Измеримые функции. Сходимость почти всюду

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Равносильные определения измеримости. Примеры
Арифметические операции над измеримыми функциями
Предел последовательности измеримых функций
Приближение измеримой функции простыми
Теорема Егорова
Из сходимости почти всюду следует сходимость по мере
Теорема Рисса о выборе почти всюду сходящейся подпоследовательности

теорема

Равносильные определения измеримости. Примеры

Формулировка

Функция $f$ измерима тогда и только тогда, когда при всех $c$ измеримо любое из множеств $\{f\le c\}$ , $\{f > c\}$ , $\{f\ge c\}$ .
Непрерывная на отрезке функция измерима (по Лебегу). Монотонная функция измерима.

Доказательство

Развернуть

Пользуемся тем, что измеримые множества образуют $\sigma$ -алгебру:

\{f\le c\} = \bigcap_n\Bigl\{f < c + \frac1n\Bigr\},\quad\{f > c\} = X\setminus\{f\le c\},\quad\{f\ge c\} = \bigcap_n\Bigl\{f > c - \frac1n\Bigr\},\quad\{f < c\} = \bigcup_n\Bigl\{f\le c - \frac1n\Bigr\}.

Для непрерывной $f$ множество $\{f < c\}$ открыто в отрезке и потому измеримо. Для монотонной $f$ множество $\{f < c\}$ — промежуток. $\blacksquare$

теорема

Арифметические операции над измеримыми функциями

Формулировка

Если $f$ , $g$ измеримы, $\varphi$ непрерывна на $\mathbb R$ , то измеримы функции

\varphi(f),\quad cf,\quad f\pm g,\quad fg,\quad |f|,\quad\max(f, g),\quad\frac1g\ \ (g\ne 0).

Доказательство

Развернуть

$\varphi(f)$ : множество $G = \{\varphi < c\}$ открыто, то есть $G = \bigsqcup(a_k, b_k)$ — счётное объединение интервалов. Тогда $\{\varphi(f) < c\} = \bigcup_k\{a_k < f < b_k\}$ измеримо. Отсюда измеримы $cf$ , $|f|$ , $f^2$ .

$f + g$ : докажем, что

\{f + g < c\} = \bigcup_{r\in\mathbb Q}\bigl(\{f < r\}\cap\{g < c - r\}\bigr).

Если $f(x) + g(x) < c$ , возьмём рациональное $r$ с $f(x) < r < c - g(x)$ ; обратное включение очевидно. Далее, $f - g = f + (-g)$ , $fg = \frac14\bigl((f + g)^2 - (f - g)^2\bigr)$ , $\max(f, g) = \frac12(f + g + |f - g|)$ .

$1/g$ : при $c > 0$ имеем $\{1/g < c\} = \{g < 0\}\cup\{g > 1/c\}$ , при $c < 0$ — $\{1/c < g < 0\}$ , при $c = 0$ — $\{g < 0\}$ . $\blacksquare$

теорема

Предел последовательности измеримых функций

Формулировка

Если измеримые функции $f_n$ сходятся в каждой точке к $f$ , то $f$ измерима.
Функция, эквивалентная измеримой, измерима. Поэтому предел почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций измерим.

Доказательство

Развернуть

Проверим равенство

\{f < c\} = \bigcup_k\bigcup_n\bigcap_{m\ge n}\Bigl\{f_m < c - \frac1k\Bigr\}.

Если $f(x) < c$ , выберем $k$ с $f(x) < c - \frac2k$ . Тогда $f_m(x) < c - \frac1k$ при всех достаточно больших $m$ . Обратно, если $f_m(x) < c - \frac1k$ при всех $m\ge n$ , то $f(x)\le c - \frac1k < c$ . Правая часть измерима.

