Гильбертовы пространства

Прогресс изучения0 из 9

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы9

Неравенство Коши–Буняковского в евклидовом пространстве
Непрерывность скалярного произведения
Равенство параллелограмма
Теорема Пифагора
Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества
Расстояние до подпространства. Ортогональная проекция
Свойства ортогонального дополнения
Разложение гильбертова пространства в прямую сумму
Критерий всюду плотности линейного многообразия

теорема

Неравенство Коши–Буняковского в евклидовом пространстве

Формулировка

В евклидовом пространстве $|(x,y)|\le\|x\|\,\|y\|$ , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ линейно зависимы. Функция $\|x\| = \sqrt{(x,x)}$ — норма.

Доказательство

Развернуть

При $y = 0$ всё очевидно. Пусть $y\ne0$ . Для всех $t\in\mathbb R$

0\le(x + ty, x + ty) = \|x\|^2 + 2t(x,y) + t^2\|y\|^2.

Квадратный трёхчлен неотрицателен, значит, его дискриминант $4(x,y)^2 - 4\|x\|^2\|y\|^2\le0$ . Равенство означает наличие корня $t$ , то есть $x + ty = 0$ .

Аксиомы нормы 1–2 очевидны. Неравенство треугольника:

\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2(x,y) + \|y\|^2\le(\|x\| + \|y\|)^2.

$\blacksquare$

теорема

Непрерывность скалярного произведения

Формулировка

Если $x_n\to x$ и $y_n\to y$ , то $(x_n,y_n)\to(x,y)$ .

Доказательство

Развернуть

Сходящаяся последовательность $y_n$ ограничена. По неравенству Коши–Буняковского

|(x_n,y_n) - (x,y)|\le|(x_n - x, y_n)| + |(x, y_n - y)|\le\|x_n - x\|\,\|y_n\| + \|x\|\,\|y_n - y\|\to0.

$\blacksquare$

теорема

Равенство параллелограмма

Формулировка

В евклидовом пространстве

\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.

Как следствие, нормы пространств $C[a,b]$ и $l_p$ при $p\ne2$ не порождаются никаким скалярным произведением.

Доказательство

Развернуть

Раскрываем скобки: $\|x\pm y\|^2 = \|x\|^2\pm2(x,y) + \|y\|^2$ и складываем.

В $l_p$ для $e_1, e_2$ имеем $\|e_1\pm e_2\|_p = 2^{1/p}$ . Равенство $2\cdot2^{2/p} = 4$ выполнено лишь при $p = 2$ . В $l_\infty$ : $\|e_1\pm e_2\| = 1$ , и $2\ne4$ . В $C[0,1]$ для $x = 1$ , $y = t$ : $\|x + y\| = 2$ , $\|x - y\| = 1$ , и $5\ne4$ . $\blacksquare$

Замечание. Верно и обратное (теорема Йордана–фон Неймана): если норма удовлетворяет равенству параллелограмма, то $(x,y) = \frac14\left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\right)$ — скалярное произведение, порождающее эту норму.

теорема

Теорема Пифагора

Формулировка

Если $x_1,\dots,x_n$ попарно ортогональны, то

\left\|\sum_{i=1}^nx_i\right\|^2 = \sum_{i=1}^n\|x_i\|^2.

Доказательство

Развернуть

$\left\|\sum x_i\right\|^2 = \sum_{i,j}(x_i,x_j) = \sum_i(x_i,x_i)$ , так как при $i\ne j$ скалярные произведения равны нулю. $\blacksquare$

теорема

Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества

Формулировка

Пусть $M$ — замкнутое выпуклое множество гильбертова пространства $H$ , $x\in H$ . Тогда существует единственный $y\in M$ с $\|x - y\| = \rho(x,M)$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $d = \rho(x,M)$ и $y_n\in M$ , $\|x - y_n\|^2 < d^2 + \frac1n$ . Применим равенство параллелограмма к $x - y_n$ и $x - y_m$ :

\|y_n - y_m\|^2 = 2\|x - y_n\|^2 + 2\|x - y_m\|^2 - 4\left\|x - \frac{y_n + y_m}{2}\right\|^2.

