Линейные функционалы. Теорема Хана–Банаха

Прогресс изучения0 из 9

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы9

Ограниченность и непрерывность линейного функционала
Функционалы на конечномерном пространстве
Ядро линейного функционала
Теорема Хана–Банаха (аналитическая форма)
Продолжение ограниченного функционала с сохранением нормы
Следствия теоремы Хана–Банаха
Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве
Общий вид непрерывного функционала в lₚ
Общий вид функционалов в Lₚ[a, b] и C[a, b]

теорема

Ограниченность и непрерывность линейного функционала

Формулировка

Для линейного функционала $f$ на нормированном пространстве равносильны условия:

$f$ непрерывен в нуле;
$f$ непрерывен на $E$ ;
$f$ ограничен.

При этом $|f(x)|\le\|f\|\,\|x\|$ и $\|f\| = \sup_{\|x\| = 1}|f(x)|$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 3$ . Если $f$ неограничен, найдутся $x_n$ с $|f(x_n)| > n\|x_n\|$ . Тогда $y_n = \dfrac{x_n}{n\|x_n\|}\to 0$ , но $|f(y_n)| > 1$ — противоречие с непрерывностью в нуле.

$3\Rightarrow 2$ . $|f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)|\le C\|x_n - x\|$ .

$2\Rightarrow 1$ очевидно. Неравенство $|f(x)|\le\|f\|\|x\|$ и формула для нормы следуют из однородности: $f(x) = \|x\|f(x/\|x\|)$ . $\blacksquare$

следствие

Функционалы на конечномерном пространстве

Формулировка

Любой линейный функционал на конечномерном нормированном пространстве ограничен.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1, \dots, e_n$ — базис, $x = \sum x_ke_k$ . Тогда $|f(x)| = \left|\sum x_kf(e_k)\right|\le\max_k|f(e_k)|\sum|x_k|$ . Функция $\sum|x_k|$ — норма на $E$ , а в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, так что $\sum|x_k|\le c\|x\|$ . $\blacksquare$

теорема

Ядро линейного функционала

Формулировка

Линейный функционал $f\ne 0$ ограничен тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто. При этом для любого $x_0$ с $f(x_0) = 1$

E = \operatorname{Ker}f\oplus\operatorname{span}\{x_0\},\qquad\|f\| = \frac1{\rho(x_0, \operatorname{Ker}f)}.

Доказательство

Развернуть

Если $f$ ограничен, то $\operatorname{Ker}f = f^{-1}(0)$ замкнуто как прообраз замкнутого множества.

Разложение: $x = (x - f(x)x_0) + f(x)x_0$ , где первое слагаемое лежит в ядре; единственность очевидна.

Пусть ядро замкнуто и $f(x_0) = 1$ (тогда $x_0\notin\operatorname{Ker}f$ ), $d = \rho(x_0, \operatorname{Ker}f) > 0$ . Для $x$ с $f(x)\ne 0$ элемент $x_0 - x/f(x)$ лежит в ядре, поэтому $\|x/f(x)\|\ge d$ , то есть $|f(x)|\le\|x\|/d$ . Значит, $\|f\|\le 1/d$ .

Обратно, для $y\in\operatorname{Ker}f$ имеем $1 = f(x_0 - y)\le\|f\|\|x_0 - y\|$ ; нижняя грань по $y$ даёт $1\le\|f\|d$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Хана–Банаха (аналитическая форма)

Формулировка

Пусть $E$ — вещественное линейное пространство, $p$ — сублинейный функционал на $E$ , $L\subset E$ — линейное многообразие и $f$ — линейный функционал на $L$ с $f(x)\le p(x)$ при $x\in L$ . Тогда существует линейный функционал $F$ на $E$ такой, что

F(x) = f(x)\ \ (x\in L),\qquad F(x)\le p(x)\ \ (x\in E).

Доказательство

Развернуть

Шаг 1: продолжение на одно измерение. Пусть $z\notin L$ , $L_1 = L + \operatorname{span}\{z\}$ . Ищем $F(x + tz) = f(x) + tc$ . Условие $F\le p$ при $t > 0$ (после деления на $t$ ) и при $t < 0$ равносильно

\sup_{y\in L}\bigl(f(y) - p(y - z)\bigr)\le c\le\inf_{x\in L}\bigl(p(x + z) - f(x)\bigr).

Такое $c$ существует, так как для любых $x, y\in L$

f(x) + f(y) = f(x + y)\le p(x + y)\le p(x + z) + p(y - z).

Шаг 2: общий случай. Рассмотрим множество всех продолжений $(L', f')$ , $f'\le p$ , упорядоченное по включению. Любая цепь имеет верхнюю грань — объединение. По лемме Цорна существует максимальное продолжение. Оно определено на всём $E$ : иначе по шагу 1 его можно было бы продолжить ещё.

(Для сепарабельного нормированного пространства и $p = C\|x\|$ можно обойтись без леммы Цорна: продолжаем по шагу 1 последовательно на $L + \operatorname{span}\{z_1, \dots, z_n\}$ , где $\{z_k\}$ всюду плотно, а затем по непрерывности на замыкание.) $\blacksquare$

теорема

Продолжение ограниченного функционала с сохранением нормы

Формулировка

Пусть $L$ — линейное многообразие нормированного пространства $E$ , $f$ — ограниченный линейный функционал на $L$ . Тогда существует ограниченный линейный функционал $F$ на $E$ , продолжающий $f$ , с той же нормой: $\|F\|_E = \|f\|_L$ .

