Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра

Прогресс изучения0 из 8

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы8

Ограниченность оператора Гильберта–Шмидта
Приближение ядра вырожденными ядрами
Компактность оператора Гильберта–Шмидта
Сопряжённый к интегральному оператору
Уравнения с симметричным ядром. Теорема Гильберта–Шмидта для ядер
Решение уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром
У ядра Вольтерра нет характеристических чисел
Сведение краевых задач и задач Коши к интегральным уравнениям

теорема

Ограниченность оператора Гильберта–Шмидта

Формулировка

Оператор Гильберта–Шмидта отображает $L_2[a, b]$ в себя, ограничен, и

\|A\|\le\|K\|_{L_2(Q)}.

Доказательство

Развернуть

По теореме Фубини для почти всех $t$ функция $K(t, \cdot)$ лежит в $L_2[a, b]$ , а $\int|K(t, s)|^2\,ds$ интегрируема по $t$ . По неравенству Коши–Буняковского

|(Ax)(t)|^2\le\int_a^b|K(t, s)|^2\,ds\cdot\|x\|^2.

Интегрируя по $t$ , получаем $\|Ax\|^2\le\|K\|^2_{L_2(Q)}\|x\|^2$ . Измеримость $Ax$ также следует из теоремы Фубини. $\blacksquare$

лемма

Приближение ядра вырожденными ядрами

Формулировка

Для любого ядра Гильберта–Шмидта $K$ и любого $\varepsilon > 0$ существует вырожденное ядро $K_n$ (с многочленами $a_i$ , $b_i$ ) такое, что $\|K - K_n\|_{L_2(Q)} < \varepsilon$ . Если $K$ непрерывно, то $K_n$ можно выбрать так, что $\max_Q|K - K_n| < \varepsilon$ .

Доказательство

Развернуть

Как и в одномерном случае (теорема о плотных множествах в $L_p$ ), непрерывные функции всюду плотны в $L_2(Q)$ . Измеримое множество приближается конечным объединением прямоугольников, а его характеристическая функция — непрерывными функциями. По теореме Вейерштрасса непрерывная на $Q$ функция равномерно приближается многочленами $P(t, s) = \sum c_{ij}t^is^j$ , а $\|g\|_{L_2(Q)}\le(b - a)\max_Q|g|$ . Многочлен — вырожденное ядро: $P = \sum_i t^i\bigl(\sum_jc_{ij}s^j\bigr)$ . $\blacksquare$

теорема

Компактность оператора Гильберта–Шмидта

Формулировка

Оператор Гильберта–Шмидта компактен в $L_2[a, b]$ .

Доказательство

Развернуть

Возьмём вырожденные ядра $K_n$ с $\|K - K_n\|_{L_2(Q)}\to 0$ . Соответствующие операторы $A_n$ конечномерны и ограничены, то есть компактны. По оценке нормы оператора Гильберта–Шмидта $\|A - A_n\|\le\|K - K_n\|_{L_2(Q)}\to 0$ , и по теореме о пределе компактных операторов $A$ компактен. $\blacksquare$

теорема

Сопряжённый к интегральному оператору

Формулировка

Оператор, сопряжённый к оператору Гильберта–Шмидта с ядром $K(t, s)$ , — оператор Гильберта–Шмидта с ядром

K^*(t, s) = \overline{K(s, t)}.

Оператор самосопряжён тогда и только тогда, когда ядро эрмитово (в вещественном случае — симметрично).

Доказательство

Развернуть

По теореме Фубини (подынтегральная функция интегрируема на $Q$ по неравенству Коши–Буняковского)

(Ax, y) = \int_a^b\!\!\int_a^bK(t, s)x(s)\overline{y(t)}\,ds\,dt = \int_a^bx(s)\overline{\int_a^b\overline{K(t, s)}y(t)\,dt}\,ds = (x, A^*y),

где $(A^*y)(s) = \int_a^b\overline{K(t, s)}y(t)\,dt$ . Переобозначив переменные, получаем ядро $\overline{K(s, t)}$ . Операторы с ядрами, совпадающими почти всюду, совпадают, и обратно. $\blacksquare$

теорема

Уравнения с симметричным ядром. Теорема Гильберта–Шмидта для ядер

Формулировка

Пусть $K\not\equiv 0$ — вещественное симметричное ядро Гильберта–Шмидта. Тогда:

ядро имеет хотя бы одно характеристическое число; все характеристические числа $\mu_k$ вещественны, их не более чем счётно, $|\mu_k|\to\infty$ , кратность каждого конечна; собственные функции $\varphi_k$ можно выбрать ортонормированными;
для любой $f = Ah$ , $h\in L_2$ («истокообразно представимой») $f = \sum_k\frac{(h, \varphi_k)}{\mu_k}\varphi_k$ ;
справедливы равенства

K(t, s) = \sum_k\frac{\varphi_k(t)\varphi_k(s)}{\mu_k}\ \ \text{в } L_2(Q),\qquad\sum_k\frac1{\mu_k^2} = \int_a^b\!\!\int_a^bK^2(t, s)\,dt\,ds.