Пусть $g = f$ вне множества $N$ меры нуль. Тогда $\{g < c\}$ отличается от $\{f < c\}$ лишь подмножеством $N$ , а все подмножества $N$ измеримы (мера полна). $\blacksquare$

теорема

Приближение измеримой функции простыми

Формулировка

Функция $f$ измерима тогда и только тогда, когда она является равномерным пределом последовательности простых функций. Для ограниченной $f$ простые функции можно взять с конечным числом значений.

Доказательство

Развернуть

Пусть $f$ измерима. Положим $f_n(x) = \frac kn$ при $\frac kn\le f(x) < \frac{k+1}n$ , $k\in\mathbb Z$ . Множества $\{\frac kn\le f < \frac{k+1}n\}$ измеримы, так что $f_n$ проста, и $0\le f - f_n < \frac1n$ . Для ограниченной $f$ значений конечное число.

Обратно, равномерный (и даже поточечный) предел измеримых функций измерим. $\blacksquare$

теорема

Теорема Егорова

Формулировка

Пусть $\mu(X) < \infty$ , измеримые функции $f_n$ сходятся почти всюду к функции $f$ , конечной почти всюду. Тогда для любого $\delta > 0$ существует измеримое множество $X_\delta$ с $\mu(X\setminus X_\delta) < \delta$ , на котором $f_n\rightrightarrows f$ .

Доказательство

Развернуть

$f$ измерима по теореме о пределе. Положим

X_n^m = \bigcap_{i\ge n}\Bigl\{|f_i - f| < \frac1m\Bigr\},\qquad X^m = \bigcup_nX_n^m.

При фиксированном $m$ множества $X_n^m$ возрастают по $n$ , а $X\setminus X^m$ содержится в множестве точек расходимости, так что $\mu(X\setminus X^m) = 0$ . По непрерывности меры $\mu(X^m\setminus X_n^m)\to 0$ ; выберем $n(m)$ с $\mu(X^m\setminus X_{n(m)}^m) < \delta2^{-m}$ .

Положим $X_\delta = \bigcap_mX_{n(m)}^m$ . Тогда

\mu(X\setminus X_\delta)\le\sum_m\mu(X\setminus X_{n(m)}^m)\le\sum_m\bigl(0 + \delta2^{-m}\bigr) = \delta,

и на $X_\delta$ при $i\ge n(m)$ выполнено $|f_i - f| < \frac1m$ — сходимость равномерна. (Уменьшив $\delta$ , получаем строгое неравенство.) $\blacksquare$

теорема

Из сходимости почти всюду следует сходимость по мере

Формулировка

Если $\mu(X) < \infty$ и $f_n\to f$ почти всюду, то $f_n\to f$ по мере. Обратное неверно.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\sigma > 0$ , $\delta > 0$ . По теореме Егорова найдётся $X_\delta$ с $\mu(X\setminus X_\delta) < \delta$ и $f_n\rightrightarrows f$ на $X_\delta$ . При больших $n$ имеем $|f_n - f| < \sigma$ на $X_\delta$ , так что $\{|f_n - f|\ge\sigma\}\subset X\setminus X_\delta$ и его мера меньше $\delta$ .

Пример «бегущей ступеньки» показывает, что из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду. $\blacksquare$

теорема

Теорема Рисса о выборе почти всюду сходящейся подпоследовательности

Формулировка

Если $f_n\to f$ по мере, то из $f_n$ можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к $f$ почти всюду.

Доказательство

Развернуть

Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ так, чтобы множества $E_k = \{|f_{n_k} - f|\ge\frac1k\}$ имели меру $\mu(E_k) < 2^{-k}$ . Положим $R_i = \bigcup_{k\ge i}E_k$ , $Q = \bigcap_iR_i$ . Тогда $\mu(R_i) < 2^{1-i}$ и $\mu(Q) = 0$ .

Если $x\notin Q$ , то $x\notin R_i$ при некотором $i$ , то есть $|f_{n_k}(x) - f(x)| < \frac1k$ при всех $k\ge i$ . Значит, $f_{n_k}(x)\to f(x)$ вне множества меры нуль. $\blacksquare$

Функция Дирихле

Условие

Доказать, что функция Дирихле $D(x)$ ( $1$ в рациональных точках, $0$ в иррациональных) измерима на $[0, 1]$ и эквивалентна нулю.

