Открытые и замкнутые множества. Непрерывность

Прогресс изучения0 из 8

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы8

Открытость открытого шара и замкнутость замкнутого
Предельная точка как предел последовательности
Двойственность открытых и замкнутых множеств
Свойства замыкания
Операции над открытыми и замкнутыми множествами
Эквивалентные определения непрерывности
Критерий нигде не плотного множества
Примеры всюду плотных множеств

теорема

Открытость открытого шара и замкнутость замкнутого

Формулировка

Открытый шар $B(a,r)$ — открытое множество, замкнутый шар $B[a,r]$ — замкнутое множество.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x\in B(a,r)$ и $\delta = r - \rho(x,a) > 0$ . Если $\rho(y,x) < \delta$ , то $\rho(y,a)\le\rho(y,x) + \rho(x,a) < r$ , то есть $B(x,\delta)\subset B(a,r)$ .

Пусть $b\notin B[a,r]$ , то есть $\rho(b,a) > r$ , и $\delta = \rho(b,a) - r$ . Для $x\in B(b,\delta)$ имеем $\rho(x,a)\ge\rho(b,a) - \rho(b,x) > r$ . Значит, окрестность $B(b,\delta)$ не содержит точек $B[a,r]$ , и $b$ не является его предельной точкой. Следовательно, все предельные точки $B[a,r]$ лежат в нём. $\blacksquare$

теорема

Предельная точка как предел последовательности

Формулировка

$a$ — предельная точка $M$ $\iff$ существует последовательность $x_n\in M$ , $x_n\ne a$ , сходящаяся к $a$ .
$a\in[M]$ $\iff$ существует последовательность $x_n\in M$ , сходящаяся к $a$ .
$M$ замкнуто $\iff$ пределы всех сходящихся последовательностей из $M$ лежат в $M$ .

Доказательство

Развернуть

$\Rightarrow$ : в каждом шаре $B(a, \frac1n)$ выберем точку $x_n\in M$ , $x_n\ne a$ ; тогда $\rho(x_n, a) < \frac1n\to 0$ . $\Leftarrow$ : любой шар $B(a,\varepsilon)$ содержит $x_n$ при больших $n$ , и $x_n\ne a$ .
Если $a\in M$ , берём $x_n = a$ . Если $a\in M'$ , применяем п. 1. Обратно, если $x_n\to a$ , то любой шар $B(a,\varepsilon)$ пересекается с $M$ , а это и означает $a\in[M]$ .
Следует из п. 2: $M$ замкнуто $\iff [M] = M$ . $\blacksquare$

теорема

Двойственность открытых и замкнутых множеств

Формулировка

Множество $M$ открыто тогда и только тогда, когда его дополнение $X\setminus M$ замкнуто.

Доказательство

Развернуть

Пусть $M$ открыто, и $a$ — предельная точка $X\setminus M$ . Если бы $a\in M$ , то некоторый шар $B(a,\varepsilon)\subset M$ не содержал бы точек $X\setminus M$ — противоречие. Значит, $a\in X\setminus M$ .

Пусть $X\setminus M$ замкнуто и $a\in M$ . Тогда $a$ — не предельная точка $X\setminus M$ , то есть некоторый шар $B(a,\varepsilon)$ не содержит точек $X\setminus M$ (сама точка $a$ в $X\setminus M$ не входит). Значит, $B(a,\varepsilon)\subset M$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства замыкания

Формулировка

$[M]$ — замкнутое множество, $[[M]] = [M]$ .
$M$ замкнуто $\iff M = [M]$ .
$[M]$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее $M$ : если $F\supset M$ и $F$ замкнуто, то $F\supset[M]$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $b\in[[M]]$ и $\varepsilon > 0$ . Шар $B(b,\varepsilon)$ содержит точку $c\in[M]$ . Шар $B(c,\delta)$ , $\delta = \varepsilon - \rho(b,c)$ , лежит в $B(b,\varepsilon)$ и пересекается с $M$ . Значит, любой шар с центром $b$ пересекается с $M$ , и $b\in[M]$ . Итак, $[[M]] = [M]$ , а так как предельные точки $[M]$ лежат в $[[M]]$ , множество $[M]$ замкнуто.
Следует из определений.
Предельная точка $M$ является предельной и для $F\supset M$ . Так как $F$ замкнуто, она лежит в $F$ . Значит, $M'\subset F$ и $[M]\subset F$ . $\blacksquare$

теорема

Операции над открытыми и замкнутыми множествами

Формулировка

Объединение любого семейства открытых множеств и пересечение конечного числа открытых множеств открыты.
Пересечение любого семейства замкнутых множеств и объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуты.

