Вырожденные ядра. Теоремы Фредгольма

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Сведение уравнения с вырожденным ядром к линейной системе
Теоремы Фредгольма для вырожденного ядра
Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольным ядром
Ненулевой спектр интегрального оператора состоит из собственных значений
Резольвента ядра и ряд Неймана

теорема

Сведение уравнения с вырожденным ядром к линейной системе

Формулировка

Пусть $K(t, s) = \sum_{i=1}^na_i(t)b_i(s)$ . Функция $x$ — решение уравнения $x - \lambda\int_a^bK(t, s)x(s)\,ds = f$ тогда и только тогда, когда

x = f + \lambda\sum_{i=1}^nc_ia_i,

где числа $c = (c_1, \dots, c_n)$ удовлетворяют системе

(E - \lambda M)c = F,\qquad m_{ij} = \int_a^bb_i(s)a_j(s)\,ds,\qquad F_i = \int_a^bb_i(s)f(s)\,ds.

Доказательство

Развернуть

Если $x$ — решение, положим $c_i = \int_a^bb_i(s)x(s)\,ds$ . Тогда уравнение имеет вид $x = f + \lambda\sum c_ia_i$ . Умножая это равенство на $b_j$ и интегрируя, получаем $c_j = F_j + \lambda\sum_im_{ji}c_i$ , то есть $(E - \lambda M)c = F$ .

Обратно, если $c$ решает систему и $x = f + \lambda\sum c_ia_i$ , то $\int b_jx = F_j + \lambda\sum_im_{ji}c_i = c_j$ . Значит, $\lambda\int Kx = \lambda\sum_ia_i\int b_ix = \lambda\sum c_ia_i = x - f$ . $\blacksquare$

теорема

Теоремы Фредгольма для вырожденного ядра

Формулировка

Пусть ядро вещественно и вырождено, $D(\lambda) = \det(E - \lambda M)$ . Тогда:

характеристические числа — корни многочлена $D(\lambda)$ ( $D(0) = 1$ ), их конечное число;
если $D(\lambda)\ne 0$ , уравнение однозначно разрешимо при любой $f$ ;
если $D(\lambda) = 0$ , однородное уравнение и союзное однородное уравнение имеют одинаковое число $n - \operatorname{rank}(E - \lambda M)$ линейно независимых решений;
при $D(\lambda) = 0$ неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогональна всем решениям союзного однородного уравнения.

Доказательство

Развернуть

Решения однородного уравнения — функции $x = \lambda\sum c_ia_i$ с $(E - \lambda M)c = 0$ . Так как $a_i$ линейно независимы и $\lambda\ne 0$ , соответствие $c\mapsto x$ взаимно однозначно. Значит, число независимых решений равно $n - \operatorname{rank}(E - \lambda M)$ , и ненулевые решения есть тогда и только тогда, когда $D(\lambda) = 0$ . Это даёт пп. 1, 2.

Союзное ядро $K(s, t) = \sum b_i(t)a_i(s)$ — тоже вырожденное, с ролями $a_i\leftrightarrow b_i$ . Его матрица — транспонированная $M^T$ . Ранги $E - \lambda M$ и $E - \lambda M^T$ равны (ранг матрицы равен рангу транспонированной), что даёт п. 3.

П. 4. По теореме Кронекера–Капелли система $(E - \lambda M)c = F$ разрешима тогда и только тогда, когда $F$ ортогонален всем решениям $d$ системы $(E - \lambda M^T)d = 0$ (ортогональность образа матрицы ядру транспонированной). Решения союзного однородного уравнения — функции $y = \lambda\sum d_jb_j$ , и $(f, y) = \lambda\sum d_jF_j = \lambda(d, F)$ . Значит, условие $F\perp d$ равносильно $f\perp y$ . $\blacksquare$

теорема

Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольным ядром

Формулировка

Пусть $K$ — ядро Гильберта–Шмидта, $A$ — соответствующий оператор в $L_2[a, b]$ . Тогда для уравнения $x - \lambda Ax = f$ :

(альтернатива Фредгольма) либо оно однозначно разрешимо при любой $f\in L_2$ , либо однородное уравнение имеет ненулевое решение;
однородное уравнение $x = \lambda Ax$ и союзное однородное $y = \bar\lambda A^*y$ имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений;
неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогональна всем решениям союзного однородного уравнения;
характеристические числа образуют не более чем счётное множество, не имеющее конечных предельных точек.

