Интеграл Лебега

Прогресс изучения0 из 10

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы10

Свойства интеграла от простых функций
Корректность определения интеграла Лебега
Основные свойства интеграла Лебега
Неравенство Чебышёва
Счётная аддитивность интеграла Лебега
Абсолютная непрерывность интеграла Лебега
Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
Теорема Леви о монотонной сходимости
Лемма Фату
Сравнение интегралов Лебега и Римана

лемма

Свойства интеграла от простых функций

Формулировка

Если $f = c_k$ на попарно непересекающихся измеримых $B_k$ , $\bigsqcup B_k = A$ (числа $c_k$ могут повторяться), то $f$ интегрируема $\iff$ $\sum|c_k|\mu(B_k) < \infty$ , и тогда $\int_Af = \sum c_k\mu(B_k)$ .
Интеграл линеен на интегрируемых простых функциях.
Если $f$ проста и $|f|\le M$ , то $f$ интегрируема и $\left|\int_Af\right|\le\int_A|f|\le M\mu(A)$ ; если $f\ge 0$ , то $\int_Af\ge 0$ .
Если $f$ , $g$ просты, $|f|\le g$ и $g$ интегрируема, то $f$ интегрируема.

Доказательство

Развернуть

$A_n = \bigsqcup_{k:\,c_k = y_n}B_k$ , и по счётной аддитивности меры

\sum_n|y_n|\mu(A_n) = \sum_n\sum_{k:\,c_k = y_n}|c_k|\mu(B_k) = \sum_k|c_k|\mu(B_k)

(ряды с неотрицательными членами можно переставлять). То же без модулей при абсолютной сходимости.

Если $f = y_i$ на $A_i$ , $g = z_j$ на $B_j$ , то $f + g = y_i + z_j$ на $A_i\cap B_j$ , и по п. 1

\int(f + g) = \sum_{i,j}(y_i + z_j)\mu(A_i\cap B_j) = \sum_iy_i\mu(A_i) + \sum_jz_j\mu(B_j).

3, 4. Следуют из п. 1 на общем измельчении разбиений. $\blacksquare$

лемма

Корректность определения интеграла Лебега

Формулировка

Если интегрируемые простые функции $f_n$ сходятся к $f$ равномерно на $A$ , то предел $\lim\int_Af_n$ существует и не зависит от выбора последовательности. Для простой интегрируемой функции новое определение совпадает с прежним.

Доказательство

Развернуть

По свойствам интеграла простых функций

\left|\int_Af_n - \int_Af_m\right|\le\mu(A)\sup_A|f_n - f_m|\to 0,

так что числовая последовательность фундаментальна и сходится. Если $g_n\rightrightarrows f$ — другая такая последовательность, то последовательность $f_1, g_1, f_2, g_2, \dots$ тоже сходится равномерно к $f$ , и пределы интегралов совпадают. Для простой $f$ возьмём $f_n = f$ . $\blacksquare$

теорема

Основные свойства интеграла Лебега

Формулировка

На множестве $A$ конечной меры:

$\int_A1\,d\mu = \mu(A)$ ; интеграл линеен.
Ограниченная измеримая функция интегрируема; если $|f|\le M$ , то $\left|\int_Af\right|\le M\mu(A)$ .
Если $f\ge 0$ , то $\int_Af\ge 0$ ; если $f\le g$ , то $\int_Af\le\int_Ag$ .
Интегрируемая функция измерима. Если $f$ измерима, $|f|\le\varphi$ и $\varphi$ интегрируема, то $f$ интегрируема и $\left|\int_Af\right|\le\int_A\varphi$ . В частности, измеримая функция $f$ интегрируема $\iff$ $|f|$ интегрируема.
Если $f = g$ почти всюду и одна из функций интегрируема, то интегрируема и другая, и $\int_Af = \int_Ag$ .

