Пространства L₁, L₂, Lₚ

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Неравенство Гёльдера для интегралов
Неравенство Минковского. Lₚ — нормированное пространство
Вложение пространств Lₚ на множестве конечной меры
Полнота пространства Lₚ
L₂ — гильбертово пространство
Плотные множества в Lₚ[a, b]. Lₚ как пополнение Cₚ
Сходимость в Lₚ и сходимость по мере

теорема

Неравенство Гёльдера для интегралов

Формулировка

Пусть $p > 1$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ , $f\in L_p$ , $g\in L_q$ . Тогда $fg\in L_1$ и

\int_X|fg|\,d\mu\le\|f\|_p\,\|g\|_q.

При $p = q = 2$ это неравенство Коши–Буняковского.

Доказательство

Развернуть

Если одна из норм равна нулю, например $\|f\|_p = 0$ , то $f = 0$ почти всюду и обе части равны нулю. Пусть нормы положительны. По неравенству Юнга с $a = |f|/\|f\|_p$ , $b = |g|/\|g\|_q$

\frac{|fg|}{\|f\|_p\|g\|_q}\le\frac{|f|^p}{p\|f\|_p^p} + \frac{|g|^q}{q\|g\|_q^q}.

Правая часть интегрируема, а $fg$ измерима, поэтому $fg$ интегрируема. Интегрируя, получаем справа $\frac1p + \frac1q = 1$ . $\blacksquare$

теорема

Неравенство Минковского. Lₚ — нормированное пространство

Формулировка

Если $f, g\in L_p$ , $1\le p < \infty$ , то $f + g\in L_p$ и

\|f + g\|_p\le\|f\|_p + \|g\|_p.

Следовательно, $L_p$ — нормированное пространство.

Доказательство

Развернуть

$|f + g|^p\le 2^p\max(|f|, |g|)^p\le 2^p(|f|^p + |g|^p)$ , так что $f + g\in L_p$ . При $p = 1$ неравенство следует из $|f + g|\le|f| + |g|$ .

При $p > 1$ функция $|f + g|^{p-1}$ лежит в $L_q$ , так как $q(p - 1) = p$ . По неравенству Гёльдера

\int|f + g|^p\le\int|f||f + g|^{p-1} + \int|g||f + g|^{p-1}\le(\|f\|_p + \|g\|_p)\left(\int|f + g|^p\right)^{1/q}.

Деление на $\left(\int|f + g|^p\right)^{1/q}$ даёт неравенство (если этот интеграл равен нулю, доказывать нечего).

Аксиома $\|f\| = 0\iff f = 0$ выполнена, так как из $\int|f|^p = 0$ следует $f = 0$ почти всюду, а такие функции отождествлены с нулём. $\blacksquare$

следствие

Вложение пространств Lₚ на множестве конечной меры

Формулировка

Если $\mu(X) < \infty$ и $1\le p < r$ , то $L_r(X)\subset L_p(X)$ и

\|f\|_p\le\mu(X)^{\frac1p - \frac1r}\|f\|_r.

В частности, $L_2[a, b]\subset L_1[a, b]$ и $\|f\|_1\le\sqrt{b - a}\,\|f\|_2$ .

Доказательство

Развернуть

Применим неравенство Гёльдера с показателями $s = r/p$ и $s' = \frac{s}{s - 1}$ к функциям $|f|^p$ и $1$ :

\int|f|^p\le\left(\int|f|^r\right)^{p/r}\mu(X)^{1 - p/r}.

Извлекая корень степени $p$ , получаем оценку. $\blacksquare$

теорема

Полнота пространства Lₚ

Формулировка

Пространство $L_p(X)$ , $1\le p < \infty$ , полно, то есть является банаховым пространством.

Доказательство

Развернуть

Пусть $f_n$ фундаментальна. Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ с $\|f_{n_{k+1}} - f_{n_k}\|_p < 2^{-k}$ и положим

g_m = |f_{n_1}| + \sum_{k<m}|f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|.

По неравенству Минковского $\|g_m\|_p\le\|f_{n_1}\|_p + 1 =: C$ . Функции $g_m^p$ возрастают и $\int g_m^p\le C^p$ . По теореме Леви $g = \lim g_m$ конечна почти всюду и $g^p$ интегрируема.