Доказательство

Развернуть

Если $a\in\bigcup G_\alpha$ , то $a\in G_\beta$ для некоторого $\beta$ , и шар $B(a,\varepsilon)\subset G_\beta\subset\bigcup G_\alpha$ . Если $a\in G_1\cap\dots\cap G_n$ , то $B(a,\varepsilon_i)\subset G_i$ , и шар радиуса $\min\varepsilon_i$ лежит в пересечении.
Следует из п. 1, законов де Моргана и двойственности открытых и замкнутых множеств. $\blacksquare$

Замечание. Пересечение бесконечного числа открытых множеств может быть не открыто: $\bigcap_n\left(-\frac1n,\frac1n\right) = \{0\}$ .

теорема

Эквивалентные определения непрерывности

Формулировка

Отображение $f\colon X\to Y$ непрерывно в точке $x_0$ (по Коши) тогда и только тогда, когда для любой последовательности $x_n\to x_0$ выполнено $f(x_n)\to f(x_0)$ (по Гейне).
$f$ непрерывно на $X$ $\iff$ прообраз любого открытого множества открыт $\iff$ прообраз любого замкнутого множества замкнут.

Доказательство

Развернуть

$\Rightarrow$ : по $\varepsilon$ найдём $\delta$ ; при больших $n$ имеем $\rho(x_n, x_0) < \delta$ , значит, $\rho(f(x_n), f(x_0)) < \varepsilon$ . $\Leftarrow$ : если $f$ не непрерывна, найдётся $\varepsilon > 0$ такое, что для каждого $n$ есть $x_n$ с $\rho(x_n,x_0) < \frac1n$ и $\rho(f(x_n), f(x_0))\ge\varepsilon$ . Тогда $x_n\to x_0$ , но $f(x_n)\not\to f(x_0)$ .
Пусть $f$ непрерывно, $G$ открыто, $x\in f^{-1}(G)$ . Тогда $B(f(x),\varepsilon)\subset G$ при некотором $\varepsilon$ , и по непрерывности $f(B(x,\delta))\subset B(f(x),\varepsilon)$ , то есть $B(x,\delta)\subset f^{-1}(G)$ .

Обратно, шар $B(f(x_0),\varepsilon)$ открыт, поэтому его прообраз открыт и содержит $x_0$ вместе с некоторым шаром $B(x_0,\delta)$ . Это и есть непрерывность в $x_0$ .

Утверждение для замкнутых множеств следует из равенства $f^{-1}(Y\setminus F) = X\setminus f^{-1}(F)$ и двойственности открытых и замкнутых множеств. $\blacksquare$

теорема

Критерий нигде не плотного множества

Формулировка

Следующие условия равносильны:

$M$ нигде не плотно;
замыкание $[M]$ не содержит ни одного шара;
дополнение $X\setminus[M]$ всюду плотно.

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 2$ . Пусть $B(a,r)\subset[M]$ . По определению внутри него есть шар $B(b,s)$ без точек $M$ . Но $b\in[M]$ , поэтому любой шар с центром $b$ пересекается с $M$ — противоречие.

$2\Rightarrow 1$ . Шар $B(a,r)$ не содержится в $[M]$ , то есть найдётся $b\in B(a,r)\setminus[M]$ . Множество $X\setminus[M]$ открыто, поэтому при малом $s$ шар $B(b,s)$ лежит и в $B(a,r)$ , и в $X\setminus[M]$ , то есть не содержит точек $M$ .

$2\iff 3$ . Замыкание $[M]$ не содержит шаров $\iff$ каждый шар пересекается с $X\setminus[M]$ $\iff$ $X\setminus[M]$ всюду плотно. $\blacksquare$

теорема

Примеры всюду плотных множеств

Формулировка

$\mathbb Q^n$ всюду плотно в $\mathbb R^n_p$ .
Финитные последовательности (с конечным числом ненулевых членов), в том числе с рациональными членами, всюду плотны в $l_p$ при $1\le p<\infty$ и в $c_0$ . В $l_\infty$ они не всюду плотны.
Многочлены, в том числе с рациональными коэффициентами, всюду плотны в $C[a,b]$ и в $C_p[a,b]$ .

