Метрические пространства

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Свойства сходящихся последовательностей в метрическом пространстве
Неравенство четырёхугольника. Непрерывность метрики
Неравенство Юнга
Неравенство Гёльдера
Неравенство Минковского
Основные метрические пространства
Сходимость в основных метрических пространствах

теорема

Свойства сходящихся последовательностей в метрическом пространстве

Формулировка

Последовательность в метрическом пространстве имеет не более одного предела.
Сходящаяся последовательность ограничена.
Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\to x$ и $x_n\to y$ , то $\rho(x,y)\le\rho(x,x_n) + \rho(x_n,y)\to 0$ , значит, $\rho(x,y) = 0$ и $x = y$ .
Найдётся $N$ с $\rho(x_n, x) < 1$ при $n > N$ . Положим $r = 1 + \max\{1, \rho(x_1,x), \dots, \rho(x_N, x)\}$ . Тогда все $x_n$ лежат в шаре $B(x, r)$ .
Если $\rho(x_n, x) < \varepsilon$ при $n > N$ , то и $\rho(x_{n_k}, x) < \varepsilon$ при $n_k > N$ . $\blacksquare$

лемма

Неравенство четырёхугольника. Непрерывность метрики

Формулировка

Для любых $x, y, x', y'\in X$ :

|\rho(x,z) - \rho(y,z)| \le \rho(x,y),\qquad |\rho(x,y) - \rho(x',y')| \le \rho(x,x') + \rho(y,y').

Следовательно, если $x_n\to x$ , $y_n\to y$ , то $\rho(x_n, y_n)\to\rho(x,y)$ .

Доказательство

Развернуть

По неравенству треугольника $\rho(x,z)\le\rho(x,y) + \rho(y,z)$ , то есть $\rho(x,z) - \rho(y,z)\le\rho(x,y)$ . Меняя $x$ и $y$ местами, получаем первое неравенство.

Применяя его дважды:

|\rho(x,y) - \rho(x',y')| \le |\rho(x,y) - \rho(x',y)| + |\rho(x',y) - \rho(x',y')| \le \rho(x,x') + \rho(y,y').

Последнее утверждение сразу следует из второго неравенства. $\blacksquare$

лемма

Неравенство Юнга

Формулировка

Пусть $p > 1$ и $\frac1p + \frac1q = 1$ . Тогда для любых $a, b\ge 0$

ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.

Доказательство

Развернуть

При $ab = 0$ неравенство очевидно. Пусть $a, b > 0$ . Функция $\ln$ вогнута, поэтому при $\lambda = \frac1p\in(0,1)$

\ln\left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \ge \frac1p\ln a^p + \frac1q\ln b^q = \ln a + \ln b = \ln(ab).

Остаётся воспользоваться возрастанием $\ln$ . $\blacksquare$

теорема

Неравенство Гёльдера

Формулировка

Пусть $p > 1$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ . Тогда

\sum_{k=1}^n |x_ky_k| \le \left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}.

То же верно для рядов (если правая часть конечна, ряд слева сходится) и для интегралов от непрерывных функций:

\int_a^b|x(t)y(t)|\,dt \le \left(\int_a^b|x|^p\,dt\right)^{1/p}\left(\int_a^b|y|^q\,dt\right)^{1/q}.

При $p = q = 2$ это неравенство Коши–Буняковского.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A = \left(\sum|x_k|^p\right)^{1/p}$ , $B = \left(\sum|y_k|^q\right)^{1/q}$ . Если $A = 0$ или $B = 0$ , то все $x_k$ или все $y_k$ равны нулю, и неравенство очевидно. Иначе применим неравенство Юнга к $a = |x_k|/A$ , $b = |y_k|/B$ и просуммируем:

\frac{1}{AB}\sum|x_ky_k| \le \frac{1}{pA^p}\sum|x_k|^p + \frac{1}{qB^q}\sum|y_k|^q = \frac1p + \frac1q = 1.

Для рядов: частичные суммы ряда слева ограничены правой частью, значит, ряд с неотрицательными членами сходится, и неравенство сохраняется в пределе. Для интегралов рассуждение то же, с заменой сумм интегралами. $\blacksquare$

теорема

Неравенство Минковского

Формулировка

При $p\ge 1$

\left(\sum_{k=1}^n|x_k + y_k|^p\right)^{1/p} \le \left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{k=1}^n|y_k|^p\right)^{1/p}.

То же верно для рядов (если ряды справа сходятся, то сходится и ряд слева) и для интегралов от непрерывных функций.

Доказательство

Развернуть

При $p = 1$ это неравенство треугольника для модулей. Пусть $p > 1$ и $S = \sum|x_k + y_k|^p$ . Тогда

S \le \sum|x_k|\,|x_k + y_k|^{p-1} + \sum|y_k|\,|x_k + y_k|^{p-1}.

