Системы множеств. Мера на полукольце

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Лемма о разложениях в полукольце
Минимальное кольцо, порождённое полукольцом
Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо
Свойства меры
Продолжение счётно-аддитивной меры на минимальное кольцо
Счётная аддитивность длины

лемма

Лемма о разложениях в полукольце

Формулировка

Пусть $S$ — полукольцо.

Если $A, A_1, \dots, A_n\in S$ , множества $A_i\subset A$ попарно не пересекаются, то

A = A_1\sqcup\dots\sqcup A_n\sqcup A_{n+1}\sqcup\dots\sqcup A_s,\qquad A_k\in S.

Для любых $A_1, \dots, A_n\in S$ существуют попарно непересекающиеся $B_1, \dots, B_t\in S$ такие, что каждое $A_k$ есть объединение некоторых из $B_j$ .

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n$ . При $n = 1$ это аксиома 3 полукольца. Пусть $A = A_1\sqcup\dots\sqcup A_n\sqcup B_1\sqcup\dots\sqcup B_q$ и $A_{n+1}\subset A$ не пересекается с $A_1, \dots, A_n$ . Тогда $A_{n+1} = \bigsqcup_j(A_{n+1}\cap B_j)$ , и по аксиоме 3 каждое $B_j = (B_j\cap A_{n+1})\sqcup B_{j1}\sqcup\dots\sqcup B_{jr_j}$ . Поэтому

A = A_1\sqcup\dots\sqcup A_{n+1}\sqcup\bigsqcup_{j, l}B_{jl}.

Индукция по $n$ ; при $n = 1$ берём $B_1 = A_1$ . Пусть $B_1, \dots, B_t$ годятся для $A_1, \dots, A_n$ . Положим $B_j' = A_{n+1}\cap B_j\in S$ . По п. 1 $A_{n+1} = \bigsqcup_jB_j'\sqcup\bigsqcup_pC_p$ , и каждое $B_j = B_j'\sqcup\bigsqcup_lB_{jl}$ . Система $\{B_j', B_{jl}, C_p\}$ — искомая. $\blacksquare$

теорема

Минимальное кольцо, порождённое полукольцом

Формулировка

Минимальное кольцо $R(S)$ , порождённое полукольцом $S$ , состоит из всех конечных объединений попарно непересекающихся множеств из $S$ :

R(S) = \Bigl\{A = \bigsqcup_{k=1}^nA_k:\ A_k\in S\Bigr\}.

Доказательство

Развернуть

Обозначим указанную систему через $K$ . Любое кольцо, содержащее $S$ , содержит конечные объединения элементов $S$ , то есть $K$ .

Покажем, что $K$ — кольцо. Пусть $A = \bigsqcup A_i$ , $B = \bigsqcup B_j$ , $A_i, B_j\in S$ . По лемме о разложениях существуют попарно непересекающиеся $C_1, \dots, C_t\in S$ , через которые выражаются все $A_i$ и $B_j$ . Тогда $A\cap B$ и $A\mathbin\triangle B$ — объединения некоторых $C_k$ , то есть лежат в $K$ . $\blacksquare$

теорема

Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо

Формулировка

Всякая мера $m$ на полукольце $S$ имеет единственное продолжение до меры $\mu$ на кольце $R(S)$ :

\mu\Bigl(\bigsqcup_{k=1}^nA_k\Bigr) = \sum_{k=1}^nm(A_k),\qquad A_k\in S.

Доказательство

Развернуть

Корректность. Пусть $A = \bigsqcup_iA_i = \bigsqcup_jB_j$ , $A_i, B_j\in S$ . Множества $A_i\cap B_j$ лежат в $S$ , и $A_i = \bigsqcup_j(A_i\cap B_j)$ , $B_j = \bigsqcup_i(A_i\cap B_j)$ . По аддитивности $m$

\sum_im(A_i) = \sum_i\sum_jm(A_i\cap B_j) = \sum_jm(B_j).

Аддитивность $\mu$ на $R(S)$ очевидна: объединение непересекающихся конечных объединений — снова конечное объединение.

