Компактные самосопряжённые операторы. Теорема Гильберта–Шмидта

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Компактный самосопряжённый оператор имеет собственное значение ±‖A‖
Теорема Гильберта–Шмидта
Спектр компактного самосопряжённого оператора
Полнота системы собственных элементов
Решение уравнения второго рода с компактным самосопряжённым оператором
Уравнение первого рода. Теорема Пикара

теорема

Компактный самосопряжённый оператор имеет собственное значение ±‖A‖

Формулировка

Если $A\ne 0$ — компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве, то одно из чисел $\|A\|$ , $-\|A\|$ является его собственным значением.

Доказательство

Развернуть

По свойству самосопряжённых операторов $\|A\| = \sup_{\|x\|=1}|(Ax, x)|$ . Выберем единичные $x_n$ с $(Ax_n, x_n)\to\lambda$ , $|\lambda| = \|A\|$ (числа $(Ax_n, x_n)$ вещественны). Тогда

\|Ax_n - \lambda x_n\|^2 = \|Ax_n\|^2 - 2\lambda(Ax_n, x_n) + \lambda^2\le 2\lambda^2 - 2\lambda(Ax_n, x_n)\to 0.

По компактности для подпоследовательности $Ax_{n_k}\to y$ . Тогда $\lambda x_{n_k}\to y$ , $\|y\| = |\lambda|\ne 0$ , и $Ay = \lim\lambda Ax_{n_k} = \lambda y$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Гильберта–Шмидта

Формулировка

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$ . Существует конечная или счётная ортонормированная система собственных элементов $e_k$ , $Ae_k = \lambda_ke_k$ , с вещественными $\lambda_k\ne 0$ , $|\lambda_1|\ge|\lambda_2|\ge\dots$ , $\lambda_k\to 0$ (если их бесконечно много), такая что для любого $x\in H$

x = x_0 + \sum_k(x, e_k)e_k,\quad x_0\in\operatorname{Ker}A,\qquad Ax = \sum_k\lambda_k(x, e_k)e_k.

Доказательство

Развернуть

Положим $H_1 = H$ и по предыдущей теореме найдём $e_1$ , $|\lambda_1| = \|A\|$ . Подпространство $H_2 = \{e_1\}^\perp$ инвариантно: $(Ax, e_1) = (x, Ae_1) = \lambda_1(x, e_1) = 0$ при $x\in H_2$ . Сужение $A$ на $H_2$ компактно и самосопряжено. Если оно не нулевое, находим $e_2\in H_2$ с $|\lambda_2| = \|A|_{H_2}\|\le|\lambda_1|$ , и так далее. Процесс обрывается, если на очередном $H_n$ оператор равен нулю.

Если процесс бесконечен, то $e_n\rightharpoonup 0$ , и $|\lambda_n| = \|Ae_n\|\to 0$ по теореме о компактных операторах.

Для $x\in H$ элемент $y_n = x - \sum_{k<n}(x, e_k)e_k$ лежит в $H_n$ , и $\|Ay_n\|\le|\lambda_n|\|y_n\|\le|\lambda_n|\|x\|\to 0$ (или $Ay_n = 0$ при конечном процессе). Значит, $Ax = \sum\lambda_k(x, e_k)e_k$ . Ряд $\sum(x, e_k)e_k$ сходится по неравенству Бесселя и теореме Рисса–Фишера, и для $x_0 = x - \sum(x, e_k)e_k$ по непрерывности $A$ получаем $Ax_0 = 0$ . $\blacksquare$

следствие

Спектр компактного самосопряжённого оператора

Формулировка

Ненулевые точки спектра компактного самосопряжённого оператора — это собственные значения $\lambda_k$ из теоремы Гильберта–Шмидта; каждое имеет конечную кратность. В бесконечномерном пространстве $0\in\sigma(A)$ . При $\lambda\ne 0$ , $\lambda\ne\lambda_k$ резольвента имеет вид

R_\lambda f = -\frac{f_0}\lambda + \sum_k\frac{(f, e_k)}{\lambda_k - \lambda}e_k,\qquad f_0 = f - \sum_k(f, e_k)e_k.