Применим к каждой сумме неравенство Гёльдера и учтём, что $(p-1)q = p$ :

S \le \left[\left(\sum|x_k|^p\right)^{1/p} + \left(\sum|y_k|^p\right)^{1/p}\right] S^{1/q}.

При $S > 0$ делим на $S^{1/q}$ и получаем $S^{1 - 1/q} = S^{1/p}\le\dots$ , что и требовалось.

Для рядов частичные суммы слева ограничены суммой полных рядов справа. Для интегралов рассуждение то же. $\blacksquare$

теорема

Основные метрические пространства

Формулировка

Пространства $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $C[a,b]$ , $C_p[a,b]$ , $l_p$ ( $1\le p < \infty$ ), $l_\infty$ и $c_0$ являются метрическими пространствами.

Доказательство

Развернуть

Аксиома симметрии везде очевидна. Проверим остальное.

$C[a,b]$ . Максимум существует, так как $|x - y|$ непрерывна на отрезке. Неравенство треугольника проверяется так же, как для $\rho_\infty$ .

$C_p[a,b]$ . Если $\int_a^b|x - y|^p\,dt = 0$ , то непрерывная неотрицательная функция $|x - y|^p$ равна нулю тождественно: иначе она была бы положительна на некотором интервале, и интеграл был бы положителен. Неравенство треугольника следует из интегрального неравенства Минковского.

$l_p$ . По неравенству Минковского для рядов разность $x - y$ лежит в $l_p$ , поэтому $\rho(x,y)$ конечно. Неравенство треугольника — тоже неравенство Минковского.

$l_\infty$ , $c_0$ . Супремум конечен, потому что последовательности ограничены. Неравенство треугольника проверяется так же, как для $\rho_\infty$ . Пространство $c_0$ — подпространство $l_\infty$ . $\blacksquare$

теорема

Сходимость в основных метрических пространствах

Формулировка

В $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ) сходимость равносильна покоординатной.
Сходимость в $C[a,b]$ — это равномерная сходимость на $[a,b]$ .
Из сходимости в $C[a,b]$ следует сходимость в $C_p[a,b]$ ; обратное неверно.
Из сходимости в $l_p$ следует покоординатная сходимость; обратное неверно.

Доказательство

Развернуть

Для любой координаты $|x_k - y_k|\le\rho_p(x,y)\le n^{1/p}\max_k|x_k - y_k|$ .
Неравенство $\max_t|x_n(t) - x(t)| < \varepsilon$ при $n > N$ — определение равномерной сходимости.
$\rho_p(x,y)\le(b-a)^{1/p}\rho(x,y)$ . Обратное неверно: на $[0,1]$ для $x_n(t) = t^n$

\rho_p(x_n, 0)^p = \int_0^1 t^{np}\,dt = \frac{1}{np + 1}\to 0,\quad\text{но}\quad \rho(x_n, 0) = \max_{[0,1]} t^n = 1.

$|x_k^{(n)} - x_k|\le\rho(x^{(n)}, x)$ . Обратное неверно: последовательность $e_n = (0,\dots,0,1,0,\dots)$ (единица на $n$ -м месте) сходится к нулю покоординатно, но $\rho(e_n, 0) = 1$ . $\blacksquare$

Проверка аксиом метрики для |x − y|/(1 + |x − y|)

Условие

Доказать, что функция $\rho(x,y) = \dfrac{|x - y|}{1 + |x - y|}$ — метрика на $\mathbb R$ .

Решение

Развернуть

Аксиомы тождества и симметрии очевидны. Положим $f(u) = \frac{u}{1+u}$ при $u\ge 0$ . Функция $f$ возрастает и субаддитивна:

f(a+b) = \frac{a}{1+a+b} + \frac{b}{1+a+b}\le\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} = f(a) + f(b).

Поэтому

\rho(x,z) = f(|x - z|)\le f(|x-y| + |y-z|)\le f(|x-y|) + f(|y-z|) = \rho(x,y) + \rho(y,z).

Эта метрика ограничена: $\rho < 1$ .

Квадрат расстояния — не метрика

Условие

Является ли функция $\rho(x,y) = (x - y)^2$ метрикой на $\mathbb R$ ?

Решение

Развернуть

Нет: нарушается неравенство треугольника. Для $x = 0$ , $y = 1$ , $z = 2$ имеем $\rho(x,z) = 4 > \rho(x,y) + \rho(y,z) = 2$ .

Расстояния между функциями в разных метриках

Условие

Найти расстояние между $x(t) = t$ и $y(t) = t^2$ в пространствах $C[0,1]$ , $C_1[0,1]$ и $C_2[0,1]$ .

Решение

Развернуть

На $[0,1]$ разность $t - t^2\ge 0$ .