Доказательство

Развернуть

Линейность переносится с простых функций предельным переходом.
Простые функции $f_n$ из теоремы о приближении ограничены, значит интегрируемы, и $f_n\rightrightarrows f$ . Оценка сохраняется в пределе.
Для $f\ge 0$ приближающие функции $f_n(x) = \frac kn$ при $\frac kn\le f < \frac{k+1}n$ неотрицательны. Они интегрируемы, так как отличаются от любых интегрируемых простых $g_m\rightrightarrows f$ на ограниченную простую функцию. Поэтому $\int_Af = \lim\int_Af_n\ge 0$ . Второе утверждение получаем, применив первое к $g - f$ .
Интегрируемая $f$ — равномерный предел измеримых функций. Пусть $f$ измерима, $|f|\le\varphi$ , $\varphi_n$ — интегрируемые простые функции с $\sup_A|\varphi - \varphi_n| < \frac1n$ (выбираются из равномерно сходящейся последовательности). Канонические приближения $f_n$ функции $f$ удовлетворяют $|f_n|\le|f| + \frac1n\le\varphi_n + \frac2n$ , и по лемме об интеграле простых функций $f_n$ интегрируемы. Оценка получается из монотонности. Наконец, если $f_n\rightrightarrows f$ , то $|f_n|\rightrightarrows|f|$ .
Функция $h = f - g$ равна нулю вне множества $N$ меры нуль. Её канонические приближения имеют ненулевые значения лишь на подмножествах $N$ , поэтому их интегралы равны нулю. Значит, $h$ интегрируема и $\int_Ah = 0$ . $\blacksquare$

лемма

Неравенство Чебышёва

Формулировка

Если $f\ge 0$ интегрируема на $A$ и $c > 0$ , то

\mu\{x\in A:\ f(x)\ge c\}\le\frac1c\int_Af\,d\mu.

Следствие: если $\int_A|f|\,d\mu = 0$ , то $f = 0$ почти всюду.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A' = \{f\ge c\}$ . Тогда $f\ge c\chi_{A'}$ на $A$ , и по монотонности $\int_Af\ge c\mu(A')$ .

Если $\int_A|f| = 0$ , то $\mu\{|f|\ge\frac1n\} = 0$ при всех $n$ , и $\mu\{f\ne 0\} = 0$ по счётной полуаддитивности. $\blacksquare$

теорема

Счётная аддитивность интеграла Лебега

Формулировка

Если $A = \bigsqcup_{n=1}^\infty A_n$ (измеримые множества) и $f$ интегрируема на $A$ , то $f$ интегрируема на каждом $A_n$ и

\int_Af\,d\mu = \sum_{n=1}^\infty\int_{A_n}f\,d\mu,

причём ряд сходится абсолютно.

Доказательство

Развернуть

Для простой $f = y_k$ на $B_k$ :

\int_Af = \sum_ky_k\mu(B_k) = \sum_ky_k\sum_n\mu(B_k\cap A_n) = \sum_n\sum_ky_k\mu(B_k\cap A_n) = \sum_n\int_{A_n}f.

Перестановка законна, так как $\sum_k\sum_n|y_k|\mu(B_k\cap A_n) = \sum_k|y_k|\mu(B_k) < \infty$ .

Общий случай. Возьмём интегрируемую простую $g$ с $|f - g| < \varepsilon$ на $A$ . Тогда $f$ интегрируема на $A_n$ , так как $|f|\le|g| + \varepsilon$ , и $\sum_n\left|\int_{A_n}f\right|\le\sum_n\int_{A_n}|g| + \varepsilon\mu(A) < \infty$ . Далее,

\Bigl|\int_Af - \sum_n\int_{A_n}f\Bigr|\le\Bigl|\int_A(f - g)\Bigr| + \sum_n\int_{A_n}|g - f|\le 2\varepsilon\mu(A),

и $\varepsilon$ произвольно. $\blacksquare$

теорема

Абсолютная непрерывность интеграла Лебега

Формулировка

Если $f$ интегрируема на $A$ , то для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для любого измеримого $e\subset A$ с $\mu(e) < \delta$

\int_e|f|\,d\mu < \varepsilon.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A_n = \{n\le|f| < n + 1\}$ , $n = 0, 1, \dots$ По счётной аддитивности $\sum_n\int_{A_n}|f| = \int_A|f| < \infty$ . Выберем $N$ с $\sum_{n>N}\int_{A_n}|f| < \frac\varepsilon2$ и положим $B = \bigsqcup_{n>N}A_n$ ; вне $B$ выполнено $|f| < N + 1$ .