Доказательство

Развернуть

Заметим, что $\operatorname{Ker}A\perp e_k$ : при $Ax_0 = 0$ имеем $\lambda_k(x_0, e_k) = (x_0, Ae_k) = (Ax_0, e_k) = 0$ , $\lambda_k\ne 0$ . Поэтому разложение $x = x_0 + \sum c_ke_k$ единственно, $c_k = (x, e_k)$ .

Ищем решение уравнения $(A - \lambda)x = f$ в виде $x = x_0 + \sum c_ke_k$ . По теореме Гильберта–Шмидта $(A - \lambda)x = -\lambda x_0 + \sum(\lambda_k - \lambda)c_ke_k$ , и сравнение с разложением $f$ даёт $x_0 = -f_0/\lambda$ , $c_k = (f, e_k)/(\lambda_k - \lambda)$ .

Конечность кратностей следует из теоремы о собственных значениях компактного оператора, а $0\in\sigma(A)$ — из необратимости компактного оператора. $\blacksquare$

следствие

Полнота системы собственных элементов

Формулировка

Если компактный самосопряжённый оператор имеет нулевое ядро, то его собственные элементы $e_k$ образуют ортонормированный базис пространства $H$ ; в частности, $H$ сепарабельно. В общем случае базис образует система $\{e_k\}$ , дополненная ортонормированным базисом подпространства $\operatorname{Ker}A$ .

Доказательство

Развернуть

По теореме Гильберта–Шмидта $x = x_0 + \sum(x, e_k)e_k$ с $x_0\in\operatorname{Ker}A$ . При $\operatorname{Ker}A = \{0\}$ получаем $x = \sum(x, e_k)e_k$ для всех $x$ , то есть система — базис, и она не более чем счётна. $\blacksquare$

теорема

Решение уравнения второго рода с компактным самосопряжённым оператором

Формулировка

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор, $Ae_k = \lambda_ke_k$ как в теореме Гильберта–Шмидта, $f_k = (f, e_k)$ .

Если $\mu$ не характеристическое число ( $\mu\lambda_k\ne 1$ при всех $k$ ), то уравнение $x - \mu Ax = f$ имеет единственное решение

x = f + \mu\sum_k\frac{\lambda_kf_k}{1 - \mu\lambda_k}e_k.

Если $\mu = 1/\lambda_j$ , то уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогонален всем собственным элементам с собственным значением $\lambda_j$ . Тогда

x = f + \mu\sum_{\lambda_k\ne\lambda_j}\frac{\lambda_kf_k}{1 - \mu\lambda_k}e_k + \sum_{\lambda_k = \lambda_j}C_ke_k,

где $C_k$ произвольны.

Доказательство

Развернуть

Подставим $x = x_0 + \sum c_ke_k$ (разложение единственно, так как $\operatorname{Ker}A\perp e_k$ ): $x - \mu Ax = x_0 + \sum(1 - \mu\lambda_k)c_ke_k$ . Сравнивая с $f = f_0 + \sum f_ke_k$ , получаем $x_0 = f_0$ и $(1 - \mu\lambda_k)c_k = f_k$ .

$c_k = \frac{f_k}{1 - \mu\lambda_k}$ ; так как $\mu\lambda_k\to 0$ , коэффициенты $\frac1{1 - \mu\lambda_k}$ ограничены, и ряд сходится. Далее,

x = f_0 + \sum\frac{f_k}{1 - \mu\lambda_k}e_k = f + \sum\left(\frac1{1 - \mu\lambda_k} - 1\right)f_ke_k = f + \mu\sum\frac{\lambda_kf_k}{1 - \mu\lambda_k}e_k.