Единственность: любое аддитивное продолжение обязано удовлетворять указанной формуле. $\blacksquare$

теорема

Свойства меры

Формулировка

Пусть $\mu$ — мера на кольце $R$ (например, продолжение меры с полукольца). Тогда:

$\mu(\varnothing) = 0$ ; если $A\subset B$ , то $\mu(A)\le\mu(B)$ и $\mu(B\setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$ ;
если $A_1, \dots, A_n\subset A$ попарно не пересекаются, то $\sum_k\mu(A_k)\le\mu(A)$ ;
если $A\subset A_1\cup\dots\cup A_n$ , то $\mu(A)\le\sum_k\mu(A_k)$ (конечная полуаддитивность).

Свойства 2 и 3 верны и для меры на полукольце (через её продолжение на $R(S)$ ).

Доказательство

Развернуть

$\varnothing = \varnothing\sqcup\varnothing$ даёт $\mu(\varnothing) = 2\mu(\varnothing)$ . Далее, $B = A\sqcup(B\setminus A)$ .
$A = A_1\sqcup\dots\sqcup A_n\sqcup\bigl(A\setminus\bigcup A_k\bigr)$ , и последнее слагаемое неотрицательно.
Положим $C_k = A\cap\bigl(A_k\setminus\bigcup_{i<k}A_i\bigr)\in R$ . Тогда $A = \bigsqcup C_k$ , $C_k\subset A_k$ , и $\mu(A) = \sum\mu(C_k)\le\sum\mu(A_k)$ . $\blacksquare$

теорема

Продолжение счётно-аддитивной меры на минимальное кольцо

Формулировка

Если мера $m$ на полукольце $S$ счётно-аддитивна, то её продолжение $\mu$ на $R(S)$ тоже счётно-аддитивно. Кроме того, $\mu$ счётно-полуаддитивна: если $A, A_1, A_2, \dots\in R(S)$ и $A\subset\bigcup_{k=1}^\infty A_k$ , то

\mu(A)\le\sum_{k=1}^\infty\mu(A_k).

Доказательство

Развернуть

Пусть $A = \bigsqcup_{n=1}^\infty B_n$ , $A, B_n\in R(S)$ , $A = \bigsqcup_jA_j$ , $B_n = \bigsqcup_iB_{ni}$ (конечные разложения на элементы $S$ ). Тогда $A_j = \bigsqcup_{n, i}(A_j\cap B_{ni})$ — счётное разложение в $S$ , и по $\sigma$ -аддитивности $m(A_j) = \sum_{n, i}m(A_j\cap B_{ni})$ . Также $B_{ni} = \bigsqcup_j(B_{ni}\cap A_j)$ — конечное разложение. Переставляя члены ряда с неотрицательными слагаемыми:

\mu(A) = \sum_jm(A_j) = \sum_n\sum_i\sum_jm(A_j\cap B_{ni}) = \sum_n\sum_im(B_{ni}) = \sum_n\mu(B_n).

Полуаддитивность: множества $C_n = A\cap\bigl(A_n\setminus\bigcup_{k<n}A_k\bigr)\in R(S)$ попарно не пересекаются, $A = \bigsqcup C_n$ , $C_n\subset A_n$ . Поэтому $\mu(A) = \sum\mu(C_n)\le\sum\mu(A_n)$ . $\blacksquare$

теорема

Счётная аддитивность длины

Формулировка

Длина $m([a, b)) = b - a$ — счётно-аддитивная мера на полукольце полуинтервалов прямой. Аналогично площадь прямоугольников $[a, b)\times[c, d)$ счётно-аддитивна.

Доказательство

Развернуть

Аддитивность очевидна: конечное разложение полуинтервала на полуинтервалы — это разбиение $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ .

Пусть $[a, b) = \bigsqcup_{k=1}^\infty[a_k, b_k)$ . При каждом $n$ полуинтервалы $[a_k, b_k)$ , $k\le n$ , лежат в $[a, b)$ и не пересекаются, так что $\sum_{k\le n}(b_k - a_k)\le b - a$ . Значит, $\sum_k(b_k - a_k)\le b - a$ .

