y) = \|x - y\|$ — метрика, причём $\rho(x + z, y + z) = \rho(x,y)$ и $\rho(\lambda x,\lambda y) = |\lambda|\rho(x,y)$ .
$\big|\|x\| - \|y\|\big|\le\|x - y\|$ ; в частности, норма непрерывна.
Линейные операции непрерывны: если $x_n\to x$ , $y_n\to y$ , $\lambda_n\to\lambda$ , то $x_n + y_n\to x + y$ и $\lambda_nx_n\to\lambda x$ .

Доказательство

Развернуть

Аксиомы метрики следуют из аксиом нормы ( $\|y - x\| = |-1|\cdot\|x - y\|$ ). Остальное очевидно.
$\|x\|\le\|x - y\| + \|y\|$ ; затем меняем $x$ и $y$ местами.
$\|(x_n + y_n) - (x + y)\|\le\|x_n - x\| + \|y_n - y\|$ и

\|\lambda_nx_n - \lambda x\|\le|\lambda_n|\,\|x_n - x\| + |\lambda_n - \lambda|\,\|x\|\to0.

$\blacksquare$

теорема

Примеры банаховых пространств

Формулировка

С нормами

\|x\|_p = \left(\sum|x_k|^p\right)^{1/p},\quad \|x\|_\infty = \sup_k|x_k|,\quad \|x\|_{C} = \max_{[a,b]}|x(t)|

пространства $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $l_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $c_0$ и $C[a,b]$ банаховы. Пространство $C_p[a,b]$ с нормой $\left(\int_a^b|x|^p\,dt\right)^{1/p}$ — нормированное, но не банахово.

Доказательство

Развернуть

Аксиомы 1–2 нормы очевидны, а неравенство треугольника и порождаемые метрики — это метрики основных метрических пространств. Полнота $\mathbb R^n_p$ , $l_p$ , $l_\infty$ , $C[a,b]$ и неполнота $C_p[a,b]$ доказаны в теме «Полные метрические пространства».

$c_0$ замкнуто в $l_\infty$ : пусть $x^{(n)}\in c_0$ , $\|x^{(n)} - x\|_\infty < \frac\varepsilon2$ , и $|x_k^{(n)}| < \frac\varepsilon2$ при $k > K$ . Тогда $|x_k| < \varepsilon$ при $k > K$ , то есть $x\in c_0$ . Как замкнутое подпространство полного пространства $l_\infty$ , оно полно. $\blacksquare$

теорема

Замыкание линейного многообразия

Формулировка

Замыкание линейного многообразия в нормированном пространстве — линейное многообразие, а значит, подпространство.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x, y\in[L]$ ; найдутся $x_n, y_n\in L$ с $x_n\to x$ , $y_n\to y$ . Тогда $\alpha x_n + \beta y_n\in L$ и по непрерывности линейных операций $\alpha x_n + \beta y_n\to\alpha x + \beta y$ , то есть $\alpha x + \beta y\in[L]$ . Замыкание любого множества замкнуто. $\blacksquare$

теорема

Эквивалентность норм в конечномерном пространстве

Формулировка

В конечномерном линейном пространстве любые две нормы эквивалентны.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_n$ — базис, $x = \sum\xi_ie_i$ , $|\xi|_2 = \left(\sum\xi_i^2\right)^{1/2}$ . Достаточно показать, что любая норма $\|\cdot\|$ эквивалентна $|\xi|_2$ .

Оценка сверху. По неравенству Коши–Буняковского

\|x\|\le\sum|\xi_i|\,\|e_i\|\le\beta|\xi|_2,\qquad\beta = \left(\sum\|e_i\|^2\right)^{1/2}.

Оценка снизу. Единичная сфера $S = \{|\xi|_2 = 1\}$ замкнута и ограничена, а значит, компактна. По теореме Вейерштрасса $\varphi$ достигает на ней минимума $\alpha$ . При этом $\alpha > 0$ , так как $\sum\xi_ie_i\ne0$ при $\xi\ne0$ . По однородности $\alpha|\xi|_2\le\|x\|\le\beta|\xi|_2$ для всех $x$ . $\blacksquare$

теорема

Полнота конечномерных пространств и замкнутость конечномерных многообразий

Формулировка

Любое конечномерное нормированное пространство банахово.
Любое конечномерное линейное многообразие нормированного пространства замкнуто, то есть является подпространством.

Доказательство

Развернуть

Норма эквивалентна евклидовой норме координат. Поэтому фундаментальная последовательность имеет фундаментальные координаты, которые сходятся по полноте $\mathbb R^n$ , и последовательность сходится по норме.
Конечномерное многообразие с индуцированной нормой полно по п. 1, а полное подпространство замкнуто. $\blacksquare$

следствие

Компактность в конечномерных пространствах

Формулировка

В конечномерном нормированном пространстве ограниченные множества относительно компактны, а замкнутые ограниченные множества компактны.