По выпуклости $\frac{y_n + y_m}2\in M$ , поэтому последнее слагаемое не меньше $4d^2$ , и $\|y_n - y_m\|^2\le\frac2n + \frac2m$ . Последовательность фундаментальна. $M$ замкнуто в полном $H$ и потому полно, так что $y_n\to y\in M$ . По непрерывности нормы $\|x - y\| = d$ .

Единственность. Если $y, y'\in M$ — два ближайших элемента, та же оценка даёт $\|y - y'\|^2\le2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Расстояние до подпространства. Ортогональная проекция

Формулировка

Пусть $L$ — подпространство гильбертова пространства $H$ , $x\in H$ . Элемент $y\in L$ является ближайшим к $x$ элементом $L$ тогда и только тогда, когда $x - y\perp L$ . Такой $y$ существует и единственен; его называют ортогональной проекцией $x$ на $L$ и обозначают $P_Lx$ .

Доказательство

Развернуть

Подпространство замкнуто и выпукло, поэтому ближайший элемент существует и единственен.

$\Rightarrow$ : пусть $y$ ближайший, $z\in L$ . Функция

\varphi(t) = \|x - y - tz\|^2 = \|x - y\|^2 - 2t(x - y,z) + t^2\|z\|^2

имеет минимум при $t = 0$ , поэтому $\varphi'(0) = -2(x - y,z) = 0$ .

$\Leftarrow$ : если $x - y\perp L$ , то для любого $z\in L$ по теореме Пифагора (учитывая $y - z\in L$ )

\|x - z\|^2 = \|x - y\|^2 + \|y - z\|^2\ge\|x - y\|^2.

$\blacksquare$

теорема

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Для любого множества $M$ евклидова пространства:

$M^\perp$ — подпространство (замкнутое линейное многообразие);
$M\cap M^\perp\subset\{0\}$ ;
$M^\perp = \left([\operatorname{span}M]\right)^\perp$ .

Доказательство

Развернуть

Если $x_1,x_2\perp M$ , то и $\alpha x_1 + \beta x_2\perp M$ по линейности скалярного произведения. Если $x_n\in M^\perp$ , $x_n\to x$ , то $(x,y) = \lim(x_n,y) = 0$ для $y\in M$ .
Если $x\in M\cap M^\perp$ , то $(x,x) = 0$ , то есть $x = 0$ .
Элемент, ортогональный $M$ , ортогонален всем линейным комбинациям элементов $M$ , а по непрерывности скалярного произведения — и их пределам. Обратное включение очевидно. $\blacksquare$

теорема

Разложение гильбертова пространства в прямую сумму

Формулировка

Если $L$ — подпространство гильбертова пространства $H$ , то

H = L\oplus L^\perp,\qquad (L^\perp)^\perp = L.

Доказательство

Развернуть

Для $x\in H$ имеем $x = P_Lx + (x - P_Lx)$ , где $x - P_Lx\in L^\perp$ по свойству ортогональной проекции. Разложение единственно, так как $L\cap L^\perp = \{0\}$ .

Включение $L\subset(L^\perp)^\perp$ очевидно. Пусть $x\in(L^\perp)^\perp$ и $x = y + z$ , $y\in L$ , $z\in L^\perp$ . Тогда $0 = (x,z) = (y,z) + (z,z) = \|z\|^2$ , то есть $x = y\in L$ . $\blacksquare$

теорема

Критерий всюду плотности линейного многообразия

Формулировка

Линейное многообразие $M$ всюду плотно в гильбертовом пространстве $H$ тогда и только тогда, когда $M^\perp = \{0\}$ .

Доказательство

Развернуть

$L = [M]$ — подпространство, и $M^\perp = L^\perp$ . Имеем разложение $H = L\oplus L^\perp$ , поэтому $L = H\iff L^\perp = \{0\}$ . $\blacksquare$

Пространство C[0,1] не евклидово

Условие

Доказать, что норму $\max|x(t)|$ в $C[0,1]$ нельзя получить из скалярного произведения.