Обратно, возьмём $\varepsilon\in(0, b - a)$ . Отрезок $[a, b - \varepsilon]$ покрыт интервалами $(a_k - \varepsilon2^{-k}, b_k)$ . По лемме Гейне–Бореля из них можно выбрать конечное подпокрытие $k\le N$ . Тогда $[a, b - \varepsilon)\subset\bigcup_{k\le N}[a_k - \varepsilon2^{-k}, b_k)$ , и по конечной полуаддитивности

b - \varepsilon - a\le\sum_{k\le N}\bigl(b_k - a_k + \varepsilon2^{-k}\bigr)\le\sum_k(b_k - a_k) + \varepsilon.

Устремляя $\varepsilon\to 0$ , получаем равенство. Для прямоугольников рассуждение то же (замкнутый прямоугольник компактен). $\blacksquare$

Полуинтервалы — полукольцо, но не кольцо

Условие

Доказать, что система $S$ полуинтервалов $[a, b)\subset[0, 1)$ — полукольцо с единицей, но не кольцо, и описать $R(S)$ .

Решение

Развернуть

$[a, b)\cap[c, d) = [\max(a, c), \min(b, d))$ (пустое, если $\max\ge\min$ ). Если $[c, d)\subset[a, b)$ , то $[a, b) = [c, d)\sqcup[a, c)\sqcup[d, b)$ . Единица — $[0, 1)$ .

Кольцом $S$ не является: $[0, 1)\setminus[\frac13, \frac23) = [0, \frac13)\cup[\frac23, 1)$ — не полуинтервал.

По теореме о минимальном кольце $R(S)$ — конечные объединения непересекающихся полуинтервалов из $[0, 1)$ . Это алгебра с единицей $[0, 1)$ .

Кольца и алгебры подмножеств натурального ряда

Условие

Выяснить, является ли кольцом, алгеброй, $\sigma$ -алгеброй система подмножеств $\mathbb N$ :

а) все конечные множества;

б) все конечные множества и их дополнения (коконечные множества).

Решение

Развернуть

а) Пересечение и симметрическая разность конечных множеств конечны — кольцо. Единицы нет: она должна содержать все конечные множества, то есть быть равной $\mathbb N$ , а $\mathbb N$ бесконечно. Значит, не алгебра. Не $\sigma$ -кольцо: $\mathbb N = \bigcup\{n\}$ .

б) Алгебра с единицей $\mathbb N$ : дополнение и пересечения сохраняют класс (пересечение коконечного с конечным конечно, двух коконечных — коконечно). Но не $\sigma$ -алгебра: множество чётных чисел — счётное объединение одноточечных множеств, а само оно не конечно и не коконечно.

Аддитивная, но не счётно-аддитивная мера

Условие

На алгебре конечных и коконечных подмножеств $\mathbb N$ положим $\mu(A) = 0$ для конечных $A$ и $\mu(A) = 1$ для коконечных. Доказать, что $\mu$ — мера, но не счётно-аддитивная.

Решение

Развернуть

Два коконечных множества пересекаются, поэтому из двух непересекающихся множеств коконечным может быть не более одного. Если $A\sqcup B$ конечно, то оба конечны, и $0 = 0 + 0$ . Если $A\sqcup B$ коконечно, то ровно одно из них коконечно, и $1 = 1 + 0$ . Аддитивность выполнена.

Однако $\mathbb N = \bigsqcup_{n=1}^\infty\{n\}$ , и $\mu(\mathbb N) = 1\ne\sum\mu(\{n\}) = 0$ .

Мера, порождённая функцией F(x) = x²

Условие

Доказать, что $m([a, b)) = b^2 - a^2$ — мера на полукольце полуинтервалов в $[0, +\infty)$ , и найти меру множества $[0, 1)\cup[2, 3)$ в продолжении на $R(S)$ .