Возьмём $\delta = \frac{\varepsilon}{2(N + 1)}$ . Если $\mu(e) < \delta$ , то

\int_e|f| = \int_{e\cap B}|f| + \int_{e\setminus B}|f|\le\int_B|f| + (N + 1)\mu(e) < \varepsilon.\qquad\blacksquare

теорема

Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Формулировка

Пусть измеримые функции $f_n$ сходятся к $f$ почти всюду на $A$ , $\mu(A) < \infty$ , и существует интегрируемая функция $\varphi$ с $|f_n|\le\varphi$ при всех $n$ . Тогда $f$ интегрируема и

\lim_{n\to\infty}\int_Af_n\,d\mu = \int_Af\,d\mu.

В частности, это верно для равномерно ограниченных функций, $|f_n|\le M$ .

Доказательство

Развернуть

$f$ измерима как предел почти всюду, и $|f|\le\varphi$ почти всюду, так что $f$ интегрируема.

Пусть $\varepsilon > 0$ . По абсолютной непрерывности найдём $\delta$ с $\int_e\varphi < \frac\varepsilon4$ при $\mu(e) < \delta$ . По теореме Егорова есть $B$ с $\mu(A\setminus B) < \delta$ , на котором $f_n\rightrightarrows f$ . Тогда

\left|\int_Af_n - \int_Af\right|\le\int_B|f_n - f| + \int_{A\setminus B}(|f_n| + |f|)\le\mu(A)\sup_B|f_n - f| + \frac\varepsilon2 < \varepsilon

при больших $n$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Леви о монотонной сходимости

Формулировка

Пусть интегрируемые на $A$ функции удовлетворяют условиям $f_1\le f_2\le\dots$ и $\int_Af_n\le K$ . Тогда предел $f(x) = \lim f_n(x)$ конечен почти всюду, $f$ интегрируема и

\int_Af_n\,d\mu\to\int_Af\,d\mu.

Доказательство

Развернуть

Заменив $f_n$ на $f_n - f_1$ (и $K$ на $K - \int_Af_1$ ), считаем $f_n\ge 0$ .

Конечность. По неравенству Чебышёва $\mu\{f_n > r\}\le K/r$ . Множества $\{f_n > r\}$ возрастают по $n$ , так что $\mu\{f > r\}\le K/r$ , а множество, где $f = +\infty$ , имеет меру не больше $K/r$ при любом $r$ , то есть нуль.

Интегрируемость. Пусть $A_r = \{r - 1\le f < r\}$ , $r\in\mathbb N$ , и $\varphi = r$ на $A_r$ (на множестве меры нуль, где $f = +\infty$ , положим $\varphi = 0$ ); тогда $f\le\varphi\le f + 1$ почти всюду. На $B_s = \bigsqcup_{r\le s}A_r$ функции $f_n$ ограничены числом $s$ , и по теореме Лебега $\int_{B_s}f_n\to\int_{B_s}f$ . Значит,

\sum_{r\le s}r\mu(A_r) = \int_{B_s}\varphi\le\int_{B_s}f + \mu(A)\le K + \mu(A).

Ряд $\sum r\mu(A_r)$ сходится, $\varphi$ — интегрируемая простая функция, и $f$ интегрируема.

Сходимость интегралов: $0\le f_n\le f$ , и применима теорема Лебега с мажорантой $f$ . $\blacksquare$

следствие

Лемма Фату

Формулировка

Если $f_n\ge 0$ интегрируемы на $A$ , $f_n\to f$ почти всюду и $\int_Af_n\le K$ , то $f$ интегрируема и $\int_Af\le K$ .

Доказательство

Развернуть

Функции $\varphi_n = \inf_{k\ge n}f_k$ измеримы, $0\le\varphi_n\le f_n$ , поэтому интегрируемы и $\int\varphi_n\le K$ . Они возрастают и почти всюду стремятся к $f$ . По теореме Леви $f$ интегрируема и $\int f = \lim\int\varphi_n\le K$ . $\blacksquare$

теорема

Сравнение интегралов Лебега и Римана

Формулировка

Если функция $f$ интегрируема по Риману на $[a, b]$ , то она интегрируема по Лебегу, и интегралы совпадают.