Доказательство

Развернуть

Оператор $A$ компактен и самосопряжён, и $\mu_k = 1/\lambda_k$ , где $\lambda_k$ — его ненулевые собственные значения. П. 1 следует из теоремы о собственном значении $\pm\|A\|$ и теоремы Гильберта–Шмидта, п. 2 — из формулы $Ah = \sum\lambda_k(h, \varphi_k)\varphi_k$ .

П. 3. Для почти всех $t$ функция $K(t, \cdot)\in L_2$ , и её коэффициенты Фурье $\int K(t, s)\varphi_k(s)\,ds = (A\varphi_k)(t) = \lambda_k\varphi_k(t)$ . Для $h\in\operatorname{Ker}A$ имеем $(K(t, \cdot), h) = (Ah)(t) = 0$ . Поэтому разложение $K(t, \cdot)$ по системе $\varphi_k$ полно, и по равенству Парсеваля

\int_a^bK^2(t, s)\,ds = \sum_k\lambda_k^2\varphi_k^2(t).

Интегрируя по $t$ , получаем второе равенство. Первое следует из него же: остаток ряда в $L_2(Q)$ равен $\sum_{k>N}\lambda_k^2\to 0$ . $\blacksquare$

следствие

Решение уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром

Формулировка

Пусть $K$ — симметричное ядро Гильберта–Шмидта с характеристическими числами $\mu_k$ и ортонормированными собственными функциями $\varphi_k$ , $f_k = (f, \varphi_k)$ . Если $\lambda\ne\mu_k$ , то уравнение $x - \lambda\int_a^bK(t, s)x(s)\,ds = f$ имеет единственное решение (формула Шмидта)

x = f + \lambda\sum_k\frac{f_k}{\mu_k - \lambda}\varphi_k.

Если $\lambda = \mu_j$ , уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогональна всем собственным функциям, отвечающим $\mu_j$ ; решение определено с точностью до их линейной комбинации.

Доказательство

Развернуть

Это теорема о решении уравнения второго рода с компактным самосопряжённым оператором при $\mu = \lambda$ и $\lambda_k = 1/\mu_k$ : $\frac{\lambda\lambda_k}{1 - \lambda\lambda_k} = \frac{\lambda}{\mu_k - \lambda}$ . $\blacksquare$

следствие

У ядра Вольтерра нет характеристических чисел

Формулировка

Однородное уравнение Вольтерра второго рода $x(t) = \lambda\int_a^tK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным ядром имеет только нулевое решение при любом $\lambda$ , а неоднородное однозначно разрешимо при любых $\lambda$ и $f$ .

Доказательство

Развернуть

Если $x\in L_2[a, b]$ — решение однородного уравнения, то $x = \lambda Vx$ непрерывна: интеграл $\int_a^tK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным ядром от интегрируемой функции непрерывен по $t$ . Поэтому достаточно рассмотреть уравнение в $C[a, b]$ .

По теореме об уравнении Вольтерра оно однозначно разрешимо в $C[a, b]$ при любом $\lambda$ , в частности, при $f = 0$ его решение — нулевое. Иначе говоря, спектр оператора Вольтерра содержится в $\{0\}$ , и характеристических чисел ( $1/\lambda$ для ненулевых собственных значений) нет. $\blacksquare$

теорема

Сведение краевых задач и задач Коши к интегральным уравнениям

Формулировка

Краевая задача $-x'' = \mu x + f(t)$ , $x(0) = x(1) = 0$ ( $f$ непрерывна) равносильна уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром (функцией Грина)

x(t) = \mu\int_0^1G(t, s)x(s)\,ds + \int_0^1G(t, s)f(s)\,ds,\qquad G(t, s) = \begin{cases}s(1 - t), & s\le t,\\ t(1 - s), & s\ge t.\end{cases}

Задача Коши $x'' + a(t)x = f(t)$ , $x(0) = x_0$ , $x'(0) = x_1$ равносильна уравнению Вольтерра второго рода

x(t) = x_0 + x_1t + \int_0^t(t - s)\bigl(f(s) - a(s)x(s)\bigr)\,ds.

Доказательство

Развернуть

Для непрерывной $\varphi$ положим $g(t) = \int_0^1G(t, s)\varphi(s)\,ds = (1 - t)\int_0^ts\varphi(s)\,ds + t\int_t^1(1 - s)\varphi(s)\,ds$ . Дифференцируя, получаем

g'(t) = -\int_0^ts\varphi\,ds + \int_t^1(1 - s)\varphi\,ds,\qquad g''(t) = -t\varphi(t) - (1 - t)\varphi(t) = -\varphi(t),

и $g(0) = g(1) = 0$ . Задача $-g'' = \varphi$ , $g(0) = g(1) = 0$ имеет единственное решение (разность двух решений линейна и равна нулю на концах). Поэтому $x$ решает краевую задачу тогда и только тогда, когда $x = \int G(\mu x + f)\,ds$ .