При $\lambda_k = \lambda_j$ уравнение $0\cdot c_k = f_k$ разрешимо лишь при $f_k = 0$ , и тогда $c_k$ произвольно. Остальные коэффициенты находятся как в п. 1. $\blacksquare$

теорема

Уравнение первого рода. Теорема Пикара

Формулировка

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор с нулевым ядром. Уравнение $Ax = f$ разрешимо тогда и только тогда, когда

\sum_k\frac{|(f, e_k)|^2}{\lambda_k^2} < \infty,

и тогда решение единственно: $x = \sum_k\frac{(f, e_k)}{\lambda_k}e_k$ . В бесконечномерном пространстве образ $R(A)$ всюду плотен, но не замкнут, так что малые изменения $f$ могут вызывать большие изменения решения.

Доказательство

Развернуть

Если $Ax = f$ , то $(f, e_k) = (Ax, e_k) = (x, Ae_k) = \lambda_k(x, e_k)$ , и по равенству Парсеваля $\sum|(f, e_k)|^2/\lambda_k^2 = \|x\|^2 < \infty$ .

Обратно, при сходимости ряда по теореме Рисса–Фишера существует $x$ с коэффициентами $(f, e_k)/\lambda_k$ , и $Ax = \sum\lambda_k(x, e_k)e_k = \sum(f, e_k)e_k = f$ , так как $\{e_k\}$ — базис. Единственность следует из $\operatorname{Ker}A = \{0\}$ .

Образ плотен: $e_k = A(e_k/\lambda_k)\in R(A)$ , а $\{e_k\}$ — базис. Неустойчивость: $f + \varepsilon e_k$ даёт решение $x + \frac\varepsilon{\lambda_k}e_k$ , а $\frac\varepsilon{|\lambda_k|}\to\infty$ ; значит, обратный оператор $A^{-1}$ на $R(A)$ не ограничен. Если бы образ был замкнут, то $R(A) = H$ , и по теореме Банаха об обратном операторе $A^{-1}$ был бы ограничен — противоречие. $\blacksquare$

Собственные функции ядра min(t, s)

Условие

Найти собственные значения и собственные функции оператора $(Ax)(t) = \int_0^1\min(t, s)x(s)\,ds$ в $L_2[0, 1]$ и норму $A$ .

Решение

Развернуть

Ядро непрерывно и симметрично, так что $A$ компактен и самосопряжён. Пусть $y = Ax = \int_0^tsx(s)\,ds + t\int_t^1x(s)\,ds$ . Тогда $y' = \int_t^1x(s)\,ds$ , $y'' = -x$ , $y(0) = 0$ , $y'(1) = 0$ .

Уравнение $Ax = \lambda x$ ( $\lambda\ne 0$ ) сводится к $\lambda x'' + x = 0$ , $x(0) = 0$ , $x'(1) = 0$ . При $\lambda > 0$ , $\omega = \lambda^{-1/2}$ , получаем $x = \sin\omega t$ и $\cos\omega = 0$ . Значит,

\lambda_k = \frac1{\left(k - \frac12\right)^2\pi^2},\qquad e_k(t) = \sqrt2\sin\left(k - \tfrac12\right)\pi t.

При $\lambda < 0$ ненулевых решений нет. Ядро $A$ нулевое: из $Ax = 0$ следует $x = -y'' = 0$ . Поэтому $\{e_k\}$ — ортонормированный базис $L_2[0, 1]$ , и $\|A\| = \lambda_1 = \frac4{\pi^2}$ .

Уравнение второго рода с ядром min(t, s)

Условие

Решить уравнение $x(t) - \mu\int_0^1\min(t, s)x(s)\,ds = \sin\frac{\pi t}2$ при $\mu\ne\frac{\pi^2}4$ . Что происходит при $\mu = \frac{\pi^2}4$ ? Решить при этом $\mu$ уравнение с правой частью $\sin\frac{3\pi t}2$ .

Решение

Развернуть

$f = \sin\frac{\pi t}2 = \frac1{\sqrt2}e_1$ , и по формуле решения уравнения второго рода

x = \frac{f}{1 - \mu\lambda_1} = \frac{\sin\frac{\pi t}2}{1 - \frac{4\mu}{\pi^2}}.

При $\mu = \frac{\pi^2}4 = \frac1{\lambda_1}$ функция $f$ не ортогональна $e_1$ , и решений нет.