Доказательство

Развернуть

Ограниченность и сходимость по норме равносильны ограниченности и сходимости векторов координат в $\mathbb R^n_2$ . Остаётся воспользоваться критерием компактности в $\mathbb R^n$ . $\blacksquare$

лемма

Лемма Рисса о почти перпендикуляре

Формулировка

Пусть $L$ — подпространство нормированного пространства $E$ , $L\ne E$ . Тогда для любого $\varepsilon\in(0,1)$ существует $x_\varepsilon\in E$ с $\|x_\varepsilon\| = 1$ и $\rho(x_\varepsilon, L)\ge1 - \varepsilon$ .

Доказательство

Развернуть

Возьмём $x_0\notin L$ , $d = \rho(x_0,L)$ . Тогда $d > 0$ : иначе $x_0\in[L] = L$ . Выберем $y_0\in L$ с $\|x_0 - y_0\| < \frac{d}{1-\varepsilon}$ и положим $x_\varepsilon = \frac{x_0 - y_0}{\|x_0 - y_0\|}$ . Для $y\in L$ элемент $y_0 + \|x_0 - y_0\|y$ лежит в $L$ , поэтому

\|x_\varepsilon - y\| = \frac{\|x_0 - (y_0 + \|x_0 - y_0\|y)\|}{\|x_0 - y_0\|}\ge\frac{d}{\|x_0 - y_0\|} > 1 - \varepsilon.

$\blacksquare$

теорема

Критерий конечномерности (компактность единичного шара)

Формулировка

Замкнутый единичный шар нормированного пространства $E$ компактен (то есть $E$ локально компактно) тогда и только тогда, когда $E$ конечномерно.

Доказательство

Развернуть

Если $E$ конечномерно, шар замкнут и ограничен, а значит, компактен.

Пусть $E$ бесконечномерно. Возьмём $\|x_1\| = 1$ и $L_1 = \operatorname{span}\{x_1\}$ . Это подпространство, и $L_1\ne E$ . С $\varepsilon = \frac12$ найдётся $x_2$ , $\|x_2\| = 1$ , $\rho(x_2,L_1)\ge\frac12$ . Затем $L_2 = \operatorname{span}\{x_1,x_2\}$ , и так далее.

Получаем последовательность единичных векторов с $\|x_n - x_m\|\ge\frac12$ при $n\ne m$ . У неё нет сходящихся подпоследовательностей, и шар не компактен. $\blacksquare$

Норма в пространстве C¹[0,1]

Условие

Является ли $\|x\| = |x(0)| + \max_{[0,1]}|x'(t)|$ нормой в пространстве $C^1[0,1]$ непрерывно дифференцируемых функций?

Решение

Развернуть

Да. Однородность и неравенство треугольника следуют из свойств модуля и максимума. Если $\|x\| = 0$ , то $x'\equiv0$ , то есть $x$ постоянна, и $x(0) = 0$ , откуда $x\equiv0$ .

Полунорма вместо нормы

Условие

Является ли $\|x\| = \max_{[0,1]}|x'(t)|$ нормой в $C^1[0,1]$ ?

Решение

Развернуть

Нет: для $x\equiv1$ имеем $\|x\| = 0$ , хотя $x\ne0$ . Нарушена первая аксиома; остальные выполнены (такая функция называется полунормой).

Константы эквивалентности норм в ℝⁿ

Условие

Доказать, что в $\mathbb R^n$

\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\sqrt n\|x\|_\infty,\qquad \|x\|_2\le\|x\|_1\le\sqrt n\|x\|_2.

Решение

Развернуть

$\max x_k^2\le\sum x_k^2\le n\max x_k^2$ . Далее, $\sum x_k^2\le\left(\sum|x_k|\right)^2$ , а по неравенству Коши–Буняковского $\sum|x_k|\cdot1\le\sqrt n\left(\sum x_k^2\right)^{1/2}$ . Это иллюстрирует эквивалентность норм в конечномерном пространстве.

Незамкнутое линейное многообразие в l₂

Условие

Доказать, что множество $L$ финитных последовательностей — линейное многообразие в $l_2$ , но не подпространство. Найти его замыкание.

Решение

Развернуть

Сумма финитных последовательностей и произведение на число финитны, так что $L$ — линейное многообразие. Финитные последовательности всюду плотны в $l_2$ , то есть $[L] = l_2\ne L$ ; например, $(1,\frac12,\frac13,\dots)\in[L]\setminus L$ . Значит, $L$ не замкнуто. Его замыкание $l_2$ — подпространство, как и должно быть: замыкание линейного многообразия — подпространство.