Если $x$ — решение задачи Коши, то по формуле Тейлора с остатком в интегральной форме $x(t) = x_0 + x_1t + \int_0^t(t - s)x''(s)\,ds$ , и $x'' = f - ax$ . Обратно, дважды дифференцируя интегральное уравнение, получаем дифференциальное уравнение и начальные условия. $\blacksquare$

Классификация интегральных уравнений

Условие

Определить тип уравнений и симметричность ядра:

а) $\int_0^1e^{ts}x(s)\,ds = t$ ; б) $x(t) - \int_0^t\sin(t - s)x(s)\,ds = 1$ ; в) $x(t) = \lambda\int_0^1(t + s)x(s)\,ds$ ; г) $\int_0^tx(s)\,ds = t^2$ .

Решение

Развернуть

а) Фредгольма первого рода, ядро симметрично.

б) Вольтерра второго рода; однозначно разрешимо.

в) Однородное Фредгольма второго рода, ядро симметрично и вырождено ( $t\cdot 1 + 1\cdot s$ ).

г) Вольтерра первого рода; дифференцируя, получаем $x(t) = 2t$ .

Оценка нормы через ядро и точное значение

Условие

Для оператора с ядром $K(t, s) = \min(t, s)$ в $L_2[0, 1]$ сравнить оценку $\|A\|\le\|K\|_{L_2(Q)}$ с точным значением $\|A\| = \frac4{\pi^2}$ и проверить равенство $\sum 1/\mu_k^2 = \|K\|^2_{L_2(Q)}$ .

Решение

Развернуть

$\int_0^1\!\!\int_0^1\min(t, s)^2\,ds\,dt = 2\int_0^1\!\!\int_0^ts^2\,ds\,dt = 2\int_0^1\frac{t^3}3\,dt = \frac16$ . Оценка: $\|A\|\le\frac1{\sqrt6}\approx 0{,}408$ , точное значение $\frac4{\pi^2}\approx 0{,}405$ .

Характеристические числа $\mu_k = \left(k - \frac12\right)^2\pi^2$ , и

\sum_k\frac1{\mu_k^2} = \frac{16}{\pi^4}\sum_k\frac1{(2k - 1)^4} = \frac{16}{\pi^4}\cdot\frac{\pi^4}{96} = \frac16.

Функция Грина и характеристические числа

Условие

Найти характеристические числа и собственные функции ядра $G(t, s)$ из теоремы о сведении краевой задачи и проверить равенство $\sum1/\mu_k^2 = \|G\|^2_{L_2(Q)}$ .

Решение

Развернуть

Однородное уравнение $x = \mu\int G x$ равносильно задаче $x'' + \mu x = 0$ , $x(0) = x(1) = 0$ . Её ненулевые решения: $\mu_k = k^2\pi^2$ , $\varphi_k = \sqrt2\sin k\pi t$ .

$\|G\|^2 = 2\int_0^1(1 - t)^2\int_0^ts^2\,ds\,dt = \frac23\int_0^1t^3(1 - t)^2\,dt = \frac23\cdot\frac1{60} = \frac1{90}$ , и $\sum\frac1{k^4\pi^4} = \frac1{\pi^4}\cdot\frac{\pi^4}{90} = \frac1{90}$ .

Неоднородное уравнение с ядром min(t, s)

Условие

Решить уравнение $x(t) = \mu\int_0^1\min(t, s)x(s)\,ds + t$ .

Решение

Развернуть

Для $y = \int_0^1\min(t, s)x(s)\,ds$ выполнено $y'' = -x$ , $y(0) = 0$ , $y'(1) = 0$ . Поэтому $x = \mu y + t$ удовлетворяет

x'' = -\mu x,\qquad x(0) = 0,\qquad x'(1) = 1.

При $\mu = \omega^2 > 0$ : $x = C\sin\omega t$ , $C\omega\cos\omega = 1$ , откуда

x(t) = \frac{\sin\omega t}{\omega\cos\omega},\qquad\cos\omega\ne 0.

При $\mu = -\kappa^2 < 0$ : $x = \dfrac{\operatorname{sh}\kappa t}{\kappa\operatorname{ch}\kappa}$ ; при $\mu = 0$ : $x = t$ .

При $\mu\ne\left(k - \frac12\right)^2\pi^2$ интегральное уравнение однозначно разрешимо (формула Шмидта), а краевая задача имеет единственное решение. Поэтому найденная функция и есть решение уравнения.

Значения $\mu = \left(k - \frac12\right)^2\pi^2$ — характеристические числа ядра. При них $f = t$ не ортогональна $\varphi_k$ ( $\int_0^1t\sin(k - \frac12)\pi t\,dt\ne 0$ ), и решений нет — в согласии с формулой Шмидта.

Уравнение Вольтерра и задача Коши

Условие

Решить уравнение $x(t) = t - \int_0^t(t - s)x(s)\,ds$ .

Решение

Развернуть

По теореме о сведении (с $a\equiv 1$ , $f\equiv 0$ , $x_0 = 0$ , $x_1 = 1$ ) уравнение равносильно задаче Коши $x'' + x = 0$ , $x(0) = 0$ , $x'(0) = 1$ . Ответ: $x = \sin t$ .