Доказательство

Развернуть

Вещественный случай: $p(x) = \|f\|_L\|x\|$ — сублинейный функционал, $f\le p$ на $L$ . По теореме Хана–Банаха есть продолжение $F\le p$ . Применяя это к $-x$ , получаем $|F(x)|\le\|f\|\|x\|$ , то есть $\|F\|\le\|f\|$ . Обратное неравенство очевидно.

Комплексный случай: $u = \operatorname{Re}f$ — вещественный функционал с $f(x) = u(x) - iu(ix)$ . Продолжаем $u$ до $U$ с той же нормой и полагаем $F(x) = U(x) - iU(ix)$ . Проверяется, что $F$ комплексно линеен и $\|F\| = \|f\|$ : если $F(x) = |F(x)|e^{i\theta}$ , то $|F(x)| = F(e^{-i\theta}x) = U(e^{-i\theta}x)\le\|f\|\|x\|$ . $\blacksquare$

следствие

Следствия теоремы Хана–Банаха

Формулировка

Пусть $E$ — нормированное пространство.

Для любого $x_0\ne 0$ существует ограниченный функционал $F$ с $\|F\| = 1$ и $F(x_0) = \|x_0\|$ .
Ограниченные функционалы разделяют точки: если $x\ne y$ , то $F(x)\ne F(y)$ для некоторого $F$ .
$\|x\| = \max_{\|F\|\le 1}|F(x)|$ .
Если $L$ — линейное многообразие и $d = \rho(x_0, L) > 0$ , то существует $F$ с $F|_L = 0$ , $F(x_0) = 1$ , $\|F\| = 1/d$ .
$x_0\in[L]$ тогда и только тогда, когда каждый ограниченный функционал, обращающийся в нуль на $L$ , обращается в нуль и в $x_0$ .

Доказательство

Развернуть

На $\operatorname{span}\{x_0\}$ положим $f(tx_0) = t\|x_0\|$ ; $\|f\| = 1$ . Продолжаем с сохранением нормы.
Применяем п. 1 к $x - y$ . 3. $|F(x)|\le\|x\|$ при $\|F\|\le 1$ , и равенство достигается в п. 1.
На $L + \operatorname{span}\{x_0\}$ положим $f(y + tx_0) = t$ . Так как $|t|d\le\|tx_0 + y\|$ , имеем $\|f\|\le 1/d$ . Взяв $y_n\in L$ с $\|x_0 - y_n\|\to d$ , получаем $1 = f(x_0 - y_n)\le\|f\|\|x_0 - y_n\|$ , то есть $\|f\| = 1/d$ . Продолжаем с сохранением нормы.
Необходимость — по непрерывности. Достаточность: если $x_0\notin[L]$ , то $\rho(x_0, L) > 0$ , и функционал из п. 4 нулевой на $L$ , но не в $x_0$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве

Формулировка

Для любого ограниченного линейного функционала $f$ на гильбертовом пространстве $H$ существует единственный элемент $y\in H$ такой, что

f(x) = (x, y)\quad\text{для всех } x\in H,\qquad\|f\| = \|y\|.

Доказательство

Развернуть

При $f = 0$ берём $y = 0$ . Иначе $N = \operatorname{Ker}f$ — замкнутое подпространство, $N\ne H$ , и $H = N\oplus N^\perp$ . Возьмём $z\in N^\perp$ , $z\ne 0$ . Для любого $x$ элемент $f(x)z - f(z)x$ лежит в $N$ , поэтому ортогонален $z$ :

f(x)\|z\|^2 - f(z)(x, z) = 0\quad\Longrightarrow\quad f(x) = \left(x, \frac{\overline{f(z)}}{\|z\|^2}z\right) =: (x, y).

По неравенству Коши–Буняковского $|f(x)|\le\|x\|\|y\|$ , а $f(y) = \|y\|^2$ , так что $\|f\| = \|y\|$ . Если $(x, y) = (x, y')$ при всех $x$ , то при $x = y - y'$ получаем $y = y'$ . $\blacksquare$

теорема

Общий вид непрерывного функционала в lₚ

Формулировка

Пусть $1\le p < \infty$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ ( $q = \infty$ при $p = 1$ ). Каждый ограниченный линейный функционал на $l_p$ имеет вид

f(x) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k,\qquad y = (y_k)\in l_q,\qquad\|f\| = \|y\|_q,

и, обратно, каждый $y\in l_q$ задаёт такой функционал.

Доказательство

Развернуть

Положим $y_k = f(e_k)$ . Так как $x = \sum x_ke_k$ в $l_p$ , по непрерывности $f(x) = \sum x_ky_k$ .

$1 < p < \infty$ . Возьмём $x^{(n)}$ с координатами $|y_k|^{q-1}\operatorname{sign}y_k$ при $k\le n$ и $0$ при $k > n$ (в комплексном случае вместо $\operatorname{sign}y_k$ берём $\overline{\operatorname{sign}y_k}$ , где $\operatorname{sign}z = z/|z|$ ). Тогда $f(x^{(n)}) = \sum_{k\le n}|y_k|^q$ , а $\|x^{(n)}\|_p = \left(\sum_{k\le n}|y_k|^q\right)^{1/p}$ , так как $(q - 1)p = q$ . Из $f(x^{(n)})\le\|f\|\|x^{(n)}\|_p$ получаем $\left(\sum_{k\le n}|y_k|^q\right)^{1/q}\le\|f\|$ , то есть $y\in l_q$ и $\|y\|_q\le\|f\|$ .