Значит, ряд $f_{n_1} + \sum_k(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ сходится абсолютно почти всюду, то есть $f_{n_k}\to f$ почти всюду, причём $|f|\le g$ , так что $f\in L_p$ . Так как $|f_{n_k} - f|^p\le(2g)^p$ , по теореме Лебега $\|f_{n_k} - f\|_p\to 0$ . Фундаментальная последовательность со сходящейся подпоследовательностью сходится. $\blacksquare$

следствие

L₂ — гильбертово пространство

Формулировка

Формула $(f, g) = \int_Xfg\,d\mu$ задаёт скалярное произведение в $L_2(X)$ , порождающее норму $\|f\|_2$ , и $L_2(X)$ — гильбертово пространство.

Доказательство

Развернуть

По неравенству Гёльдера при $p = q = 2$ произведение $fg$ интегрируемо, так что $(f, g)$ определено. Линейность и симметрия очевидны. $(f, f) = \|f\|_2^2\ge 0$ , и $(f, f) = 0$ лишь при $f = 0$ почти всюду. Полнота доказана в теореме о полноте $L_p$ . $\blacksquare$

теорема

Плотные множества в Lₚ[a, b]. Lₚ как пополнение Cₚ

Формулировка

В $L_p[a, b]$ , $1\le p < \infty$ , всюду плотны множества ограниченных измеримых функций, простых функций с конечным числом значений, ступенчатых функций и непрерывных функций. Следовательно, $L_p[a, b]$ — пополнение пространства $C_p[a, b]$ , и оно сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Срезки $f_N = f\chi_{\{|f|\le N\}}$ ограничены, $|f - f_N|^p\le|f|^p$ и $f - f_N\to 0$ всюду. По теореме Лебега $\|f - f_N\|_p\to 0$ .
Ограниченная $f$ равномерно приближается простыми функциями $g$ с конечным числом значений, и $\|f - g\|_p\le(b - a)^{1/p}\sup|f - g|$ .
Простая функция — линейная комбинация характеристических функций $\chi_e$ измеримых множеств. По определению измеримости найдётся конечное объединение полуинтервалов $B$ с $\mu(e\mathbin\triangle B) < \varepsilon$ . Тогда $\|\chi_e - \chi_B\|_p = \mu(e\mathbin\triangle B)^{1/p}$ , а $\chi_B$ — ступенчатая функция.
$\chi_{[c, d)}$ приближается непрерывной «трапецией», отличающейся от неё лишь на множестве меры $2\eta$ и не превосходящей $1$ по модулю. Расстояние в $L_p$ не больше $(2\eta)^{1/p}$ .

Итак, $C_p[a, b]$ плотно в полном пространстве $L_p[a, b]$ , и по теореме о пополнении (единственность) $L_p$ — пополнение $C_p$ . Ступенчатые функции с рациональными точками разрыва и значениями образуют счётное всюду плотное множество. $\blacksquare$

следствие

Сходимость в Lₚ и сходимость по мере

Формулировка

Если $f_n\to f$ в $L_p$ , то $f_n\to f$ по мере, и некоторая подпоследовательность сходится к $f$ почти всюду.

Доказательство

Развернуть

По неравенству Чебышёва для $|f_n - f|^p$

\mu\{|f_n - f|\ge\delta\} = \mu\{|f_n - f|^p\ge\delta^p\}\le\frac{\|f_n - f\|_p^p}{\delta^p}\to 0.

Подпоследовательность, сходящаяся почти всюду, существует по теореме Рисса. $\blacksquare$

Степенные функции в Lₚ(0, 1)

Условие

При каких $\alpha$ функция $x^\alpha$ принадлежит $L_p(0, 1)$ ?

Решение

Развернуть

Нужна интегрируемость $x^{\alpha p}$ на $(0, 1)$ . При $\alpha\ge 0$ функция ограничена. При $\alpha p < 0$ рассуждаем, как для $x^{-1/2}$ : интегралы срезок $\min(x^{\alpha p}, n)$ ограничены тогда и только тогда, когда сходится $\int_0^1x^{\alpha p}\,dx$ , то есть при $\alpha p > -1$ .

Ответ: $\alpha > -\frac1p$ .