Проверка: $\int_0^t(t - s)\sin s\,ds = t - \sin t$ , и $t - (t - \sin t) = \sin t$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Классификация линейных интегральных уравнений

Пусть $K(t, s)$ — заданная функция (ядро), $f$ — заданная, $x$ — искомая функция на $[a, b]$ , $\lambda$ — параметр.

Уравнение Фредгольма первого рода: $\displaystyle\int_a^bK(t, s)x(s)\,ds = f(t)$ .
Уравнение Фредгольма второго рода: $\displaystyle x(t) - \lambda\int_a^bK(t, s)x(s)\,ds = f(t)$ .
Уравнения Вольтерра первого и второго рода — те же уравнения с переменным верхним пределом $t$ (ядро равно нулю при $s > t$ ).

При $f\equiv 0$ уравнение второго рода называется однородным. Значения $\lambda$ , при которых однородное уравнение $x = \lambda\int K x$ имеет ненулевое решение, называются характеристическими числами ядра, а сами решения — собственными функциями. Ядро симметрично, если $K(t, s) = K(s, t)$ (в комплексном случае эрмитово: $K(t, s) = \overline{K(s, t)}$ ).

Ядро и оператор Гильберта–Шмидта

Измеримая функция $K(t, s)$ на квадрате $Q = [a, b]^2$ называется ядром Гильберта–Шмидта, если

\|K\|_{L_2(Q)} = \left(\int_a^b\!\!\int_a^b|K(t, s)|^2\,dt\,ds\right)^{1/2} < \infty.

Оператор $(Ax)(t) = \int_a^bK(t, s)x(s)\,ds$ в $L_2[a, b]$ с таким ядром называется оператором Гильберта–Шмидта. Всякое непрерывное на $Q$ ядро — ядро Гильберта–Шмидта.

Вырожденное ядро

Ядро называется вырожденным, если оно имеет вид

K(t, s) = \sum_{i=1}^na_i(t)b_i(s),

где $a_i, b_i\in L_2[a, b]$ (часто непрерывны). Без ограничения общности системы $\{a_i\}$ и $\{b_i\}$ линейно независимы. Соответствующий интегральный оператор конечномерен: $Ax = \sum_i\left(\int_a^bb_ix\,ds\right)a_i$ .

Линейный ограниченный оператор. Норма оператора

Пусть $E$ , $F$ — нормированные пространства. Отображение $A\colon E\to F$ называется линейным оператором, если $A(\alpha x + \beta y) = \alpha Ax + \beta Ay$ . Оператор ограничен, если существует $C$ с $\|Ax\|\le C\|x\|$ для всех $x$ . Нормой ограниченного оператора называется

\|A\| = \sup_{\|x\|\le 1}\|Ax\| = \sup_{x\ne 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}.

Множество ограниченных операторов обозначается $\mathcal L(E, F)$ , $\mathcal L(E) = \mathcal L(E, E)$ . Часто оператор задан лишь на линейном многообразии $D(A)\subset E$ — области определения.

Вполне непрерывный (компактный) оператор

Линейный оператор $A\colon E\to F$ называется вполне непрерывным (компактным), если он переводит любое ограниченное множество в относительно компактное. Равносильно: из любой ограниченной последовательности $x_n$ можно выбрать подпоследовательность, для которой $Ax_{n_k}$ сходится.

Оператор называется конечномерным, если его образ конечномерен.

Сопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Самосопряжённый оператор

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A\in\mathcal L(H)$ . Сопряжённый оператор $A^*\in\mathcal L(H)$ определяется равенством

(Ax, y) = (x, A^*y)\qquad\text{для всех } x, y\in H.

Оператор называется самосопряжённым, если $A^* = A$ , то есть $(Ax, y) = (x, Ay)$ .

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра

Уравнение Фредгольма второго рода:

x(t) = \lambda\int_a^b K(t,s)x(s)\,ds + f(t),

где ядро $K$ непрерывно на квадрате $[a,b]^2$ , $f\in C[a,b]$ .

Уравнение Вольтерра второго рода:

x(t) = \lambda\int_a^t K(t,s)x(s)\,ds + f(t),

где $K$ непрерывно на треугольнике $a\le s\le t\le b$ . Интегральный оператор Вольтерра: $(Vx)(t) = \int_a^tK(t,s)x(s)\,ds$ .

Неравенство Гёльдера для интегралов

Формулировка

Пусть $p > 1$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ , $f\in L_p$ , $g\in L_q$ . Тогда $fg\in L_1$ и

\int_X|fg|\,d\mu\le\|f\|_p\,\|g\|_q.

При $p = q = 2$ это неравенство Коши–Буняковского.

Доказательство

Развернуть

Если одна из норм равна нулю, например $\|f\|_p = 0$ , то $f = 0$ почти всюду и обе части равны нулю. Пусть нормы положительны. По неравенству Юнга с $a = |f|/\|f\|_p$ , $b = |g|/\|g\|_q$

\frac{|fg|}{\|f\|_p\|g\|_q}\le\frac{|f|^p}{p\|f\|_p^p} + \frac{|g|^q}{q\|g\|_q^q}.