Решение

Развернуть

$\{D < c\}$ равно $\varnothing$ при $c\le 0$ , множеству иррациональных точек при $0 < c\le 1$ и $[0, 1]$ при $c > 1$ . Все эти множества измеримы. $D\ne 0$ лишь на счётном множестве рациональных точек меры нуль, так что $D\sim 0$ . При этом $D$ не интегрируема по Риману.

Последовательность xⁿ и теорема Егорова

Условие

Исследовать сходимость $f_n(x) = x^n$ на $[0, 1]$ почти всюду и равномерно и указать множества $X_\delta$ из теоремы Егорова.

Решение

Развернуть

$f_n(x)\to 0$ при $x < 1$ и $f_n(1) = 1$ , то есть $f_n\to 0$ почти всюду. Равномерной сходимости на $[0, 1)$ нет: $\sup_{[0,1)}x^n = 1$ .

Для $\delta\in(0, 1)$ возьмём $X_\delta = [0, 1 - \delta/2]$ : $\mu([0, 1]\setminus X_\delta) = \delta/2 < \delta$ и $\sup_{X_\delta}x^n = (1 - \delta/2)^n\to 0$ .

Бегущая ступенька

Условие

Для $k\in\mathbb N$ , $j = 1, \dots, k$ положим $f_{k,j} = \chi_{[(j-1)/k,\ j/k)}$ и выпишем функции в последовательность $f_{1,1}, f_{2,1}, f_{2,2}, f_{3,1}, \dots$ Доказать, что она сходится к нулю по мере на $[0, 1)$ , но не сходится ни в одной точке $[0, 1)$ . Указать подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.

Решение

Развернуть

При $0 < \delta\le 1$ имеем $\mu\{f_{k,j}\ge\delta\} = \frac1k\to 0$ — сходимость по мере.

Для любого $x\in[0, 1)$ и любого $k$ ровно одна из функций $f_{k,1}, \dots, f_{k,k}$ равна $1$ в точке $x$ , остальные равны $0$ . Поэтому в последовательности бесконечно много единиц и нулей, и предела нет.

Подпоследовательность $f_{k,1} = \chi_{[0, 1/k)}$ сходится к нулю при всех $x > 0$ , то есть почти всюду — в согласии с теоремой Рисса.

Неизмеримая функция с измеримыми множествами уровня

Условие

Пусть $V\subset[0, 1)$ — неизмеримое множество Витали. Доказать, что функция $f(x) = x$ при $x\in V$ , $f(x) = -x$ при $x\notin V$ неизмерима, хотя все множества $\{f = c\}$ измеримы.

Решение

Развернуть

$\{f = c\}\subset\{c, -c\}$ — не более двух точек, это измеримое множество.

Но $\{f > 0\} = V\setminus\{0\}$ . Оно неизмеримо: иначе $V$ было бы измеримо как объединение с одной точкой. Значит, $f$ неизмерима. Условие измеримости должно проверяться для множеств $\{f < c\}$ , а не для множеств уровня.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Измеримая функция

Пусть $X$ — множество с $\sigma$ -алгеброй $\mathfrak M$ измеримых подмножеств и полной счётно-аддитивной мерой $\mu$ (основной пример — отрезок с мерой Лебега). Функция $f\colon X\to\mathbb R$ называется измеримой, если для любого $c\in\mathbb R$ множество

\{x\in X:\ f(x) < c\}

измеримо. Равносильное определение: прообраз любого борелевского множества прямой измерим.

Почти всюду. Эквивалентные функции

Говорят, что свойство выполнено почти всюду (п. в.) на $X$ , если множество точек, где оно нарушается, имеет меру нуль.

Функции $f$ и $g$ называются эквивалентными ( $f\sim g$ ), если $f = g$ почти всюду.