$p = 1$ : $|y_k| = |f(e_k)|\le\|f\|$ , то есть $\|y\|_\infty\le\|f\|$ .

Обратно, по неравенству Гёльдера $|f(x)|\le\|x\|_p\|y\|_q$ , так что $\|f\|\le\|y\|_q$ . $\blacksquare$

теорема

Общий вид функционалов в Lₚ[a, b] и C[a, b]

Формулировка

При $1\le p < \infty$ каждый ограниченный линейный функционал на $L_p[a, b]$ имеет вид

f(x) = \int_a^bx(t)y(t)\,dt,\qquad y\in L_q[a, b],\qquad\|f\| = \|y\|_q.

(Теорема Рисса.) Каждый ограниченный линейный функционал на $C[a, b]$ имеет вид интеграла Стилтьеса

f(x) = \int_a^bx(t)\,dg(t),

где $g$ — функция ограниченной вариации, и $\|f\| = \operatorname{V}_a^b(g)$ (при нормировке $g(a) = 0$ и непрерывности $g$ слева внутри интервала).

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится без полного доказательства. Достаточность в п. 1 следует из неравенства Гёльдера: $|f(x)|\le\|x\|_p\|y\|_q$ . При $p = 2$ утверждение п. 1 — частный случай теоремы Рисса в гильбертовом пространстве $L_2$ . В общем случае $y$ строится как производная функции множеств $e\mapsto f(\chi_e)$ (теорема Радона–Никодима). П. 2 доказывается продолжением $f$ по теореме Хана–Банаха на ограниченные функции и применением его к ступенькам $\chi_{[a,t]}$ , что даёт $g(t)$ . $\blacksquare$

Норма функционала x(0) − 2x(1)

Условие

Найти норму функционала $f(x) = x(0) - 2x(1)$ на $C[0, 1]$ .

Решение

Развернуть

$|f(x)|\le|x(0)| + 2|x(1)|\le 3\|x\|$ , так что $\|f\|\le 3$ . Для $x(t) = 1 - 2t$ : $\|x\| = 1$ , $f(x) = 1 - 2\cdot(-1) = 3$ . Значит, $\|f\| = 3$ .

Один функционал в разных пространствах

Условие

Найти норму функционала $f(x) = \int_0^1tx(t)\,dt$ в пространствах $C[0, 1]$ , $L_2[0, 1]$ , $L_1[0, 1]$ .

Решение

Развернуть

$C[0, 1]$ : $|f(x)|\le\|x\|\int_0^1t\,dt = \frac12\|x\|$ , и при $x\equiv 1$ получаем $\frac12$ . $\|f\| = \frac12$ .

$L_2[0, 1]$ : по теореме Рисса $f(x) = (x, y)$ с $y = t$ , и $\|f\| = \|t\|_2 = \frac1{\sqrt3}$ .

$L_1[0, 1]$ : $y = t\in L_\infty$ , $\|f\| = \operatorname{ess\,sup}|t| = 1$ . Норма не достигается, но приближается функциями $x_n = n\chi_{[1 - 1/n, 1]}$ : $f(x_n) = 1 - \frac1{2n}$ при $\|x_n\|_1 = 1$ .

Норма, которая не достигается

Условие

Найти норму функционала $f(x) = \int_{-1}^0x(t)\,dt - \int_0^1x(t)\,dt$ на $C[-1, 1]$ и доказать, что она не достигается.

Решение

Развернуть

$|f(x)|\le 2\|x\|$ . Возьмём $x_n$ , равную $1$ на $[-1, -\frac1n]$ , $-1$ на $[\frac1n, 1]$ и линейную между. Тогда $\|x_n\| = 1$ , $f(x_n) = 2 - \frac1n$ . Значит, $\|f\| = 2$ .

Если $\|x\|\le 1$ и $f(x) = 2$ , то $\int_{-1}^0(1 - x) + \int_0^1(1 + x) = 0$ при неотрицательных подынтегральных функциях. Отсюда $x = 1$ на $[-1, 0]$ и $x = -1$ на $[0, 1]$ , что противоречит непрерывности в нуле.

Неограниченный функционал x'(0)

Условие

Доказать, что функционал $f(x) = x'(0)$ на многообразии $C^1[0, 1]\subset C[0, 1]$ (с нормой $\max|x|$ ) неограничен, а на пространстве $C^1[0, 1]$ с нормой $\max|x| + \max|x'|$ ограничен.

Решение

Развернуть

$x_n(t) = \sin nt$ : $\max|x_n|\le 1$ , $f(x_n) = n\to\infty$ .

С нормой $\|x\|_1 = \max|x| + \max|x'|$ : $|x'(0)|\le\|x\|_1$ , так что $\|f\|\le 1$ . При $x = t$ : $\|x\|_1 = 2$ , $f(x) = 1$ ; при $x = \frac{\sin nt}{n}$ : $\|x\|_1 = \frac1n + 1$ , $f(x) = 1$ , откуда $\|f\| = 1$ .

Функционал Σxₖ/k в l₁ и l₂

Условие

Найти норму функционала $f(x) = \sum_{k=1}^\infty\dfrac{x_k}k$ в $l_1$ и в $l_2$ .

Решение

Развернуть

По теореме об общем виде функционала $y = (1/k)$ .