Доказательство

Развернуть

Зафиксируем $\rho > 0$ и рассмотрим $|\lambda| < \rho$ . Разложим $K = K_n + R$ , где $K_n$ вырождено, а $\|R\|_{L_2(Q)} < 1/\rho$ . Тогда для оператора $R$ с этим ядром $\|\lambda R\| < 1$ , и $I - \lambda R$ непрерывно обратим (ряд Неймана). Справедливо разложение

I - \lambda A = (I - \lambda R)(I - T),\qquad T = \lambda(I - \lambda R)^{-1}A_n,

где $T$ конечномерен: $Tx = \sum_i(x, \bar b_i)\tilde a_i$ с $\tilde a_i = \lambda(I - \lambda R)^{-1}a_i$ .

Для конечномерного оператора $T$ утверждения 2, 3 доказаны: рассуждение теоремы Фредгольма для вырожденного ядра переносится на операторы вида $\sum(x, \bar b_i)\tilde a_i$ (линейная независимость $\tilde a_i$ не нужна: на $\operatorname{Ker}(I - T)$ отображение $x\mapsto c$ , $c_i = (x, \bar b_i)$ , инъективно, так как $x = \sum c_i\tilde a_i$ ). Переносим их на $I - \lambda A$ :

$\operatorname{Ker}(I - \lambda A) = \operatorname{Ker}(I - T)$ , так как $I - \lambda R$ обратим;
$(I - \lambda A)^* = (I - T)^*(I - \lambda R)^*$ , поэтому $\operatorname{Ker}(I - \lambda A)^* = \bigl((I - \lambda R)^*\bigr)^{-1}\operatorname{Ker}(I - T)^*$ — той же размерности, что $\operatorname{Ker}(I - T)^*$ . Это п. 2;
$f\in R(I - \lambda A)\iff(I - \lambda R)^{-1}f\in R(I - T)\iff(I - \lambda R)^{-1}f\perp\operatorname{Ker}(I - T)^*\iff f\perp\operatorname{Ker}(I - \lambda A)^*$ . Это п. 3.

П. 1 следует из пп. 2, 3: если однородное уравнение имеет лишь нулевое решение, то и союзное тоже, и тогда разрешимость есть при любой $f$ , а единственность — из тривиальности ядра.

П. 4: ненулевые решения уравнения $x = Tx$ существуют тогда и только тогда, когда $\det\bigl(\delta_{ij} - (\tilde a_j, \bar b_i)\bigr) = 0$ . Этот определитель — аналитическая функция $\lambda$ в круге $|\lambda| < \rho$ (по ряду Неймана), равная $1$ при $\lambda = 0$ . Её нули изолированы, и в любом меньшем замкнутом круге их конечное число. $\blacksquare$

следствие

Ненулевой спектр интегрального оператора состоит из собственных значений

Формулировка

Для оператора Гильберта–Шмидта каждая ненулевая точка спектра — собственное значение конечной кратности. Ненулевой спектр не более чем счётен и может накапливаться лишь к нулю.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda\ne 0$ не является собственным значением. Тогда $\mu = 1/\lambda$ не характеристическое число, и по альтернативе Фредгольма уравнение $x - \mu Ax = f$ однозначно разрешимо при любой $f$ . Значит, $A - \lambda I = -\lambda(I - \mu A)$ — биекция банахова пространства, и по теореме Банаха обратный оператор ограничен, то есть $\lambda\in\rho(A)$ . Остальное — теорема о собственных значениях компактного оператора. $\blacksquare$

теорема

Резольвента ядра и ряд Неймана

Формулировка

Пусть $K$ — ядро Гильберта–Шмидта, $|\lambda| < 1/\|K\|_{L_2(Q)}$ . Определим итерированные ядра

K_1 = K,\qquad K_{n+1}(t, s) = \int_a^bK(t, u)K_n(u, s)\,du.