Доказательство

Развернуть

Возьмём последовательность измельчающихся разбиений $T_n$ отрезка с диаметром $\to 0$ . Пусть $\varphi_n$ , $\psi_n$ — ступенчатые функции, равные на каждом отрезке разбиения нижней и верхней граням $f$ (в точках разбиения — произвольно; это счётное множество меры нуль). Это простые функции, их интегралы Лебега — суммы Дарбу $s_n$ , $S_n$ , и $s_n, S_n\to I = \int_a^bf\,dx$ .

При измельчении $\varphi_n$ возрастают, $\psi_n$ убывают, $\varphi_n\le f\le\psi_n$ . Пределы $\varphi$ , $\psi$ измеримы и ограничены. По теореме Лебега (ограниченная сходимость) $\int\varphi = \lim s_n = I = \lim S_n = \int\psi$ .

Значит, $\int(\psi - \varphi) = 0$ при $\psi - \varphi\ge 0$ , и по следствию неравенства Чебышёва $\psi = \varphi$ почти всюду. Тогда $f = \varphi$ почти всюду, $f$ измерима (мера полна) и $\int f = \int\varphi = I$ . $\blacksquare$

Интеграл от функции Дирихле

Условие

Вычислить интеграл Лебега от функции Дирихле по $[0, 1]$ .

Решение

Развернуть

$D$ — простая функция: $1$ на множестве рациональных точек меры $0$ и $0$ на множестве иррациональных точек меры $1$ . Поэтому $\int_{[0,1]}D\,dx = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0$ . По Риману эта функция не интегрируема.

Функция, отличающаяся от x² на счётном множестве

Условие

Вычислить $\int_{[0,1]}f\,dx$ , где $f(x) = x^2$ в иррациональных точках и $f(x) = 1$ в рациональных.

Решение

Развернуть

$f = x^2$ почти всюду, поэтому $\int f = \int x^2\,dx$ . Функция $x^2$ интегрируема по Риману, интегралы совпадают: $\int_0^1x^2\,dx = \frac13$ .

Предельный переход с ограниченной мажорантой

Условие

Найти $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{nx}{1 + n^2x^2}\,dx$ .

Решение

Развернуть

$f_n(x)\to 0$ при каждом $x$ (при $x = 0$ функция равна нулю, при $x > 0$ она ведёт себя как $\frac1{nx}$ ). Так как $2nx\le 1 + n^2x^2$ , имеем $0\le f_n\le\frac12$ — интегрируемая мажоранта. По теореме Лебега предел равен $0$ .

Проверка: $\int_0^1f_n = \frac{\ln(1 + n^2)}{2n}\to 0$ .

Без мажоранты предельный переход невозможен

Условие

Пусть $f_n = n\chi_{(0, 1/n)}$ на $[0, 1]$ . Найти $\lim f_n$ , $\lim\int f_n$ и объяснить, почему не применима теорема Лебега.

Решение

Развернуть

При любом $x$ имеем $f_n(x) = 0$ для $n > 1/x$ (и $f_n(0) = 0$ ), так что $f_n\to 0$ всюду. Но $\int f_n = n\cdot\frac1n = 1$ , то есть $\lim\int f_n = 1\ne 0 = \int\lim f_n$ .

Мажоранта $\varphi = \sup_nf_n$ равна примерно $\frac1x$ и неинтегрируема. Лемма Фату даёт лишь неравенство $\int\lim f_n = 0\le 1$ , и оно строгое.

Предел интеграла от (1 + x/n)^{−n}

Условие

Найти $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^1\left(1 + \frac xn\right)^{-n}dx$ .

Решение

Развернуть

$\left(1 + \frac xn\right)^{-n}\to e^{-x}$ и $0 < \left(1 + \frac xn\right)^{-n}\le 1$ . По теореме Лебега

\lim\int_0^1\left(1 + \frac xn\right)^{-n}dx = \int_0^1e^{-x}\,dx = 1 - \frac1e.

Интегрируемость функций x^{−1/2} и x^{−1}

Условие

Выяснить, интегрируемы ли по Лебегу на $(0, 1]$ функции $x^{-1/2}$ и $x^{-1}$ , и вычислить интеграл, если он существует.

Решение

Развернуть

Срезки $f_n = \min(x^{-1/2}, n)$ ограничены, возрастают и стремятся к $x^{-1/2}$ . Так как $x^{-1/2}\ge n$ при $x\le n^{-2}$ ,

\int_0^1f_n = n\cdot\frac1{n^2} + \int_{1/n^2}^1x^{-1/2}\,dx = 2 - \frac1n\le 2.