Доказательство

Развернуть

Каждую координату приближаем рациональным числом и пользуемся покоординатной сходимостью.
Пусть $x\in l_p$ , $\varepsilon > 0$ . Выберем $N$ так, что $\sum_{k>N}|x_k|^p < \frac{\varepsilon^p}{2}$ , и рациональные $r_k$ с $|x_k - r_k|^p < \frac{\varepsilon^p}{2N}$ при $k\le N$ . Для $r = (r_1,\dots,r_N,0,\dots)$ получаем $\rho(x,r)^p < \varepsilon^p$ . Для $c_0$ рассуждение то же, с супремумом вместо суммы. В $l_\infty$ последовательность $(1,1,1,\dots)$ отстоит от любой финитной не меньше чем на $1$ .
По теореме Вейерштрасса из курса анализа для $x\in C[a,b]$ есть многочлен $P(t) = \sum_{k=0}^n a_kt^k$ с $\rho(x,P) < \frac\varepsilon2$ . Пусть $K = \max(|a|,|b|,1)$ . Возьмём рациональные $q_k$ с $\sum|a_k - q_k|K^k < \frac\varepsilon2$ ; тогда многочлен $Q = \sum q_kt^k$ удовлетворяет $\rho(x,Q) < \varepsilon$ . Для $C_p[a,b]$ используем неравенство $\rho_p\le(b-a)^{1/p}\rho$ . $\blacksquare$

Внутренние, предельные точки и замыкание множества на прямой

Условие

Для $M = \{\frac1n: n\in\mathbb N\}\cup(2,3)\subset\mathbb R$ найти внутренние, предельные и изолированные точки, а также замыкание. Открыто ли $M$ ? Замкнуто ли?

Решение

Развернуть

Внутренние точки — интервал $(2,3)$ . Точки $\frac1n$ не внутренние: любой их интервал содержит иррациональные числа, не лежащие в $M$ .
Предельные точки: $M' = \{0\}\cup[2,3]$ ( $\frac1n\to 0$ , а концы $2$ и $3$ — пределы точек интервала).
Изолированные точки — все $\frac1n$ .
$[M] = \{\frac1n\}\cup\{0\}\cup[2,3]$ .

$M$ не открыто (есть не внутренние точки) и не замкнуто ( $0\notin M$ ).

Множество положительных функций открыто в C[0,1], но не в C₁[0,1]

Условие

Пусть $M = \{x: x(t) > 0\ \forall t\in[0,1]\}$ . Доказать, что $M$ открыто в $C[0,1]$ , но не открыто в $C_1[0,1]$ .

Решение

Развернуть

В $C[0,1]$ . Для $x\in M$ число $m = \min_{[0,1]}x(t) > 0$ (минимум непрерывной функции на отрезке достигается). Если $\rho(y,x) < m$ , то $y(t) > x(t) - m\ge 0$ , то есть $B(x,m)\subset M$ .

В $C_1[0,1]$ . Возьмём $x\equiv 1$ и $y_n(t) = 1 - 2\max(0, 1 - nt)$ . Тогда $y_n(0) = -1$ , то есть $y_n\notin M$ , а

\rho_1(y_n, x) = \int_0^{1/n}2(1 - nt)\,dt = \frac1n\to 0.

Значит, любой шар с центром $x$ содержит точки вне $M$ , и $x$ — не внутренняя точка. Дело в том, что метрики $C$ и $C_1$ задают разные сходимости.

Множество многочленов не замкнуто в C[0,1]

Условие

Доказать, что множество многочленов не замкнуто в $C[0,1]$ .

Решение

Развернуть

Многочлены Тейлора $P_n(t) = \sum_{k=0}^n\frac{t^k}{k!}$ сходятся к $e^t$ равномерно на $[0,1]$ : по формуле Тейлора $|e^t - P_n(t)|\le\frac{e}{(n+1)!}$ . Значит, $e^t$ лежит в замыкании множества многочленов. Но $e^t$ — не многочлен: все её производные отличны от нуля. Множество многочленов не замкнуто.