$C[0,1]$ : $\max_{[0,1]}(t - t^2) = \frac14$ (при $t = \frac12$ ).
$C_1[0,1]$ : $\displaystyle\int_0^1(t - t^2)\,dt = \frac12 - \frac13 = \frac16$ .
$C_2[0,1]$ : $\displaystyle\int_0^1(t - t^2)^2\,dt = \frac13 - \frac12 + \frac15 = \frac{1}{30}$ , то есть $\rho_2 = \frac{1}{\sqrt{30}}$ .

Сходимость срезок последовательности в l₂ и l₁

Условие

Пусть $x^{(n)} = (1, \frac12, \dots, \frac1n, 0, 0, \dots)$ . Сходится ли последовательность $\{x^{(n)}\}$ в $l_2$ ? В $l_1$ ?

Решение

Развернуть

В $l_2$ . Положим $x = (1, \frac12, \frac13, \dots)\in l_2$ . Тогда

\rho(x^{(n)}, x)^2 = \sum_{k>n}\frac{1}{k^2}\to 0,

то есть $x^{(n)}\to x$ .

В $l_1$ . Пусть $x^{(n)}\to y$ в $l_1$ . Сходимость покоординатная, поэтому $y_k = \frac1k$ . Но $\sum\frac1k = \infty$ , то есть $y\notin l_1$ — противоречие. Последовательность в $l_1$ не сходится.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Метрическое пространство

Метрическим пространством называется пара $(X, \rho)$ , где $X$ — непустое множество, а $\rho\colon X\times X\to\mathbb R$ — функция (метрика), удовлетворяющая для всех $x, y, z\in X$ аксиомам:

$\rho(x,y) = 0 \iff x = y$ (аксиома тождества);
$\rho(x,y) = \rho(y,x)$ (аксиома симметрии);
$\rho(x,z) \le \rho(x,y) + \rho(y,z)$ (неравенство треугольника).

Из аксиом следует неотрицательность метрики: при $z = x$ получаем $0 = \rho(x,x)\le 2\rho(x,y)$ .

Сходимость в метрическом пространстве

Последовательность $\{x_n\}$ элементов метрического пространства $X$ сходится к элементу $x\in X$ (пишут $x_n\to x$ ), если $\rho(x_n, x)\to 0$ при $n\to\infty$ , то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся номер $N$ такой, что $\rho(x_n, x) < \varepsilon$ при всех $n > N$ .

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Пусть $a\in X$ , $r > 0$ .

Открытый шар: $B(a, r) = \{x\in X: \rho(x,a) < r\}$ ; замкнутый шар: $B[a, r] = \{x\in X: \rho(x,a)\le r\}$ . Шар $B(a,\varepsilon)$ называют также $\varepsilon$ -окрестностью точки $a$ .
Множество $M\subset X$ ограничено, если оно содержится в некотором шаре.
Диаметр множества: $\operatorname{diam} M = \sup_{x,y\in M}\rho(x,y)$ .
Расстояние от точки до множества: $\rho(x, M) = \inf_{y\in M}\rho(x,y)$ .

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространство $\mathbb R^n_p$ — множество упорядоченных наборов $x = (x_1, \dots, x_n)$ с метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\sum_{k=1}^n |x_k - y_k|^p\right)^{1/p},\quad p\ge 1, \qquad \rho_\infty(x,y) = \max_{1\le k\le n}|x_k - y_k|.

При $p = 2$ получается евклидова метрика.

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

$C[a,b]$ — множество функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$ , с равномерной (чебышёвской) метрикой

\rho(x, y) = \max_{t\in[a,b]}|x(t) - y(t)|.

$C_p[a,b]$ , $p\ge 1$ , — то же множество функций с интегральной метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\int_a^b |x(t) - y(t)|^p\,dt\right)^{1/p}.

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

$l_p$ , $1\le p<\infty$ , — множество числовых последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ с $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < \infty$ и метрикой

\rho(x,y) = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^p\right)^{1/p}.

$l_\infty$ (обозначается также $m$ ) — множество ограниченных последовательностей с метрикой $\rho(x,y) = \sup_k |x_k - y_k|$ .
$c_0$ — множество последовательностей, сходящихся к нулю, с той же метрикой, что в $l_\infty$ .

Подпространство метрического пространства

Если $Y\subset X$ , то $Y$ с ограничением на него метрики $\rho$ — тоже метрическое пространство. Его называют подпространством метрического пространства $X$ .

В нормированных пространствах термин «подпространство» имеет другой смысл: так называют замкнутое линейное многообразие.

Компактные множества замкнуты и ограничены

Формулировка

Относительно компактное множество ограничено.
Компактное множество замкнуто и ограничено.
Замкнутое подмножество компактного множества компактно.