По теореме Леви $x^{-1/2}$ интегрируема, и $\int = 2$ .

Для $g_n = \min(x^{-1}, n)$ : $\int g_n = 1 + \ln n\to\infty$ . Если бы $x^{-1}$ была интегрируема, то по монотонности $\int g_n\le\int x^{-1}$ — противоречие. Значит, $x^{-1}$ неинтегрируема.

Несобственный интеграл Римана, не существующий по Лебегу

Условие

Доказать, что функция $f(x) = \dfrac1x\sin\dfrac1x$ имеет сходящийся несобственный интеграл Римана на $(0, 1]$ , но не интегрируема по Лебегу.

Решение

Развернуть

Замена $t = 1/x$ даёт $\int_0^1f\,dx = \int_1^\infty\frac{\sin t}t\,dt$ — интеграл Дирихле, сходящийся условно.

Если бы $f$ была интегрируема по Лебегу, то была бы интегрируема и $|f|$ . Разобьём $(0, \frac1\pi]$ на множества $A_k = \bigl(\frac1{(k+1)\pi}, \frac1{k\pi}\bigr]$ . На каждом $A_k$ функция непрерывна и ограничена, и интеграл Лебега равен интегралу Римана:

\int_{A_k}|f|\,dx = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}t\,dt\ge\frac{2}{(k + 1)\pi}.

По счётной аддитивности $\int|f|\ge\sum_k\frac2{(k + 1)\pi} = \infty$ — противоречие.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Интеграл Лебега от простой функции

Пусть $A$ — измеримое множество, $\mu(A) < \infty$ , $f$ — простая функция на $A$ с различными значениями $y_n$ на множествах $A_n = \{x\in A:\ f(x) = y_n\}$ . Функция $f$ называется интегрируемой на $A$ , если

\sum_n|y_n|\,\mu(A_n) < \infty,

и тогда её интегралом Лебега называется сумма абсолютно сходящегося ряда

\int_Af\,d\mu = \sum_ny_n\,\mu(A_n).

Интеграл Лебега

Функция $f$ на множестве $A$ конечной меры называется интегрируемой по Лебегу, если существует последовательность интегрируемых простых функций $f_n$ , равномерно сходящаяся к $f$ на $A$ . Интегралом Лебега называется

\int_Af\,d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_Af_n\,d\mu.

Для подмножества $A'\subset A$ полагают $\int_{A'}f\,d\mu = \int_Af\chi_{A'}\,d\mu$ . На отрезке с мерой Лебега пишут $\int_{[a,b]}f(x)\,dx$ .

Простая функция

Функция $f$ на $X$ называется простой, если она измерима и принимает не более чем счётное множество значений. Если $y_1, y_2, \dots$ — её различные значения, то $f = y_n$ на измеримых множествах $A_n = \{f = y_n\}$ , которые попарно не пересекаются и в объединении дают $X$ .

Обратно, функция, принимающая постоянное значение на каждом из счётного числа попарно непересекающихся измеримых множеств, покрывающих $X$ , проста.

Почти всюду. Эквивалентные функции

Говорят, что свойство выполнено почти всюду (п. в.) на $X$ , если множество точек, где оно нарушается, имеет меру нуль.

Функции $f$ и $g$ называются эквивалентными ( $f\sim g$ ), если $f = g$ почти всюду.

Последовательность $f_n$ сходится почти всюду к $f$ , если $f_n(x)\to f(x)$ для всех $x$ , кроме множества меры нуль.