$l_1$ : $\|f\| = \|y\|_\infty = 1$ , достигается на $e_1$ .

$l_2$ : $\|f\| = \|y\|_2 = \left(\sum\frac1{k^2}\right)^{1/2} = \frac\pi{\sqrt6}$ , достигается на $x = y/\|y\|_2$ .

Единственность продолжения по Хану–Банаху

Условие

На прямой $L = \{(t, 0)\}\subset\mathbb R^2$ задан функционал $f(t, 0) = t$ . Найти все его продолжения с сохранением нормы в $\mathbb R^2_1$ (норма $|x| + |y|$ ) и в $\mathbb R^2_2$ (евклидова норма).

Решение

Развернуть

$\|f\|_L = 1$ в обоих случаях. Продолжения: $F(x, y) = x + cy$ .

$\mathbb R^2_1$ : $|x + cy|\le\max(1, |c|)(|x| + |y|)$ с равенством на $(1, 0)$ или $(0, 1)$ , так что $\|F\| = \max(1, |c|)$ . Норма сохраняется при всех $|c|\le 1$ — продолжений бесконечно много.

$\mathbb R^2_2$ : $\|F\| = \sqrt{1 + c^2}$ , и норма сохраняется только при $c = 0$ . Продолжение единственно; так и должно быть в гильбертовом пространстве — продолжение даёт теорема Рисса, $F(x) = (x, y_0)$ с $y_0\in L$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Линейный функционал. Ограниченность и норма

Пусть $E$ — нормированное пространство (вещественное или комплексное). Линейным функционалом называется отображение $f\colon E\to\mathbb R$ (или $\mathbb C$ ) такое, что

f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y).

Функционал ограничен, если существует $C$ с $|f(x)|\le C\|x\|$ для всех $x$ , и непрерывен, если из $x_n\to x$ следует $f(x_n)\to f(x)$ . Нормой ограниченного функционала называется

\|f\| = \sup_{\|x\|\le 1}|f(x)| = \sup_{x\ne 0}\frac{|f(x)|}{\|x\|},

то есть наименьшая из постоянных $C$ . Ядро функционала: $\operatorname{Ker}f = \{x:\ f(x) = 0\}$ .

Сублинейный функционал

Функция $p\colon E\to\mathbb R$ на вещественном линейном пространстве называется сублинейным функционалом, если

p(x + y)\le p(x) + p(y),\qquad p(\lambda x) = \lambda p(x)\quad(\lambda\ge 0).

Примеры: норма $\|x\|$ ; функция $C\|x\|$ ; на $\mathbb R^n$ функция $\max_kx_k$ .

Линейное пространство. Размерность

Линейным пространством над $\mathbb R$ называется множество $E$ с операциями сложения и умножения на число, удовлетворяющими аксиомам: коммутативность и ассоциативность сложения, существование нуля и противоположного элемента, $1\cdot x = x$ , $\lambda(\mu x) = (\lambda\mu)x$ и две дистрибутивности.

$E$ имеет размерность $n$ , если в нём есть $n$ линейно независимых элементов, а любые $n+1$ элементов линейно зависимы. $E$ бесконечномерно, если для любого $n$ в нём есть $n$ линейно независимых элементов. Например, $C[a,b]$ бесконечномерно: функции $1, t, t^2,\dots$ линейно независимы.

Подпространство нормированного пространства

Подпространством нормированного пространства называется замкнутое линейное многообразие.

Линейное многообразие. Линейная оболочка. Прямая сумма

Линейное многообразие $L\subset E$ — непустое подмножество, замкнутое относительно сложения и умножения на число.
Линейная оболочка $\operatorname{span}M$ — множество всех конечных линейных комбинаций элементов $M$ ; это наименьшее линейное многообразие, содержащее $M$ .
$E$ — прямая сумма линейных многообразий $L_1$ и $L_2$ ( $E = L_1\oplus L_2$ ), если любой $x\in E$ единственным образом представляется в виде $x = x_1 + x_2$ , $x_i\in L_i$ . Это равносильно условиям $E = L_1 + L_2$ и $L_1\cap L_2 = \{0\}$ .

Нормированное пространство

Нормой в линейном пространстве $E$ называется функция $\|\cdot\|\colon E\to\mathbb R$ такая, что для всех $x,y\in E$ , $\lambda\in\mathbb R$ :

$\|x\|\ge0$ , причём $\|x\| = 0\iff x = 0$ ;
$\|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|$ ;
$\|x + y\|\le\|x\| + \|y\|$ .

Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством (НП). Оно является метрическим пространством с метрикой $\rho(x,y) = \|x - y\|$ ; сходимость в этой метрике называют сходимостью по норме.

Гильбертово пространство

Гильбертовым пространством (ГП) называется полное евклидово пространство.

Примеры:

$\mathbb R^n$ с $(x,y) = \sum x_ky_k$ ;
$l_2$ с $(x,y) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k$ (ряд сходится по неравенству Коши–Буняковского);
$C_2[a,b]$ с $(x,y) = \int_a^bx(t)y(t)\,dt$ — евклидово, но не полное;
его пополнение $L_2[a,b]$ (функции с интегрируемым по Лебегу квадратом) — гильбертово.

Ортогональность. Ортогональное дополнение

Элементы $x$ и $y$ евклидова пространства ортогональны ( $x\perp y$ ), если $(x,y) = 0$ . Элемент $x$ ортогонален множеству $M$ ( $x\perp M$ ), если $x\perp y$ для всех $y\in M$ .