Для $f = \sin\frac{3\pi t}2 = \frac1{\sqrt2}e_2$ при $\mu = \frac{\pi^2}4$ : $f\perp e_1$ , решение существует. $\mu\lambda_2 = \frac{\pi^2}4\cdot\frac4{9\pi^2} = \frac19$ , и

x = \frac98\sin\frac{3\pi t}2 + C\sin\frac{\pi t}2.

Условие Пикара для диагонального оператора

Условие

Для оператора $Ae_k = \frac1ke_k$ в $l_2$ выяснить, разрешимо ли уравнение $Ax = f$ при $f = (1/k)$ и при $f = (1/k^2)$ .

Решение

Развернуть

Условие Пикара: $\sum k^2|f_k|^2 < \infty$ .

$f_k = 1/k$ : $\sum 1$ расходится — решения нет (формально $x = (1, 1, \dots)\notin l_2$ ).

$f_k = 1/k^2$ : $\sum\frac1{k^2} < \infty$ , решение $x = (1/k)\in l_2$ .

Обе правые части лежат в $l_2$ ; образ $A$ плотен, но не замкнут.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Операторные уравнения. Характеристические числа

Для оператора $A$ рассматривают уравнение первого рода $Ax = f$ и уравнение второго рода

x - \mu Ax = f,

где $\mu$ — числовой параметр. При $f = 0$ уравнение называется однородным.

Число $\mu$ называется характеристическим числом оператора $A$ , если однородное уравнение $x = \mu Ax$ имеет ненулевое решение. Характеристические числа — величины, обратные ненулевым собственным значениям: $\mu = 1/\lambda$ .

Вполне непрерывный (компактный) оператор

Линейный оператор $A\colon E\to F$ называется вполне непрерывным (компактным), если он переводит любое ограниченное множество в относительно компактное. Равносильно: из любой ограниченной последовательности $x_n$ можно выбрать подпоследовательность, для которой $Ax_{n_k}$ сходится.

Оператор называется конечномерным, если его образ конечномерен.

Сопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Самосопряжённый оператор

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A\in\mathcal L(H)$ . Сопряжённый оператор $A^*\in\mathcal L(H)$ определяется равенством

(Ax, y) = (x, A^*y)\qquad\text{для всех } x, y\in H.

Оператор называется самосопряжённым, если $A^* = A$ , то есть $(Ax, y) = (x, Ay)$ .

Собственные значения и собственные элементы. Части спектра

Число $\lambda$ называется собственным значением оператора $A$ , если существует $x\ne 0$ с $Ax = \lambda x$ ; такой $x$ называется собственным элементом (вектором), а $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ — собственным подпространством. Множество собственных значений называется точечным спектром.

Остальные точки спектра (где $A - \lambda I$ инъективен, но не непрерывно обратим) образуют непрерывный спектр, если образ $A - \lambda I$ всюду плотен, и остаточный спектр, если не плотен.

Ортонормированная система. Коэффициенты и ряд Фурье

Система $\{e_k\}$ евклидова пространства называется ортонормированной (ОНС), если $(e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . Система ненулевых попарно ортогональных элементов называется ортогональной. Ортонормированная система линейно независима.

Числа $c_k = (x,e_k)$ — коэффициенты Фурье элемента $x$ по ОНС $\{e_k\}$ , а ряд $\sum c_ke_k$ — его ряд Фурье.

Регулярные значения, резольвента, спектр

Пусть $E$ — комплексное банахово пространство, $A\in\mathcal L(E)$ . Число $\lambda\in\mathbb C$ называется регулярным значением оператора $A$ , если оператор $A - \lambda I$ непрерывно обратим. Оператор

R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}

называется резольвентой. Множество регулярных значений $\rho(A)$ — резольвентное множество, его дополнение $\sigma(A) = \mathbb C\setminus\rho(A)$ — спектр оператора.