Теорема Лебега о σ-алгебре измеримых множеств

Формулировка

Измеримые по Лебегу множества образуют $\sigma$ -алгебру, и мера Лебега $\mu$ на ней счётно-аддитивна.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A = \bigcup_nA_n$ , $A_n\in\mathfrak M$ . Множества $A_n' = A_n\setminus\bigcup_{k<n}A_k$ измеримы, попарно не пересекаются, и $A = \bigsqcup A_n'$ . По аддитивности

\sum_{n\le N}\mu(A_n') = \mu\Bigl(\bigsqcup_{n\le N}A_n'\Bigr)\le\mu^*(E) < \infty,

поэтому ряд $\sum\mu(A_n')$ сходится. Выберем $N$ с $\sum_{n>N}\mu(A_n') < \frac\varepsilon2$ . Множество $C = \bigsqcup_{n\le N}A_n'$ измеримо: найдётся $B\in R(S)$ с $\mu^*(C\mathbin\triangle B) < \frac\varepsilon2$ . Так как $A\mathbin\triangle B\subset(C\mathbin\triangle B)\cup\bigsqcup_{n>N}A_n'$ , по полуаддитивности $\mu^*(A\mathbin\triangle B) < \varepsilon$ . Значит, $A\in\mathfrak M$ .

Счётная аддитивность: $\mu(A)\le\sum\mu(A_n')$ по полуаддитивности, и $\mu(A)\ge\mu\bigl(\bigsqcup_{n\le N}A_n'\bigr) = \sum_{n\le N}\mu(A_n')$ при любом $N$ . $\blacksquare$

Приближение измеримой функции простыми

Формулировка

Функция $f$ измерима тогда и только тогда, когда она является равномерным пределом последовательности простых функций. Для ограниченной $f$ простые функции можно взять с конечным числом значений.

Доказательство

Развернуть

Пусть $f$ измерима. Положим $f_n(x) = \frac kn$ при $\frac kn\le f(x) < \frac{k+1}n$ , $k\in\mathbb Z$ . Множества $\{\frac kn\le f < \frac{k+1}n\}$ измеримы, так что $f_n$ проста, и $0\le f - f_n < \frac1n$ . Для ограниченной $f$ значений конечное число.

Обратно, равномерный (и даже поточечный) предел измеримых функций измерим. $\blacksquare$

Предел последовательности измеримых функций

Формулировка

Если измеримые функции $f_n$ сходятся в каждой точке к $f$ , то $f$ измерима.
Функция, эквивалентная измеримой, измерима. Поэтому предел почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций измерим.

Доказательство

Развернуть

Проверим равенство

\{f < c\} = \bigcup_k\bigcup_n\bigcap_{m\ge n}\Bigl\{f_m < c - \frac1k\Bigr\}.

Если $f(x) < c$ , выберем $k$ с $f(x) < c - \frac2k$ . Тогда $f_m(x) < c - \frac1k$ при всех достаточно больших $m$ . Обратно, если $f_m(x) < c - \frac1k$ при всех $m\ge n$ , то $f(x)\le c - \frac1k < c$ . Правая часть измерима.

Пусть $g = f$ вне множества $N$ меры нуль. Тогда $\{g < c\}$ отличается от $\{f < c\}$ лишь подмножеством $N$ , а все подмножества $N$ измеримы (мера полна). $\blacksquare$

Регулярные обобщённые функции

Формулировка

Локально интегрируемая функция $f$ задаёт обобщённую функцию $(f, \varphi) = \int f\varphi\,dx$ .
Если непрерывная $f$ удовлетворяет условию $\int f\varphi = 0$ для всех $\varphi\in\mathcal D$ , то $f\equiv 0$ . Поэтому разные непрерывные функции задают разные обобщённые функции (для локально интегрируемых — с точностью до эквивалентности).

Доказательство

Развернуть

Линейность очевидна. Если $\varphi_n\to\varphi$ в $\mathcal D$ и все носители в $[-a, a]$ , то

|(f, \varphi_n) - (f, \varphi)|\le\int_{-a}^a|f|\,dx\cdot\max|\varphi_n - \varphi|\to 0.

Пусть $f(x_0) > 0$ . Тогда $f > 0$ на $(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)$ . Для $\varphi(x) = \omega\bigl((x - x_0)/\varepsilon\bigr)\ge 0$ интеграл $\int f\varphi > 0$ — противоречие. $\blacksquare$

Неравенство Гёльдера для интегралов

Формулировка

Пусть $p > 1$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ , $f\in L_p$ , $g\in L_q$ . Тогда $fg\in L_1$ и

\int_X|fg|\,d\mu\le\|f\|_p\,\|g\|_q.

При $p = q = 2$ это неравенство Коши–Буняковского.