Ортогональное дополнение множества $M$ : $M^\perp = \{x: x\perp M\}$ .

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

$l_p$ , $1\le p<\infty$ , — множество числовых последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ с $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < \infty$ и метрикой

\rho(x,y) = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^p\right)^{1/p}.

$l_\infty$ (обозначается также $m$ ) — множество ограниченных последовательностей с метрикой $\rho(x,y) = \sup_k |x_k - y_k|$ .
$c_0$ — множество последовательностей, сходящихся к нулю, с той же метрикой, что в $l_\infty$ .

Пространства L₁, L₂, Lₚ

Пусть $\mu(X) < \infty$ (например, $X = [a, b]$ с мерой Лебега), $1\le p < \infty$ . Пространство $L_p(X)$ состоит из измеримых функций, для которых $|f|^p$ интегрируема; эквивалентные функции считаются одним элементом. Норма:

\|f\|_p = \left(\int_X|f|^p\,d\mu\right)^{1/p}.

В $L_2(X)$ вводится скалярное произведение

(f, g) = \int_Xf\,g\,d\mu

(в комплексном случае $\int f\bar g\,d\mu$ ).

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

$C[a,b]$ — множество функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$ , с равномерной (чебышёвской) метрикой

\rho(x, y) = \max_{t\in[a,b]}|x(t) - y(t)|.

$C_p[a,b]$ , $p\ge 1$ , — то же множество функций с интегральной метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\int_a^b |x(t) - y(t)|^p\,dt\right)^{1/p}.

Основные свойства нормы

Формулировка

$\rho(x,y) = \|x - y\|$ — метрика, причём $\rho(x + z, y + z) = \rho(x,y)$ и $\rho(\lambda x,\lambda y) = |\lambda|\rho(x,y)$ .
$\big|\|x\| - \|y\|\big|\le\|x - y\|$ ; в частности, норма непрерывна.
Линейные операции непрерывны: если $x_n\to x$ , $y_n\to y$ , $\lambda_n\to\lambda$ , то $x_n + y_n\to x + y$ и $\lambda_nx_n\to\lambda x$ .

Доказательство

Развернуть

Аксиомы метрики следуют из аксиом нормы ( $\|y - x\| = |-1|\cdot\|x - y\|$ ). Остальное очевидно.
$\|x\|\le\|x - y\| + \|y\|$ ; затем меняем $x$ и $y$ местами.
$\|(x_n + y_n) - (x + y)\|\le\|x_n - x\| + \|y_n - y\|$ и

\|\lambda_nx_n - \lambda x\|\le|\lambda_n|\,\|x_n - x\| + |\lambda_n - \lambda|\,\|x\|\to0.

$\blacksquare$

Непрерывность и ограниченность линейного оператора

Формулировка

Линейный оператор $A\colon E\to F$ непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен (и тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле). При этом $\|Ax\|\le\|A\|\|x\|$ .

Доказательство

Развернуть

Дословно повторяет доказательство для функционалов с заменой $|f(x)|$ на $\|Ax\|$ : если $\|Ax_n\| > n\|x_n\|$ , то $y_n = x_n/(n\|x_n\|)\to 0$ , но $\|Ay_n\| > 1$ ; обратно, $\|Ax_n - Ax\|\le C\|x_n - x\|$ . $\blacksquare$

Полнота сопряжённого пространства

Формулировка

Для любого нормированного пространства $E$ (не обязательно полного) сопряжённое пространство $E^*$ банахово.

Доказательство

Развернуть

Пусть $f_n$ фундаментальна в $E^*$ : $\|f_n - f_m\| < \varepsilon$ при $n, m\ge N$ . Тогда при каждом $x$ числа $f_n(x)$ образуют фундаментальную последовательность, и существует $f(x) = \lim f_n(x)$ ; $f$ линеен.

Эквивалентность норм в конечномерном пространстве

Формулировка

В конечномерном линейном пространстве любые две нормы эквивалентны.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_n$ — базис, $x = \sum\xi_ie_i$ , $|\xi|_2 = \left(\sum\xi_i^2\right)^{1/2}$ . Достаточно показать, что любая норма $\|\cdot\|$ эквивалентна $|\xi|_2$ .

Оценка сверху. По неравенству Коши–Буняковского

\|x\|\le\sum|\xi_i|\,\|e_i\|\le\beta|\xi|_2,\qquad\beta = \left(\sum\|e_i\|^2\right)^{1/2}.

Оценка снизу. Единичная сфера $S = \{|\xi|_2 = 1\}$ замкнута и ограничена, а значит, компактна. По теореме Вейерштрасса $\varphi$ достигает на ней минимума $\alpha$ . При этом $\alpha > 0$ , так как $\sum\xi_ie_i\ne0$ при $\xi\ne0$ . По однородности $\alpha|\xi|_2\le\|x\|\le\beta|\xi|_2$ для всех $x$ . $\blacksquare$

Свойства слабой сходимости

Формулировка

Слабый предел единствен.
Из сильной сходимости следует слабая.
Если $x_n\rightharpoonup x$ , то $\|x\|\le\varliminf\|x_n\|$ .
В конечномерном пространстве слабая и сильная сходимости совпадают.

