Внешняя мера. Мера Лебега

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Свойства внешней меры
Измеримые множества образуют алгебру
Теорема Лебега о σ-алгебре измеримых множеств
Непрерывность меры Лебега
Множества меры нуль. Полнота меры Лебега
Измеримость открытых, замкнутых и борелевских множеств
Существование неизмеримого множества (пример Витали)

теорема

Свойства внешней меры

Формулировка

$A\subset B\ \Rightarrow\ \mu^*(A)\le\mu^*(B)$ .
$A\subset\bigcup_n A_n\ \Rightarrow\ \mu^*(A)\le\sum_n\mu^*(A_n)$ (счётная полуаддитивность).
$\mu^*(A) = \mu(A)$ для $A\in R(S)$ .
$|\mu^*(A) - \mu^*(B)|\le\mu^*(A\mathbin\triangle B)$ .

Доказательство

Развернуть

Любое покрытие $B$ покрывает $A$ .
Для каждого $n$ выберем покрытие $\{P_{nk}\}_k$ множества $A_n$ с $\sum_km(P_{nk})\le\mu^*(A_n) + \varepsilon2^{-n}$ . Все $P_{nk}$ покрывают $A$ , поэтому $\mu^*(A)\le\sum_n\mu^*(A_n) + \varepsilon$ .
$A = \bigsqcup A_k$ (конечное), $A_k\in S$ , — покрытие, так что $\mu^*(A)\le\mu(A)$ . Обратно, для любого покрытия $A\subset\bigcup P_k$ по счётной полуаддитивности $\mu$ на $R(S)$ имеем $\mu(A)\le\sum m(P_k)$ .
$A\subset B\cup(A\mathbin\triangle B)$ , поэтому $\mu^*(A)\le\mu^*(B) + \mu^*(A\mathbin\triangle B)$ ; то же с переставленными $A$ , $B$ . $\blacksquare$

теорема

Измеримые множества образуют алгебру

Формулировка

Измеримые по Лебегу подмножества $E$ образуют алгебру $\mathfrak M\supset R(S)$ с единицей $E$ , и функция $\mu = \mu^*$ на ней аддитивна.

Доказательство

Развернуть

$R(S)\subset\mathfrak M$ : можно взять $B = A$ .

Дополнение: $(E\setminus A)\mathbin\triangle(E\setminus B) = A\mathbin\triangle B$ , а $E\setminus B\in R(S)$ .

Объединение: $(A_1\cup A_2)\mathbin\triangle(B_1\cup B_2)\subset(A_1\mathbin\triangle B_1)\cup(A_2\mathbin\triangle B_2)$ , и внешняя мера правой части меньше $2\varepsilon$ . Пересечение выражается через объединение и дополнения. Итак, $\mathfrak M$ — алгебра.

Аддитивность. Пусть $A_1, A_2\in\mathfrak M$ не пересекаются, $B_i\in R(S)$ , $\mu^*(A_i\mathbin\triangle B_i) < \varepsilon$ . Так как $A_1\cap A_2 = \varnothing$ , имеем $B_1\cap B_2\subset(A_1\mathbin\triangle B_1)\cup(A_2\mathbin\triangle B_2)$ , и $\mu(B_1\cap B_2) < 2\varepsilon$ . По свойству 4 внешней меры $|\mu^*(A_i) - \mu(B_i)| < \varepsilon$ и $|\mu^*(A_1\sqcup A_2) - \mu(B_1\cup B_2)| < 2\varepsilon$ . Поэтому

\mu^*(A_1\sqcup A_2) > \mu(B_1) + \mu(B_2) - \mu(B_1\cap B_2) - 2\varepsilon > \mu^*(A_1) + \mu^*(A_2) - 6\varepsilon.