Последовательность $f_n$ сходится почти всюду к $f$ , если $f_n(x)\to f(x)$ для всех $x$ , кроме множества меры нуль.

Сходимость по мере

Последовательность измеримых функций $f_n$ сходится по мере к измеримой функции $f$ , если для любого $\delta > 0$

\mu\{x:\ |f_n(x) - f(x)|\ge\delta\}\to 0\quad\text{при } n\to\infty.

Простая функция

Функция $f$ на $X$ называется простой, если она измерима и принимает не более чем счётное множество значений. Если $y_1, y_2, \dots$ — её различные значения, то $f = y_n$ на измеримых множествах $A_n = \{f = y_n\}$ , которые попарно не пересекаются и в объединении дают $X$ .

Обратно, функция, принимающая постоянное значение на каждом из счётного числа попарно непересекающихся измеримых множеств, покрывающих $X$ , проста.

Измеримость открытых, замкнутых и борелевских множеств

Формулировка

На отрезке $[a, b]$ с мерой Лебега измеримы все открытые и все замкнутые множества, а значит, и все борелевские множества — элементы наименьшей $\sigma$ -алгебры, содержащей открытые множества. Мера любого промежутка с концами $c < d$ равна $d - c$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $G$ открыто. Для каждой точки $x\in G$ найдётся полуинтервал $[r_1, r_2)\subset G$ с рациональными концами, содержащий $x$ (если $x = a$ , берём $[a, r_2)$ ; если $x = b$ , берём промежуток $[r_1, b]$ ). Таких полуинтервалов счётное число, поэтому $G$ — счётное объединение измеримых множеств и измеримо по теореме о $\sigma$ -алгебре. Замкнутые множества — дополнения открытых.

Измеримые множества образуют $\sigma$ -алгебру, содержащую открытые, следовательно, она содержит все борелевские множества. Точки имеют меру нуль, поэтому мера промежутка не зависит от включения концов. $\blacksquare$

Множества меры нуль. Полнота меры Лебега

Формулировка

Всякое множество внешней меры нуль измеримо, и его мера равна нулю. В частности, любое подмножество множества меры нуль измеримо (мера Лебега полна).
Счётное объединение множеств меры нуль имеет меру нуль.
Любое счётное множество на прямой имеет меру нуль.

Доказательство

Развернуть

Если $\mu^*(A) = 0$ , то при $B = \varnothing$ имеем $\mu^*(A\mathbin\triangle B) = 0 < \varepsilon$ . Подмножество множества меры нуль имеет внешнюю меру нуль по монотонности.
Следует из счётной полуаддитивности внешней меры.
Точку $x_k$ покроем полуинтервалом $[x_k, x_k + \varepsilon2^{-k})$ ; сумма длин равна $\varepsilon$ . $\blacksquare$

Основные свойства интеграла Лебега

Формулировка

На множестве $A$ конечной меры:

$\int_A1\,d\mu = \mu(A)$ ; интеграл линеен.
Ограниченная измеримая функция интегрируема; если $|f|\le M$ , то $\left|\int_Af\right|\le M\mu(A)$ .
Если $f\ge 0$ , то $\int_Af\ge 0$ ; если $f\le g$ , то $\int_Af\le\int_Ag$ .
Интегрируемая функция измерима. Если $f$ измерима, $|f|\le\varphi$ и $\varphi$ интегрируема, то $f$ интегрируема и $\left|\int_Af\right|\le\int_A\varphi$ . В частности, измеримая функция $f$ интегрируема $\iff$ $|f|$ интегрируема.
Если $f = g$ почти всюду и одна из функций интегрируема, то интегрируема и другая, и $\int_Af = \int_Ag$ .