Решение

Развернуть

Конечное разложение $[a, b)$ — разбиение $a = x_0 < \dots < x_n = b$ , и

\sum_k\bigl(x_k^2 - x_{k-1}^2\bigr) = b^2 - a^2.

Значит, $m$ аддитивна, и $m\ge 0$ . (Как и для длины, доказывается $\sigma$ -аддитивность: в оценке используется непрерывность функции $x^2$ .)

$\mu([0, 1)\cup[2, 3)) = (1 - 0) + (9 - 4) = 6$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Полукольцо множеств

Непустая система $S$ подмножеств множества $X$ называется полукольцом, если:

$\varnothing\in S$ ;
$A, B\in S\ \Rightarrow\ A\cap B\in S$ ;
если $A, A_1\in S$ и $A_1\subset A$ , то $A = A_1\sqcup A_2\sqcup\dots\sqcup A_n$ , где $A_k\in S$ попарно не пересекаются (конечное разложение).

Множество $E\in S$ называется единицей полукольца, если $A\subset E$ для всех $A\in S$ .

Примеры: система полуинтервалов $[a, b)$ прямой (включая $\varnothing = [a, a)$ ); система прямоугольников $[a, b)\times[c, d)$ плоскости. Система полуинтервалов, содержащихся в $[0, 1)$ , — полукольцо с единицей $[0, 1)$ .

Кольцо, алгебра, σ-алгебра множеств

Непустая система $R$ множеств называется кольцом, если вместе с $A$ и $B$ она содержит $A\cap B$ и $A\mathbin\triangle B$ . Тогда она содержит также $A\cup B$ и $A\setminus B$ , а также $\varnothing$ .

Кольцо с единицей $E$ ( $E\in R$ , $A\subset E$ для всех $A\in R$ ) называется алгеброй.

Кольцо, замкнутое относительно счётных объединений, называется $\sigma$ -кольцом; $\sigma$ -кольцо с единицей — $\sigma$ -алгеброй.

Пересечение любого семейства колец — кольцо. Поэтому для любой системы $S$ существует наименьшее кольцо, содержащее $S$ , — минимальное кольцо $R(S)$ , порождённое $S$ .

Мера на полукольце

Мерой на полукольце $S$ называется функция $m\colon S\to[0, +\infty)$ , обладающая свойством аддитивности: если $A = A_1\sqcup\dots\sqcup A_n$ , где $A, A_k\in S$ и $A_k$ попарно не пересекаются, то

m(A) = m(A_1) + \dots + m(A_n).

Мера $\mu$ , заданная на системе $S'\supset S$ , называется продолжением меры $m$ , если $\mu(A) = m(A)$ при $A\in S$ .

Примеры: длина $m([a, b)) = b - a$ ; площадь прямоугольника.

Счётно-аддитивная мера

Мера $m$ на полукольце $S$ называется счётно-аддитивной ( $\sigma$ -аддитивной), если для любого $A\in S$ , представленного в виде объединения счётного числа попарно непересекающихся множеств $A_k\in S$ ,

A = \bigsqcup_{k=1}^\infty A_k\quad\Longrightarrow\quad m(A) = \sum_{k=1}^\infty m(A_k).

Системы множеств. Мера на полукольце

Лемма о разложениях в полукольце

Формулировка

Доказательство

Минимальное кольцо, порождённое полукольцом

Формулировка

Доказательство

Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо

Формулировка

Доказательство

Свойства меры

Формулировка

Доказательство

Продолжение счётно-аддитивной меры на минимальное кольцо

Формулировка

Доказательство

Счётная аддитивность длины

Формулировка

Доказательство

Полуинтервалы — полукольцо, но не кольцо

Условие

Решение

Кольца и алгебры подмножеств натурального ряда

Условие

Решение

Аддитивная, но не счётно-аддитивная мера

Условие

Решение

Мера, порождённая функцией F(x) = x²

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Полукольцо множеств

Кольцо, алгебра, σ-алгебра множеств

Мера на полукольце

Счётно-аддитивная мера

Свойства внешней меры

Формулировка

Доказательство