Функция из L₁, не принадлежащая L₂

Условие

Привести пример функции из $L_1[0, 1]\setminus L_2[0, 1]$ и проверить неравенство $\|f\|_1\le\|f\|_2$ для $f(x) = x$ .

Решение

Развернуть

$f = x^{-1/2}$ : $\int_0^1x^{-1/2} = 2 < \infty$ , а $\int_0^1x^{-1}$ расходится.

Для $f = x$ : $\|f\|_1 = \frac12$ , $\|f\|_2 = \frac1{\sqrt3}\approx 0{,}577$ . Неравенство выполнено ( $\mu(X) = 1$ ).

Сходимость в среднем и почти всюду не связаны

Условие

Показать, что на $[0, 1]$ сходимость в $L_p$ не влечёт сходимости почти всюду, а сходимость почти всюду не влечёт сходимости в $L_p$ .

Решение

Развернуть

«Бегущая ступенька» $f_{k,j} = \chi_{[(j-1)/k,\ j/k)}$ : $\|f_{k,j}\|_p = k^{-1/p}\to 0$ , но последовательность не сходится ни в одной точке $[0, 1)$ (см. задачу о бегущей ступеньке), то есть не сходится почти всюду.

$g_n = n\chi_{(0, 1/n)}$ сходится к нулю всюду, но $\|g_n\|_1 = 1$ . (Для $L_p$ берём $n^{1/p}\chi_{(0,1/n)}$ .)

Наилучшее приближение константой в L₁ и L₂

Условие

Найти константу $c$ , наилучшим образом приближающую функцию $f(x) = x$ в $L_1[0, 1]$ и в $L_2[0, 1]$ , и соответствующие расстояния.

Решение

Развернуть

$L_1$ : $\varphi(c) = \int_0^1|x - c|\,dx = \frac{c^2 + (1 - c)^2}2$ при $c\in[0, 1]$ , минимум при $c = \frac12$ равен $\frac14$ .

$L_2$ : по теореме об ортогональной проекции $x - c\perp 1$ , откуда $c = \int_0^1x\,dx = \frac12$ , и

\|x - \tfrac12\|_2 = \left(\int_0^1\left(x - \tfrac12\right)^2dx\right)^{1/2} = \frac1{2\sqrt3}.

Lₚ при p ≠ 2 не гильбертово

Условие

Доказать, что норма $L_p[0, 1]$ при $p\ne 2$ не порождается скалярным произведением.

Решение

Развернуть

Возьмём $f = \chi_{[0, 1/2)}$ , $g = \chi_{[1/2, 1]}$ . Тогда $\|f + g\|_p = \|f - g\|_p = 1$ , $\|f\|_p = \|g\|_p = 2^{-1/p}$ . Равенство параллелограмма $\|f + g\|^2 + \|f - g\|^2 = 2\|f\|^2 + 2\|g\|^2$ принимает вид $2 = 4\cdot2^{-2/p}$ , то есть $2^{2/p} = 2$ , что верно лишь при $p = 2$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Пространства L₁, L₂, Lₚ

Пусть $\mu(X) < \infty$ (например, $X = [a, b]$ с мерой Лебега), $1\le p < \infty$ . Пространство $L_p(X)$ состоит из измеримых функций, для которых $|f|^p$ интегрируема; эквивалентные функции считаются одним элементом. Норма:

\|f\|_p = \left(\int_X|f|^p\,d\mu\right)^{1/p}.

В $L_2(X)$ вводится скалярное произведение

(f, g) = \int_Xf\,g\,d\mu

(в комплексном случае $\int f\bar g\,d\mu$ ).

Нормированное пространство

Нормой в линейном пространстве $E$ называется функция $\|\cdot\|\colon E\to\mathbb R$ такая, что для всех $x,y\in E$ , $\lambda\in\mathbb R$ :

$\|x\|\ge0$ , причём $\|x\| = 0\iff x = 0$ ;
$\|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|$ ;
$\|x + y\|\le\|x\| + \|y\|$ .

Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством (НП). Оно является метрическим пространством с метрикой $\rho(x,y) = \|x - y\|$ ; сходимость в этой метрике называют сходимостью по норме.

Банахово пространство

Банаховым пространством (БП) называется полное нормированное пространство.