Доказательство

Развернуть

Линейность переносится с простых функций предельным переходом.
Простые функции $f_n$ из теоремы о приближении ограничены, значит интегрируемы, и $f_n\rightrightarrows f$ . Оценка сохраняется в пределе.
Для $f\ge 0$ приближающие функции $f_n(x) = \frac kn$ при $\frac kn\le f < \frac{k+1}n$ неотрицательны. Они интегрируемы, так как отличаются от любых интегрируемых простых $g_m\rightrightarrows f$ на ограниченную простую функцию. Поэтому $\int_Af = \lim\int_Af_n\ge 0$ . Второе утверждение получаем, применив первое к $g - f$ .
Интегрируемая $f$ — равномерный предел измеримых функций. Пусть $f$ измерима, $|f|\le\varphi$ , $\varphi_n$ — интегрируемые простые функции с $\sup_A|\varphi - \varphi_n| < \frac1n$ (выбираются из равномерно сходящейся последовательности). Канонические приближения $f_n$ функции $f$ удовлетворяют $|f_n|\le|f| + \frac1n\le\varphi_n + \frac2n$ , и по лемме об интеграле простых функций $f_n$ интегрируемы. Оценка получается из монотонности. Наконец, если $f_n\rightrightarrows f$ , то $|f_n|\rightrightarrows|f|$ .
Функция $h = f - g$ равна нулю вне множества $N$ меры нуль. Её канонические приближения имеют ненулевые значения лишь на подмножествах $N$ , поэтому их интегралы равны нулю. Значит, $h$ интегрируема и $\int_Ah = 0$ . $\blacksquare$

Сравнение интегралов Лебега и Римана

Формулировка

Если функция $f$ интегрируема по Риману на $[a, b]$ , то она интегрируема по Лебегу, и интегралы совпадают.

Доказательство

Развернуть

Возьмём последовательность измельчающихся разбиений $T_n$ отрезка с диаметром $\to 0$ . Пусть $\varphi_n$ , $\psi_n$ — ступенчатые функции, равные на каждом отрезке разбиения нижней и верхней граням $f$ (в точках разбиения — произвольно; это счётное множество меры нуль). Это простые функции, их интегралы Лебега — суммы Дарбу $s_n$ , $S_n$ , и $s_n, S_n\to I = \int_a^bf\,dx$ .

При измельчении $\varphi_n$ возрастают, $\psi_n$ убывают, $\varphi_n\le f\le\psi_n$ . Пределы $\varphi$ , $\psi$ измеримы и ограничены. По теореме Лебега (ограниченная сходимость) $\int\varphi = \lim s_n = I = \lim S_n = \int\psi$ .

Значит, $\int(\psi - \varphi) = 0$ при $\psi - \varphi\ge 0$ , и по следствию неравенства Чебышёва $\psi = \varphi$ почти всюду. Тогда $f = \varphi$ почти всюду, $f$ измерима (мера полна) и $\int f = \int\varphi = I$ . $\blacksquare$

Плотные множества в Lₚ[a, b]. Lₚ как пополнение Cₚ

Формулировка

В $L_p[a, b]$ , $1\le p < \infty$ , всюду плотны множества ограниченных измеримых функций, простых функций с конечным числом значений, ступенчатых функций и непрерывных функций. Следовательно, $L_p[a, b]$ — пополнение пространства $C_p[a, b]$ , и оно сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Срезки $f_N = f\chi_{\{|f|\le N\}}$ ограничены, $|f - f_N|^p\le|f|^p$ и $f - f_N\to 0$ всюду. По теореме Лебега $\|f - f_N\|_p\to 0$ .
Ограниченная $f$ равномерно приближается простыми функциями $g$ с конечным числом значений, и $\|f - g\|_p\le(b - a)^{1/p}\sup|f - g|$ .
Простая функция — линейная комбинация характеристических функций $\chi_e$ измеримых множеств. По определению измеримости найдётся конечное объединение полуинтервалов $B$ с $\mu(e\mathbin\triangle B) < \varepsilon$ . Тогда $\|\chi_e - \chi_B\|_p = \mu(e\mathbin\triangle B)^{1/p}$ , а $\chi_B$ — ступенчатая функция.
$\chi_{[c, d)}$ приближается непрерывной «трапецией», отличающейся от неё лишь на множестве меры $2\eta$ и не превосходящей $1$ по модулю. Расстояние в $L_p$ не больше $(2\eta)^{1/p}$ .