Неэквивалентные нормы в C[0,1]

Условие

Доказать, что нормы $\|x\|_C = \max|x(t)|$ и $\|x\|_1 = \int_0^1|x(t)|\,dt$ в $C[0,1]$ не эквивалентны.

Решение

Развернуть

$\|x\|_1\le\|x\|_C$ , но обратной оценки $\|x\|_C\le c\|x\|_1$ нет: для $x_n = t^n$ имеем $\|x_n\|_C = 1$ и $\|x_n\|_1 = \frac1{n+1}$ . Это не противоречит эквивалентности норм в конечномерном случае, поскольку $C[0,1]$ бесконечномерно.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Линейное пространство. Размерность

Линейным пространством над $\mathbb R$ называется множество $E$ с операциями сложения и умножения на число, удовлетворяющими аксиомам: коммутативность и ассоциативность сложения, существование нуля и противоположного элемента, $1\cdot x = x$ , $\lambda(\mu x) = (\lambda\mu)x$ и две дистрибутивности.

$E$ имеет размерность $n$ , если в нём есть $n$ линейно независимых элементов, а любые $n+1$ элементов линейно зависимы. $E$ бесконечномерно, если для любого $n$ в нём есть $n$ линейно независимых элементов. Например, $C[a,b]$ бесконечномерно: функции $1, t, t^2,\dots$ линейно независимы.

Линейное многообразие. Линейная оболочка. Прямая сумма

Линейное многообразие $L\subset E$ — непустое подмножество, замкнутое относительно сложения и умножения на число.
Линейная оболочка $\operatorname{span}M$ — множество всех конечных линейных комбинаций элементов $M$ ; это наименьшее линейное многообразие, содержащее $M$ .
$E$ — прямая сумма линейных многообразий $L_1$ и $L_2$ ( $E = L_1\oplus L_2$ ), если любой $x\in E$ единственным образом представляется в виде $x = x_1 + x_2$ , $x_i\in L_i$ . Это равносильно условиям $E = L_1 + L_2$ и $L_1\cap L_2 = \{0\}$ .

Нормированное пространство

Нормой в линейном пространстве $E$ называется функция $\|\cdot\|\colon E\to\mathbb R$ такая, что для всех $x,y\in E$ , $\lambda\in\mathbb R$ :

$\|x\|\ge0$ , причём $\|x\| = 0\iff x = 0$ ;
$\|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|$ ;
$\|x + y\|\le\|x\| + \|y\|$ .

Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством (НП). Оно является метрическим пространством с метрикой $\rho(x,y) = \|x - y\|$ ; сходимость в этой метрике называют сходимостью по норме.

Банахово пространство

Банаховым пространством (БП) называется полное нормированное пространство.

Подпространство нормированного пространства

Подпространством нормированного пространства называется замкнутое линейное многообразие.

Эквивалентные нормы

Нормы $\|\cdot\|_1$ и $\|\cdot\|_2$ в одном линейном пространстве называются эквивалентными, если существуют $c_1, c_2 > 0$ такие, что

c_1\|x\|_1\le\|x\|_2\le c_2\|x\|_1\quad\forall x.

Эквивалентные нормы задают одинаковые сходящиеся и фундаментальные последовательности.

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространство $\mathbb R^n_p$ — множество упорядоченных наборов $x = (x_1, \dots, x_n)$ с метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\sum_{k=1}^n |x_k - y_k|^p\right)^{1/p},\quad p\ge 1, \qquad \rho_\infty(x,y) = \max_{1\le k\le n}|x_k - y_k|.

При $p = 2$ получается евклидова метрика.

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

$C[a,b]$ — множество функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$ , с равномерной (чебышёвской) метрикой

\rho(x, y) = \max_{t\in[a,b]}|x(t) - y(t)|.

$C_p[a,b]$ , $p\ge 1$ , — то же множество функций с интегральной метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\int_a^b |x(t) - y(t)|^p\,dt\right)^{1/p}.

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

$l_p$ , $1\le p<\infty$ , — множество числовых последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ с $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < \infty$ и метрикой

\rho(x,y) = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^p\right)^{1/p}.

$l_\infty$ (обозначается также $m$ ) — множество ограниченных последовательностей с метрикой $\rho(x,y) = \sup_k |x_k - y_k|$ .
$c_0$ — множество последовательностей, сходящихся к нулю, с той же метрикой, что в $l_\infty$ .

Компактное и относительно компактное множество

Множество $K$ метрического пространства $X$ называется компактным, если из любой последовательности его элементов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу $K$ .