Ряд $R(t, s; \lambda) = \sum_{n\ge 1}\lambda^{n-1}K_n(t, s)$ сходится в $L_2(Q)$ , а решение уравнения $x - \lambda\int Kx = f$ имеет вид

x(t) = f(t) + \lambda\int_a^bR(t, s; \lambda)f(s)\,ds.

Доказательство

Развернуть

Оператор $A^n$ — интегральный с ядром $K_n$ (по теореме Фубини). По неравенству Коши–Буняковского $|K_{n+1}(t, s)|^2\le\int|K(t, u)|^2\,du\int|K_n(u, s)|^2\,du$ , откуда $\|K_{n+1}\|\le\|K\|\|K_n\|$ и $\|K_n\|\le\|K\|^n$ . Ряд для $R$ сходится в $L_2(Q)$ при $|\lambda|\|K\| < 1$ .

По теореме о ряде Неймана ( $\|\lambda A\| < 1$ ) решение равно $x = \sum_{n\ge 0}\lambda^nA^nf = f + \lambda\sum_{n\ge 1}\lambda^{n-1}A^nf$ , а это и есть $f + \lambda\int R(\cdot, s; \lambda)f(s)\,ds$ . $\blacksquare$

Уравнение с вырожденным ядром t + s

Условие

Найти характеристические числа ядра $K(t, s) = t + s$ на $[0, 1]$ и решить уравнение $x(t) - \lambda\int_0^1(t + s)x(s)\,ds = 1$ .

Решение

Развернуть

$a_1 = t$ , $b_1 = 1$ , $a_2 = 1$ , $b_2 = s$ . Тогда

M = \begin{pmatrix}\int t&\int 1\\\int t^2&\int t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac12&1\\\frac13&\frac12\end{pmatrix},\qquad F = \begin{pmatrix}1\\\frac12\end{pmatrix}.

$D(\lambda) = \left(1 - \frac\lambda2\right)^2 - \frac{\lambda^2}3 = 1 - \lambda - \frac{\lambda^2}{12}$ . Характеристические числа $\lambda^2 + 12\lambda - 12 = 0$ , то есть $\lambda = -6\pm4\sqrt3$ .

При $D(\lambda)\ne 0$ по правилу Крамера

c_1 = \frac1{D(\lambda)},\qquad c_2 = \frac{\frac12 + \frac\lambda{12}}{D(\lambda)},\qquad x(t) = 1 + \lambda\,\frac{t + \frac12 + \frac\lambda{12}}{1 - \lambda - \frac{\lambda^2}{12}}.

При $\lambda = -6\pm4\sqrt3$ решений нет. Ядро симметрично, поэтому по теореме Фредгольма нужна ортогональность $f = 1$ собственной функции $x = \alpha t + \beta$ . Из однородного уравнения $\beta = \lambda\left(\frac\alpha3 + \frac\beta2\right)$ , то есть $\beta = \frac{2\lambda\alpha}{3(2 - \lambda)}$ , и

(1, x) = \frac\alpha2 + \beta = \frac{(6 + \lambda)\alpha}{6(2 - \lambda)}.

Это выражение обращается в нуль лишь при $\lambda = -6$ , а $-6$ не является характеристическим числом.

Ядро cos(t − s) и условие разрешимости

Условие

Найти характеристические числа и собственные функции ядра $K(t, s) = \cos(t - s)$ на $[0, 2\pi]$ . Разрешимо ли при характеристическом $\lambda$ уравнение $x - \lambda\int_0^{2\pi}\cos(t - s)x(s)\,ds = f$ для $f = 1$ и для $f = t$ ?

Решение

Развернуть

$K = \cos t\cos s + \sin t\sin s$ — симметричное вырожденное ядро, $M = \operatorname{diag}(\pi, \pi)$ (так как $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \int_0^{2\pi}\sin^2 = \pi$ , $\int\sin\cos = 0$ ). $D(\lambda) = (1 - \pi\lambda)^2$ ; единственное характеристическое число $\lambda = \frac1\pi$ кратности $2$ , собственные функции $\cos t$ , $\sin t$ .

При $\lambda = \frac1\pi$ уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f\perp\cos t, \sin t$ (ядро симметрично, союзное уравнение совпадает с исходным).