Нигде не плотные подмножества прямой

Условие

Являются ли нигде не плотными в $\mathbb R$ множества $\mathbb Z$ и $\mathbb Q$ ?

Решение

Развернуть

$\mathbb Z$ замкнуто и не содержит ни одного интервала, поэтому нигде не плотно.

$[\mathbb Q] = \mathbb R$ содержит интервалы, поэтому $\mathbb Q$ не является нигде не плотным; оно всюду плотно.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Внутренняя точка. Открытое множество

Точка $a\in M$ называется внутренней точкой множества $M\subset X$ , если $M$ содержит некоторый шар $B(a,\varepsilon)$ . Множество $M$ открыто, если все его точки внутренние. Пустое множество и всё пространство $X$ открыты.

Предельная точка. Замыкание. Замкнутое множество

Точка $a\in X$ называется предельной точкой множества $M$ , если любая её окрестность содержит точку множества $M$ , отличную от $a$ . Точка $a\in M$ , не являющаяся предельной, называется изолированной.

Пусть $M'$ — множество предельных точек $M$ . Замыкание множества — $[M] = M\cup M'$ (обозначается также $\overline M$ ). Точка $a$ лежит в $[M]$ тогда и только тогда, когда любая её окрестность пересекается с $M$ .

Множество $M$ замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки, то есть $M'\subset M$ .

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Множество $A$ плотно в множестве $B$ , если $B\subset[A]$ .
$A$ всюду плотно в $X$ , если $[A] = X$ .
$A$ нигде не плотно в $X$ , если в каждом шаре $B(a, r)$ найдётся шар $B(b, s)\subset B(a,r)$ , не содержащий точек множества $A$ .

Непрерывное отображение метрических пространств

Отображение $f\colon X\to Y$ метрических пространств непрерывно в точке $x_0$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что из $\rho_X(x, x_0) < \delta$ следует $\rho_Y(f(x), f(x_0)) < \varepsilon$ . Отображение непрерывно, если оно непрерывно в каждой точке. Отображение равномерно непрерывно, если $\delta$ можно выбрать не зависящим от $x_0$ .

Прообраз множества $G\subset Y$ : $f^{-1}(G) = \{x\in X: f(x)\in G\}$ .

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Пусть $a\in X$ , $r > 0$ .

Открытый шар: $B(a, r) = \{x\in X: \rho(x,a) < r\}$ ; замкнутый шар: $B[a, r] = \{x\in X: \rho(x,a)\le r\}$ . Шар $B(a,\varepsilon)$ называют также $\varepsilon$ -окрестностью точки $a$ .
Множество $M\subset X$ ограничено, если оно содержится в некотором шаре.
Диаметр множества: $\operatorname{diam} M = \sup_{x,y\in M}\rho(x,y)$ .
Расстояние от точки до множества: $\rho(x, M) = \inf_{y\in M}\rho(x,y)$ .

Сходимость в метрическом пространстве

Последовательность $\{x_n\}$ элементов метрического пространства $X$ сходится к элементу $x\in X$ (пишут $x_n\to x$ ), если $\rho(x_n, x)\to 0$ при $n\to\infty$ , то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся номер $N$ такой, что $\rho(x_n, x) < \varepsilon$ при всех $n > N$ .

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

$l_p$ , $1\le p<\infty$ , — множество числовых последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ с $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < \infty$ и метрикой

\rho(x,y) = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^p\right)^{1/p}.

$l_\infty$ (обозначается также $m$ ) — множество ограниченных последовательностей с метрикой $\rho(x,y) = \sup_k |x_k - y_k|$ .
$c_0$ — множество последовательностей, сходящихся к нулю, с той же метрикой, что в $l_\infty$ .

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

$C[a,b]$ — множество функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$ , с равномерной (чебышёвской) метрикой

\rho(x, y) = \max_{t\in[a,b]}|x(t) - y(t)|.

$C_p[a,b]$ , $p\ge 1$ , — то же множество функций с интегральной метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\int_a^b |x(t) - y(t)|^p\,dt\right)^{1/p}.