Доказательство

Развернуть

Если одна из норм равна нулю, например $\|f\|_p = 0$ , то $f = 0$ почти всюду и обе части равны нулю. Пусть нормы положительны. По неравенству Юнга с $a = |f|/\|f\|_p$ , $b = |g|/\|g\|_q$

\frac{|fg|}{\|f\|_p\|g\|_q}\le\frac{|f|^p}{p\|f\|_p^p} + \frac{|g|^q}{q\|g\|_q^q}.

Правая часть интегрируема, а $fg$ измерима, поэтому $fg$ интегрируема. Интегрируя, получаем справа $\frac1p + \frac1q = 1$ . $\blacksquare$

Сходимость в Lₚ и сходимость по мере

Формулировка

Если $f_n\to f$ в $L_p$ , то $f_n\to f$ по мере, и некоторая подпоследовательность сходится к $f$ почти всюду.

Доказательство

Развернуть

По неравенству Чебышёва для $|f_n - f|^p$

\mu\{|f_n - f|\ge\delta\} = \mu\{|f_n - f|^p\ge\delta^p\}\le\frac{\|f_n - f\|_p^p}{\delta^p}\to 0.

Подпоследовательность, сходящаяся почти всюду, существует по теореме Рисса. $\blacksquare$

Дельта-функция — сингулярная обобщённая функция

Формулировка

$\delta$ — обобщённая функция, но не регулярная: не существует локально интегрируемой $f$ с $\int f\varphi\,dx = \varphi(0)$ для всех $\varphi\in\mathcal D$ .

Доказательство

Развернуть

Линейность и непрерывность очевидны: из $\varphi_n\to\varphi$ следует $\varphi_n(0)\to\varphi(0)$ .

Пусть $\delta = f$ . Возьмём $\varphi_\varepsilon(x) = \omega(x/\varepsilon)$ : $\varphi_\varepsilon(0) = e^{-1}$ , $0\le\varphi_\varepsilon\le e^{-1}$ , $\varphi_\varepsilon = 0$ при $|x|\ge\varepsilon$ . Тогда

e^{-1} = \varphi_\varepsilon(0) = \int f\varphi_\varepsilon\le e^{-1}\int_{-\varepsilon}^\varepsilon|f|\,dx\to 0

по абсолютной непрерывности интеграла — противоречие. $\blacksquare$

Теорема Егорова

Формулировка

Пусть $\mu(X) < \infty$ , измеримые функции $f_n$ сходятся почти всюду к функции $f$ , конечной почти всюду. Тогда для любого $\delta > 0$ существует измеримое множество $X_\delta$ с $\mu(X\setminus X_\delta) < \delta$ , на котором $f_n\rightrightarrows f$ .

Доказательство

Развернуть

$f$ измерима по теореме о пределе. Положим

X_n^m = \bigcap_{i\ge n}\Bigl\{|f_i - f| < \frac1m\Bigr\},\qquad X^m = \bigcup_nX_n^m.

При фиксированном $m$ множества $X_n^m$ возрастают по $n$ , а $X\setminus X^m$ содержится в множестве точек расходимости, так что $\mu(X\setminus X^m) = 0$ . По непрерывности меры $\mu(X^m\setminus X_n^m)\to 0$ ; выберем $n(m)$ с $\mu(X^m\setminus X_{n(m)}^m) < \delta2^{-m}$ .

Положим $X_\delta = \bigcap_mX_{n(m)}^m$ . Тогда

\mu(X\setminus X_\delta)\le\sum_m\mu(X\setminus X_{n(m)}^m)\le\sum_m\bigl(0 + \delta2^{-m}\bigr) = \delta,

и на $X_\delta$ при $i\ge n(m)$ выполнено $|f_i - f| < \frac1m$ — сходимость равномерна. (Уменьшив $\delta$ , получаем строгое неравенство.) $\blacksquare$

Полнота пространства Lₚ

Формулировка

Пространство $L_p(X)$ , $1\le p < \infty$ , полно, то есть является банаховым пространством.

Доказательство

Развернуть

Пусть $f_n$ фундаментальна. Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ с $\|f_{n_{k+1}} - f_{n_k}\|_p < 2^{-k}$ и положим

g_m = |f_{n_1}| + \sum_{k<m}|f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|.