Гильбертово пространство

Гильбертовым пространством (ГП) называется полное евклидово пространство.

Примеры:

$\mathbb R^n$ с $(x,y) = \sum x_ky_k$ ;
$l_2$ с $(x,y) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k$ (ряд сходится по неравенству Коши–Буняковского);
$C_2[a,b]$ с $(x,y) = \int_a^bx(t)y(t)\,dt$ — евклидово, но не полное;
его пополнение $L_2[a,b]$ (функции с интегрируемым по Лебегу квадратом) — гильбертово.

Скалярное произведение. Евклидово пространство

Скалярным произведением в линейном пространстве $E$ над $\mathbb R$ называется функция $(x,y)\in\mathbb R$ такая, что для всех $x,y,z\in E$ , $\lambda\in\mathbb R$ :

$(x,x)\ge0$ , причём $(x,x) = 0\iff x = 0$ ;
$(x,y) = (y,x)$ ;
$(\lambda x, y) = \lambda(x,y)$ ;
$(x + y, z) = (x,z) + (y,z)$ .

Пространство со скалярным произведением называется евклидовым (предгильбертовым). В нём вводится норма $\|x\| = \sqrt{(x,x)}$ .

В комплексном случае аксиома 2 заменяется на $(x,y) = \overline{(y,x)}$ .

Измеримые по Лебегу множества. Мера Лебега

Множество $A\subset E$ называется измеримым по Лебегу, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $B\in R(S)$ такое, что

\mu^*(A\mathbin\triangle B) < \varepsilon.

Функция $\mu(A) = \mu^*(A)$ , рассматриваемая на измеримых множествах, называется лебеговым продолжением меры $m$ (мерой Лебега).

Для полукольца полуинтервалов $[c, d)\subset[a, b)$ с единицей $[a, b)$ и длины получается классическая мера Лебега на $[a, b)$ ; добавление точки $b$ (меры нуль) даёт меру Лебега на отрезке $[a, b]$ . На всей прямой множество называют измеримым, если измеримо его пересечение с каждым $[n, n+1)$ , а мера равна сумме мер этих пересечений.

Пополнение метрического пространства

Полное метрическое пространство $\widetilde X$ называется пополнением метрического пространства $X$ , если $X$ изометрично некоторому всюду плотному подмножеству $\widetilde X$ .

Сепарабельное пространство

Метрическое пространство называется сепарабельным, если в нём существует счётное (или конечное) всюду плотное подмножество.

Сходимость по мере

Последовательность измеримых функций $f_n$ сходится по мере к измеримой функции $f$ , если для любого $\delta > 0$

\mu\{x:\ |f_n(x) - f(x)|\ge\delta\}\to 0\quad\text{при } n\to\infty.

Неравенство Юнга

Формулировка

Пусть $p > 1$ и $\frac1p + \frac1q = 1$ . Тогда для любых $a, b\ge 0$

ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.

Доказательство

Развернуть

При $ab = 0$ неравенство очевидно. Пусть $a, b > 0$ . Функция $\ln$ вогнута, поэтому при $\lambda = \frac1p\in(0,1)$

\ln\left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \ge \frac1p\ln a^p + \frac1q\ln b^q = \ln a + \ln b = \ln(ab).

Остаётся воспользоваться возрастанием $\ln$ . $\blacksquare$

Основные свойства интеграла Лебега

Формулировка

На множестве $A$ конечной меры:

$\int_A1\,d\mu = \mu(A)$ ; интеграл линеен.
Ограниченная измеримая функция интегрируема; если $|f|\le M$ , то $\left|\int_Af\right|\le M\mu(A)$ .
Если $f\ge 0$ , то $\int_Af\ge 0$ ; если $f\le g$ , то $\int_Af\le\int_Ag$ .
Интегрируемая функция измерима. Если $f$ измерима, $|f|\le\varphi$ и $\varphi$ интегрируема, то $f$ интегрируема и $\left|\int_Af\right|\le\int_A\varphi$ . В частности, измеримая функция $f$ интегрируема $\iff$ $|f|$ интегрируема.
Если $f = g$ почти всюду и одна из функций интегрируема, то интегрируема и другая, и $\int_Af = \int_Ag$ .