$f = 1$ : условие выполнено, $x = 1 + C_1\cos t + C_2\sin t$ .

$f = t$ : $\int_0^{2\pi}t\sin t\,dt = -2\pi\ne 0$ — решений нет.

Несимметричное ядро: собственные функции союзного уравнения

Условие

Для ядра $K(t, s) = t$ на $[0, 1]$ найти характеристическое число, собственные функции исходного и союзного уравнений и условие разрешимости уравнения $x - \lambda\int_0^1t\,x(s)\,ds = f$ при характеристическом $\lambda$ .

Решение

Развернуть

Однородное уравнение: $x = \lambda tc$ , $c = \int_0^1x = \frac{\lambda c}2$ . Ненулевое решение есть при $\lambda = 2$ , собственная функция $x = t$ .

Союзное ядро $K(s, t) = s$ : $y(t) = \lambda\int_0^1s\,y(s)\,ds$ — постоянная. При $\lambda = 2$ : $y = 1$ , так как $1 = 2\int_0^1s\,ds$ .

Условие разрешимости при $\lambda = 2$ : $f\perp 1$ , то есть $\int_0^1f = 0$ . Прямая проверка: интегрируя уравнение, получаем $c - c = \int f$ . Собственные функции исходного и союзного уравнений различны — у несимметричного ядра так и должно быть.

Резольвента ядра ts

Условие

Найти итерированные ядра и резольвенту ядра $K(t, s) = ts$ на $[0, 1]$ и решить уравнение $x(t) - \lambda\int_0^1ts\,x(s)\,ds = t$ .

Решение

Развернуть

$K_2 = \int_0^1tu\cdot us\,du = \frac{ts}3$ , и по индукции $K_n = \frac{ts}{3^{n-1}}$ . Тогда

R(t, s; \lambda) = ts\sum_{n\ge 1}\left(\frac\lambda3\right)^{n-1} = \frac{ts}{1 - \lambda/3},\qquad|\lambda| < 3.

(Формула верна при всех $\lambda\ne 3$ ; $\lambda = 3$ — характеристическое число.)

$x = t + \lambda\int_0^1\frac{ts}{1 - \lambda/3}s\,ds = t + \frac{\lambda t/3}{1 - \lambda/3} = \frac{3t}{3 - \lambda}$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Союзное (сопряжённое) интегральное уравнение

Для уравнения $x(t) - \lambda\int_a^bK(t, s)x(s)\,ds = f(t)$ союзным (сопряжённым) называется уравнение

y(t) - \bar\lambda\int_a^b\overline{K(s, t)}\,y(s)\,ds = g(t),

то есть уравнение второго рода с параметром $\bar\lambda$ и сопряжённым оператором $A^*$ . В вещественном случае ядро просто транспонируется: $K^*(t, s) = K(s, t)$ .

Вырожденное ядро

Ядро называется вырожденным, если оно имеет вид

K(t, s) = \sum_{i=1}^na_i(t)b_i(s),

где $a_i, b_i\in L_2[a, b]$ (часто непрерывны). Без ограничения общности системы $\{a_i\}$ и $\{b_i\}$ линейно независимы. Соответствующий интегральный оператор конечномерен: $Ax = \sum_i\left(\int_a^bb_ix\,ds\right)a_i$ .

Классификация линейных интегральных уравнений

Пусть $K(t, s)$ — заданная функция (ядро), $f$ — заданная, $x$ — искомая функция на $[a, b]$ , $\lambda$ — параметр.

Уравнение Фредгольма первого рода: $\displaystyle\int_a^bK(t, s)x(s)\,ds = f(t)$ .
Уравнение Фредгольма второго рода: $\displaystyle x(t) - \lambda\int_a^bK(t, s)x(s)\,ds = f(t)$ .
Уравнения Вольтерра первого и второго рода — те же уравнения с переменным верхним пределом $t$ (ядро равно нулю при $s > t$ ).

При $f\equiv 0$ уравнение второго рода называется однородным. Значения $\lambda$ , при которых однородное уравнение $x = \lambda\int K x$ имеет ненулевое решение, называются характеристическими числами ядра, а сами решения — собственными функциями. Ядро симметрично, если $K(t, s) = K(s, t)$ (в комплексном случае эрмитово: $K(t, s) = \overline{K(s, t)}$ ).