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\rightharpoonup x$ и $x_n\rightharpoonup y$ , то $f(x) = f(y)$ для всех $f$ , и $x = y$ , так как функционалы разделяют точки.
$|f(x_n) - f(x)|\le\|f\|\|x_n - x\|$ .
Возьмём $f$ с $\|f\| = 1$ , $f(x) = \|x\|$ . Тогда $\|x\| = \lim f(x_n)\le\varliminf\|x_n\|$ .
Координатные функционалы в базисе ограничены, и из слабой сходимости следует сходимость координат, то есть сходимость в норме $\sum|x_k|$ , эквивалентной данной. $\blacksquare$

Спектр оператора в конечномерном пространстве

Формулировка

В конечномерном пространстве спектр оператора состоит только из собственных значений — корней характеристического многочлена.

Доказательство

Развернуть

Если $\lambda$ не собственное значение, то $A - \lambda I$ инъективен, а по теореме о ранге и дефекте и сюръективен. Обратный оператор линеен и, как любой линейный оператор в конечномерном пространстве, ограничен (это следует из ограниченности координатных функционалов). Значит, $\lambda\in\rho(A)$ . Собственные значения — корни характеристического многочлена. $\blacksquare$

Эквивалентные определения непрерывности

Формулировка

Отображение $f\colon X\to Y$ непрерывно в точке $x_0$ (по Коши) тогда и только тогда, когда для любой последовательности $x_n\to x_0$ выполнено $f(x_n)\to f(x_0)$ (по Гейне).
$f$ непрерывно на $X$ $\iff$ прообраз любого открытого множества открыт $\iff$ прообраз любого замкнутого множества замкнут.

Доказательство

Развернуть

$\Rightarrow$ : по $\varepsilon$ найдём $\delta$ ; при больших $n$ имеем $\rho(x_n, x_0) < \delta$ , значит, $\rho(f(x_n), f(x_0)) < \varepsilon$ . $\Leftarrow$ : если $f$ не непрерывна, найдётся $\varepsilon > 0$ такое, что для каждого $n$ есть $x_n$ с $\rho(x_n,x_0) < \frac1n$ и $\rho(f(x_n), f(x_0))\ge\varepsilon$ . Тогда $x_n\to x_0$ , но $f(x_n)\not\to f(x_0)$ .
Пусть $f$ непрерывно, $G$ открыто, $x\in f^{-1}(G)$ . Тогда $B(f(x),\varepsilon)\subset G$ при некотором $\varepsilon$ , и по непрерывности $f(B(x,\delta))\subset B(f(x),\varepsilon)$ , то есть $B(x,\delta)\subset f^{-1}(G)$ .

Обратно, шар $B(f(x_0),\varepsilon)$ открыт, поэтому его прообраз открыт и содержит $x_0$ вместе с некоторым шаром $B(x_0,\delta)$ . Это и есть непрерывность в $x_0$ .

Утверждение для замкнутых множеств следует из равенства $f^{-1}(Y\setminus F) = X\setminus f^{-1}(F)$ и двойственности открытых и замкнутых множеств. $\blacksquare$

Свойства сопряжённого оператора в нормированном пространстве

Формулировка

$A^*$ — ограниченный линейный оператор и $\|A^*\| = \|A\|$ . Кроме того, $(A + B)^* = A^* + B^*$ , $(\lambda A)^* = \lambda A^*$ , $(AB)^* = B^*A^*$ .

Доказательство

Развернуть

$|(A^*g)(x)| = |g(Ax)|\le\|g\|\|A\|\|x\|$ , поэтому $A^*g\in E^*$ и $\|A^*\|\le\|A\|$ .

Обратно, для $x$ с $Ax\ne 0$ по следствию теоремы Хана–Банаха найдётся $g$ с $\|g\| = 1$ , $g(Ax) = \|Ax\|$ . Тогда $\|Ax\| = (A^*g)(x)\le\|A^*\|\|x\|$ , и $\|A\|\le\|A^*\|$ .

Алгебраические свойства проверяются подстановкой: например, $((AB)^*g)(x) = g(ABx) = (A^*g)(Bx) = (B^*A^*g)(x)$ . $\blacksquare$

Каноническое вложение во второе сопряжённое

Формулировка

Каноническое отображение $\pi\colon E\to E^{**}$ линейно и изометрично: $\|\pi x\| = \|x\|$ .

Доказательство

Развернуть

Линейность $\pi x$ по $f$ и линейность $\pi$ по $x$ очевидны. $|(\pi x)(f)| = |f(x)|\le\|f\|\|x\|$ , то есть $\|\pi x\|\le\|x\|$ . По следствию теоремы Хана–Банаха $\|x\| = \max_{\|f\|\le 1}|f(x)| = \|\pi x\|$ . $\blacksquare$

Разложение гильбертова пространства в прямую сумму

Формулировка

Если $L$ — подпространство гильбертова пространства $H$ , то

H = L\oplus L^\perp,\qquad (L^\perp)^\perp = L.

Доказательство

Развернуть

Для $x\in H$ имеем $x = P_Lx + (x - P_Lx)$ , где $x - P_Lx\in L^\perp$ по свойству ортогональной проекции. Разложение единственно, так как $L\cap L^\perp = \{0\}$ .

Включение $L\subset(L^\perp)^\perp$ очевидно. Пусть $x\in(L^\perp)^\perp$ и $x = y + z$ , $y\in L$ , $z\in L^\perp$ . Тогда $0 = (x,z) = (y,z) + (z,z) = \|z\|^2$ , то есть $x = y\in L$ . $\blacksquare$

Неравенство Коши–Буняковского в евклидовом пространстве

Формулировка

В евклидовом пространстве $|(x,y)|\le\|x\|\,\|y\|$ , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ линейно зависимы. Функция $\|x\| = \sqrt{(x,x)}$ — норма.