Теорема о вложенных шарах

Формулировка

Метрическое пространство $X$ полно тогда и только тогда, когда любая последовательность вложенных замкнутых шаров $B[a_1,r_1]\supset B[a_2,r_2]\supset\dots$ с радиусами $r_n\to 0$ имеет непустое пересечение. При этом пересечение состоит из одной точки.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. При $m > n$ центр $a_m$ лежит в $B[a_n, r_n]$ , поэтому $\rho(a_m, a_n)\le r_n\to 0$ . Последовательность центров фундаментальна и сходится к некоторому $a$ . Все $a_m$ с $m\ge n$ лежат в замкнутом шаре $B[a_n,r_n]$ , значит, и $a$ лежит в нём. Итак, $a$ — общая точка шаров. Две общие точки удалены друг от друга не более чем на $2r_n\to 0$ , то есть совпадают.

Достаточность. Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна. Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ так, что $\rho(x_m, x_{n_k}) < 2^{-k}$ при $m\ge n_k$ . Положим $B_k = B[x_{n_k}, 2^{1-k}]$ . Шары вложены: если $y\in B_{k+1}$ , то

\rho(y, x_{n_k})\le\rho(y, x_{n_{k+1}}) + \rho(x_{n_{k+1}}, x_{n_k})\le 2^{-k} + 2^{-k} = 2^{1-k}.

Пусть $x$ — их общая точка. Тогда $\rho(x_{n_k}, x)\le 2^{1-k}\to 0$ , и вся последовательность сходится к $x$ . $\blacksquare$

Компактные множества замкнуты и ограничены

Формулировка

Относительно компактное множество ограничено.
Компактное множество замкнуто и ограничено.
Замкнутое подмножество компактного множества компактно.

Доказательство

Развернуть

Если $M$ не ограничено, выберем $x_n\in M$ с $\rho(x_n,x_1) > n$ . Любая подпоследовательность не ограничена и потому не сходится.
Ограниченность — п. 1. Пусть $a\in[K]$ и $x_n\in K$ , $x_n\to a$ . Некоторая подпоследовательность сходится к точке $K$ , а с другой стороны — к $a$ . По единственности предела $a\in K$ .
Пусть $F\subset K$ замкнуто, $x_n\in F$ . Подпоследовательность сходится к точке $K$ , а по замкнутости $F$ предел лежит в $F$ . $\blacksquare$

Полнота и замкнутость подпространства

Формулировка

Полное подпространство любого метрического пространства замкнуто.
Если $X$ полно, то его подпространство $Y$ полно тогда и только тогда, когда $Y$ замкнуто.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x\in[Y]$ и $y_n\in Y$ , $y_n\to x$ . Последовательность $\{y_n\}$ фундаментальна, поэтому сходится в $Y$ к некоторому $y$ . По единственности предела $x = y\in Y$ .
Пусть $Y$ замкнуто и $\{y_n\}\subset Y$ фундаментальна. Она сходится в $X$ к некоторому $x$ , а по замкнутости $x\in Y$ . Обратное — это п. 1. $\blacksquare$

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Для любого множества $M$ евклидова пространства:

$M^\perp$ — подпространство (замкнутое линейное многообразие);
$M\cap M^\perp\subset\{0\}$ ;
$M^\perp = \left([\operatorname{span}M]\right)^\perp$ .

Доказательство

Развернуть

Если $x_1,x_2\perp M$ , то и $\alpha x_1 + \beta x_2\perp M$ по линейности скалярного произведения. Если $x_n\in M^\perp$ , $x_n\to x$ , то $(x,y) = \lim(x_n,y) = 0$ для $y\in M$ .
Если $x\in M\cap M^\perp$ , то $(x,x) = 0$ , то есть $x = 0$ .
Элемент, ортогональный $M$ , ортогонален всем линейным комбинациям элементов $M$ , а по непрерывности скалярного произведения — и их пределам. Обратное включение очевидно. $\blacksquare$

Замыкание линейного многообразия

Формулировка

Замыкание линейного многообразия в нормированном пространстве — линейное многообразие, а значит, подпространство.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x, y\in[L]$ ; найдутся $x_n, y_n\in L$ с $x_n\to x$ , $y_n\to y$ . Тогда $\alpha x_n + \beta y_n\in L$ и по непрерывности линейных операций $\alpha x_n + \beta y_n\to\alpha x + \beta y$ , то есть $\alpha x + \beta y\in[L]$ . Замыкание любого множества замкнуто. $\blacksquare$

Лемма Рисса о почти перпендикуляре

Формулировка

Пусть $L$ — подпространство нормированного пространства $E$ , $L\ne E$ . Тогда для любого $\varepsilon\in(0,1)$ существует $x_\varepsilon\in E$ с $\|x_\varepsilon\| = 1$ и $\rho(x_\varepsilon, L)\ge1 - \varepsilon$ .