Решение

Развернуть

Для $x = 1$ , $y = t$ имеем $\|x + y\| = 2$ , $\|x - y\| = 1$ , $\|x\| = \|y\| = 1$ . Тогда $4 + 1 = 5\ne2 + 2$ , и равенство параллелограмма нарушено.

Пространство l₁ не евклидово

Условие

Доказать, что норма пространства $l_1$ не порождается скалярным произведением.

Решение

Развернуть

$\|e_1 + e_2\|_1 = \|e_1 - e_2\|_1 = 2$ , $\|e_1\|_1 = \|e_2\|_1 = 1$ . Тогда $4 + 4 = 8\ne4$ , и равенство параллелограмма нарушено.

Наилучшее приближение t² линейными функциями в L₂[−1,1]

Условие

Найти ортогональную проекцию $x(t) = t^2$ на подпространство $L = \operatorname{span}\{1, t\}$ в $L_2[-1,1]$ и расстояние от $x$ до $L$ .

Решение

Развернуть

Ищем $y = a + bt$ из условия $x - y\perp L$ :

(t^2 - a - bt, 1) = \frac23 - 2a = 0,\qquad (t^2 - a - bt, t) = -\frac{2b}{3} = 0.

Отсюда $a = \frac13$ , $b = 0$ , то есть $P_Lx = \frac13$ . Расстояние:

\left\|t^2 - \frac13\right\|^2 = \int_{-1}^1\left(t^4 - \frac{2t^2}3 + \frac19\right)dt = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac8{45},\qquad\rho = \frac{2\sqrt{10}}{15}.

Ортогональное дополнение в l₂

Условие

Найти ортогональное дополнение множества $M = \{x\in l_2: x_{2k} = 0\ \forall k\}$ .

Решение

Развернуть

$e_{2k-1}\in M$ , поэтому если $y\perp M$ , то $y_{2k-1} = (y, e_{2k-1}) = 0$ . Обратно, последовательность с нулевыми нечётными координатами ортогональна $M$ . Итак,

M^\perp = \{y\in l_2: y_{2k-1} = 0\ \forall k\}.

Это подпространство, как и любое ортогональное дополнение, и $l_2 = M\oplus M^\perp$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Скалярное произведение. Евклидово пространство

Скалярным произведением в линейном пространстве $E$ над $\mathbb R$ называется функция $(x,y)\in\mathbb R$ такая, что для всех $x,y,z\in E$ , $\lambda\in\mathbb R$ :

$(x,x)\ge0$ , причём $(x,x) = 0\iff x = 0$ ;
$(x,y) = (y,x)$ ;
$(\lambda x, y) = \lambda(x,y)$ ;
$(x + y, z) = (x,z) + (y,z)$ .

Пространство со скалярным произведением называется евклидовым (предгильбертовым). В нём вводится норма $\|x\| = \sqrt{(x,x)}$ .

В комплексном случае аксиома 2 заменяется на $(x,y) = \overline{(y,x)}$ .

Гильбертово пространство

Гильбертовым пространством (ГП) называется полное евклидово пространство.

Примеры:

$\mathbb R^n$ с $(x,y) = \sum x_ky_k$ ;
$l_2$ с $(x,y) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k$ (ряд сходится по неравенству Коши–Буняковского);
$C_2[a,b]$ с $(x,y) = \int_a^bx(t)y(t)\,dt$ — евклидово, но не полное;
его пополнение $L_2[a,b]$ (функции с интегрируемым по Лебегу квадратом) — гильбертово.

Ортогональность. Ортогональное дополнение

Элементы $x$ и $y$ евклидова пространства ортогональны ( $x\perp y$ ), если $(x,y) = 0$ . Элемент $x$ ортогонален множеству $M$ ( $x\perp M$ ), если $x\perp y$ для всех $y\in M$ .

Ортогональное дополнение множества $M$ : $M^\perp = \{x: x\perp M\}$ .