Множество $M$ называется относительно компактным (предкомпактным), если из любой последовательности его элементов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в $X$ (предел может не лежать в $M$ ).

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Пусть $a\in X$ , $r > 0$ .

Открытый шар: $B(a, r) = \{x\in X: \rho(x,a) < r\}$ ; замкнутый шар: $B[a, r] = \{x\in X: \rho(x,a)\le r\}$ . Шар $B(a,\varepsilon)$ называют также $\varepsilon$ -окрестностью точки $a$ .
Множество $M\subset X$ ограничено, если оно содержится в некотором шаре.
Диаметр множества: $\operatorname{diam} M = \sup_{x,y\in M}\rho(x,y)$ .
Расстояние от точки до множества: $\rho(x, M) = \inf_{y\in M}\rho(x,y)$ .

Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества

Формулировка

Пусть $M$ — замкнутое выпуклое множество гильбертова пространства $H$ , $x\in H$ . Тогда существует единственный $y\in M$ с $\|x - y\| = \rho(x,M)$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $d = \rho(x,M)$ и $y_n\in M$ , $\|x - y_n\|^2 < d^2 + \frac1n$ . Применим равенство параллелограмма к $x - y_n$ и $x - y_m$ :

\|y_n - y_m\|^2 = 2\|x - y_n\|^2 + 2\|x - y_m\|^2 - 4\left\|x - \frac{y_n + y_m}{2}\right\|^2.

По выпуклости $\frac{y_n + y_m}2\in M$ , поэтому последнее слагаемое не меньше $4d^2$ , и $\|y_n - y_m\|^2\le\frac2n + \frac2m$ . Последовательность фундаментальна. $M$ замкнуто в полном $H$ и потому полно, так что $y_n\to y\in M$ . По непрерывности нормы $\|x - y\| = d$ .

Единственность. Если $y, y'\in M$ — два ближайших элемента, та же оценка даёт $\|y - y'\|^2\le2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$ . $\blacksquare$

Ограниченность и непрерывность линейного функционала

Формулировка

Для линейного функционала $f$ на нормированном пространстве равносильны условия:

$f$ непрерывен в нуле;
$f$ непрерывен на $E$ ;
$f$ ограничен.

При этом $|f(x)|\le\|f\|\,\|x\|$ и $\|f\| = \sup_{\|x\| = 1}|f(x)|$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 3$ . Если $f$ неограничен, найдутся $x_n$ с $|f(x_n)| > n\|x_n\|$ . Тогда $y_n = \dfrac{x_n}{n\|x_n\|}\to 0$ , но $|f(y_n)| > 1$ — противоречие с непрерывностью в нуле.

$3\Rightarrow 2$ . $|f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)|\le C\|x_n - x\|$ .

$2\Rightarrow 1$ очевидно. Неравенство $|f(x)|\le\|f\|\|x\|$ и формула для нормы следуют из однородности: $f(x) = \|x\|f(x/\|x\|)$ . $\blacksquare$

Абсолютно сходящиеся ряды в банаховом пространстве

Формулировка

В банаховом пространстве абсолютно сходящийся ряд сходится, и $\left\|\sum x_k\right\|\le\sum\|x_k\|$ .
Обратно, если в нормированном пространстве каждый абсолютно сходящийся ряд сходится, то пространство банахово.

Доказательство

Развернуть

$\left\|\sum_{n+1}^{n+p}x_k\right\|\le\sum_{n+1}^{n+p}\|x_k\|$ ; правая часть мала по критерию Коши для числового ряда. Применяем критерий Коши для рядов. Оценка нормы суммы получается переходом к пределу в $\|S_n\|\le\sum_{k\le n}\|x_k\|$ (по непрерывности нормы).
Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна. Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ с $\|x_{n_{k+1}} - x_{n_k}\| < 2^{-k}$ . Ряд $x_{n_1} + \sum_k(x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ сходится абсолютно, значит, сходится. Его частичные суммы — это $x_{n_k}$ . Итак, подпоследовательность сходится, а сходится и вся последовательность. $\blacksquare$

Банахово пространство со счётным базисом сепарабельно

Формулировка

Нормированное пространство со счётным базисом сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Множество $D$ конечных комбинаций $\sum_{k\le n}r_ke_k$ с рациональными $r_k$ счётно. Пусть $x = \sum c_ke_k$ , $\varepsilon > 0$ . Выберем $n$ с $\left\|x - \sum_{k\le n}c_ke_k\right\| < \frac\varepsilon2$ и рациональные $r_k$ с $\sum_{k\le n}|c_k - r_k|\,\|e_k\| < \frac\varepsilon2$ . Тогда $\left\|x - \sum_{k\le n}r_ke_k\right\| < \varepsilon$ , то есть $D$ всюду плотно. $\blacksquare$

Замечание. Обратное неверно: существуют сепарабельные банаховы пространства без счётного базиса (пример П. Энфло, 1973).