Доказательство

Развернуть

Если $M$ не ограничено, выберем $x_n\in M$ с $\rho(x_n,x_1) > n$ . Любая подпоследовательность не ограничена и потому не сходится.
Ограниченность — п. 1. Пусть $a\in[K]$ и $x_n\in K$ , $x_n\to a$ . Некоторая подпоследовательность сходится к точке $K$ , а с другой стороны — к $a$ . По единственности предела $a\in K$ .
Пусть $F\subset K$ замкнуто, $x_n\in F$ . Подпоследовательность сходится к точке $K$ , а по замкнутости $F$ предел лежит в $F$ . $\blacksquare$

Полнота и замкнутость подпространства

Формулировка

Полное подпространство любого метрического пространства замкнуто.
Если $X$ полно, то его подпространство $Y$ полно тогда и только тогда, когда $Y$ замкнуто.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x\in[Y]$ и $y_n\in Y$ , $y_n\to x$ . Последовательность $\{y_n\}$ фундаментальна, поэтому сходится в $Y$ к некоторому $y$ . По единственности предела $x = y\in Y$ .
Пусть $Y$ замкнуто и $\{y_n\}\subset Y$ фундаментальна. Она сходится в $X$ к некоторому $x$ , а по замкнутости $x\in Y$ . Обратное — это п. 1. $\blacksquare$

Свойства фундаментальных последовательностей

Формулировка

Сходящаяся последовательность фундаментальна.
Фундаментальная последовательность ограничена.
Если у фундаментальной последовательности есть подпоследовательность, сходящаяся к $x$ , то и вся последовательность сходится к $x$ .

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\to x$ , то $\rho(x_n,x_m)\le\rho(x_n,x) + \rho(x,x_m) < \varepsilon$ при больших $n,m$ .
При $n > N$ имеем $\rho(x_n, x_{N+1}) < 1$ ; дальше рассуждаем так же, как для сходящейся последовательности.
Пусть $x_{n_k}\to x$ . При $n, n_k > N$ имеем $\rho(x_n, x)\le\rho(x_n, x_{n_k}) + \rho(x_{n_k}, x) < \varepsilon + \rho(x_{n_k}, x)$ . Переходя к пределу по $k$ , получаем $\rho(x_n,x)\le\varepsilon$ . $\blacksquare$

Неполнота пространств Cₚ[a,b] и ℚ

Формулировка

Пространства $C_p[a,b]$ ( $p\ge 1$ ) и $\mathbb Q$ (с метрикой $|x - y|$ ) не полны.

Доказательство

Развернуть

$C_p[-1,1]$ (общий отрезок сводится к нему линейной заменой). Пусть

x_n(t) = \begin{cases}-1, & t\le-\frac1n,\\ nt, & |t| < \frac1n,\\ 1, & t\ge\frac1n.\end{cases}

При $m > n$ функции $x_n$ и $x_m$ различаются лишь на $(-\frac1n,\frac1n)$ , и там $|x_n - x_m|\le 1$ . Поэтому $\rho_p(x_n,x_m)^p\le\frac2n$ , и последовательность фундаментальна.

Пусть $x_n\to x\in C_p[-1,1]$ . Для $\delta > 0$ и $n > \frac1\delta$ на $[\delta, 1]$ имеем $x_n = 1$ , поэтому

\int_\delta^1|1 - x(t)|^p\,dt\le\rho_p(x_n,x)^p\to 0.

Значит, $x = 1$ на $[\delta,1]$ для любого $\delta$ , то есть на $(0,1]$ . Аналогично $x = -1$ на $[-1,0)$ . Такая функция разрывна в нуле — противоречие.

$\mathbb Q$ . Десятичные приближения $\sqrt2$ образуют фундаментальную последовательность рациональных чисел. Её предел в $\mathbb R$ равен $\sqrt2\notin\mathbb Q$ , а по единственности предела другого предела быть не может. $\blacksquare$

Принцип сжимающих отображений

Формулировка

Сжимающее отображение $A$ полного метрического пространства $X$ в себя имеет единственную неподвижную точку $x^*$ . Для любого $x_0\in X$ последовательность $x_n = A^nx_0$ сходится к $x^*$ , причём

\rho(x_n, x^*)\le\frac{\alpha^n}{1-\alpha}\rho(x_0,x_1)\quad\text{(априорная оценка)},\qquad \rho(x_n,x^*)\le\frac{\alpha}{1-\alpha}\rho(x_{n-1},x_n)\quad\text{(апостериорная оценка)}.

Доказательство

Развернуть

По индукции $\rho(x_{k+1},x_k)\le\alpha^k\rho(x_1,x_0)$ . При $m > n$

\rho(x_m,x_n)\le\sum_{k=n}^{m-1}\rho(x_{k+1},x_k)\le\sum_{k=n}^{\infty}\alpha^k\rho(x_1,x_0) = \frac{\alpha^n}{1-\alpha}\rho(x_0,x_1)\to 0.

Последовательность фундаментальна и по полноте сходится к некоторому $x^*$ . Сжатие непрерывно (из $x_n\to x$ следует $\rho(Ax_n,Ax)\le\alpha\rho(x_n,x)\to 0$ ), поэтому $Ax^* = \lim Ax_n = \lim x_{n+1} = x^*$ ; здесь использована единственность предела.