Доказательство

Развернуть

Линейность переносится с простых функций предельным переходом.
Простые функции $f_n$ из теоремы о приближении ограничены, значит интегрируемы, и $f_n\rightrightarrows f$ . Оценка сохраняется в пределе.
Для $f\ge 0$ приближающие функции $f_n(x) = \frac kn$ при $\frac kn\le f < \frac{k+1}n$ неотрицательны. Они интегрируемы, так как отличаются от любых интегрируемых простых $g_m\rightrightarrows f$ на ограниченную простую функцию. Поэтому $\int_Af = \lim\int_Af_n\ge 0$ . Второе утверждение получаем, применив первое к $g - f$ .
Интегрируемая $f$ — равномерный предел измеримых функций. Пусть $f$ измерима, $|f|\le\varphi$ , $\varphi_n$ — интегрируемые простые функции с $\sup_A|\varphi - \varphi_n| < \frac1n$ (выбираются из равномерно сходящейся последовательности). Канонические приближения $f_n$ функции $f$ удовлетворяют $|f_n|\le|f| + \frac1n\le\varphi_n + \frac2n$ , и по лемме об интеграле простых функций $f_n$ интегрируемы. Оценка получается из монотонности. Наконец, если $f_n\rightrightarrows f$ , то $|f_n|\rightrightarrows|f|$ .
Функция $h = f - g$ равна нулю вне множества $N$ меры нуль. Её канонические приближения имеют ненулевые значения лишь на подмножествах $N$ , поэтому их интегралы равны нулю. Значит, $h$ интегрируема и $\int_Ah = 0$ . $\blacksquare$

Неравенство Чебышёва

Формулировка

Если $f\ge 0$ интегрируема на $A$ и $c > 0$ , то

\mu\{x\in A:\ f(x)\ge c\}\le\frac1c\int_Af\,d\mu.

Следствие: если $\int_A|f|\,d\mu = 0$ , то $f = 0$ почти всюду.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A' = \{f\ge c\}$ . Тогда $f\ge c\chi_{A'}$ на $A$ , и по монотонности $\int_Af\ge c\mu(A')$ .

Если $\int_A|f| = 0$ , то $\mu\{|f|\ge\frac1n\} = 0$ при всех $n$ , и $\mu\{f\ne 0\} = 0$ по счётной полуаддитивности. $\blacksquare$

Ограниченность оператора Гильберта–Шмидта

Формулировка

Оператор Гильберта–Шмидта отображает $L_2[a, b]$ в себя, ограничен, и

\|A\|\le\|K\|_{L_2(Q)}.

Доказательство

Развернуть

По теореме Фубини для почти всех $t$ функция $K(t, \cdot)$ лежит в $L_2[a, b]$ , а $\int|K(t, s)|^2\,ds$ интегрируема по $t$ . По неравенству Коши–Буняковского

|(Ax)(t)|^2\le\int_a^b|K(t, s)|^2\,ds\cdot\|x\|^2.

Интегрируя по $t$ , получаем $\|Ax\|^2\le\|K\|^2_{L_2(Q)}\|x\|^2$ . Измеримость $Ax$ также следует из теоремы Фубини. $\blacksquare$

Общий вид функционалов в Lₚ[a, b] и C[a, b]

Формулировка

При $1\le p < \infty$ каждый ограниченный линейный функционал на $L_p[a, b]$ имеет вид

f(x) = \int_a^bx(t)y(t)\,dt,\qquad y\in L_q[a, b],\qquad\|f\| = \|y\|_q.

(Теорема Рисса.) Каждый ограниченный линейный функционал на $C[a, b]$ имеет вид интеграла Стилтьеса

f(x) = \int_a^bx(t)\,dg(t),

где $g$ — функция ограниченной вариации, и $\|f\| = \operatorname{V}_a^b(g)$ (при нормировке $g(a) = 0$ и непрерывности $g$ слева внутри интервала).