Необходимый признак сходимости ряда

Формулировка

Если ряд $\sum x_k$ сходится в нормированном пространстве, то $x_k\to0$ .

Доказательство

Развернуть

$x_k = S_k - S_{k-1}\to S - S = 0$ по непрерывности линейных операций. $\blacksquare$

Основные метрические пространства

Формулировка

Пространства $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $C[a,b]$ , $C_p[a,b]$ , $l_p$ ( $1\le p < \infty$ ), $l_\infty$ и $c_0$ являются метрическими пространствами.

Доказательство

Развернуть

Аксиома симметрии везде очевидна. Проверим остальное.

$C[a,b]$ . Максимум существует, так как $|x - y|$ непрерывна на отрезке. Неравенство треугольника проверяется так же, как для $\rho_\infty$ .

$C_p[a,b]$ . Если $\int_a^b|x - y|^p\,dt = 0$ , то непрерывная неотрицательная функция $|x - y|^p$ равна нулю тождественно: иначе она была бы положительна на некотором интервале, и интеграл был бы положителен. Неравенство треугольника следует из интегрального неравенства Минковского.

$l_p$ . По неравенству Минковского для рядов разность $x - y$ лежит в $l_p$ , поэтому $\rho(x,y)$ конечно. Неравенство треугольника — тоже неравенство Минковского.

$l_\infty$ , $c_0$ . Супремум конечен, потому что последовательности ограничены. Неравенство треугольника проверяется так же, как для $\rho_\infty$ . Пространство $c_0$ — подпространство $l_\infty$ . $\blacksquare$

Полнота основных пространств

Формулировка

Пространства $\mathbb R$ , $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $C[a,b]$ , $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и $l_\infty$ полны.

Доказательство

Развернуть

$\mathbb R$ — это критерий Коши из курса анализа.

$\mathbb R^n_p$ . Координаты фундаментальной последовательности фундаментальны ( $|x_k - y_k|\le\rho_p(x,y)$ ), поэтому сходятся. Покоординатная сходимость равносильна сходимости в $\mathbb R^n_p$ .

$C[a,b]$ . Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна: $|x_n(t) - x_m(t)| < \varepsilon$ при $n,m > N$ и всех $t$ . При каждом $t$ числовая последовательность $x_n(t)$ фундаментальна, значит, имеет предел $x(t)$ . Переходя к пределу при $m\to\infty$ , получаем $|x_n(t) - x(t)|\le\varepsilon$ при $n > N$ и всех $t$ , то есть сходимость равномерная. Предельная функция непрерывна: при $|t - s| < \delta$ (где $\delta$ выбрано по непрерывности $x_n$ )

|x(t) - x(s)|\le|x(t) - x_n(t)| + |x_n(t) - x_n(s)| + |x_n(s) - x(s)| < 3\varepsilon.

Итак, $x\in C[a,b]$ и $\rho(x_n, x)\le\varepsilon$ при $n > N$ .

$l_p$ . Координаты фундаментальны и сходятся: $x_k^{(n)}\to x_k$ . При $n, m > N$ и любом $K$ имеем $\sum_{k=1}^K|x_k^{(n)} - x_k^{(m)}|^p < \varepsilon^p$ . Переходим к пределу сначала при $m\to\infty$ , затем при $K\to\infty$ :

\sum_{k=1}^\infty|x_k^{(n)} - x_k|^p\le\varepsilon^p.

Значит, $x^{(n)} - x\in l_p$ , и по неравенству Минковского $x = x^{(n)} - (x^{(n)} - x)\in l_p$ , причём $\rho(x^{(n)}, x)\le\varepsilon$ .

$l_\infty$ — так же, с супремумом вместо суммы. $\blacksquare$

Неполнота пространств Cₚ[a,b] и ℚ

Формулировка

Пространства $C_p[a,b]$ ( $p\ge 1$ ) и $\mathbb Q$ (с метрикой $|x - y|$ ) не полны.

Доказательство

Развернуть

$C_p[-1,1]$ (общий отрезок сводится к нему линейной заменой). Пусть

x_n(t) = \begin{cases}-1, & t\le-\frac1n,\\ nt, & |t| < \frac1n,\\ 1, & t\ge\frac1n.\end{cases}

При $m > n$ функции $x_n$ и $x_m$ различаются лишь на $(-\frac1n,\frac1n)$ , и там $|x_n - x_m|\le 1$ . Поэтому $\rho_p(x_n,x_m)^p\le\frac2n$ , и последовательность фундаментальна.