Единственность. Если $Ax^* = x^*$ , $Ay^* = y^*$ , то $\rho(x^*,y^*)\le\alpha\rho(x^*,y^*)$ , откуда $\rho(x^*,y^*) = 0$ .

Оценки. В неравенстве для $\rho(x_m,x_n)$ переходим к пределу $m\to\infty$ (по непрерывности метрики) и получаем априорную оценку. Апостериорная — это априорная при $n = 1$ с начальной точкой $x_{n-1}$ . $\blacksquare$

Непрерывность скалярного произведения

Формулировка

Если $x_n\to x$ и $y_n\to y$ , то $(x_n,y_n)\to(x,y)$ .

Доказательство

Развернуть

Сходящаяся последовательность $y_n$ ограничена. По неравенству Коши–Буняковского

|(x_n,y_n) - (x,y)|\le|(x_n - x, y_n)| + |(x, y_n - y)|\le\|x_n - x\|\,\|y_n\| + \|x\|\,\|y_n - y\|\to0.

$\blacksquare$

Теорема о пополнении

Формулировка

Любое метрическое пространство $X$ имеет пополнение. Пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей точки $X$ неподвижными.

Доказательство

Развернуть (основные шаги)

1. Построение. Фундаментальные последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ назовём эквивалентными, если $\rho(x_n,y_n)\to 0$ . Это отношение эквивалентности. Пусть $\widetilde X$ — множество классов эквивалентности.

2. Метрика. Для классов $\xi\ni\{x_n\}$ , $\eta\ni\{y_n\}$ положим $\tilde\rho(\xi,\eta) = \lim\rho(x_n,y_n)$ . Предел существует: по неравенству четырёхугольника

|\rho(x_n,y_n) - \rho(x_m,y_m)|\le\rho(x_n,x_m) + \rho(y_n,y_m),

числовая последовательность фундаментальна и сходится по полноте $\mathbb R$ . По тому же неравенству предел не зависит от представителей. Аксиомы метрики получаются предельным переходом.

3. Вложение. Сопоставим $x\in X$ класс стационарной последовательности $(x,x,\dots)$ . Это изометрия $X$ на подмножество $X_0\subset\widetilde X$ .

4. Плотность. Если $\xi\ni\{x_n\}$ , то $\tilde\rho(\xi, x_m) = \lim_n\rho(x_n, x_m) < \varepsilon$ при больших $m$ . Значит, $X_0$ всюду плотно.

5. Полнота. Пусть $\{\xi_n\}$ фундаментальна в $\widetilde X$ . По п. 4 выберем $x_n\in X$ с $\tilde\rho(\xi_n, x_n) < \frac1n$ . Последовательность $\{x_n\}$ фундаментальна в $X$ ; пусть $\xi$ — её класс. Тогда $\tilde\rho(\xi_n,\xi)\le\frac1n + \lim_m\rho(x_n,x_m)\to 0$ .

6. Единственность. Если $\widetilde X_1$ и $\widetilde X_2$ — пополнения, то изометрия между плотными копиями $X$ продолжается по непрерывности: точке, являющейся пределом $x_n\in X$ в $\widetilde X_1$ , сопоставляется предел той же последовательности в $\widetilde X_2$ . Получается изометрия $\widetilde X_1$ на $\widetilde X_2$ , тождественная на $X$ . $\blacksquare$

Неравенство Гёльдера для интегралов

Формулировка

Пусть $p > 1$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ , $f\in L_p$ , $g\in L_q$ . Тогда $fg\in L_1$ и

\int_X|fg|\,d\mu\le\|f\|_p\,\|g\|_q.

При $p = q = 2$ это неравенство Коши–Буняковского.

Доказательство

Развернуть

Если одна из норм равна нулю, например $\|f\|_p = 0$ , то $f = 0$ почти всюду и обе части равны нулю. Пусть нормы положительны. По неравенству Юнга с $a = |f|/\|f\|_p$ , $b = |g|/\|g\|_q$

\frac{|fg|}{\|f\|_p\|g\|_q}\le\frac{|f|^p}{p\|f\|_p^p} + \frac{|g|^q}{q\|g\|_q^q}.

Правая часть интегрируема, а $fg$ измерима, поэтому $fg$ интегрируема. Интегрируя, получаем справа $\frac1p + \frac1q = 1$ . $\blacksquare$

Применение принципа сжимающих отображений к системам линейных уравнений

Формулировка

Система $x = Cx + b$ в $\mathbb R^n$ имеет единственное решение, к которому сходятся итерации $x_{k+1} = Cx_k + b$ при любом $x_0$ , если выполнено хотя бы одно из условий:

\max_i\sum_j|c_{ij}| < 1,\qquad \max_j\sum_i|c_{ij}| < 1,\qquad \sum_{i,j}c_{ij}^2 < 1.