Вместе с полуаддитивностью это даёт $\mu^*(A_1\sqcup A_2) = \mu^*(A_1) + \mu^*(A_2)$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Лебега о σ-алгебре измеримых множеств

Формулировка

Измеримые по Лебегу множества образуют $\sigma$ -алгебру, и мера Лебега $\mu$ на ней счётно-аддитивна.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A = \bigcup_nA_n$ , $A_n\in\mathfrak M$ . Множества $A_n' = A_n\setminus\bigcup_{k<n}A_k$ измеримы, попарно не пересекаются, и $A = \bigsqcup A_n'$ . По аддитивности

\sum_{n\le N}\mu(A_n') = \mu\Bigl(\bigsqcup_{n\le N}A_n'\Bigr)\le\mu^*(E) < \infty,

поэтому ряд $\sum\mu(A_n')$ сходится. Выберем $N$ с $\sum_{n>N}\mu(A_n') < \frac\varepsilon2$ . Множество $C = \bigsqcup_{n\le N}A_n'$ измеримо: найдётся $B\in R(S)$ с $\mu^*(C\mathbin\triangle B) < \frac\varepsilon2$ . Так как $A\mathbin\triangle B\subset(C\mathbin\triangle B)\cup\bigsqcup_{n>N}A_n'$ , по полуаддитивности $\mu^*(A\mathbin\triangle B) < \varepsilon$ . Значит, $A\in\mathfrak M$ .

Счётная аддитивность: $\mu(A)\le\sum\mu(A_n')$ по полуаддитивности, и $\mu(A)\ge\mu\bigl(\bigsqcup_{n\le N}A_n'\bigr) = \sum_{n\le N}\mu(A_n')$ при любом $N$ . $\blacksquare$

следствие

Непрерывность меры Лебега

Формулировка

Если $A_1\subset A_2\subset\dots$ измеримы, то $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) = \lim\mu(A_n)$ .
Если $A_1\supset A_2\supset\dots$ измеримы, то $\mu\bigl(\bigcap A_n\bigr) = \lim\mu(A_n)$ .

Доказательство

Развернуть

$\bigcup A_n = A_1\sqcup\bigsqcup_n(A_{n+1}\setminus A_n)$ , и по счётной аддитивности $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) = \mu(A_1) + \sum_n\bigl(\mu(A_{n+1}) - \mu(A_n)\bigr) = \lim\mu(A_n)$ .
Применяем п. 1 к возрастающим множествам $A_1\setminus A_n$ : $\mu\bigl(A_1\setminus\bigcap A_n\bigr) = \lim\bigl(\mu(A_1) - \mu(A_n)\bigr)$ . $\blacksquare$

теорема

Множества меры нуль. Полнота меры Лебега

Формулировка

Всякое множество внешней меры нуль измеримо, и его мера равна нулю. В частности, любое подмножество множества меры нуль измеримо (мера Лебега полна).
Счётное объединение множеств меры нуль имеет меру нуль.
Любое счётное множество на прямой имеет меру нуль.

Доказательство

Развернуть

Если $\mu^*(A) = 0$ , то при $B = \varnothing$ имеем $\mu^*(A\mathbin\triangle B) = 0 < \varepsilon$ . Подмножество множества меры нуль имеет внешнюю меру нуль по монотонности.
Следует из счётной полуаддитивности внешней меры.
Точку $x_k$ покроем полуинтервалом $[x_k, x_k + \varepsilon2^{-k})$ ; сумма длин равна $\varepsilon$ . $\blacksquare$

теорема

Измеримость открытых, замкнутых и борелевских множеств

Формулировка

На отрезке $[a, b]$ с мерой Лебега измеримы все открытые и все замкнутые множества, а значит, и все борелевские множества — элементы наименьшей $\sigma$ -алгебры, содержащей открытые множества. Мера любого промежутка с концами $c < d$ равна $d - c$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $G$ открыто. Для каждой точки $x\in G$ найдётся полуинтервал $[r_1, r_2)\subset G$ с рациональными концами, содержащий $x$ (если $x = a$ , берём $[a, r_2)$ ; если $x = b$ , берём промежуток $[r_1, b]$ ). Таких полуинтервалов счётное число, поэтому $G$ — счётное объединение измеримых множеств и измеримо по теореме о $\sigma$ -алгебре. Замкнутые множества — дополнения открытых.