Пусть $x_n\to x\in C_p[-1,1]$ . Для $\delta > 0$ и $n > \frac1\delta$ на $[\delta, 1]$ имеем $x_n = 1$ , поэтому

\int_\delta^1|1 - x(t)|^p\,dt\le\rho_p(x_n,x)^p\to 0.

Значит, $x = 1$ на $[\delta,1]$ для любого $\delta$ , то есть на $(0,1]$ . Аналогично $x = -1$ на $[-1,0)$ . Такая функция разрывна в нуле — противоречие.

$\mathbb Q$ . Десятичные приближения $\sqrt2$ образуют фундаментальную последовательность рациональных чисел. Её предел в $\mathbb R$ равен $\sqrt2\notin\mathbb Q$ , а по единственности предела другого предела быть не может. $\blacksquare$

Полнота и замкнутость подпространства

Формулировка

Полное подпространство любого метрического пространства замкнуто.
Если $X$ полно, то его подпространство $Y$ полно тогда и только тогда, когда $Y$ замкнуто.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x\in[Y]$ и $y_n\in Y$ , $y_n\to x$ . Последовательность $\{y_n\}$ фундаментальна, поэтому сходится в $Y$ к некоторому $y$ . По единственности предела $x = y\in Y$ .
Пусть $Y$ замкнуто и $\{y_n\}\subset Y$ фундаментальна. Она сходится в $X$ к некоторому $x$ , а по замкнутости $x\in Y$ . Обратное — это п. 1. $\blacksquare$

Предельная точка как предел последовательности

Формулировка

$a$ — предельная точка $M$ $\iff$ существует последовательность $x_n\in M$ , $x_n\ne a$ , сходящаяся к $a$ .
$a\in[M]$ $\iff$ существует последовательность $x_n\in M$ , сходящаяся к $a$ .
$M$ замкнуто $\iff$ пределы всех сходящихся последовательностей из $M$ лежат в $M$ .

Доказательство

Развернуть

$\Rightarrow$ : в каждом шаре $B(a, \frac1n)$ выберем точку $x_n\in M$ , $x_n\ne a$ ; тогда $\rho(x_n, a) < \frac1n\to 0$ . $\Leftarrow$ : любой шар $B(a,\varepsilon)$ содержит $x_n$ при больших $n$ , и $x_n\ne a$ .
Если $a\in M$ , берём $x_n = a$ . Если $a\in M'$ , применяем п. 1. Обратно, если $x_n\to a$ , то любой шар $B(a,\varepsilon)$ пересекается с $M$ , а это и означает $a\in[M]$ .
Следует из п. 2: $M$ замкнуто $\iff [M] = M$ . $\blacksquare$

Свойства замыкания

Формулировка

$[M]$ — замкнутое множество, $[[M]] = [M]$ .
$M$ замкнуто $\iff M = [M]$ .
$[M]$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее $M$ : если $F\supset M$ и $F$ замкнуто, то $F\supset[M]$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $b\in[[M]]$ и $\varepsilon > 0$ . Шар $B(b,\varepsilon)$ содержит точку $c\in[M]$ . Шар $B(c,\delta)$ , $\delta = \varepsilon - \rho(b,c)$ , лежит в $B(b,\varepsilon)$ и пересекается с $M$ . Значит, любой шар с центром $b$ пересекается с $M$ , и $b\in[M]$ . Итак, $[[M]] = [M]$ , а так как предельные точки $[M]$ лежат в $[[M]]$ , множество $[M]$ замкнуто.
Следует из определений.
Предельная точка $M$ является предельной и для $F\supset M$ . Так как $F$ замкнуто, она лежит в $F$ . Значит, $M'\subset F$ и $[M]\subset F$ . $\blacksquare$

Критерий всюду плотности линейного многообразия

Формулировка

Линейное многообразие $M$ всюду плотно в гильбертовом пространстве $H$ тогда и только тогда, когда $M^\perp = \{0\}$ .

Доказательство

Развернуть

$L = [M]$ — подпространство, и $M^\perp = L^\perp$ . Имеем разложение $H = L\oplus L^\perp$ , поэтому $L = H\iff L^\perp = \{0\}$ . $\blacksquare$

Неравенство Гёльдера

Формулировка

Пусть $p > 1$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ . Тогда

\sum_{k=1}^n |x_ky_k| \le \left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}.

То же верно для рядов (если правая часть конечна, ряд слева сходится) и для интегралов от непрерывных функций:

\int_a^b|x(t)y(t)|\,dt \le \left(\int_a^b|x|^p\,dt\right)^{1/p}\left(\int_a^b|y|^q\,dt\right)^{1/q}.