Доказательство

Развернуть

Пространства $\mathbb R^n_p$ полны. Проверим, что $Ax = Cx + b$ — сжатие при соответствующей метрике.

В $\rho_\infty$ : $|(Cx - Cy)_i|\le\sum_j|c_{ij}|\,|x_j - y_j|\le\left(\sum_j|c_{ij}|\right)\rho_\infty(x,y)$ .
В $\rho_1$ : $\sum_i\left|\sum_jc_{ij}(x_j - y_j)\right|\le\sum_j\left(\sum_i|c_{ij}|\right)|x_j - y_j|\le\max_j\sum_i|c_{ij}|\cdot\rho_1(x,y)$ .
В $\rho_2$ : по неравенству Коши–Буняковского $\left(\sum_jc_{ij}(x_j - y_j)\right)^2\le\sum_jc_{ij}^2\cdot\rho_2(x,y)^2$ ; суммируем по $i$ .

Остаётся применить принцип сжимающих отображений. $\blacksquare$

Общий вид непрерывного функционала в lₚ

Формулировка

Пусть $1\le p < \infty$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ ( $q = \infty$ при $p = 1$ ). Каждый ограниченный линейный функционал на $l_p$ имеет вид

f(x) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k,\qquad y = (y_k)\in l_q,\qquad\|f\| = \|y\|_q,

и, обратно, каждый $y\in l_q$ задаёт такой функционал.

Доказательство

Развернуть

Положим $y_k = f(e_k)$ . Так как $x = \sum x_ke_k$ в $l_p$ , по непрерывности $f(x) = \sum x_ky_k$ .

$1 < p < \infty$ . Возьмём $x^{(n)}$ с координатами $|y_k|^{q-1}\operatorname{sign}y_k$ при $k\le n$ и $0$ при $k > n$ (в комплексном случае вместо $\operatorname{sign}y_k$ берём $\overline{\operatorname{sign}y_k}$ , где $\operatorname{sign}z = z/|z|$ ). Тогда $f(x^{(n)}) = \sum_{k\le n}|y_k|^q$ , а $\|x^{(n)}\|_p = \left(\sum_{k\le n}|y_k|^q\right)^{1/p}$ , так как $(q - 1)p = q$ . Из $f(x^{(n)})\le\|f\|\|x^{(n)}\|_p$ получаем $\left(\sum_{k\le n}|y_k|^q\right)^{1/q}\le\|f\|$ , то есть $y\in l_q$ и $\|y\|_q\le\|f\|$ .

$p = 1$ : $|y_k| = |f(e_k)|\le\|f\|$ , то есть $\|y\|_\infty\le\|f\|$ .

Обратно, по неравенству Гёльдера $|f(x)|\le\|x\|_p\|y\|_q$ , так что $\|f\|\le\|y\|_q$ . $\blacksquare$

Эквивалентность норм в конечномерном пространстве

Формулировка

В конечномерном линейном пространстве любые две нормы эквивалентны.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_n$ — базис, $x = \sum\xi_ie_i$ , $|\xi|_2 = \left(\sum\xi_i^2\right)^{1/2}$ . Достаточно показать, что любая норма $\|\cdot\|$ эквивалентна $|\xi|_2$ .

Оценка сверху. По неравенству Коши–Буняковского

\|x\|\le\sum|\xi_i|\,\|e_i\|\le\beta|\xi|_2,\qquad\beta = \left(\sum\|e_i\|^2\right)^{1/2}.

Оценка снизу. Единичная сфера $S = \{|\xi|_2 = 1\}$ замкнута и ограничена, а значит, компактна. По теореме Вейерштрасса $\varphi$ достигает на ней минимума $\alpha$ . При этом $\alpha > 0$ , так как $\sum\xi_ie_i\ne0$ при $\xi\ne0$ . По однородности $\alpha|\xi|_2\le\|x\|\le\beta|\xi|_2$ для всех $x$ . $\blacksquare$

Критерий относительной компактности в lₚ

Формулировка

Множество $M\subset l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) относительно компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и остатки равномерно малы: для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $N$ такое, что

\sum_{k>N}|x_k|^p < \varepsilon\quad\text{для всех } x\in M.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $\|x\|_{>N} = \left(\sum_{k>N}|x_k|^p\right)^{1/p}$ ; это удовлетворяет неравенству треугольника.

Необходимость. Относительно компактное множество ограничено. Пусть $x^{(1)},\dots,x^{(m)}$ — конечная $\eta$ -сеть. Выберем $N$ так, что $\|x^{(i)}\|_{>N} < \eta$ при всех $i$ . Для $x\in M$ и ближайшего $x^{(i)}$

\|x\|_{>N}\le\|x - x^{(i)}\|_{>N} + \|x^{(i)}\|_{>N} < 2\eta.