Доказательство

Развернуть

При $y = 0$ всё очевидно. Пусть $y\ne0$ . Для всех $t\in\mathbb R$

0\le(x + ty, x + ty) = \|x\|^2 + 2t(x,y) + t^2\|y\|^2.

Квадратный трёхчлен неотрицателен, значит, его дискриминант $4(x,y)^2 - 4\|x\|^2\|y\|^2\le0$ . Равенство означает наличие корня $t$ , то есть $x + ty = 0$ .

Аксиомы нормы 1–2 очевидны. Неравенство треугольника:

\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2(x,y) + \|y\|^2\le(\|x\| + \|y\|)^2.

$\blacksquare$

Существование и свойства сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Для любого $A\in\mathcal L(H)$ сопряжённый оператор существует, единствен, и

\|A^*\| = \|A\|,\quad A^{**} = A,\quad(AB)^* = B^*A^*,\quad(\lambda A)^* = \bar\lambda A^*,\quad\|A^*A\| = \|A\|^2.

Доказательство

Развернуть

При фиксированном $y$ функционал $x\mapsto(Ax, y)$ ограничен: $|(Ax, y)|\le\|A\|\|x\|\|y\|$ . По теореме Рисса $(Ax, y) = (x, z)$ для единственного $z =: A^*y$ . Линейность $A^*$ следует из единственности.

$\|A^*y\|^2 = (AA^*y, y)\le\|A\|\|A^*y\|\|y\|$ , откуда $\|A^*\|\le\|A\|$ . Из $(A^*y, x) = (y, Ax)$ следует $A^{**} = A$ , и тогда $\|A\|\le\|A^*\|$ .

$\|A^*A\|\le\|A\|^2$ , а $\|Ax\|^2 = (A^*Ax, x)\le\|A^*A\|\|x\|^2$ . Остальные свойства проверяются подстановкой. $\blacksquare$

Сопряжённые к основным пространствам

Формулировка

При $1\le p < \infty$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ :

l_p^*\cong l_q,\qquad L_p[a, b]^*\cong L_q[a, b],

а для гильбертова пространства $H^*\cong H$ (в комплексном случае соответствие $y\mapsto(\cdot, y)$ сопряжённо-линейно). Кроме того, $c_0^*\cong l_1$ , а $C[a, b]^*$ изометрически изоморфно пространству нормированных функций ограниченной вариации ( $g(a) = 0$ , $g$ непрерывна слева в $(a, b)$ ) с нормой $\operatorname{V}_a^b(g)$ .

Доказательство

Развернуть

Отображение $y\mapsto f_y$ , $f_y(x) = \sum x_ky_k$ (соответственно $\int xy$ или $(x, y)$ ), линейно (в комплексном гильбертовом случае — сопряжённо-линейно) и сохраняет норму, а по теоремам об общем виде функционалов оно сюръективно. Описание $c_0^*$ разобрано в задаче, $C[a, b]^*$ — по теореме Рисса. $\blacksquare$

Слабая сходимость в гильбертовом пространстве

Формулировка

В гильбертовом пространстве:

$x_n\rightharpoonup x\iff(x_n, y)\to(x, y)$ для всех $y\in H$ ;
любая ортонормированная система $e_n$ слабо сходится к нулю, но не сходится сильно;
если $x_n\rightharpoonup x$ и $\|x_n\|\to\|x\|$ , то $x_n\to x$ сильно.

Доказательство

Развернуть

По теореме Рисса все функционалы имеют вид $(\cdot, y)$ .
По неравенству Бесселя $\sum_n|(y, e_n)|^2\le\|y\|^2$ , так что $(e_n, y)\to 0$ . Но $\|e_n - e_m\| = \sqrt2$ .
$\|x_n - x\|^2 = \|x_n\|^2 - 2\operatorname{Re}(x_n, x) + \|x\|^2\to\|x\|^2 - 2\|x\|^2 + \|x\|^2 = 0$ . $\blacksquare$

Неравенство Гёльдера

Формулировка

Пусть $p > 1$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ . Тогда

\sum_{k=1}^n |x_ky_k| \le \left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}.

То же верно для рядов (если правая часть конечна, ряд слева сходится) и для интегралов от непрерывных функций:

\int_a^b|x(t)y(t)|\,dt \le \left(\int_a^b|x|^p\,dt\right)^{1/p}\left(\int_a^b|y|^q\,dt\right)^{1/q}.

При $p = q = 2$ это неравенство Коши–Буняковского.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A = \left(\sum|x_k|^p\right)^{1/p}$ , $B = \left(\sum|y_k|^q\right)^{1/q}$ . Если $A = 0$ или $B = 0$ , то все $x_k$ или все $y_k$ равны нулю, и неравенство очевидно. Иначе применим неравенство Юнга к $a = |x_k|/A$ , $b = |y_k|/B$ и просуммируем:

\frac{1}{AB}\sum|x_ky_k| \le \frac{1}{pA^p}\sum|x_k|^p + \frac{1}{qB^q}\sum|y_k|^q = \frac1p + \frac1q = 1.