При $p = q = 2$ это неравенство Коши–Буняковского.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A = \left(\sum|x_k|^p\right)^{1/p}$ , $B = \left(\sum|y_k|^q\right)^{1/q}$ . Если $A = 0$ или $B = 0$ , то все $x_k$ или все $y_k$ равны нулю, и неравенство очевидно. Иначе применим неравенство Юнга к $a = |x_k|/A$ , $b = |y_k|/B$ и просуммируем:

\frac{1}{AB}\sum|x_ky_k| \le \frac{1}{pA^p}\sum|x_k|^p + \frac{1}{qB^q}\sum|y_k|^q = \frac1p + \frac1q = 1.

Для рядов: частичные суммы ряда слева ограничены правой частью, значит, ряд с неотрицательными членами сходится, и неравенство сохраняется в пределе. Для интегралов рассуждение то же, с заменой сумм интегралами. $\blacksquare$

Компактность в ℝⁿ

Формулировка

В $\mathbb R^n_p$ множество относительно компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, и компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Доказательство

Развернуть

Необходимость следует из ограниченности относительно компактных множеств. Пусть $M$ ограничено и $\{x^{(m)}\}\subset M$ . Координаты ограничены. По теореме Больцано–Вейерштрасса из курса анализа выделим подпоследовательность, у которой сходится первая координата, из неё — подпоследовательность, у которой сходится вторая, и т.д. После $n$ шагов все координаты сходятся, а это сходимость в $\mathbb R^n_p$ . Если $M$ ещё и замкнуто, предел лежит в $M$ . $\blacksquare$

Непрерывные отображения на компактных множествах

Формулировка

Пусть $K$ — компактное множество, $f$ непрерывно на $K$ . Тогда:

$f(K)$ компактно;
(Вейерштрасс) если $f$ — вещественная функция, то она ограничена на $K$ и достигает на $K$ наибольшего и наименьшего значений;
(Кантор) $f$ равномерно непрерывно на $K$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $y_n = f(x_n)$ , $x_n\in K$ . Выделим $x_{n_k}\to x\in K$ . По непрерывности (в форме Гейне) $f(x_{n_k})\to f(x)\in f(K)$ .
$f(K)\subset\mathbb R$ компактно, значит, замкнуто и ограничено, и поэтому содержит свои точную верхнюю и нижнюю грани.
Пусть это не так: найдутся $\varepsilon > 0$ и $x_n, x_n'\in K$ с $\rho(x_n,x_n') < \frac1n$ и $\rho(f(x_n),f(x_n'))\ge\varepsilon$ . Выделим $x_{n_k}\to x\in K$ ; тогда и $x_{n_k}'\to x$ . По непрерывности оба образа стремятся к $f(x)$ , что противоречит $\rho(f(x_{n_k}),f(x_{n_k}'))\ge\varepsilon$ . $\blacksquare$

Функционалы на конечномерном пространстве

Формулировка

Любой линейный функционал на конечномерном нормированном пространстве ограничен.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1, \dots, e_n$ — базис, $x = \sum x_ke_k$ . Тогда $|f(x)| = \left|\sum x_kf(e_k)\right|\le\max_k|f(e_k)|\sum|x_k|$ . Функция $\sum|x_k|$ — норма на $E$ , а в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, так что $\sum|x_k|\le c\|x\|$ . $\blacksquare$

Простейшие свойства компактных операторов

Формулировка

Компактный оператор ограничен.
Ограниченный конечномерный оператор компактен.
Линейная комбинация компактных операторов компактна.
Произведение компактного оператора на ограниченный (в любом порядке) компактно.
В бесконечномерном пространстве тождественный оператор не компактен.

Доказательство

Развернуть

Образ единичного шара относительно компактен, а значит, ограничен.
Образ ограниченного множества ограничен и лежит в конечномерном пространстве, где ограниченные множества относительно компактны.
Для $\alpha A + \beta B$ выбираем подпоследовательность дважды.
Ограниченный оператор переводит ограниченные множества в ограниченные, а сходящиеся последовательности — в сходящиеся.
Единичный шар бесконечномерного пространства не относительно компактен. $\blacksquare$

Собственные значения компактного оператора

Формулировка

Пусть $A$ — компактный оператор в банаховом пространстве. Тогда:

при $\lambda\ne 0$ собственное подпространство $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ конечномерно;
для любого $\delta > 0$ собственных значений с $|\lambda|\ge\delta$ конечное число.

Следовательно, ненулевые собственные значения образуют не более чем счётное множество, которое может накапливаться только к нулю.