Правая часть интегрируема, а $fg$ измерима, поэтому $fg$ интегрируема. Интегрируя, получаем справа $\frac1p + \frac1q = 1$ . $\blacksquare$

L₂ — гильбертово пространство

Формулировка

Формула $(f, g) = \int_Xfg\,d\mu$ задаёт скалярное произведение в $L_2(X)$ , порождающее норму $\|f\|_2$ , и $L_2(X)$ — гильбертово пространство.

Доказательство

Развернуть

По неравенству Гёльдера при $p = q = 2$ произведение $fg$ интегрируемо, так что $(f, g)$ определено. Линейность и симметрия очевидны. $(f, f) = \|f\|_2^2\ge 0$ , и $(f, f) = 0$ лишь при $f = 0$ почти всюду. Полнота доказана в теореме о полноте $L_p$ . $\blacksquare$

Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольным ядром

Формулировка

Пусть $K$ — ядро Гильберта–Шмидта, $A$ — соответствующий оператор в $L_2[a, b]$ . Тогда для уравнения $x - \lambda Ax = f$ :

(альтернатива Фредгольма) либо оно однозначно разрешимо при любой $f\in L_2$ , либо однородное уравнение имеет ненулевое решение;
однородное уравнение $x = \lambda Ax$ и союзное однородное $y = \bar\lambda A^*y$ имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений;
неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогональна всем решениям союзного однородного уравнения;
характеристические числа образуют не более чем счётное множество, не имеющее конечных предельных точек.

Доказательство

Развернуть

Зафиксируем $\rho > 0$ и рассмотрим $|\lambda| < \rho$ . Разложим $K = K_n + R$ , где $K_n$ вырождено, а $\|R\|_{L_2(Q)} < 1/\rho$ . Тогда для оператора $R$ с этим ядром $\|\lambda R\| < 1$ , и $I - \lambda R$ непрерывно обратим (ряд Неймана). Справедливо разложение

I - \lambda A = (I - \lambda R)(I - T),\qquad T = \lambda(I - \lambda R)^{-1}A_n,

где $T$ конечномерен: $Tx = \sum_i(x, \bar b_i)\tilde a_i$ с $\tilde a_i = \lambda(I - \lambda R)^{-1}a_i$ .

Для конечномерного оператора $T$ утверждения 2, 3 доказаны: рассуждение теоремы Фредгольма для вырожденного ядра переносится на операторы вида $\sum(x, \bar b_i)\tilde a_i$ (линейная независимость $\tilde a_i$ не нужна: на $\operatorname{Ker}(I - T)$ отображение $x\mapsto c$ , $c_i = (x, \bar b_i)$ , инъективно, так как $x = \sum c_i\tilde a_i$ ). Переносим их на $I - \lambda A$ :

$\operatorname{Ker}(I - \lambda A) = \operatorname{Ker}(I - T)$ , так как $I - \lambda R$ обратим;
$(I - \lambda A)^* = (I - T)^*(I - \lambda R)^*$ , поэтому $\operatorname{Ker}(I - \lambda A)^* = \bigl((I - \lambda R)^*\bigr)^{-1}\operatorname{Ker}(I - T)^*$ — той же размерности, что $\operatorname{Ker}(I - T)^*$ . Это п. 2;
$f\in R(I - \lambda A)\iff(I - \lambda R)^{-1}f\in R(I - T)\iff(I - \lambda R)^{-1}f\perp\operatorname{Ker}(I - T)^*\iff f\perp\operatorname{Ker}(I - \lambda A)^*$ . Это п. 3.

П. 1 следует из пп. 2, 3: если однородное уравнение имеет лишь нулевое решение, то и союзное тоже, и тогда разрешимость есть при любой $f$ , а единственность — из тривиальности ядра.

П. 4: ненулевые решения уравнения $x = Tx$ существуют тогда и только тогда, когда $\det\bigl(\delta_{ij} - (\tilde a_j, \bar b_i)\bigr) = 0$ . Этот определитель — аналитическая функция $\lambda$ в круге $|\lambda| < \rho$ (по ряду Неймана), равная $1$ при $\lambda = 0$ . Её нули изолированы, и в любом меньшем замкнутом круге их конечное число. $\blacksquare$

Резольвента ядра и ряд Неймана

Формулировка

Пусть $K$ — ядро Гильберта–Шмидта, $|\lambda| < 1/\|K\|_{L_2(Q)}$ . Определим итерированные ядра

K_1 = K,\qquad K_{n+1}(t, s) = \int_a^bK(t, u)K_n(u, s)\,du.

Ряд $R(t, s; \lambda) = \sum_{n\ge 1}\lambda^{n-1}K_n(t, s)$ сходится в $L_2(Q)$ , а решение уравнения $x - \lambda\int Kx = f$ имеет вид

x(t) = f(t) + \lambda\int_a^bR(t, s; \lambda)f(s)\,ds.