Ядро и оператор Гильберта–Шмидта

Измеримая функция $K(t, s)$ на квадрате $Q = [a, b]^2$ называется ядром Гильберта–Шмидта, если

\|K\|_{L_2(Q)} = \left(\int_a^b\!\!\int_a^b|K(t, s)|^2\,dt\,ds\right)^{1/2} < \infty.

Оператор $(Ax)(t) = \int_a^bK(t, s)x(s)\,ds$ в $L_2[a, b]$ с таким ядром называется оператором Гильберта–Шмидта. Всякое непрерывное на $Q$ ядро — ядро Гильберта–Шмидта.

Регулярные значения, резольвента, спектр

Пусть $E$ — комплексное банахово пространство, $A\in\mathcal L(E)$ . Число $\lambda\in\mathbb C$ называется регулярным значением оператора $A$ , если оператор $A - \lambda I$ непрерывно обратим. Оператор

R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}

называется резольвентой. Множество регулярных значений $\rho(A)$ — резольвентное множество, его дополнение $\sigma(A) = \mathbb C\setminus\rho(A)$ — спектр оператора.

Собственные значения и собственные элементы. Части спектра

Число $\lambda$ называется собственным значением оператора $A$ , если существует $x\ne 0$ с $Ax = \lambda x$ ; такой $x$ называется собственным элементом (вектором), а $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ — собственным подпространством. Множество собственных значений называется точечным спектром.

Остальные точки спектра (где $A - \lambda I$ инъективен, но не непрерывно обратим) образуют непрерывный спектр, если образ $A - \lambda I$ всюду плотен, и остаточный спектр, если не плотен.

Теорема Кронекера–Капелли

Формулировка

Система $AX = B$ совместна тогда и только тогда, когда

\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}(A\mid B).

Доказательство

Развернуть

Обозначим через $A_1, \dots, A_n$ столбцы $A$ . Система означает, что $B = x_1A_1 + \dots + x_nA_n$ .

Необходимость. Пусть $X$ — решение. Вычтем из последнего столбца $(A\mid B)$ столбцы $A_j$ , умноженные на $x_j$ . Это элементарные преобразования столбцов, и получится $(A\mid 0)$ . Нулевой столбец не влияет на ненулевые миноры, поэтому $\operatorname{rank}(A\mid B) = \operatorname{rank}(A\mid 0) = \operatorname{rank}A$ .

Достаточность. Пусть $\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}(A\mid B) = r$ . При $r = 0$ имеем $A = O$ , $B = 0$ , и любой $X$ — решение. При $r > 0$ возьмём базисный минор $M$ матрицы $A$ . Это ненулевой минор $(A\mid B)$ порядка $r = \operatorname{rank}(A\mid B)$ , то есть базисный минор и для $(A\mid B)$ . Столбец $B$ — линейная комбинация базисных столбцов: $B = \sum c_jA_j$ . Взяв $x_j = c_j$ для базисных столбцов и $x_j = 0$ для остальных, получаем решение. $\blacksquare$

Ранг как максимальное число линейно независимых строк и столбцов

Формулировка

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк и максимальному числу её линейно независимых столбцов.

Доказательство

Развернуть

Пусть $r = \operatorname{rank} A$ . По теореме о базисном миноре $r$ базисных строк линейно независимы.

Покажем, что любые $r + 1$ строк зависимы. Пусть $B$ — матрица из этих строк. Её миноры являются минорами $A$ , поэтому $\operatorname{rank} B \le r < r+1$ . Если $\operatorname{rank} B = 0$ , строки $B$ нулевые и зависимы. Иначе у $B$ есть небазисная строка, и она — комбинация базисных строк $B$ . Строки $B$ зависимы.

Для столбцов то же рассуждение применяем к $A^\mathsf{T}$ ( $\operatorname{rank}A^\mathsf{T} = \operatorname{rank}A$ ). $\blacksquare$

Приближение ядра вырожденными ядрами

Формулировка

Для любого ядра Гильберта–Шмидта $K$ и любого $\varepsilon > 0$ существует вырожденное ядро $K_n$ (с многочленами $a_i$ , $b_i$ ) такое, что $\|K - K_n\|_{L_2(Q)} < \varepsilon$ . Если $K$ непрерывно, то $K_n$ можно выбрать так, что $\max_Q|K - K_n| < \varepsilon$ .