Итак, $C_p[a, b]$ плотно в полном пространстве $L_p[a, b]$ , и по теореме о пополнении (единственность) $L_p$ — пополнение $C_p$ . Ступенчатые функции с рациональными точками разрыва и значениями образуют счётное всюду плотное множество. $\blacksquare$

Непрерывность меры Лебега

Формулировка

Если $A_1\subset A_2\subset\dots$ измеримы, то $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) = \lim\mu(A_n)$ .
Если $A_1\supset A_2\supset\dots$ измеримы, то $\mu\bigl(\bigcap A_n\bigr) = \lim\mu(A_n)$ .

Доказательство

Развернуть

$\bigcup A_n = A_1\sqcup\bigsqcup_n(A_{n+1}\setminus A_n)$ , и по счётной аддитивности $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) = \mu(A_1) + \sum_n\bigl(\mu(A_{n+1}) - \mu(A_n)\bigr) = \lim\mu(A_n)$ .
Применяем п. 1 к возрастающим множествам $A_1\setminus A_n$ : $\mu\bigl(A_1\setminus\bigcap A_n\bigr) = \lim\bigl(\mu(A_1) - \mu(A_n)\bigr)$ . $\blacksquare$

Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Формулировка

Пусть измеримые функции $f_n$ сходятся к $f$ почти всюду на $A$ , $\mu(A) < \infty$ , и существует интегрируемая функция $\varphi$ с $|f_n|\le\varphi$ при всех $n$ . Тогда $f$ интегрируема и

\lim_{n\to\infty}\int_Af_n\,d\mu = \int_Af\,d\mu.

В частности, это верно для равномерно ограниченных функций, $|f_n|\le M$ .

Доказательство

Развернуть

$f$ измерима как предел почти всюду, и $|f|\le\varphi$ почти всюду, так что $f$ интегрируема.

Пусть $\varepsilon > 0$ . По абсолютной непрерывности найдём $\delta$ с $\int_e\varphi < \frac\varepsilon4$ при $\mu(e) < \delta$ . По теореме Егорова есть $B$ с $\mu(A\setminus B) < \delta$ , на котором $f_n\rightrightarrows f$ . Тогда

\left|\int_Af_n - \int_Af\right|\le\int_B|f_n - f| + \int_{A\setminus B}(|f_n| + |f|)\le\mu(A)\sup_B|f_n - f| + \frac\varepsilon2 < \varepsilon

при больших $n$ . $\blacksquare$

Теорема Лебега о σ-алгебре измеримых множеств

Формулировка

Измеримые по Лебегу множества образуют $\sigma$ -алгебру, и мера Лебега $\mu$ на ней счётно-аддитивна.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A = \bigcup_nA_n$ , $A_n\in\mathfrak M$ . Множества $A_n' = A_n\setminus\bigcup_{k<n}A_k$ измеримы, попарно не пересекаются, и $A = \bigsqcup A_n'$ . По аддитивности

\sum_{n\le N}\mu(A_n') = \mu\Bigl(\bigsqcup_{n\le N}A_n'\Bigr)\le\mu^*(E) < \infty,

поэтому ряд $\sum\mu(A_n')$ сходится. Выберем $N$ с $\sum_{n>N}\mu(A_n') < \frac\varepsilon2$ . Множество $C = \bigsqcup_{n\le N}A_n'$ измеримо: найдётся $B\in R(S)$ с $\mu^*(C\mathbin\triangle B) < \frac\varepsilon2$ . Так как $A\mathbin\triangle B\subset(C\mathbin\triangle B)\cup\bigsqcup_{n>N}A_n'$ , по полуаддитивности $\mu^*(A\mathbin\triangle B) < \varepsilon$ . Значит, $A\in\mathfrak M$ .