Ортонормированный базис. Замкнутая и полная ОНС

ОНС $\{e_k\}$ в евклидовом пространстве $E$ называется:

ортонормированным базисом (ОНБ), если для любого $x\in E$ его ряд Фурье сходится к $x$ : $x = \sum(x,e_k)e_k$ ;
замкнутой, если для любого $x\in E$ выполнено равенство Парсеваля $\sum(x,e_k)^2 = \|x\|^2$ ;
полной, если из $(x,e_k) = 0$ при всех $k$ следует $x = 0$ .

Свойства самосопряжённых операторов

Формулировка

Пусть $A$ самосопряжён. Тогда:

$(Ax, x)$ вещественно при всех $x$ ;
собственные значения вещественны, а собственные элементы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны;
$\|A\| = \sup_{\|x\| = 1}|(Ax, x)|$ .

Доказательство

Развернуть

$(Ax, x) = (x, Ax) = \overline{(Ax, x)}$ .
Если $Ax = \lambda x$ , $x\ne 0$ , то $\lambda\|x\|^2 = (Ax, x)$ вещественно. Если $Ax = \lambda x$ , $Ay = \mu y$ , $\lambda\ne\mu$ , то $\lambda(x, y) = (Ax, y) = (x, Ay) = \mu(x, y)$ , и $(x, y) = 0$ .
Пусть $N = \sup_{\|x\|=1}|(Ax, x)|$ ; ясно, что $N\le\|A\|$ . Для любых $x, y$

4\operatorname{Re}(Ax, y) = (A(x + y), x + y) - (A(x - y), x - y)\le N\bigl(\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2\bigr) = 2N\bigl(\|x\|^2 + \|y\|^2\bigr).

При $\|x\| = 1$ , $Ax\ne 0$ и $y = Ax/\|Ax\|$ получаем $4\|Ax\|\le 4N$ . $\blacksquare$

Простейшие свойства компактных операторов

Формулировка

Компактный оператор ограничен.
Ограниченный конечномерный оператор компактен.
Линейная комбинация компактных операторов компактна.
Произведение компактного оператора на ограниченный (в любом порядке) компактно.
В бесконечномерном пространстве тождественный оператор не компактен.

Доказательство

Развернуть

Образ единичного шара относительно компактен, а значит, ограничен.
Образ ограниченного множества ограничен и лежит в конечномерном пространстве, где ограниченные множества относительно компактны.
Для $\alpha A + \beta B$ выбираем подпоследовательность дважды.
Ограниченный оператор переводит ограниченные множества в ограниченные, а сходящиеся последовательности — в сходящиеся.
Единичный шар бесконечномерного пространства не относительно компактен. $\blacksquare$

Уравнения с симметричным ядром. Теорема Гильберта–Шмидта для ядер

Формулировка

Пусть $K\not\equiv 0$ — вещественное симметричное ядро Гильберта–Шмидта. Тогда:

ядро имеет хотя бы одно характеристическое число; все характеристические числа $\mu_k$ вещественны, их не более чем счётно, $|\mu_k|\to\infty$ , кратность каждого конечна; собственные функции $\varphi_k$ можно выбрать ортонормированными;
для любой $f = Ah$ , $h\in L_2$ («истокообразно представимой») $f = \sum_k\frac{(h, \varphi_k)}{\mu_k}\varphi_k$ ;
справедливы равенства

K(t, s) = \sum_k\frac{\varphi_k(t)\varphi_k(s)}{\mu_k}\ \ \text{в } L_2(Q),\qquad\sum_k\frac1{\mu_k^2} = \int_a^b\!\!\int_a^bK^2(t, s)\,dt\,ds.

Доказательство

Развернуть

Оператор $A$ компактен и самосопряжён, и $\mu_k = 1/\lambda_k$ , где $\lambda_k$ — его ненулевые собственные значения. П. 1 следует из теоремы о собственном значении $\pm\|A\|$ и теоремы Гильберта–Шмидта, п. 2 — из формулы $Ah = \sum\lambda_k(h, \varphi_k)\varphi_k$ .