Доказательство

Развернуть

Оператор $A^n$ — интегральный с ядром $K_n$ (по теореме Фубини). По неравенству Коши–Буняковского $|K_{n+1}(t, s)|^2\le\int|K(t, u)|^2\,du\int|K_n(u, s)|^2\,du$ , откуда $\|K_{n+1}\|\le\|K\|\|K_n\|$ и $\|K_n\|\le\|K\|^n$ . Ряд для $R$ сходится в $L_2(Q)$ при $|\lambda|\|K\| < 1$ .

По теореме о ряде Неймана ( $\|\lambda A\| < 1$ ) решение равно $x = \sum_{n\ge 0}\lambda^nA^nf = f + \lambda\sum_{n\ge 1}\lambda^{n-1}A^nf$ , а это и есть $f + \lambda\int R(\cdot, s; \lambda)f(s)\,ds$ . $\blacksquare$

Плотные множества в Lₚ[a, b]. Lₚ как пополнение Cₚ

Формулировка

В $L_p[a, b]$ , $1\le p < \infty$ , всюду плотны множества ограниченных измеримых функций, простых функций с конечным числом значений, ступенчатых функций и непрерывных функций. Следовательно, $L_p[a, b]$ — пополнение пространства $C_p[a, b]$ , и оно сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Срезки $f_N = f\chi_{\{|f|\le N\}}$ ограничены, $|f - f_N|^p\le|f|^p$ и $f - f_N\to 0$ всюду. По теореме Лебега $\|f - f_N\|_p\to 0$ .
Ограниченная $f$ равномерно приближается простыми функциями $g$ с конечным числом значений, и $\|f - g\|_p\le(b - a)^{1/p}\sup|f - g|$ .
Простая функция — линейная комбинация характеристических функций $\chi_e$ измеримых множеств. По определению измеримости найдётся конечное объединение полуинтервалов $B$ с $\mu(e\mathbin\triangle B) < \varepsilon$ . Тогда $\|\chi_e - \chi_B\|_p = \mu(e\mathbin\triangle B)^{1/p}$ , а $\chi_B$ — ступенчатая функция.
$\chi_{[c, d)}$ приближается непрерывной «трапецией», отличающейся от неё лишь на множестве меры $2\eta$ и не превосходящей $1$ по модулю. Расстояние в $L_p$ не больше $(2\eta)^{1/p}$ .

Итак, $C_p[a, b]$ плотно в полном пространстве $L_p[a, b]$ , и по теореме о пополнении (единственность) $L_p$ — пополнение $C_p$ . Ступенчатые функции с рациональными точками разрыва и значениями образуют счётное всюду плотное множество. $\blacksquare$

Предел компактных операторов

Формулировка

Пусть $F$ банахово, $A_n\colon E\to F$ компактны и $\|A_n - A\|\to 0$ . Тогда $A$ компактен. В частности, предел по норме конечномерных операторов компактен.

Доказательство

Развернуть

Пусть $B$ — единичный шар $E$ , $\varepsilon > 0$ . Выберем $n$ с $\|A - A_n\| < \frac\varepsilon3$ . Множество $A_n(B)$ относительно компактно, поэтому имеет конечную $\frac\varepsilon3$ -сеть $y_1, \dots, y_k$ . Для $x\in B$ найдём $y_j$ с $\|A_nx - y_j\| < \frac\varepsilon3$ ; тогда $\|Ax - y_j\| < \frac{2\varepsilon}3$ . Значит, $A(B)$ вполне ограничено, а в полном пространстве $F$ это означает относительную компактность. $\blacksquare$

Простейшие свойства компактных операторов

Формулировка

Компактный оператор ограничен.
Ограниченный конечномерный оператор компактен.
Линейная комбинация компактных операторов компактна.
Произведение компактного оператора на ограниченный (в любом порядке) компактно.
В бесконечномерном пространстве тождественный оператор не компактен.

Доказательство

Развернуть

Образ единичного шара относительно компактен, а значит, ограничен.
Образ ограниченного множества ограничен и лежит в конечномерном пространстве, где ограниченные множества относительно компактны.
Для $\alpha A + \beta B$ выбираем подпоследовательность дважды.
Ограниченный оператор переводит ограниченные множества в ограниченные, а сходящиеся последовательности — в сходящиеся.
Единичный шар бесконечномерного пространства не относительно компактен. $\blacksquare$

Существование и свойства сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Для любого $A\in\mathcal L(H)$ сопряжённый оператор существует, единствен, и

\|A^*\| = \|A\|,\quad A^{**} = A,\quad(AB)^* = B^*A^*,\quad(\lambda A)^* = \bar\lambda A^*,\quad\|A^*A\| = \|A\|^2.

Доказательство

Развернуть

При фиксированном $y$ функционал $x\mapsto(Ax, y)$ ограничен: $|(Ax, y)|\le\|A\|\|x\|\|y\|$ . По теореме Рисса $(Ax, y) = (x, z)$ для единственного $z =: A^*y$ . Линейность $A^*$ следует из единственности.

$\|A^*y\|^2 = (AA^*y, y)\le\|A\|\|A^*y\|\|y\|$ , откуда $\|A^*\|\le\|A\|$ . Из $(A^*y, x) = (y, Ax)$ следует $A^{**} = A$ , и тогда $\|A\|\le\|A^*\|$ .