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится без полного доказательства. Достаточность в п. 1 следует из неравенства Гёльдера: $|f(x)|\le\|x\|_p\|y\|_q$ . При $p = 2$ утверждение п. 1 — частный случай теоремы Рисса в гильбертовом пространстве $L_2$ . В общем случае $y$ строится как производная функции множеств $e\mapsto f(\chi_e)$ (теорема Радона–Никодима). П. 2 доказывается продолжением $f$ по теореме Хана–Банаха на ограниченные функции и применением его к ступенькам $\chi_{[a,t]}$ , что даёт $g(t)$ . $\blacksquare$

Теорема Леви о монотонной сходимости

Формулировка

Пусть интегрируемые на $A$ функции удовлетворяют условиям $f_1\le f_2\le\dots$ и $\int_Af_n\le K$ . Тогда предел $f(x) = \lim f_n(x)$ конечен почти всюду, $f$ интегрируема и

\int_Af_n\,d\mu\to\int_Af\,d\mu.

Доказательство

Развернуть

Заменив $f_n$ на $f_n - f_1$ (и $K$ на $K - \int_Af_1$ ), считаем $f_n\ge 0$ .

Конечность. По неравенству Чебышёва $\mu\{f_n > r\}\le K/r$ . Множества $\{f_n > r\}$ возрастают по $n$ , так что $\mu\{f > r\}\le K/r$ , а множество, где $f = +\infty$ , имеет меру не больше $K/r$ при любом $r$ , то есть нуль.

Интегрируемость. Пусть $A_r = \{r - 1\le f < r\}$ , $r\in\mathbb N$ , и $\varphi = r$ на $A_r$ (на множестве меры нуль, где $f = +\infty$ , положим $\varphi = 0$ ); тогда $f\le\varphi\le f + 1$ почти всюду. На $B_s = \bigsqcup_{r\le s}A_r$ функции $f_n$ ограничены числом $s$ , и по теореме Лебега $\int_{B_s}f_n\to\int_{B_s}f$ . Значит,

\sum_{r\le s}r\mu(A_r) = \int_{B_s}\varphi\le\int_{B_s}f + \mu(A)\le K + \mu(A).

Ряд $\sum r\mu(A_r)$ сходится, $\varphi$ — интегрируемая простая функция, и $f$ интегрируема.

Сходимость интегралов: $0\le f_n\le f$ , и применима теорема Лебега с мажорантой $f$ . $\blacksquare$

Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Формулировка

Пусть измеримые функции $f_n$ сходятся к $f$ почти всюду на $A$ , $\mu(A) < \infty$ , и существует интегрируемая функция $\varphi$ с $|f_n|\le\varphi$ при всех $n$ . Тогда $f$ интегрируема и

\lim_{n\to\infty}\int_Af_n\,d\mu = \int_Af\,d\mu.

В частности, это верно для равномерно ограниченных функций, $|f_n|\le M$ .

Доказательство

Развернуть

$f$ измерима как предел почти всюду, и $|f|\le\varphi$ почти всюду, так что $f$ интегрируема.

Пусть $\varepsilon > 0$ . По абсолютной непрерывности найдём $\delta$ с $\int_e\varphi < \frac\varepsilon4$ при $\mu(e) < \delta$ . По теореме Егорова есть $B$ с $\mu(A\setminus B) < \delta$ , на котором $f_n\rightrightarrows f$ . Тогда

\left|\int_Af_n - \int_Af\right|\le\int_B|f_n - f| + \int_{A\setminus B}(|f_n| + |f|)\le\mu(A)\sup_B|f_n - f| + \frac\varepsilon2 < \varepsilon

при больших $n$ . $\blacksquare$

Приближение измеримой функции простыми

Формулировка

Функция $f$ измерима тогда и только тогда, когда она является равномерным пределом последовательности простых функций. Для ограниченной $f$ простые функции можно взять с конечным числом значений.

Доказательство

Развернуть

Пусть $f$ измерима. Положим $f_n(x) = \frac kn$ при $\frac kn\le f(x) < \frac{k+1}n$ , $k\in\mathbb Z$ . Множества $\{\frac kn\le f < \frac{k+1}n\}$ измеримы, так что $f_n$ проста, и $0\le f - f_n < \frac1n$ . Для ограниченной $f$ значений конечное число.

Обратно, равномерный (и даже поточечный) предел измеримых функций измерим. $\blacksquare$

Теорема о пополнении

Формулировка

Любое метрическое пространство $X$ имеет пополнение. Пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей точки $X$ неподвижными.