Измеримые множества образуют $\sigma$ -алгебру, содержащую открытые, следовательно, она содержит все борелевские множества. Точки имеют меру нуль, поэтому мера промежутка не зависит от включения концов. $\blacksquare$

теорема

Существование неизмеримого множества (пример Витали)

Формулировка

На отрезке $[0, 1)$ существует множество, не измеримое по Лебегу.

Доказательство

Развернуть

Назовём точки $x, y\in[0, 1)$ эквивалентными, если $x - y\in\mathbb Q$ . По аксиоме выбора возьмём множество $V$ , содержащее ровно одну точку из каждого класса эквивалентности. Для рациональных $r\in[0, 1)$ рассмотрим сдвиги по модулю $1$ : $V_r = \{x + r - [x + r]:\ x\in V\}$ .

Множества $V_r$ попарно не пересекаются (иначе две разные точки $V$ были бы эквивалентны), и $\bigsqcup_rV_r = [0, 1)$ . Мера Лебега инвариантна относительно сдвига по модулю $1$ : при сдвиге полуинтервал переходит в один или два полуинтервала той же суммарной длины, поэтому внешняя мера и измеримость сохраняются.

Если $V$ измеримо, то $\mu(V_r) = \mu(V)$ и по счётной аддитивности $1 = \sum_r\mu(V)$ . Но этот ряд равен $0$ при $\mu(V) = 0$ и $+\infty$ при $\mu(V) > 0$ . Противоречие. $\blacksquare$

Мера рациональных и иррациональных точек

Условие

Найти меру Лебега множества рациональных и множества иррациональных точек отрезка $[0, 1]$ .

Решение

Развернуть

$\mathbb Q\cap[0, 1]$ счётно, его мера равна $0$ . Множество иррациональных точек — дополнение, его мера $1 - 0 = 1$ .

Заметим, что по Жордану множество рациональных точек неизмеримо: его внутренность пуста, а замыкание — весь отрезок.

Канторово множество

Условие

Доказать, что канторово множество $K$ (на $n$ -м шаге из каждого оставшегося отрезка выбрасывается открытая средняя треть) имеет меру нуль, но несчётно.

Решение

Развернуть

На $n$ -м шаге выбрасывается $2^{n-1}$ интервалов длины $3^{-n}$ . Суммарная длина выброшенного:

\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac13\cdot\frac1{1 - 2/3} = 1.

$K$ замкнуто (дополнение открыто), и $\mu(K) = 1 - 1 = 0$ .

$K$ состоит из точек, в троичной записи которых можно обойтись цифрами $0$ и $2$ . Отображение $0{,}a_1a_2\dots_{(3)}\mapsto 0{,}\frac{a_1}2\frac{a_2}2\dots_{(2)}$ переводит $K$ на весь $[0, 1]$ , поэтому $K$ несчётно.

Числа без цифры 7 в десятичной записи

Условие

Найти меру множества $A$ чисел $x\in[0, 1)$ , в десятичной записи которых нет цифры $7$ .

Решение

Развернуть

Пусть $A_n$ — числа, у которых среди первых $n$ цифр нет семёрки. Это объединение $9^n$ полуинтервалов длины $10^{-n}$ , так что $\mu(A_n) = 0{,}9^n$ . Множества убывают, и $A = \bigcap A_n$ . По непрерывности меры

\mu(A) = \lim 0{,}9^n = 0.

(Неоднозначность записи касается лишь счётного множества конечных дробей и на меру не влияет.)

Открытое всюду плотное множество малой меры

Условие

Для данного $\varepsilon\in(0, 1)$ построить открытое всюду плотное в $[0, 1]$ множество меры не больше $\varepsilon$ . Что можно сказать о его дополнении?

Решение

Развернуть

Занумеруем рациональные точки $r_1, r_2, \dots$ отрезка $[0, 1]$ и положим

G = [0, 1]\cap\bigcup_k\bigl(r_k - \varepsilon2^{-k-1},\ r_k + \varepsilon2^{-k-1}\bigr).

$G$ открыто в $[0, 1]$ и содержит все рациональные точки, поэтому всюду плотно. По полуаддитивности $\mu(G)\le\sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$ .