$\|A^*A\|\le\|A\|^2$ , а $\|Ax\|^2 = (A^*Ax, x)\le\|A^*A\|\|x\|^2$ . Остальные свойства проверяются подстановкой. $\blacksquare$

Теорема Гильберта–Шмидта

Формулировка

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$ . Существует конечная или счётная ортонормированная система собственных элементов $e_k$ , $Ae_k = \lambda_ke_k$ , с вещественными $\lambda_k\ne 0$ , $|\lambda_1|\ge|\lambda_2|\ge\dots$ , $\lambda_k\to 0$ (если их бесконечно много), такая что для любого $x\in H$

x = x_0 + \sum_k(x, e_k)e_k,\quad x_0\in\operatorname{Ker}A,\qquad Ax = \sum_k\lambda_k(x, e_k)e_k.

Доказательство

Развернуть

Положим $H_1 = H$ и по предыдущей теореме найдём $e_1$ , $|\lambda_1| = \|A\|$ . Подпространство $H_2 = \{e_1\}^\perp$ инвариантно: $(Ax, e_1) = (x, Ae_1) = \lambda_1(x, e_1) = 0$ при $x\in H_2$ . Сужение $A$ на $H_2$ компактно и самосопряжено. Если оно не нулевое, находим $e_2\in H_2$ с $|\lambda_2| = \|A|_{H_2}\|\le|\lambda_1|$ , и так далее. Процесс обрывается, если на очередном $H_n$ оператор равен нулю.

Если процесс бесконечен, то $e_n\rightharpoonup 0$ , и $|\lambda_n| = \|Ae_n\|\to 0$ по теореме о компактных операторах.

Для $x\in H$ элемент $y_n = x - \sum_{k<n}(x, e_k)e_k$ лежит в $H_n$ , и $\|Ay_n\|\le|\lambda_n|\|y_n\|\le|\lambda_n|\|x\|\to 0$ (или $Ay_n = 0$ при конечном процессе). Значит, $Ax = \sum\lambda_k(x, e_k)e_k$ . Ряд $\sum(x, e_k)e_k$ сходится по неравенству Бесселя и теореме Рисса–Фишера, и для $x_0 = x - \sum(x, e_k)e_k$ по непрерывности $A$ получаем $Ax_0 = 0$ . $\blacksquare$

Компактный самосопряжённый оператор имеет собственное значение ±‖A‖

Формулировка

Если $A\ne 0$ — компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве, то одно из чисел $\|A\|$ , $-\|A\|$ является его собственным значением.

Доказательство

Развернуть

По свойству самосопряжённых операторов $\|A\| = \sup_{\|x\|=1}|(Ax, x)|$ . Выберем единичные $x_n$ с $(Ax_n, x_n)\to\lambda$ , $|\lambda| = \|A\|$ (числа $(Ax_n, x_n)$ вещественны). Тогда

\|Ax_n - \lambda x_n\|^2 = \|Ax_n\|^2 - 2\lambda(Ax_n, x_n) + \lambda^2\le 2\lambda^2 - 2\lambda(Ax_n, x_n)\to 0.

По компактности для подпоследовательности $Ax_{n_k}\to y$ . Тогда $\lambda x_{n_k}\to y$ , $\|y\| = |\lambda|\ne 0$ , и $Ay = \lim\lambda Ax_{n_k} = \lambda y$ . $\blacksquare$

Решение уравнения второго рода с компактным самосопряжённым оператором

Формулировка

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор, $Ae_k = \lambda_ke_k$ как в теореме Гильберта–Шмидта, $f_k = (f, e_k)$ .

Если $\mu$ не характеристическое число ( $\mu\lambda_k\ne 1$ при всех $k$ ), то уравнение $x - \mu Ax = f$ имеет единственное решение

x = f + \mu\sum_k\frac{\lambda_kf_k}{1 - \mu\lambda_k}e_k.

Если $\mu = 1/\lambda_j$ , то уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогонален всем собственным элементам с собственным значением $\lambda_j$ . Тогда

x = f + \mu\sum_{\lambda_k\ne\lambda_j}\frac{\lambda_kf_k}{1 - \mu\lambda_k}e_k + \sum_{\lambda_k = \lambda_j}C_ke_k,

где $C_k$ произвольны.

Доказательство

Развернуть

Подставим $x = x_0 + \sum c_ke_k$ (разложение единственно, так как $\operatorname{Ker}A\perp e_k$ ): $x - \mu Ax = x_0 + \sum(1 - \mu\lambda_k)c_ke_k$ . Сравнивая с $f = f_0 + \sum f_ke_k$ , получаем $x_0 = f_0$ и $(1 - \mu\lambda_k)c_k = f_k$ .

$c_k = \frac{f_k}{1 - \mu\lambda_k}$ ; так как $\mu\lambda_k\to 0$ , коэффициенты $\frac1{1 - \mu\lambda_k}$ ограничены, и ряд сходится. Далее,

x = f_0 + \sum\frac{f_k}{1 - \mu\lambda_k}e_k = f + \sum\left(\frac1{1 - \mu\lambda_k} - 1\right)f_ke_k = f + \mu\sum\frac{\lambda_kf_k}{1 - \mu\lambda_k}e_k.