Доказательство

Развернуть (основные шаги)

1. Построение. Фундаментальные последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ назовём эквивалентными, если $\rho(x_n,y_n)\to 0$ . Это отношение эквивалентности. Пусть $\widetilde X$ — множество классов эквивалентности.

2. Метрика. Для классов $\xi\ni\{x_n\}$ , $\eta\ni\{y_n\}$ положим $\tilde\rho(\xi,\eta) = \lim\rho(x_n,y_n)$ . Предел существует: по неравенству четырёхугольника

|\rho(x_n,y_n) - \rho(x_m,y_m)|\le\rho(x_n,x_m) + \rho(y_n,y_m),

числовая последовательность фундаментальна и сходится по полноте $\mathbb R$ . По тому же неравенству предел не зависит от представителей. Аксиомы метрики получаются предельным переходом.

3. Вложение. Сопоставим $x\in X$ класс стационарной последовательности $(x,x,\dots)$ . Это изометрия $X$ на подмножество $X_0\subset\widetilde X$ .

4. Плотность. Если $\xi\ni\{x_n\}$ , то $\tilde\rho(\xi, x_m) = \lim_n\rho(x_n, x_m) < \varepsilon$ при больших $m$ . Значит, $X_0$ всюду плотно.

5. Полнота. Пусть $\{\xi_n\}$ фундаментальна в $\widetilde X$ . По п. 4 выберем $x_n\in X$ с $\tilde\rho(\xi_n, x_n) < \frac1n$ . Последовательность $\{x_n\}$ фундаментальна в $X$ ; пусть $\xi$ — её класс. Тогда $\tilde\rho(\xi_n,\xi)\le\frac1n + \lim_m\rho(x_n,x_m)\to 0$ .

6. Единственность. Если $\widetilde X_1$ и $\widetilde X_2$ — пополнения, то изометрия между плотными копиями $X$ продолжается по непрерывности: точке, являющейся пределом $x_n\in X$ в $\widetilde X_1$ , сопоставляется предел той же последовательности в $\widetilde X_2$ . Получается изометрия $\widetilde X_1$ на $\widetilde X_2$ , тождественная на $X$ . $\blacksquare$

Приближение ядра вырожденными ядрами

Формулировка

Для любого ядра Гильберта–Шмидта $K$ и любого $\varepsilon > 0$ существует вырожденное ядро $K_n$ (с многочленами $a_i$ , $b_i$ ) такое, что $\|K - K_n\|_{L_2(Q)} < \varepsilon$ . Если $K$ непрерывно, то $K_n$ можно выбрать так, что $\max_Q|K - K_n| < \varepsilon$ .

Доказательство

Развернуть

Как и в одномерном случае (теорема о плотных множествах в $L_p$ ), непрерывные функции всюду плотны в $L_2(Q)$ . Измеримое множество приближается конечным объединением прямоугольников, а его характеристическая функция — непрерывными функциями. По теореме Вейерштрасса непрерывная на $Q$ функция равномерно приближается многочленами $P(t, s) = \sum c_{ij}t^is^j$ , а $\|g\|_{L_2(Q)}\le(b - a)\max_Q|g|$ . Многочлен — вырожденное ядро: $P = \sum_i t^i\bigl(\sum_jc_{ij}s^j\bigr)$ . $\blacksquare$

Теорема Рисса о выборе почти всюду сходящейся подпоследовательности

Формулировка

Если $f_n\to f$ по мере, то из $f_n$ можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к $f$ почти всюду.

Доказательство

Развернуть

Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ так, чтобы множества $E_k = \{|f_{n_k} - f|\ge\frac1k\}$ имели меру $\mu(E_k) < 2^{-k}$ . Положим $R_i = \bigcup_{k\ge i}E_k$ , $Q = \bigcap_iR_i$ . Тогда $\mu(R_i) < 2^{1-i}$ и $\mu(Q) = 0$ .