Выпуклое множество

Множество $M$ линейного пространства называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками $x, y$ оно содержит отрезок $\{tx + (1-t)y: t\in[0,1]\}$ . Примеры: линейные многообразия, шары в нормированном пространстве.

Нормированное пространство

Нормой в линейном пространстве $E$ называется функция $\|\cdot\|\colon E\to\mathbb R$ такая, что для всех $x,y\in E$ , $\lambda\in\mathbb R$ :

$\|x\|\ge0$ , причём $\|x\| = 0\iff x = 0$ ;
$\|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|$ ;
$\|x + y\|\le\|x\| + \|y\|$ .

Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством (НП). Оно является метрическим пространством с метрикой $\rho(x,y) = \|x - y\|$ ; сходимость в этой метрике называют сходимостью по норме.

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Пусть $a\in X$ , $r > 0$ .

Открытый шар: $B(a, r) = \{x\in X: \rho(x,a) < r\}$ ; замкнутый шар: $B[a, r] = \{x\in X: \rho(x,a)\le r\}$ . Шар $B(a,\varepsilon)$ называют также $\varepsilon$ -окрестностью точки $a$ .
Множество $M\subset X$ ограничено, если оно содержится в некотором шаре.
Диаметр множества: $\operatorname{diam} M = \sup_{x,y\in M}\rho(x,y)$ .
Расстояние от точки до множества: $\rho(x, M) = \inf_{y\in M}\rho(x,y)$ .

Подпространство нормированного пространства

Подпространством нормированного пространства называется замкнутое линейное многообразие.

Линейное многообразие. Линейная оболочка. Прямая сумма

Линейное многообразие $L\subset E$ — непустое подмножество, замкнутое относительно сложения и умножения на число.
Линейная оболочка $\operatorname{span}M$ — множество всех конечных линейных комбинаций элементов $M$ ; это наименьшее линейное многообразие, содержащее $M$ .
$E$ — прямая сумма линейных многообразий $L_1$ и $L_2$ ( $E = L_1\oplus L_2$ ), если любой $x\in E$ единственным образом представляется в виде $x = x_1 + x_2$ , $x_i\in L_i$ . Это равносильно условиям $E = L_1 + L_2$ и $L_1\cap L_2 = \{0\}$ .

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Множество $A$ плотно в множестве $B$ , если $B\subset[A]$ .
$A$ всюду плотно в $X$ , если $[A] = X$ .
$A$ нигде не плотно в $X$ , если в каждом шаре $B(a, r)$ найдётся шар $B(b, s)\subset B(a,r)$ , не содержащий точек множества $A$ .

Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве

Формулировка

Для любого ограниченного линейного функционала $f$ на гильбертовом пространстве $H$ существует единственный элемент $y\in H$ такой, что

f(x) = (x, y)\quad\text{для всех } x\in H,\qquad\|f\| = \|y\|.

Доказательство

Развернуть

При $f = 0$ берём $y = 0$ . Иначе $N = \operatorname{Ker}f$ — замкнутое подпространство, $N\ne H$ , и $H = N\oplus N^\perp$ . Возьмём $z\in N^\perp$ , $z\ne 0$ . Для любого $x$ элемент $f(x)z - f(z)x$ лежит в $N$ , поэтому ортогонален $z$ :

f(x)\|z\|^2 - f(z)(x, z) = 0\quad\Longrightarrow\quad f(x) = \left(x, \frac{\overline{f(z)}}{\|z\|^2}z\right) =: (x, y).