Достаточность. Выберем $N$ так, что $\|x\|_{>N} < \frac\varepsilon2$ на $M$ , и рассмотрим срезки $P_Nx = (x_1,\dots,x_N,0,\dots)$ . Множество $P_N(M)$ ограничено в $\mathbb R^N$ и относительно компактно, значит, имеет конечную $\frac\varepsilon2$ -сеть $S$ . Для $x\in M$ и подходящего $s\in S$

\rho(x,s)\le\rho(x,P_Nx) + \rho(P_Nx,s) < \varepsilon.

Пространство $l_p$ полно; применяем критерий Хаусдорфа. $\blacksquare$

Полнота основных пространств

Формулировка

Пространства $\mathbb R$ , $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $C[a,b]$ , $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и $l_\infty$ полны.

Доказательство

Развернуть

$\mathbb R$ — это критерий Коши из курса анализа.

$\mathbb R^n_p$ . Координаты фундаментальной последовательности фундаментальны ( $|x_k - y_k|\le\rho_p(x,y)$ ), поэтому сходятся. Покоординатная сходимость равносильна сходимости в $\mathbb R^n_p$ .

$C[a,b]$ . Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна: $|x_n(t) - x_m(t)| < \varepsilon$ при $n,m > N$ и всех $t$ . При каждом $t$ числовая последовательность $x_n(t)$ фундаментальна, значит, имеет предел $x(t)$ . Переходя к пределу при $m\to\infty$ , получаем $|x_n(t) - x(t)|\le\varepsilon$ при $n > N$ и всех $t$ , то есть сходимость равномерная. Предельная функция непрерывна: при $|t - s| < \delta$ (где $\delta$ выбрано по непрерывности $x_n$ )

|x(t) - x(s)|\le|x(t) - x_n(t)| + |x_n(t) - x_n(s)| + |x_n(s) - x(s)| < 3\varepsilon.

Итак, $x\in C[a,b]$ и $\rho(x_n, x)\le\varepsilon$ при $n > N$ .

$l_p$ . Координаты фундаментальны и сходятся: $x_k^{(n)}\to x_k$ . При $n, m > N$ и любом $K$ имеем $\sum_{k=1}^K|x_k^{(n)} - x_k^{(m)}|^p < \varepsilon^p$ . Переходим к пределу сначала при $m\to\infty$ , затем при $K\to\infty$ :

\sum_{k=1}^\infty|x_k^{(n)} - x_k|^p\le\varepsilon^p.

Значит, $x^{(n)} - x\in l_p$ , и по неравенству Минковского $x = x^{(n)} - (x^{(n)} - x)\in l_p$ , причём $\rho(x^{(n)}, x)\le\varepsilon$ .

$l_\infty$ — так же, с супремумом вместо суммы. $\blacksquare$

Примеры банаховых пространств

Формулировка

С нормами

\|x\|_p = \left(\sum|x_k|^p\right)^{1/p},\quad \|x\|_\infty = \sup_k|x_k|,\quad \|x\|_{C} = \max_{[a,b]}|x(t)|

пространства $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $l_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $c_0$ и $C[a,b]$ банаховы. Пространство $C_p[a,b]$ с нормой $\left(\int_a^b|x|^p\,dt\right)^{1/p}$ — нормированное, но не банахово.

Доказательство

Развернуть

Аксиомы 1–2 нормы очевидны, а неравенство треугольника и порождаемые метрики — это метрики основных метрических пространств. Полнота $\mathbb R^n_p$ , $l_p$ , $l_\infty$ , $C[a,b]$ и неполнота $C_p[a,b]$ доказаны в теме «Полные метрические пространства».

$c_0$ замкнуто в $l_\infty$ : пусть $x^{(n)}\in c_0$ , $\|x^{(n)} - x\|_\infty < \frac\varepsilon2$ , и $|x_k^{(n)}| < \frac\varepsilon2$ при $k > K$ . Тогда $|x_k| < \varepsilon$ при $k > K$ , то есть $x\in c_0$ . Как замкнутое подпространство полного пространства $l_\infty$ , оно полно. $\blacksquare$

Ограниченное замкнутое множество может быть некомпактным

Формулировка

Замкнутые единичные шары в $l_2$ и в $C[0,1]$ ограничены и замкнуты, но не компактны.

Доказательство

Развернуть

$l_2$ . Векторы $e_k$ лежат в шаре, и $\rho(e_k, e_j) = \sqrt2$ при $k\ne j$ . Ни одна подпоследовательность не фундаментальна, поэтому не сходится.