Дополнение $F = [0, 1]\setminus G$ замкнуто, нигде не плотно (его дополнение всюду плотно) и имеет меру не меньше $1 - \varepsilon > 0$ . Так что нигде не плотное множество может иметь положительную меру.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Внешняя мера

Пусть $S$ — полукольцо с единицей $E$ , $m$ — счётно-аддитивная мера на $S$ . Внешней мерой множества $A\subset E$ называется

\mu^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_km(P_k):\ A\subset\bigcup_{k=1}^\infty P_k,\ P_k\in S\Bigr\},

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям $A$ элементами $S$ .

Измеримые по Лебегу множества. Мера Лебега

Множество $A\subset E$ называется измеримым по Лебегу, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $B\in R(S)$ такое, что

\mu^*(A\mathbin\triangle B) < \varepsilon.

Функция $\mu(A) = \mu^*(A)$ , рассматриваемая на измеримых множествах, называется лебеговым продолжением меры $m$ (мерой Лебега).

Для полукольца полуинтервалов $[c, d)\subset[a, b)$ с единицей $[a, b)$ и длины получается классическая мера Лебега на $[a, b)$ ; добавление точки $b$ (меры нуль) даёт меру Лебега на отрезке $[a, b]$ . На всей прямой множество называют измеримым, если измеримо его пересечение с каждым $[n, n+1)$ , а мера равна сумме мер этих пересечений.

Множество меры нуль

Множество $A$ называется множеством меры нуль, если $\mu^*(A) = 0$ . На прямой это означает, что для любого $\varepsilon > 0$ множество $A$ можно покрыть счётной системой интервалов с суммой длин меньше $\varepsilon$ .

Кольцо, алгебра, σ-алгебра множеств

Непустая система $R$ множеств называется кольцом, если вместе с $A$ и $B$ она содержит $A\cap B$ и $A\mathbin\triangle B$ . Тогда она содержит также $A\cup B$ и $A\setminus B$ , а также $\varnothing$ .

Кольцо с единицей $E$ ( $E\in R$ , $A\subset E$ для всех $A\in R$ ) называется алгеброй.

Кольцо, замкнутое относительно счётных объединений, называется $\sigma$ -кольцом; $\sigma$ -кольцо с единицей — $\sigma$ -алгеброй.

Пересечение любого семейства колец — кольцо. Поэтому для любой системы $S$ существует наименьшее кольцо, содержащее $S$ , — минимальное кольцо $R(S)$ , порождённое $S$ .

Счётно-аддитивная мера

Мера $m$ на полукольце $S$ называется счётно-аддитивной ( $\sigma$ -аддитивной), если для любого $A\in S$ , представленного в виде объединения счётного числа попарно непересекающихся множеств $A_k\in S$ ,

A = \bigsqcup_{k=1}^\infty A_k\quad\Longrightarrow\quad m(A) = \sum_{k=1}^\infty m(A_k).

Внутренняя точка. Открытое множество

Точка $a\in M$ называется внутренней точкой множества $M\subset X$ , если $M$ содержит некоторый шар $B(a,\varepsilon)$ . Множество $M$ открыто, если все его точки внутренние. Пустое множество и всё пространство $X$ открыты.

Продолжение счётно-аддитивной меры на минимальное кольцо

Формулировка

Если мера $m$ на полукольце $S$ счётно-аддитивна, то её продолжение $\mu$ на $R(S)$ тоже счётно-аддитивно. Кроме того, $\mu$ счётно-полуаддитивна: если $A, A_1, A_2, \dots\in R(S)$ и $A\subset\bigcup_{k=1}^\infty A_k$ , то

\mu(A)\le\sum_{k=1}^\infty\mu(A_k).

Доказательство

Развернуть

Пусть $A = \bigsqcup_{n=1}^\infty B_n$ , $A, B_n\in R(S)$ , $A = \bigsqcup_jA_j$ , $B_n = \bigsqcup_iB_{ni}$ (конечные разложения на элементы $S$ ). Тогда $A_j = \bigsqcup_{n, i}(A_j\cap B_{ni})$ — счётное разложение в $S$ , и по $\sigma$ -аддитивности $m(A_j) = \sum_{n, i}m(A_j\cap B_{ni})$ . Также $B_{ni} = \bigsqcup_j(B_{ni}\cap A_j)$ — конечное разложение. Переставляя члены ряда с неотрицательными слагаемыми:

\mu(A) = \sum_jm(A_j) = \sum_n\sum_i\sum_jm(A_j\cap B_{ni}) = \sum_n\sum_im(B_{ni}) = \sum_n\mu(B_n).