Счётная аддитивность: $\mu(A)\le\sum\mu(A_n')$ по полуаддитивности, и $\mu(A)\ge\mu\bigl(\bigsqcup_{n\le N}A_n'\bigr) = \sum_{n\le N}\mu(A_n')$ при любом $N$ . $\blacksquare$

Сходимость в Lₚ и сходимость по мере

Формулировка

Если $f_n\to f$ в $L_p$ , то $f_n\to f$ по мере, и некоторая подпоследовательность сходится к $f$ почти всюду.

Доказательство

Развернуть

По неравенству Чебышёва для $|f_n - f|^p$

\mu\{|f_n - f|\ge\delta\} = \mu\{|f_n - f|^p\ge\delta^p\}\le\frac{\|f_n - f\|_p^p}{\delta^p}\to 0.

Подпоследовательность, сходящаяся почти всюду, существует по теореме Рисса. $\blacksquare$

Существование неизмеримого множества (пример Витали)

Формулировка

На отрезке $[0, 1)$ существует множество, не измеримое по Лебегу.

Доказательство

Развернуть

Назовём точки $x, y\in[0, 1)$ эквивалентными, если $x - y\in\mathbb Q$ . По аксиоме выбора возьмём множество $V$ , содержащее ровно одну точку из каждого класса эквивалентности. Для рациональных $r\in[0, 1)$ рассмотрим сдвиги по модулю $1$ : $V_r = \{x + r - [x + r]:\ x\in V\}$ .

Множества $V_r$ попарно не пересекаются (иначе две разные точки $V$ были бы эквивалентны), и $\bigsqcup_rV_r = [0, 1)$ . Мера Лебега инвариантна относительно сдвига по модулю $1$ : при сдвиге полуинтервал переходит в один или два полуинтервала той же суммарной длины, поэтому внешняя мера и измеримость сохраняются.

Если $V$ измеримо, то $\mu(V_r) = \mu(V)$ и по счётной аддитивности $1 = \sum_r\mu(V)$ . Но этот ряд равен $0$ при $\mu(V) = 0$ и $+\infty$ при $\mu(V) > 0$ . Противоречие. $\blacksquare$

Измеримые функции. Сходимость почти всюду

Равносильные определения измеримости. Примеры

Формулировка

Доказательство

Арифметические операции над измеримыми функциями

Формулировка

Доказательство

Предел последовательности измеримых функций

Формулировка

Доказательство

Приближение измеримой функции простыми

Формулировка

Доказательство

Теорема Егорова

Формулировка

Доказательство

Из сходимости почти всюду следует сходимость по мере

Формулировка

Доказательство

Теорема Рисса о выборе почти всюду сходящейся подпоследовательности

Формулировка

Доказательство

Функция Дирихле

Условие

Решение

Последовательность xⁿ и теорема Егорова

Условие

Решение

Бегущая ступенька

Условие

Решение

Неизмеримая функция с измеримыми множествами уровня

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Измеримая функция

Почти всюду. Эквивалентные функции

Сходимость по мере

Простая функция

Измеримость открытых, замкнутых и борелевских множеств

Формулировка

Доказательство

Множества меры нуль. Полнота меры Лебега

Формулировка

Доказательство

Основные свойства интеграла Лебега

Формулировка

Доказательство

Сравнение интегралов Лебега и Римана

Формулировка

Доказательство

Плотные множества в Lₚ[a, b]. Lₚ как пополнение Cₚ

Формулировка

Доказательство

Непрерывность меры Лебега

Формулировка

Доказательство

Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Формулировка

Доказательство

Теорема Лебега о σ-алгебре измеримых множеств

Формулировка

Доказательство

Сходимость в Lₚ и сходимость по мере

Формулировка

Доказательство

Существование неизмеримого множества (пример Витали)

Формулировка

Доказательство