П. 3. Для почти всех $t$ функция $K(t, \cdot)\in L_2$ , и её коэффициенты Фурье $\int K(t, s)\varphi_k(s)\,ds = (A\varphi_k)(t) = \lambda_k\varphi_k(t)$ . Для $h\in\operatorname{Ker}A$ имеем $(K(t, \cdot), h) = (Ah)(t) = 0$ . Поэтому разложение $K(t, \cdot)$ по системе $\varphi_k$ полно, и по равенству Парсеваля

\int_a^bK^2(t, s)\,ds = \sum_k\lambda_k^2\varphi_k^2(t).

Интегрируя по $t$ , получаем второе равенство. Первое следует из него же: остаток ряда в $L_2(Q)$ равен $\sum_{k>N}\lambda_k^2\to 0$ . $\blacksquare$

Компактный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся

Формулировка

Если $A$ компактен и $x_n\rightharpoonup x$ , то $Ax_n\to Ax$ по норме. В частности, в гильбертовом пространстве $Ae_n\to 0$ для любой ортонормированной последовательности $e_n$ .

Доказательство

Развернуть

Для $g\in F^*$ функционал $g\circ A$ ограничен, поэтому $g(Ax_n)\to g(Ax)$ , то есть $Ax_n\rightharpoonup Ax$ . Последовательность $x_n$ ограничена (слабо сходящаяся).

Если $Ax_n\not\to Ax$ , то для некоторых $\varepsilon > 0$ и подпоследовательности $\|Ax_{n_k} - Ax\|\ge\varepsilon$ . По компактности из неё выбирается подпоследовательность с $Ax_{n_{k_j}}\to y$ . Тогда и $Ax_{n_{k_j}}\rightharpoonup y$ , а по единственности слабого предела $y = Ax$ — противоречие.

Ортонормированная последовательность слабо сходится к нулю. $\blacksquare$

Теорема Рисса–Фишера

Формулировка

Пусть $\{e_k\}$ — ОНС в гильбертовом пространстве $H$ и $\sum c_k^2 < \infty$ . Тогда ряд $\sum c_ke_k$ сходится к элементу $x\in H$ , для которого

(x,e_k) = c_k,\qquad\|x\|^2 = \sum_{k=1}^\infty c_k^2.

Доказательство

Развернуть

По теореме Пифагора $\left\|\sum_{k=n+1}^{n+p}c_ke_k\right\|^2 = \sum_{k=n+1}^{n+p}c_k^2$ , и это мало при больших $n$ . Ряд сходится к некоторому $x$ . По непрерывности скалярного произведения $(x,e_j) = \lim_n\left(\sum_{k\le n}c_ke_k, e_j\right) = c_j$ и $\|x\|^2 = \lim_n\sum_{k\le n}c_k^2$ . $\blacksquare$

Неравенство Бесселя

Формулировка

Для любой ОНС $\{e_k\}$ и любого $x$

\sum_{k=1}^\infty(x,e_k)^2\le\|x\|^2.

В частности, $(x,e_k)\to0$ .

Доказательство

Развернуть

По минимальному свойству коэффициентов Фурье $\|x\|^2 - \sum_{k\le n}c_k^2\ge0$ при любом $n$ . Частичные суммы ряда с неотрицательными членами ограничены, поэтому он сходится, и неравенство сохраняется в пределе. $\blacksquare$

Собственные значения компактного оператора

Формулировка

Пусть $A$ — компактный оператор в банаховом пространстве. Тогда:

при $\lambda\ne 0$ собственное подпространство $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ конечномерно;
для любого $\delta > 0$ собственных значений с $|\lambda|\ge\delta$ конечное число.

Следовательно, ненулевые собственные значения образуют не более чем счётное множество, которое может накапливаться только к нулю.