По неравенству Минковского $\|g_m\|_p\le\|f_{n_1}\|_p + 1 =: C$ . Функции $g_m^p$ возрастают и $\int g_m^p\le C^p$ . По теореме Леви $g = \lim g_m$ конечна почти всюду и $g^p$ интегрируема.

Значит, ряд $f_{n_1} + \sum_k(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ сходится абсолютно почти всюду, то есть $f_{n_k}\to f$ почти всюду, причём $|f|\le g$ , так что $f\in L_p$ . Так как $|f_{n_k} - f|^p\le(2g)^p$ , по теореме Лебега $\|f_{n_k} - f\|_p\to 0$ . Фундаментальная последовательность со сходящейся подпоследовательностью сходится. $\blacksquare$

Плотные множества в Lₚ[a, b]. Lₚ как пополнение Cₚ

Формулировка

В $L_p[a, b]$ , $1\le p < \infty$ , всюду плотны множества ограниченных измеримых функций, простых функций с конечным числом значений, ступенчатых функций и непрерывных функций. Следовательно, $L_p[a, b]$ — пополнение пространства $C_p[a, b]$ , и оно сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Срезки $f_N = f\chi_{\{|f|\le N\}}$ ограничены, $|f - f_N|^p\le|f|^p$ и $f - f_N\to 0$ всюду. По теореме Лебега $\|f - f_N\|_p\to 0$ .
Ограниченная $f$ равномерно приближается простыми функциями $g$ с конечным числом значений, и $\|f - g\|_p\le(b - a)^{1/p}\sup|f - g|$ .
Простая функция — линейная комбинация характеристических функций $\chi_e$ измеримых множеств. По определению измеримости найдётся конечное объединение полуинтервалов $B$ с $\mu(e\mathbin\triangle B) < \varepsilon$ . Тогда $\|\chi_e - \chi_B\|_p = \mu(e\mathbin\triangle B)^{1/p}$ , а $\chi_B$ — ступенчатая функция.
$\chi_{[c, d)}$ приближается непрерывной «трапецией», отличающейся от неё лишь на множестве меры $2\eta$ и не превосходящей $1$ по модулю. Расстояние в $L_p$ не больше $(2\eta)^{1/p}$ .

Итак, $C_p[a, b]$ плотно в полном пространстве $L_p[a, b]$ , и по теореме о пополнении (единственность) $L_p$ — пополнение $C_p$ . Ступенчатые функции с рациональными точками разрыва и значениями образуют счётное всюду плотное множество. $\blacksquare$

Интеграл Лебега

Свойства интеграла от простых функций

Формулировка

Доказательство

Корректность определения интеграла Лебега

Формулировка

Доказательство

Основные свойства интеграла Лебега

Формулировка

Доказательство

Неравенство Чебышёва

Формулировка

Доказательство

Счётная аддитивность интеграла Лебега

Формулировка

Доказательство

Абсолютная непрерывность интеграла Лебега

Формулировка

Доказательство

Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Формулировка

Доказательство

Теорема Леви о монотонной сходимости

Формулировка

Доказательство

Лемма Фату

Формулировка

Доказательство

Сравнение интегралов Лебега и Римана

Формулировка

Доказательство

Интеграл от функции Дирихле

Условие

Решение

Функция, отличающаяся от x² на счётном множестве

Условие

Решение

Предельный переход с ограниченной мажорантой

Условие

Решение

Без мажоранты предельный переход невозможен

Условие

Решение

Предел интеграла от (1 + x/n)^{−n}

Условие

Решение

Интегрируемость функций x^{−1/2} и x^{−1}

Условие

Решение

Несобственный интеграл Римана, не существующий по Лебегу

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Интеграл Лебега от простой функции

Интеграл Лебега

Простая функция

Почти всюду. Эквивалентные функции

Теорема Лебега о σ-алгебре измеримых множеств

Формулировка

Доказательство

Приближение измеримой функции простыми

Формулировка

Доказательство

Предел последовательности измеримых функций

Формулировка

Доказательство

Регулярные обобщённые функции

Формулировка

Доказательство

Неравенство Гёльдера для интегралов

Формулировка

Доказательство

Сходимость в Lₚ и сходимость по мере

Формулировка

Доказательство

Дельта-функция — сингулярная обобщённая функция

Формулировка

Доказательство

Теорема Егорова