Доказательство

Развернуть

Как и в одномерном случае (теорема о плотных множествах в $L_p$ ), непрерывные функции всюду плотны в $L_2(Q)$ . Измеримое множество приближается конечным объединением прямоугольников, а его характеристическая функция — непрерывными функциями. По теореме Вейерштрасса непрерывная на $Q$ функция равномерно приближается многочленами $P(t, s) = \sum c_{ij}t^is^j$ , а $\|g\|_{L_2(Q)}\le(b - a)\max_Q|g|$ . Многочлен — вырожденное ядро: $P = \sum_i t^i\bigl(\sum_jc_{ij}s^j\bigr)$ . $\blacksquare$

Ограниченность оператора Гильберта–Шмидта

Формулировка

Оператор Гильберта–Шмидта отображает $L_2[a, b]$ в себя, ограничен, и

\|A\|\le\|K\|_{L_2(Q)}.

Доказательство

Развернуть

По теореме Фубини для почти всех $t$ функция $K(t, \cdot)$ лежит в $L_2[a, b]$ , а $\int|K(t, s)|^2\,ds$ интегрируема по $t$ . По неравенству Коши–Буняковского

|(Ax)(t)|^2\le\int_a^b|K(t, s)|^2\,ds\cdot\|x\|^2.

Интегрируя по $t$ , получаем $\|Ax\|^2\le\|K\|^2_{L_2(Q)}\|x\|^2$ . Измеримость $Ax$ также следует из теоремы Фубини. $\blacksquare$

Сопряжённый к интегральному оператору

Формулировка

Оператор, сопряжённый к оператору Гильберта–Шмидта с ядром $K(t, s)$ , — оператор Гильберта–Шмидта с ядром

K^*(t, s) = \overline{K(s, t)}.

Оператор самосопряжён тогда и только тогда, когда ядро эрмитово (в вещественном случае — симметрично).

Доказательство

Развернуть

По теореме Фубини (подынтегральная функция интегрируема на $Q$ по неравенству Коши–Буняковского)

(Ax, y) = \int_a^b\!\!\int_a^bK(t, s)x(s)\overline{y(t)}\,ds\,dt = \int_a^bx(s)\overline{\int_a^b\overline{K(t, s)}y(t)\,dt}\,ds = (x, A^*y),

где $(A^*y)(s) = \int_a^b\overline{K(t, s)}y(t)\,dt$ . Переобозначив переменные, получаем ядро $\overline{K(s, t)}$ . Операторы с ядрами, совпадающими почти всюду, совпадают, и обратно. $\blacksquare$

Обратимость оператора, близкого к тождественному. Ряд Неймана

Формулировка

Пусть $E$ банахово, $A\in\mathcal L(E)$ и $\|A\| < 1$ . Тогда оператор $I - A$ непрерывно обратим и

(I - A)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty A^k,\qquad\|(I - A)^{-1}\|\le\frac1{1 - \|A\|}.

Следствие: если $A$ непрерывно обратим и $\|B\| < 1/\|A^{-1}\|$ , то $A - B$ непрерывно обратим (множество непрерывно обратимых операторов открыто).

Доказательство

Развернуть

$\sum\|A^k\|\le\sum\|A\|^k < \infty$ , и так как $\mathcal L(E)$ банахово, ряд сходится к некоторому $S$ , причём $\|S\|\le\frac1{1 - \|A\|}$ . Для частичных сумм

(I - A)S_n = S_n(I - A) = I - A^{n+1}\to I,

откуда $(I - A)S = S(I - A) = I$ .

Следствие: $A - B = A(I - A^{-1}B)$ , и $\|A^{-1}B\| < 1$ . $\blacksquare$

Ядро сопряжённого оператора и образ оператора

Формулировка

Для $A\in\mathcal L(H)$

\operatorname{Ker}A^* = R(A)^\perp,\qquad H = [R(A)]\oplus\operatorname{Ker}A^*.