Доказательство

Развернуть

На $N = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ оператор действует как $\lambda I$ , поэтому единичный шар $B_N = \frac1\lambda A(B_N)$ относительно компактен. По критерию конечномерности $N$ конечномерно.
Пусть есть бесконечно много различных $\lambda_n$ с $|\lambda_n|\ge\delta$ и собственные элементы $x_n$ . Они линейно независимы, и подпространства $L_n = \operatorname{span}\{x_1, \dots, x_n\}$ строго возрастают. При этом $AL_n\subset L_n$ и $(A - \lambda_n)L_n\subset L_{n-1}$ . По лемме Рисса возьмём $y_n\in L_n$ , $\|y_n\| = 1$ , $\rho(y_n, L_{n-1})\ge\frac12$ . При $n > m$

Ay_n - Ay_m = \lambda_ny_n - \bigl[(\lambda_n - A)y_n + Ay_m\bigr],

где скобка лежит в $L_{n-1}$ . Поэтому $\|Ay_n - Ay_m\|\ge|\lambda_n|\cdot\frac12\ge\frac\delta2$ , и у ограниченной последовательности $y_n$ образы не имеют сходящейся подпоследовательности — противоречие с компактностью. $\blacksquare$

Компактный оператор в бесконечномерном пространстве не обратим непрерывно

Формулировка

Если $E$ бесконечномерно и $A\in\mathcal L(E)$ компактен, то $A$ не является непрерывно обратимым. Следовательно, $0\in\sigma(A)$ .

Доказательство

Развернуть

Если бы $A^{-1}$ был ограничен, то тождественный оператор $I = A^{-1}A$ был бы компактен как произведение ограниченного оператора на компактный. Это невозможно в бесконечномерном пространстве. $\blacksquare$

Критерии базисности ортонормированной системы

Формулировка

Для ОНС $\{e_k\}$ в гильбертовом пространстве $H$ равносильны условия:

$\{e_k\}$ — ортонормированный базис;
$\{e_k\}$ замкнута (равенство Парсеваля выполнено для всех $x$ );
$\{e_k\}$ полна;
линейная оболочка $\operatorname{span}\{e_k\}$ всюду плотна в $H$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow2$ . По минимальному свойству коэффициентов Фурье $\|x - S_n\|^2 = \|x\|^2 - \sum_{k\le n}c_k^2$ ; левая часть стремится к нулю.

$2\Rightarrow3$ . Если $(x,e_k) = 0$ для всех $k$ , то $\|x\|^2 = \sum0 = 0$ .

$3\Rightarrow1$ . Ряд Фурье сходится к $y$ с $x - y\perp e_k$ для всех $k$ . По полноте системы $x = y$ .

$1\Rightarrow4$ . Частичные суммы ряда Фурье лежат в $\operatorname{span}\{e_k\}$ и сходятся к $x$ .

$4\Rightarrow3$ . По критерию всюду плотности $(\operatorname{span}\{e_k\})^\perp = \{0\}$ . Элемент, ортогональный всем $e_k$ , ортогонален их оболочке, то есть равен нулю. $\blacksquare$

Замечание. Равносильность 1, 2 и 4 верна в любом евклидовом пространстве. Из полноты системы базисность следует только в полном пространстве.

Решение уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром

Формулировка

Пусть $K$ — симметричное ядро Гильберта–Шмидта с характеристическими числами $\mu_k$ и ортонормированными собственными функциями $\varphi_k$ , $f_k = (f, \varphi_k)$ . Если $\lambda\ne\mu_k$ , то уравнение $x - \lambda\int_a^bK(t, s)x(s)\,ds = f$ имеет единственное решение (формула Шмидта)

x = f + \lambda\sum_k\frac{f_k}{\mu_k - \lambda}\varphi_k.

Если $\lambda = \mu_j$ , уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогональна всем собственным функциям, отвечающим $\mu_j$ ; решение определено с точностью до их линейной комбинации.

Доказательство

Развернуть

Это теорема о решении уравнения второго рода с компактным самосопряжённым оператором при $\mu = \lambda$ и $\lambda_k = 1/\mu_k$ : $\frac{\lambda\lambda_k}{1 - \lambda\lambda_k} = \frac{\lambda}{\mu_k - \lambda}$ . $\blacksquare$

Обобщённое равенство Парсеваля

Формулировка

Если $\{e_k\}$ — ортонормированный базис, то для любых $x, y$

(x,y) = \sum_{k=1}^\infty(x,e_k)(y,e_k).