При $\lambda_k = \lambda_j$ уравнение $0\cdot c_k = f_k$ разрешимо лишь при $f_k = 0$ , и тогда $c_k$ произвольно. Остальные коэффициенты находятся как в п. 1. $\blacksquare$

Свойства оператора Вольтерра и разрешимость уравнения Вольтерра

Формулировка

Пусть $M = \max|K(t,s)|$ .

Для степеней оператора Вольтерра при всех $z\in C[a,b]$ , $t\in[a,b]$

|(V^nz)(t)|\le\frac{M^n(t-a)^n}{n!}\max_{[a,b]}|z|.

Уравнение Вольтерра второго рода имеет единственное решение в $C[a,b]$ при любом $\lambda$ , и метод последовательных приближений сходится.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n$ . При $n = 0$ неравенство очевидно. Если оно верно для $n-1$ , то

|(V^nz)(t)|\le M\int_a^t|(V^{n-1}z)(s)|\,ds\le M\int_a^t\frac{M^{n-1}(s-a)^{n-1}}{(n-1)!}\max|z|\,ds = \frac{M^n(t-a)^n}{n!}\max|z|.

Пусть $Ax = \lambda Vx + f$ . Тогда $Ax - Ay = \lambda V(x - y)$ и по индукции $A^nx - A^ny = \lambda^nV^n(x - y)$ . По п. 1

\rho(A^nx, A^ny)\le\frac{(|\lambda|M(b-a))^n}{n!}\rho(x,y).

Коэффициент стремится к нулю, поэтому при некотором $n$ он меньше $1$ , и $A^n$ — сжатие полного пространства $C[a,b]$ . Применяем теорему об отображении, степень которого — сжатие. $\blacksquare$

Спектр оператора Вольтерра

Формулировка

Для оператора Вольтерра $(Vx)(t) = \int_a^tK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным ядром в $C[a, b]$ спектр содержится в $\{0\}$ . Для оператора интегрирования $(Jx)(t) = \int_a^tx(s)\,ds$ спектр равен $\{0\}$ , а собственных значений нет.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda\ne 0$ . Уравнение $(V - \lambda I)x = f$ равносильно уравнению Вольтерра второго рода $x = \frac1\lambda Vx - \frac f\lambda$ , которое по теореме об уравнении Вольтерра однозначно разрешимо при любом значении параметра и любой $f$ (доказательство теоремы об уравнении Вольтерра дословно переносится на комплексные значения параметра). Значит, $V - \lambda I$ — биекция банахова пространства $C[a, b]$ , и по теореме Банаха обратный оператор ограничен: $\lambda\in\rho(V)$ .

Для $J$ : если $Jx = 0$ , то $\int_a^tx = 0$ при всех $t$ , и после дифференцирования $x = 0$ . Значит, $0$ не собственное значение. Но $0\in\sigma(J)$ : образ $J$ состоит из функций с $x(a) = 0$ и не совпадает с $C[a, b]$ . $\blacksquare$

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра

Ограниченность оператора Гильберта–Шмидта

Формулировка

Доказательство

Приближение ядра вырожденными ядрами

Формулировка

Доказательство

Компактность оператора Гильберта–Шмидта

Формулировка

Доказательство

Сопряжённый к интегральному оператору

Формулировка

Доказательство

Уравнения с симметричным ядром. Теорема Гильберта–Шмидта для ядер

Формулировка

Доказательство

Решение уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром

Формулировка

Доказательство

У ядра Вольтерра нет характеристических чисел

Формулировка

Доказательство

Сведение краевых задач и задач Коши к интегральным уравнениям

Формулировка

Доказательство

Классификация интегральных уравнений

Условие

Решение

Оценка нормы через ядро и точное значение

Условие

Решение

Функция Грина и характеристические числа

Условие

Решение

Неоднородное уравнение с ядром min(t, s)

Условие

Решение

Уравнение Вольтерра и задача Коши

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Классификация линейных интегральных уравнений

Ядро и оператор Гильберта–Шмидта

Вырожденное ядро

Линейный ограниченный оператор. Норма оператора

Вполне непрерывный (компактный) оператор

Сопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Самосопряжённый оператор

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра

Неравенство Гёльдера для интегралов

Формулировка

Доказательство

L₂ — гильбертово пространство

Формулировка

Доказательство

Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольным ядром

Формулировка

Доказательство

Резольвента ядра и ряд Неймана

Формулировка

Доказательство

Плотные множества в Lₚ[a, b]. Lₚ как пополнение Cₚ

Формулировка

Доказательство

Предел компактных операторов

Формулировка

Доказательство

Простейшие свойства компактных операторов

Формулировка

Доказательство

Существование и свойства сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Теорема Гильберта–Шмидта

Формулировка

Доказательство

Компактный самосопряжённый оператор имеет собственное значение ±‖A‖

Формулировка

Доказательство

Решение уравнения второго рода с компактным самосопряжённым оператором