Доказательство

Развернуть

Возьмём $x_0\notin L$ , $d = \rho(x_0,L)$ . Тогда $d > 0$ : иначе $x_0\in[L] = L$ . Выберем $y_0\in L$ с $\|x_0 - y_0\| < \frac{d}{1-\varepsilon}$ и положим $x_\varepsilon = \frac{x_0 - y_0}{\|x_0 - y_0\|}$ . Для $y\in L$ элемент $y_0 + \|x_0 - y_0\|y$ лежит в $L$ , поэтому

\|x_\varepsilon - y\| = \frac{\|x_0 - (y_0 + \|x_0 - y_0\|y)\|}{\|x_0 - y_0\|}\ge\frac{d}{\|x_0 - y_0\|} > 1 - \varepsilon.

$\blacksquare$

Непрерывные отображения на компактных множествах

Формулировка

Пусть $K$ — компактное множество, $f$ непрерывно на $K$ . Тогда:

$f(K)$ компактно;
(Вейерштрасс) если $f$ — вещественная функция, то она ограничена на $K$ и достигает на $K$ наибольшего и наименьшего значений;
(Кантор) $f$ равномерно непрерывно на $K$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $y_n = f(x_n)$ , $x_n\in K$ . Выделим $x_{n_k}\to x\in K$ . По непрерывности (в форме Гейне) $f(x_{n_k})\to f(x)\in f(K)$ .
$f(K)\subset\mathbb R$ компактно, значит, замкнуто и ограничено, и поэтому содержит свои точную верхнюю и нижнюю грани.
Пусть это не так: найдутся $\varepsilon > 0$ и $x_n, x_n'\in K$ с $\rho(x_n,x_n') < \frac1n$ и $\rho(f(x_n),f(x_n'))\ge\varepsilon$ . Выделим $x_{n_k}\to x\in K$ ; тогда и $x_{n_k}'\to x$ . По непрерывности оба образа стремятся к $f(x)$ , что противоречит $\rho(f(x_{n_k}),f(x_{n_k}'))\ge\varepsilon$ . $\blacksquare$

Ядро линейного функционала

Формулировка

Линейный функционал $f\ne 0$ ограничен тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто. При этом для любого $x_0$ с $f(x_0) = 1$

E = \operatorname{Ker}f\oplus\operatorname{span}\{x_0\},\qquad\|f\| = \frac1{\rho(x_0, \operatorname{Ker}f)}.

Доказательство

Развернуть

Если $f$ ограничен, то $\operatorname{Ker}f = f^{-1}(0)$ замкнуто как прообраз замкнутого множества.

Разложение: $x = (x - f(x)x_0) + f(x)x_0$ , где первое слагаемое лежит в ядре; единственность очевидна.

Пусть ядро замкнуто и $f(x_0) = 1$ (тогда $x_0\notin\operatorname{Ker}f$ ), $d = \rho(x_0, \operatorname{Ker}f) > 0$ . Для $x$ с $f(x)\ne 0$ элемент $x_0 - x/f(x)$ лежит в ядре, поэтому $\|x/f(x)\|\ge d$ , то есть $|f(x)|\le\|x\|/d$ . Значит, $\|f\|\le 1/d$ .

Обратно, для $y\in\operatorname{Ker}f$ имеем $1 = f(x_0 - y)\le\|f\|\|x_0 - y\|$ ; нижняя грань по $y$ даёт $1\le\|f\|d$ . $\blacksquare$

Теорема Бэра о категории

Формулировка

Полное метрическое пространство нельзя представить в виде счётного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство

Развернуть

Пусть $X = \bigcup_nM_n$ , все $M_n$ нигде не плотны. Замыкание $[M_1]$ не содержит шаров, поэтому найдётся замкнутый шар $B_1$ радиуса $r_1 < 1$ , не пересекающийся с $[M_1]$ . Внутри $B_1$ найдётся замкнутый шар $B_2$ радиуса $r_2 < \frac12$ , не пересекающийся с $[M_2]$ , и т. д.