Доказательство

Развернуть

$\left(\sum_{k\le n}(x,e_k)e_k,\ y\right) = \sum_{k\le n}(x,e_k)(y,e_k)$ . Левая часть стремится к $(x,y)$ по непрерывности скалярного произведения, так как частичные суммы ряда Фурье сходятся к $x$ . $\blacksquare$

Теорема Банаха об обратном операторе

Формулировка

Если $E$ , $F$ банаховы и $A\in\mathcal L(E, F)$ — биекция, то обратный оператор $A^{-1}$ ограничен.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $B_r$ открытый шар радиуса $r$ с центром $0$ в $E$ , $V_r$ — в $F$ .

Шаг 1. $F = \bigcup_n[A(B_n)]$ , так как $A$ сюръективен. По теореме Бэра некоторое $[A(B_n)]$ содержит шар $V(y_0, \varepsilon)$ . Если $\|y\| < \varepsilon$ , то $y = (y_0 + y) - y_0$ — разность элементов $[A(B_n)]$ , поэтому $y\in[A(B_{2n})]$ . По однородности $[A(B_1)]\supset V_\delta$ , $\delta = \frac\varepsilon{2n}$ , и вообще $[A(B_r)]\supset V_{r\delta}$ .

Шаг 2. Докажем, что $A(B_2)\supset V_\delta$ . Пусть $\|y\| < \delta$ . Выберем $x_1\in B_1$ с $\|y - Ax_1\| < \frac\delta2$ , затем $x_2\in B_{1/2}$ с $\|y - Ax_1 - Ax_2\| < \frac\delta4$ , и т. д., $x_k\in B_{2^{1-k}}$ . Ряд $\sum x_k$ сходится абсолютно в банаховом $E$ к элементу $x$ с $\|x\| < 2$ , и $Ax = \lim A\sum_{k\le n}x_k = y$ .

Шаг 3. Для $y\ne 0$ элемент $y' = \frac{\delta}{2\|y\|}y$ лежит в $V_\delta$ , так что $\|A^{-1}y'\| < 2$ , то есть $\|A^{-1}y\|\le\frac4\delta\|y\|$ . $\blacksquare$

Компактные самосопряжённые операторы. Теорема Гильберта–Шмидта

Компактный самосопряжённый оператор имеет собственное значение ±‖A‖

Формулировка

Доказательство

Теорема Гильберта–Шмидта

Формулировка

Доказательство

Спектр компактного самосопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Полнота системы собственных элементов

Формулировка

Доказательство

Решение уравнения второго рода с компактным самосопряжённым оператором

Формулировка

Доказательство

Уравнение первого рода. Теорема Пикара

Формулировка

Доказательство

Собственные функции ядра min(t, s)

Условие

Решение

Уравнение второго рода с ядром min(t, s)

Условие

Решение

Условие Пикара для диагонального оператора

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Операторные уравнения. Характеристические числа

Вполне непрерывный (компактный) оператор

Сопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Самосопряжённый оператор

Собственные значения и собственные элементы. Части спектра

Ортонормированная система. Коэффициенты и ряд Фурье

Регулярные значения, резольвента, спектр

Ортонормированный базис. Замкнутая и полная ОНС

Свойства самосопряжённых операторов

Формулировка

Доказательство

Простейшие свойства компактных операторов

Формулировка

Доказательство

Уравнения с симметричным ядром. Теорема Гильберта–Шмидта для ядер

Формулировка

Доказательство

Компактный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся

Формулировка

Доказательство

Теорема Рисса–Фишера

Формулировка

Доказательство

Неравенство Бесселя

Формулировка

Доказательство

Собственные значения компактного оператора

Формулировка

Доказательство

Компактный оператор в бесконечномерном пространстве не обратим непрерывно

Формулировка

Доказательство

Критерии базисности ортонормированной системы

Формулировка

Доказательство

Решение уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром

Формулировка

Доказательство

Обобщённое равенство Парсеваля

Формулировка

Доказательство

Теорема Банаха об обратном операторе

Формулировка

Доказательство