По неравенству Коши–Буняковского $|f(x)|\le\|x\|\|y\|$ , а $f(y) = \|y\|^2$ , так что $\|f\| = \|y\|$ . Если $(x, y) = (x, y')$ при всех $x$ , то при $x = y - y'$ получаем $y = y'$ . $\blacksquare$

Свойства сходящихся последовательностей в метрическом пространстве

Формулировка

Последовательность в метрическом пространстве имеет не более одного предела.
Сходящаяся последовательность ограничена.
Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\to x$ и $x_n\to y$ , то $\rho(x,y)\le\rho(x,x_n) + \rho(x_n,y)\to 0$ , значит, $\rho(x,y) = 0$ и $x = y$ .
Найдётся $N$ с $\rho(x_n, x) < 1$ при $n > N$ . Положим $r = 1 + \max\{1, \rho(x_1,x), \dots, \rho(x_N, x)\}$ . Тогда все $x_n$ лежат в шаре $B(x, r)$ .
Если $\rho(x_n, x) < \varepsilon$ при $n > N$ , то и $\rho(x_{n_k}, x) < \varepsilon$ при $n_k > N$ . $\blacksquare$

Сходимость ряда Фурье в гильбертовом пространстве

Формулировка

В гильбертовом пространстве ряд Фурье $\sum(x,e_k)e_k$ любого элемента $x$ по ОНС сходится. Его сумма $y$ — ортогональная проекция $x$ на подпространство $[\operatorname{span}\{e_k\}]$ , и $x - y\perp e_k$ при всех $k$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме Пифагора $\|S_m - S_n\|^2 = \sum_{k=n+1}^mc_k^2$ . Ряд $\sum c_k^2$ сходится, поэтому частичные суммы фундаментальны и по полноте сходятся к некоторому $y$ .

По непрерывности скалярного произведения $(y, e_j) = \lim_n(S_n, e_j) = c_j$ , то есть $x - y\perp e_j$ . Тогда $x - y$ ортогонален и $L = [\operatorname{span}\{e_k\}]$ . Так как $y\in L$ , по свойству ортогональной проекции $y = P_Lx$ . $\blacksquare$

Обобщённое равенство Парсеваля

Формулировка

Если $\{e_k\}$ — ортонормированный базис, то для любых $x, y$

(x,y) = \sum_{k=1}^\infty(x,e_k)(y,e_k).

Доказательство

Развернуть

$\left(\sum_{k\le n}(x,e_k)e_k,\ y\right) = \sum_{k\le n}(x,e_k)(y,e_k)$ . Левая часть стремится к $(x,y)$ по непрерывности скалярного произведения, так как частичные суммы ряда Фурье сходятся к $x$ . $\blacksquare$

Теорема Рисса–Фишера

Формулировка

Пусть $\{e_k\}$ — ОНС в гильбертовом пространстве $H$ и $\sum c_k^2 < \infty$ . Тогда ряд $\sum c_ke_k$ сходится к элементу $x\in H$ , для которого

(x,e_k) = c_k,\qquad\|x\|^2 = \sum_{k=1}^\infty c_k^2.

Доказательство

Развернуть

По теореме Пифагора $\left\|\sum_{k=n+1}^{n+p}c_ke_k\right\|^2 = \sum_{k=n+1}^{n+p}c_k^2$ , и это мало при больших $n$ . Ряд сходится к некоторому $x$ . По непрерывности скалярного произведения $(x,e_j) = \lim_n\left(\sum_{k\le n}c_ke_k, e_j\right) = c_j$ и $\|x\|^2 = \lim_n\sum_{k\le n}c_k^2$ . $\blacksquare$

Свойства самосопряжённых операторов

Формулировка

Пусть $A$ самосопряжён. Тогда:

$(Ax, x)$ вещественно при всех $x$ ;
собственные значения вещественны, а собственные элементы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны;
$\|A\| = \sup_{\|x\| = 1}|(Ax, x)|$ .

Доказательство

Развернуть

$(Ax, x) = (x, Ax) = \overline{(Ax, x)}$ .
Если $Ax = \lambda x$ , $x\ne 0$ , то $\lambda\|x\|^2 = (Ax, x)$ вещественно. Если $Ax = \lambda x$ , $Ay = \mu y$ , $\lambda\ne\mu$ , то $\lambda(x, y) = (Ax, y) = (x, Ay) = \mu(x, y)$ , и $(x, y) = 0$ .
Пусть $N = \sup_{\|x\|=1}|(Ax, x)|$ ; ясно, что $N\le\|A\|$ . Для любых $x, y$

4\operatorname{Re}(Ax, y) = (A(x + y), x + y) - (A(x - y), x - y)\le N\bigl(\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2\bigr) = 2N\bigl(\|x\|^2 + \|y\|^2\bigr).