Доказательство

Развернуть

На $N = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ оператор действует как $\lambda I$ , поэтому единичный шар $B_N = \frac1\lambda A(B_N)$ относительно компактен. По критерию конечномерности $N$ конечномерно.
Пусть есть бесконечно много различных $\lambda_n$ с $|\lambda_n|\ge\delta$ и собственные элементы $x_n$ . Они линейно независимы, и подпространства $L_n = \operatorname{span}\{x_1, \dots, x_n\}$ строго возрастают. При этом $AL_n\subset L_n$ и $(A - \lambda_n)L_n\subset L_{n-1}$ . По лемме Рисса возьмём $y_n\in L_n$ , $\|y_n\| = 1$ , $\rho(y_n, L_{n-1})\ge\frac12$ . При $n > m$

Ay_n - Ay_m = \lambda_ny_n - \bigl[(\lambda_n - A)y_n + Ay_m\bigr],

где скобка лежит в $L_{n-1}$ . Поэтому $\|Ay_n - Ay_m\|\ge|\lambda_n|\cdot\frac12\ge\frac\delta2$ , и у ограниченной последовательности $y_n$ образы не имеют сходящейся подпоследовательности — противоречие с компактностью. $\blacksquare$

Примеры всюду плотных множеств

Формулировка

$\mathbb Q^n$ всюду плотно в $\mathbb R^n_p$ .
Финитные последовательности (с конечным числом ненулевых членов), в том числе с рациональными членами, всюду плотны в $l_p$ при $1\le p<\infty$ и в $c_0$ . В $l_\infty$ они не всюду плотны.
Многочлены, в том числе с рациональными коэффициентами, всюду плотны в $C[a,b]$ и в $C_p[a,b]$ .

Доказательство

Развернуть

Каждую координату приближаем рациональным числом и пользуемся покоординатной сходимостью.
Пусть $x\in l_p$ , $\varepsilon > 0$ . Выберем $N$ так, что $\sum_{k>N}|x_k|^p < \frac{\varepsilon^p}{2}$ , и рациональные $r_k$ с $|x_k - r_k|^p < \frac{\varepsilon^p}{2N}$ при $k\le N$ . Для $r = (r_1,\dots,r_N,0,\dots)$ получаем $\rho(x,r)^p < \varepsilon^p$ . Для $c_0$ рассуждение то же, с супремумом вместо суммы. В $l_\infty$ последовательность $(1,1,1,\dots)$ отстоит от любой финитной не меньше чем на $1$ .
По теореме Вейерштрасса из курса анализа для $x\in C[a,b]$ есть многочлен $P(t) = \sum_{k=0}^n a_kt^k$ с $\rho(x,P) < \frac\varepsilon2$ . Пусть $K = \max(|a|,|b|,1)$ . Возьмём рациональные $q_k$ с $\sum|a_k - q_k|K^k < \frac\varepsilon2$ ; тогда многочлен $Q = \sum q_kt^k$ удовлетворяет $\rho(x,Q) < \varepsilon$ . Для $C_p[a,b]$ используем неравенство $\rho_p\le(b-a)^{1/p}\rho$ . $\blacksquare$

Линейные нормированные пространства

Основные свойства нормы

Формулировка

Доказательство

Примеры банаховых пространств

Формулировка

Доказательство

Замыкание линейного многообразия

Формулировка

Доказательство

Эквивалентность норм в конечномерном пространстве

Формулировка

Доказательство

Полнота конечномерных пространств и замкнутость конечномерных многообразий

Формулировка

Доказательство

Компактность в конечномерных пространствах

Формулировка

Доказательство

Лемма Рисса о почти перпендикуляре

Формулировка

Доказательство

Критерий конечномерности (компактность единичного шара)

Формулировка

Доказательство

Норма в пространстве C¹[0,1]

Условие

Решение

Полунорма вместо нормы

Условие

Решение

Константы эквивалентности норм в ℝⁿ

Условие

Решение

Незамкнутое линейное многообразие в l₂

Условие

Решение

Неэквивалентные нормы в C[0,1]

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Линейное пространство. Размерность

Линейное многообразие. Линейная оболочка. Прямая сумма

Нормированное пространство

Банахово пространство

Подпространство нормированного пространства

Эквивалентные нормы

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

Компактное и относительно компактное множество

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества

Формулировка

Доказательство

Ограниченность и непрерывность линейного функционала

Формулировка

Доказательство

Абсолютно сходящиеся ряды в банаховом пространстве

Формулировка

Доказательство

Банахово пространство со счётным базисом сепарабельно

Формулировка

Доказательство

Необходимый признак сходимости ряда

Формулировка

Доказательство

Основные метрические пространства

Формулировка

Доказательство

Полнота основных пространств

Формулировка

Доказательство

Неполнота пространств Cₚ[a,b] и ℚ

Формулировка

Доказательство

Полнота и замкнутость подпространства

Формулировка

Доказательство