Для рядов: частичные суммы ряда слева ограничены правой частью, значит, ряд с неотрицательными членами сходится, и неравенство сохраняется в пределе. Для интегралов рассуждение то же, с заменой сумм интегралами. $\blacksquare$

Счётные базисы в пространствах последовательностей

Формулировка

Последовательность $e_k = (0,\dots,0,1,0,\dots)$ — счётный базис в $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и в $c_0$ , причём $x = \sum x_ke_k$ . В $l_\infty$ счётного базиса нет.

Доказательство

Развернуть

Для $x\in l_p$

\left\|x - \sum_{k\le n}x_ke_k\right\|^p = \sum_{k>n}|x_k|^p\to0,

то есть разложение существует. Единственность: если $x = \sum c_ke_k$ , то, переходя к покоординатной сходимости, получаем $c_k = x_k$ . Для $c_0$ остаток оценивается через $\sup_{k>n}|x_k|\to0$ .

$l_\infty$ несепарабельно, а пространство со счётным базисом сепарабельно. $\blacksquare$

Критерий слабой сходимости в lₚ

Формулировка

В $l_p$ , $1 < p < \infty$ , последовательность $x^{(n)}$ сходится слабо к $x$ тогда и только тогда, когда она ограничена и сходится покоординатно: $x_k^{(n)}\to x_k$ при каждом $k$ .

Доказательство

Развернуть

Необходимость: ограниченность по предыдущему следствию, а координаты — значения функционалов $f_{e_k}$ .

Достаточность. Каждое $x^{(n)}$ задаёт функционал $\varphi_n(y) = \sum x_k^{(n)}y_k$ на банаховом пространстве $l_q$ с нормой $\|x^{(n)}\|_p$ . Нормы ограничены, а на всюду плотном в $l_q$ множестве финитных последовательностей $\varphi_n(y)\to\sum x_ky_k$ . По теореме Банаха–Штейнгауза $\varphi_n(y)\to\sum x_ky_k$ при всех $y\in l_q$ , а это и есть слабая сходимость. $\blacksquare$

L₂ — гильбертово пространство

Формулировка

Формула $(f, g) = \int_Xfg\,d\mu$ задаёт скалярное произведение в $L_2(X)$ , порождающее норму $\|f\|_2$ , и $L_2(X)$ — гильбертово пространство.

Доказательство

Развернуть

По неравенству Гёльдера при $p = q = 2$ произведение $fg$ интегрируемо, так что $(f, g)$ определено. Линейность и симметрия очевидны. $(f, f) = \|f\|_2^2\ge 0$ , и $(f, f) = 0$ лишь при $f = 0$ почти всюду. Полнота доказана в теореме о полноте $L_p$ . $\blacksquare$

Неравенство Гёльдера для интегралов

Формулировка

Пусть $p > 1$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ , $f\in L_p$ , $g\in L_q$ . Тогда $fg\in L_1$ и

\int_X|fg|\,d\mu\le\|f\|_p\,\|g\|_q.

При $p = q = 2$ это неравенство Коши–Буняковского.

Доказательство

Развернуть

Если одна из норм равна нулю, например $\|f\|_p = 0$ , то $f = 0$ почти всюду и обе части равны нулю. Пусть нормы положительны. По неравенству Юнга с $a = |f|/\|f\|_p$ , $b = |g|/\|g\|_q$

\frac{|fg|}{\|f\|_p\|g\|_q}\le\frac{|f|^p}{p\|f\|_p^p} + \frac{|g|^q}{q\|g\|_q^q}.

Правая часть интегрируема, а $fg$ измерима, поэтому $fg$ интегрируема. Интегрируя, получаем справа $\frac1p + \frac1q = 1$ . $\blacksquare$

Линейные функционалы. Теорема Хана–Банаха

Ограниченность и непрерывность линейного функционала

Формулировка

Доказательство

Функционалы на конечномерном пространстве

Формулировка

Доказательство

Ядро линейного функционала

Формулировка

Доказательство

Теорема Хана–Банаха (аналитическая форма)

Формулировка

Доказательство

Продолжение ограниченного функционала с сохранением нормы

Формулировка

Доказательство

Следствия теоремы Хана–Банаха

Формулировка

Доказательство

Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Общий вид непрерывного функционала в lₚ

Формулировка

Доказательство

Общий вид функционалов в Lₚ[a, b] и C[a, b]

Формулировка

Доказательство

Норма функционала x(0) − 2x(1)

Условие

Решение

Один функционал в разных пространствах

Условие

Решение

Норма, которая не достигается

Условие

Решение

Неограниченный функционал x'(0)

Условие

Решение

Функционал Σxₖ/k в l₁ и l₂

Условие

Решение

Единственность продолжения по Хану–Банаху

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Линейный функционал. Ограниченность и норма

Сублинейный функционал

Линейное пространство. Размерность

Подпространство нормированного пространства

Линейное многообразие. Линейная оболочка. Прямая сумма

Нормированное пространство

Гильбертово пространство

Ортогональность. Ортогональное дополнение

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

Пространства L₁, L₂, Lₚ

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

Основные свойства нормы

Формулировка

Доказательство

Непрерывность и ограниченность линейного оператора

Формулировка

Доказательство

Полнота сопряжённого пространства

Формулировка

Доказательство

Эквивалентность норм в конечномерном пространстве

Формулировка

Доказательство

Свойства слабой сходимости

Формулировка

Доказательство

Спектр оператора в конечномерном пространстве

Формулировка

Доказательство

Эквивалентные определения непрерывности

Формулировка

Доказательство