Полуаддитивность: множества $C_n = A\cap\bigl(A_n\setminus\bigcup_{k<n}A_k\bigr)\in R(S)$ попарно не пересекаются, $A = \bigsqcup C_n$ , $C_n\subset A_n$ . Поэтому $\mu(A) = \sum\mu(C_n)\le\sum\mu(A_n)$ . $\blacksquare$

Свойства интеграла от простых функций

Формулировка

Если $f = c_k$ на попарно непересекающихся измеримых $B_k$ , $\bigsqcup B_k = A$ (числа $c_k$ могут повторяться), то $f$ интегрируема $\iff$ $\sum|c_k|\mu(B_k) < \infty$ , и тогда $\int_Af = \sum c_k\mu(B_k)$ .
Интеграл линеен на интегрируемых простых функциях.
Если $f$ проста и $|f|\le M$ , то $f$ интегрируема и $\left|\int_Af\right|\le\int_A|f|\le M\mu(A)$ ; если $f\ge 0$ , то $\int_Af\ge 0$ .
Если $f$ , $g$ просты, $|f|\le g$ и $g$ интегрируема, то $f$ интегрируема.

Доказательство

Развернуть

$A_n = \bigsqcup_{k:\,c_k = y_n}B_k$ , и по счётной аддитивности меры

\sum_n|y_n|\mu(A_n) = \sum_n\sum_{k:\,c_k = y_n}|c_k|\mu(B_k) = \sum_k|c_k|\mu(B_k)

(ряды с неотрицательными членами можно переставлять). То же без модулей при абсолютной сходимости.

Если $f = y_i$ на $A_i$ , $g = z_j$ на $B_j$ , то $f + g = y_i + z_j$ на $A_i\cap B_j$ , и по п. 1

\int(f + g) = \sum_{i,j}(y_i + z_j)\mu(A_i\cap B_j) = \sum_iy_i\mu(A_i) + \sum_jz_j\mu(B_j).

3, 4. Следуют из п. 1 на общем измельчении разбиений. $\blacksquare$

Теорема Рисса о выборе почти всюду сходящейся подпоследовательности

Формулировка

Если $f_n\to f$ по мере, то из $f_n$ можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к $f$ почти всюду.

Доказательство

Развернуть

Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ так, чтобы множества $E_k = \{|f_{n_k} - f|\ge\frac1k\}$ имели меру $\mu(E_k) < 2^{-k}$ . Положим $R_i = \bigcup_{k\ge i}E_k$ , $Q = \bigcap_iR_i$ . Тогда $\mu(R_i) < 2^{1-i}$ и $\mu(Q) = 0$ .

Если $x\notin Q$ , то $x\notin R_i$ при некотором $i$ , то есть $|f_{n_k}(x) - f(x)| < \frac1k$ при всех $k\ge i$ . Значит, $f_{n_k}(x)\to f(x)$ вне множества меры нуль. $\blacksquare$

Теорема Егорова

Формулировка

Пусть $\mu(X) < \infty$ , измеримые функции $f_n$ сходятся почти всюду к функции $f$ , конечной почти всюду. Тогда для любого $\delta > 0$ существует измеримое множество $X_\delta$ с $\mu(X\setminus X_\delta) < \delta$ , на котором $f_n\rightrightarrows f$ .

Доказательство

Развернуть

$f$ измерима по теореме о пределе. Положим

X_n^m = \bigcap_{i\ge n}\Bigl\{|f_i - f| < \frac1m\Bigr\},\qquad X^m = \bigcup_nX_n^m.

При фиксированном $m$ множества $X_n^m$ возрастают по $n$ , а $X\setminus X^m$ содержится в множестве точек расходимости, так что $\mu(X\setminus X^m) = 0$ . По непрерывности меры $\mu(X^m\setminus X_n^m)\to 0$ ; выберем $n(m)$ с $\mu(X^m\setminus X_{n(m)}^m) < \delta2^{-m}$ .