Получаем вложенные замкнутые шары с радиусами $r_n\to 0$ . По теореме о вложенных шарах у них есть общая точка $x$ . Она не лежит ни в одном $M_n$ , что противоречит $X = \bigcup M_n$ . $\blacksquare$

Сходимость в основных метрических пространствах

Формулировка

В $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ) сходимость равносильна покоординатной.
Сходимость в $C[a,b]$ — это равномерная сходимость на $[a,b]$ .
Из сходимости в $C[a,b]$ следует сходимость в $C_p[a,b]$ ; обратное неверно.
Из сходимости в $l_p$ следует покоординатная сходимость; обратное неверно.

Доказательство

Развернуть

Для любой координаты $|x_k - y_k|\le\rho_p(x,y)\le n^{1/p}\max_k|x_k - y_k|$ .
Неравенство $\max_t|x_n(t) - x(t)| < \varepsilon$ при $n > N$ — определение равномерной сходимости.
$\rho_p(x,y)\le(b-a)^{1/p}\rho(x,y)$ . Обратное неверно: на $[0,1]$ для $x_n(t) = t^n$

\rho_p(x_n, 0)^p = \int_0^1 t^{np}\,dt = \frac{1}{np + 1}\to 0,\quad\text{но}\quad \rho(x_n, 0) = \max_{[0,1]} t^n = 1.

$|x_k^{(n)} - x_k|\le\rho(x^{(n)}, x)$ . Обратное неверно: последовательность $e_n = (0,\dots,0,1,0,\dots)$ (единица на $n$ -м месте) сходится к нулю покоординатно, но $\rho(e_n, 0) = 1$ . $\blacksquare$

Примеры сепарабельных пространств

Формулировка

Пространства $\mathbb R^n_p$ , $C[a,b]$ , $C_p[a,b]$ , $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и $c_0$ сепарабельны.

Доказательство

Развернуть

Всюду плотны следующие множества, и все они счётны:

$\mathbb Q^n$ в $\mathbb R^n_p$ ;
многочлены с рациональными коэффициентами в $C[a,b]$ и $C_p[a,b]$ : это объединение по степеням $n$ счётных множеств, равномощных $\mathbb Q^{n+1}$ ;
финитные последовательности с рациональными членами в $l_p$ и $c_0$ : это объединение по длине $N$ множеств, равномощных $\mathbb Q^N$ . $\blacksquare$

Открытые и замкнутые множества. Непрерывность

Открытость открытого шара и замкнутость замкнутого

Формулировка

Доказательство

Предельная точка как предел последовательности

Формулировка

Доказательство

Двойственность открытых и замкнутых множеств

Формулировка

Доказательство

Свойства замыкания

Формулировка

Доказательство

Операции над открытыми и замкнутыми множествами

Формулировка

Доказательство

Эквивалентные определения непрерывности

Формулировка

Доказательство

Критерий нигде не плотного множества

Формулировка

Доказательство

Примеры всюду плотных множеств

Формулировка

Доказательство

Внутренние, предельные точки и замыкание множества на прямой

Условие

Решение

Множество положительных функций открыто в C[0,1], но не в C₁[0,1]

Условие

Решение

Множество многочленов не замкнуто в C[0,1]

Условие

Решение

Нигде не плотные подмножества прямой

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Внутренняя точка. Открытое множество

Предельная точка. Замыкание. Замкнутое множество

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Непрерывное отображение метрических пространств

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Сходимость в метрическом пространстве

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

Теорема о вложенных шарах

Формулировка

Доказательство

Компактные множества замкнуты и ограничены

Формулировка

Доказательство

Полнота и замкнутость подпространства

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Доказательство

Замыкание линейного многообразия

Формулировка

Доказательство

Лемма Рисса о почти перпендикуляре

Формулировка

Доказательство

Непрерывные отображения на компактных множествах

Формулировка

Доказательство

Ядро линейного функционала

Формулировка

Доказательство

Теорема Бэра о категории

Формулировка

Доказательство

Сходимость в основных метрических пространствах

Формулировка

Доказательство

Примеры сепарабельных пространств

Формулировка

Доказательство