При $\|x\| = 1$ , $Ax\ne 0$ и $y = Ax/\|Ax\|$ получаем $4\|Ax\|\le 4N$ . $\blacksquare$

Основные свойства нормы

Формулировка

$\rho(x,y) = \|x - y\|$ — метрика, причём $\rho(x + z, y + z) = \rho(x,y)$ и $\rho(\lambda x,\lambda y) = |\lambda|\rho(x,y)$ .
$\big|\|x\| - \|y\|\big|\le\|x - y\|$ ; в частности, норма непрерывна.
Линейные операции непрерывны: если $x_n\to x$ , $y_n\to y$ , $\lambda_n\to\lambda$ , то $x_n + y_n\to x + y$ и $\lambda_nx_n\to\lambda x$ .

Доказательство

Развернуть

Аксиомы метрики следуют из аксиом нормы ( $\|y - x\| = |-1|\cdot\|x - y\|$ ). Остальное очевидно.
$\|x\|\le\|x - y\| + \|y\|$ ; затем меняем $x$ и $y$ местами.
$\|(x_n + y_n) - (x + y)\|\le\|x_n - x\| + \|y_n - y\|$ и

\|\lambda_nx_n - \lambda x\|\le|\lambda_n|\,\|x_n - x\| + |\lambda_n - \lambda|\,\|x\|\to0.

$\blacksquare$

Полнота и замкнутость подпространства

Формулировка

Полное подпространство любого метрического пространства замкнуто.
Если $X$ полно, то его подпространство $Y$ полно тогда и только тогда, когда $Y$ замкнуто.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x\in[Y]$ и $y_n\in Y$ , $y_n\to x$ . Последовательность $\{y_n\}$ фундаментальна, поэтому сходится в $Y$ к некоторому $y$ . По единственности предела $x = y\in Y$ .
Пусть $Y$ замкнуто и $\{y_n\}\subset Y$ фундаментальна. Она сходится в $X$ к некоторому $x$ , а по замкнутости $x\in Y$ . Обратное — это п. 1. $\blacksquare$

Предельная точка как предел последовательности

Формулировка

$a$ — предельная точка $M$ $\iff$ существует последовательность $x_n\in M$ , $x_n\ne a$ , сходящаяся к $a$ .
$a\in[M]$ $\iff$ существует последовательность $x_n\in M$ , сходящаяся к $a$ .
$M$ замкнуто $\iff$ пределы всех сходящихся последовательностей из $M$ лежат в $M$ .

Доказательство

Развернуть

$\Rightarrow$ : в каждом шаре $B(a, \frac1n)$ выберем точку $x_n\in M$ , $x_n\ne a$ ; тогда $\rho(x_n, a) < \frac1n\to 0$ . $\Leftarrow$ : любой шар $B(a,\varepsilon)$ содержит $x_n$ при больших $n$ , и $x_n\ne a$ .
Если $a\in M$ , берём $x_n = a$ . Если $a\in M'$ , применяем п. 1. Обратно, если $x_n\to a$ , то любой шар $B(a,\varepsilon)$ пересекается с $M$ , а это и означает $a\in[M]$ .
Следует из п. 2: $M$ замкнуто $\iff [M] = M$ . $\blacksquare$

Ядро сопряжённого оператора и образ оператора

Формулировка

Для $A\in\mathcal L(H)$

\operatorname{Ker}A^* = R(A)^\perp,\qquad H = [R(A)]\oplus\operatorname{Ker}A^*.

Если образ $R(A)$ замкнут, то уравнение $Ax = f$ разрешимо тогда и только тогда, когда $f\perp\operatorname{Ker}A^*$ .

Доказательство

Развернуть

$A^*y = 0\iff(x, A^*y) = 0\ \forall x\iff(Ax, y) = 0\ \forall x\iff y\perp R(A)$ .