Положим $X_\delta = \bigcap_mX_{n(m)}^m$ . Тогда

\mu(X\setminus X_\delta)\le\sum_m\mu(X\setminus X_{n(m)}^m)\le\sum_m\bigl(0 + \delta2^{-m}\bigr) = \delta,

и на $X_\delta$ при $i\ge n(m)$ выполнено $|f_i - f| < \frac1m$ — сходимость равномерна. (Уменьшив $\delta$ , получаем строгое неравенство.) $\blacksquare$

Предел последовательности измеримых функций

Формулировка

Если измеримые функции $f_n$ сходятся в каждой точке к $f$ , то $f$ измерима.
Функция, эквивалентная измеримой, измерима. Поэтому предел почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций измерим.

Доказательство

Развернуть

Проверим равенство

\{f < c\} = \bigcup_k\bigcup_n\bigcap_{m\ge n}\Bigl\{f_m < c - \frac1k\Bigr\}.

Если $f(x) < c$ , выберем $k$ с $f(x) < c - \frac2k$ . Тогда $f_m(x) < c - \frac1k$ при всех достаточно больших $m$ . Обратно, если $f_m(x) < c - \frac1k$ при всех $m\ge n$ , то $f(x)\le c - \frac1k < c$ . Правая часть измерима.

Пусть $g = f$ вне множества $N$ меры нуль. Тогда $\{g < c\}$ отличается от $\{f < c\}$ лишь подмножеством $N$ , а все подмножества $N$ измеримы (мера полна). $\blacksquare$

Равносильные определения измеримости. Примеры

Формулировка

Функция $f$ измерима тогда и только тогда, когда при всех $c$ измеримо любое из множеств $\{f\le c\}$ , $\{f > c\}$ , $\{f\ge c\}$ .
Непрерывная на отрезке функция измерима (по Лебегу). Монотонная функция измерима.

Доказательство

Развернуть

Пользуемся тем, что измеримые множества образуют $\sigma$ -алгебру:

\{f\le c\} = \bigcap_n\Bigl\{f < c + \frac1n\Bigr\},\quad\{f > c\} = X\setminus\{f\le c\},\quad\{f\ge c\} = \bigcap_n\Bigl\{f > c - \frac1n\Bigr\},\quad\{f < c\} = \bigcup_n\Bigl\{f\le c - \frac1n\Bigr\}.

Для непрерывной $f$ множество $\{f < c\}$ открыто в отрезке и потому измеримо. Для монотонной $f$ множество $\{f < c\}$ — промежуток. $\blacksquare$

Внешняя мера. Мера Лебега

Свойства внешней меры

Формулировка

Доказательство

Измеримые множества образуют алгебру

Формулировка

Доказательство

Теорема Лебега о σ-алгебре измеримых множеств

Формулировка

Доказательство

Непрерывность меры Лебега

Формулировка

Доказательство

Множества меры нуль. Полнота меры Лебега

Формулировка

Доказательство

Измеримость открытых, замкнутых и борелевских множеств

Формулировка

Доказательство

Существование неизмеримого множества (пример Витали)

Формулировка

Доказательство

Мера рациональных и иррациональных точек

Условие

Решение

Канторово множество

Условие

Решение

Числа без цифры 7 в десятичной записи

Условие

Решение

Открытое всюду плотное множество малой меры

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Внешняя мера

Измеримые по Лебегу множества. Мера Лебега

Множество меры нуль

Кольцо, алгебра, σ-алгебра множеств

Счётно-аддитивная мера

Внутренняя точка. Открытое множество

Продолжение счётно-аддитивной меры на минимальное кольцо

Формулировка

Доказательство

Свойства интеграла от простых функций

Формулировка

Доказательство

Теорема Рисса о выборе почти всюду сходящейся подпоследовательности

Формулировка

Доказательство

Теорема Егорова

Формулировка

Доказательство

Предел последовательности измеримых функций

Формулировка

Доказательство

Равносильные определения измеримости. Примеры

Формулировка

Доказательство