Если $x\notin Q$ , то $x\notin R_i$ при некотором $i$ , то есть $|f_{n_k}(x) - f(x)| < \frac1k$ при всех $k\ge i$ . Значит, $f_{n_k}(x)\to f(x)$ вне множества меры нуль. $\blacksquare$

Расстояние до подпространства. Ортогональная проекция

Формулировка

Пусть $L$ — подпространство гильбертова пространства $H$ , $x\in H$ . Элемент $y\in L$ является ближайшим к $x$ элементом $L$ тогда и только тогда, когда $x - y\perp L$ . Такой $y$ существует и единственен; его называют ортогональной проекцией $x$ на $L$ и обозначают $P_Lx$ .

Доказательство

Развернуть

Подпространство замкнуто и выпукло, поэтому ближайший элемент существует и единственен.

$\Rightarrow$ : пусть $y$ ближайший, $z\in L$ . Функция

\varphi(t) = \|x - y - tz\|^2 = \|x - y\|^2 - 2t(x - y,z) + t^2\|z\|^2

имеет минимум при $t = 0$ , поэтому $\varphi'(0) = -2(x - y,z) = 0$ .

$\Leftarrow$ : если $x - y\perp L$ , то для любого $z\in L$ по теореме Пифагора (учитывая $y - z\in L$ )

\|x - z\|^2 = \|x - y\|^2 + \|y - z\|^2\ge\|x - y\|^2.

$\blacksquare$

Равенство параллелограмма

Формулировка

В евклидовом пространстве

\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.

Как следствие, нормы пространств $C[a,b]$ и $l_p$ при $p\ne2$ не порождаются никаким скалярным произведением.

Доказательство

Развернуть

Раскрываем скобки: $\|x\pm y\|^2 = \|x\|^2\pm2(x,y) + \|y\|^2$ и складываем.

В $l_p$ для $e_1, e_2$ имеем $\|e_1\pm e_2\|_p = 2^{1/p}$ . Равенство $2\cdot2^{2/p} = 4$ выполнено лишь при $p = 2$ . В $l_\infty$ : $\|e_1\pm e_2\| = 1$ , и $2\ne4$ . В $C[0,1]$ для $x = 1$ , $y = t$ : $\|x + y\| = 2$ , $\|x - y\| = 1$ , и $5\ne4$ . $\blacksquare$

Замечание. Верно и обратное (теорема Йордана–фон Неймана): если норма удовлетворяет равенству параллелограмма, то $(x,y) = \frac14\left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\right)$ — скалярное произведение, порождающее эту норму.

Пространства L₁, L₂, Lₚ

Неравенство Гёльдера для интегралов

Формулировка

Доказательство

Неравенство Минковского. Lₚ — нормированное пространство

Формулировка

Доказательство

Вложение пространств Lₚ на множестве конечной меры

Формулировка

Доказательство

Полнота пространства Lₚ

Формулировка

Доказательство

L₂ — гильбертово пространство

Формулировка

Доказательство

Плотные множества в Lₚ[a, b]. Lₚ как пополнение Cₚ

Формулировка

Доказательство

Сходимость в Lₚ и сходимость по мере

Формулировка

Доказательство

Степенные функции в Lₚ(0, 1)

Условие

Решение

Функция из L₁, не принадлежащая L₂

Условие

Решение

Сходимость в среднем и почти всюду не связаны

Условие

Решение

Наилучшее приближение константой в L₁ и L₂

Условие

Решение

Lₚ при p ≠ 2 не гильбертово

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Пространства L₁, L₂, Lₚ

Нормированное пространство

Банахово пространство

Гильбертово пространство

Скалярное произведение. Евклидово пространство

Измеримые по Лебегу множества. Мера Лебега

Пополнение метрического пространства

Сепарабельное пространство

Сходимость по мере

Неравенство Юнга

Формулировка

Доказательство

Основные свойства интеграла Лебега

Формулировка

Доказательство

Неравенство Чебышёва

Формулировка

Доказательство

Ограниченность оператора Гильберта–Шмидта

Формулировка

Доказательство

Общий вид функционалов в Lₚ[a, b] и C[a, b]

Формулировка

Доказательство

Теорема Леви о монотонной сходимости

Формулировка

Доказательство

Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Формулировка

Доказательство

Приближение измеримой функции простыми

Формулировка

Доказательство

Теорема о пополнении

Формулировка

Доказательство

Приближение ядра вырожденными ядрами

Формулировка

Доказательство

Теорема Рисса о выборе почти всюду сходящейся подпоследовательности

Формулировка