Ортогональное дополнение множества совпадает с ортогональным дополнением замыкания его линейной оболочки, а $[R(A)]$ — подпространство. По теореме о разложении $H = [R(A)]\oplus[R(A)]^\perp = [R(A)]\oplus\operatorname{Ker}A^*$ . При замкнутом образе $f\in R(A)\iff f\perp\operatorname{Ker}A^*$ . $\blacksquare$

Замыкание линейного многообразия

Формулировка

Замыкание линейного многообразия в нормированном пространстве — линейное многообразие, а значит, подпространство.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x, y\in[L]$ ; найдутся $x_n, y_n\in L$ с $x_n\to x$ , $y_n\to y$ . Тогда $\alpha x_n + \beta y_n\in L$ и по непрерывности линейных операций $\alpha x_n + \beta y_n\to\alpha x + \beta y$ , то есть $\alpha x + \beta y\in[L]$ . Замыкание любого множества замкнуто. $\blacksquare$

Критерии базисности ортонормированной системы

Формулировка

Для ОНС $\{e_k\}$ в гильбертовом пространстве $H$ равносильны условия:

$\{e_k\}$ — ортонормированный базис;
$\{e_k\}$ замкнута (равенство Парсеваля выполнено для всех $x$ );
$\{e_k\}$ полна;
линейная оболочка $\operatorname{span}\{e_k\}$ всюду плотна в $H$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow2$ . По минимальному свойству коэффициентов Фурье $\|x - S_n\|^2 = \|x\|^2 - \sum_{k\le n}c_k^2$ ; левая часть стремится к нулю.

$2\Rightarrow3$ . Если $(x,e_k) = 0$ для всех $k$ , то $\|x\|^2 = \sum0 = 0$ .

$3\Rightarrow1$ . Ряд Фурье сходится к $y$ с $x - y\perp e_k$ для всех $k$ . По полноте системы $x = y$ .

$1\Rightarrow4$ . Частичные суммы ряда Фурье лежат в $\operatorname{span}\{e_k\}$ и сходятся к $x$ .

$4\Rightarrow3$ . По критерию всюду плотности $(\operatorname{span}\{e_k\})^\perp = \{0\}$ . Элемент, ортогональный всем $e_k$ , ортогонален их оболочке, то есть равен нулю. $\blacksquare$

Замечание. Равносильность 1, 2 и 4 верна в любом евклидовом пространстве. Из полноты системы базисность следует только в полном пространстве.

Гильбертовы пространства

Неравенство Коши–Буняковского в евклидовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Непрерывность скалярного произведения

Формулировка

Доказательство

Равенство параллелограмма

Формулировка

Доказательство

Теорема Пифагора

Формулировка

Доказательство

Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества

Формулировка

Доказательство

Расстояние до подпространства. Ортогональная проекция

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогонального дополнения

Формулировка

Доказательство

Разложение гильбертова пространства в прямую сумму

Формулировка

Доказательство

Критерий всюду плотности линейного многообразия

Формулировка

Доказательство

Пространство C[0,1] не евклидово

Условие

Решение

Пространство l₁ не евклидово

Условие

Решение

Наилучшее приближение t² линейными функциями в L₂[−1,1]

Условие

Решение

Ортогональное дополнение в l₂

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Скалярное произведение. Евклидово пространство

Гильбертово пространство

Ортогональность. Ортогональное дополнение

Выпуклое множество

Нормированное пространство

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Подпространство нормированного пространства

Линейное многообразие. Линейная оболочка. Прямая сумма

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Свойства сходящихся последовательностей в метрическом пространстве

Формулировка

Доказательство

Сходимость ряда Фурье в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Обобщённое равенство Парсеваля

Формулировка

Доказательство

Теорема Рисса–Фишера

Формулировка

Доказательство

Свойства самосопряжённых операторов

Формулировка

Доказательство

Основные свойства нормы

Формулировка

Доказательство

Полнота и замкнутость подпространства

Формулировка

Доказательство

Предельная точка как предел последовательности

Формулировка

Доказательство

Ядро сопряжённого оператора и образ оператора

Формулировка