$C[0,1]$ . Функции $x_n(t) = t^n$ лежат в шаре. Если бы подпоследовательность сходилась в $C[0,1]$ , то равномерно и, значит, поточечно. Но поточечный предел равен $0$ при $t < 1$ и $1$ при $t = 1$ — разрывная функция. Противоречие. $\blacksquare$

Компактность в ℝⁿ

Формулировка

В $\mathbb R^n_p$ множество относительно компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, и компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Доказательство

Развернуть

Необходимость следует из ограниченности относительно компактных множеств. Пусть $M$ ограничено и $\{x^{(m)}\}\subset M$ . Координаты ограничены. По теореме Больцано–Вейерштрасса из курса анализа выделим подпоследовательность, у которой сходится первая координата, из неё — подпоследовательность, у которой сходится вторая, и т.д. После $n$ шагов все координаты сходятся, а это сходимость в $\mathbb R^n_p$ . Если $M$ ещё и замкнуто, предел лежит в $M$ . $\blacksquare$

Примеры всюду плотных множеств

Формулировка

$\mathbb Q^n$ всюду плотно в $\mathbb R^n_p$ .
Финитные последовательности (с конечным числом ненулевых членов), в том числе с рациональными членами, всюду плотны в $l_p$ при $1\le p<\infty$ и в $c_0$ . В $l_\infty$ они не всюду плотны.
Многочлены, в том числе с рациональными коэффициентами, всюду плотны в $C[a,b]$ и в $C_p[a,b]$ .

Доказательство

Развернуть

Каждую координату приближаем рациональным числом и пользуемся покоординатной сходимостью.
Пусть $x\in l_p$ , $\varepsilon > 0$ . Выберем $N$ так, что $\sum_{k>N}|x_k|^p < \frac{\varepsilon^p}{2}$ , и рациональные $r_k$ с $|x_k - r_k|^p < \frac{\varepsilon^p}{2N}$ при $k\le N$ . Для $r = (r_1,\dots,r_N,0,\dots)$ получаем $\rho(x,r)^p < \varepsilon^p$ . Для $c_0$ рассуждение то же, с супремумом вместо суммы. В $l_\infty$ последовательность $(1,1,1,\dots)$ отстоит от любой финитной не меньше чем на $1$ .
По теореме Вейерштрасса из курса анализа для $x\in C[a,b]$ есть многочлен $P(t) = \sum_{k=0}^n a_kt^k$ с $\rho(x,P) < \frac\varepsilon2$ . Пусть $K = \max(|a|,|b|,1)$ . Возьмём рациональные $q_k$ с $\sum|a_k - q_k|K^k < \frac\varepsilon2$ ; тогда многочлен $Q = \sum q_kt^k$ удовлетворяет $\rho(x,Q) < \varepsilon$ . Для $C_p[a,b]$ используем неравенство $\rho_p\le(b-a)^{1/p}\rho$ . $\blacksquare$

Счётные базисы в пространствах последовательностей

Формулировка

Последовательность $e_k = (0,\dots,0,1,0,\dots)$ — счётный базис в $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и в $c_0$ , причём $x = \sum x_ke_k$ . В $l_\infty$ счётного базиса нет.

Доказательство

Развернуть

Для $x\in l_p$

\left\|x - \sum_{k\le n}x_ke_k\right\|^p = \sum_{k>n}|x_k|^p\to0,

то есть разложение существует. Единственность: если $x = \sum c_ke_k$ , то, переходя к покоординатной сходимости, получаем $c_k = x_k$ . Для $c_0$ остаток оценивается через $\sup_{k>n}|x_k|\to0$ .

$l_\infty$ несепарабельно, а пространство со счётным базисом сепарабельно. $\blacksquare$

Метрические пространства

Свойства сходящихся последовательностей в метрическом пространстве

Формулировка

Доказательство

Неравенство четырёхугольника. Непрерывность метрики

Формулировка

Доказательство

Неравенство Юнга

Формулировка

Доказательство

Неравенство Гёльдера

Формулировка

Доказательство

Неравенство Минковского

Формулировка

Доказательство

Основные метрические пространства

Формулировка

Доказательство

Сходимость в основных метрических пространствах

Формулировка

Доказательство

Проверка аксиом метрики для |x − y|/(1 + |x − y|)

Условие

Решение

Квадрат расстояния — не метрика

Условие

Решение

Расстояния между функциями в разных метриках

Условие

Решение

Сходимость срезок последовательности в l₂ и l₁

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Метрическое пространство

Сходимость в метрическом пространстве

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

Подпространство метрического пространства

Компактные множества замкнуты и ограничены

Формулировка

Доказательство

Полнота и замкнутость подпространства

Формулировка

Доказательство

Свойства фундаментальных последовательностей

Формулировка

Доказательство

Неполнота пространств Cₚ[a,b] и ℚ

Формулировка

Доказательство

Принцип сжимающих отображений

Формулировка

Доказательство

Непрерывность скалярного произведения

Формулировка

Доказательство

Теорема о пополнении

Формулировка

Доказательство

Неравенство Гёльдера для интегралов

Формулировка

Доказательство

Применение принципа сжимающих отображений к системам линейных уравнений

Формулировка

Доказательство

Общий вид непрерывного функционала в lₚ

Формулировка

Доказательство

Эквивалентность норм в конечномерном пространстве

Формулировка

Доказательство

Критерий относительной компактности в lₚ

Формулировка

Доказательство

Полнота основных пространств