Если образ $R(A)$ замкнут, то уравнение $Ax = f$ разрешимо тогда и только тогда, когда $f\perp\operatorname{Ker}A^*$ .

Доказательство

Развернуть

$A^*y = 0\iff(x, A^*y) = 0\ \forall x\iff(Ax, y) = 0\ \forall x\iff y\perp R(A)$ .

Ортогональное дополнение множества совпадает с ортогональным дополнением замыкания его линейной оболочки, а $[R(A)]$ — подпространство. По теореме о разложении $H = [R(A)]\oplus[R(A)]^\perp = [R(A)]\oplus\operatorname{Ker}A^*$ . При замкнутом образе $f\in R(A)\iff f\perp\operatorname{Ker}A^*$ . $\blacksquare$

Теорема Банаха об обратном операторе

Формулировка

Если $E$ , $F$ банаховы и $A\in\mathcal L(E, F)$ — биекция, то обратный оператор $A^{-1}$ ограничен.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $B_r$ открытый шар радиуса $r$ с центром $0$ в $E$ , $V_r$ — в $F$ .

Шаг 1. $F = \bigcup_n[A(B_n)]$ , так как $A$ сюръективен. По теореме Бэра некоторое $[A(B_n)]$ содержит шар $V(y_0, \varepsilon)$ . Если $\|y\| < \varepsilon$ , то $y = (y_0 + y) - y_0$ — разность элементов $[A(B_n)]$ , поэтому $y\in[A(B_{2n})]$ . По однородности $[A(B_1)]\supset V_\delta$ , $\delta = \frac\varepsilon{2n}$ , и вообще $[A(B_r)]\supset V_{r\delta}$ .

Шаг 2. Докажем, что $A(B_2)\supset V_\delta$ . Пусть $\|y\| < \delta$ . Выберем $x_1\in B_1$ с $\|y - Ax_1\| < \frac\delta2$ , затем $x_2\in B_{1/2}$ с $\|y - Ax_1 - Ax_2\| < \frac\delta4$ , и т. д., $x_k\in B_{2^{1-k}}$ . Ряд $\sum x_k$ сходится абсолютно в банаховом $E$ к элементу $x$ с $\|x\| < 2$ , и $Ax = \lim A\sum_{k\le n}x_k = y$ .

Шаг 3. Для $y\ne 0$ элемент $y' = \frac{\delta}{2\|y\|}y$ лежит в $V_\delta$ , так что $\|A^{-1}y'\| < 2$ , то есть $\|A^{-1}y\|\le\frac4\delta\|y\|$ . $\blacksquare$

Собственные значения компактного оператора

Формулировка

Пусть $A$ — компактный оператор в банаховом пространстве. Тогда:

при $\lambda\ne 0$ собственное подпространство $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ конечномерно;
для любого $\delta > 0$ собственных значений с $|\lambda|\ge\delta$ конечное число.

Следовательно, ненулевые собственные значения образуют не более чем счётное множество, которое может накапливаться только к нулю.

Доказательство

Развернуть

На $N = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ оператор действует как $\lambda I$ , поэтому единичный шар $B_N = \frac1\lambda A(B_N)$ относительно компактен. По критерию конечномерности $N$ конечномерно.
Пусть есть бесконечно много различных $\lambda_n$ с $|\lambda_n|\ge\delta$ и собственные элементы $x_n$ . Они линейно независимы, и подпространства $L_n = \operatorname{span}\{x_1, \dots, x_n\}$ строго возрастают. При этом $AL_n\subset L_n$ и $(A - \lambda_n)L_n\subset L_{n-1}$ . По лемме Рисса возьмём $y_n\in L_n$ , $\|y_n\| = 1$ , $\rho(y_n, L_{n-1})\ge\frac12$ . При $n > m$

Ay_n - Ay_m = \lambda_ny_n - \bigl[(\lambda_n - A)y_n + Ay_m\bigr],

где скобка лежит в $L_{n-1}$ . Поэтому $\|Ay_n - Ay_m\|\ge|\lambda_n|\cdot\frac12\ge\frac\delta2$ , и у ограниченной последовательности $y_n$ образы не имеют сходящейся подпоследовательности — противоречие с компактностью. $\blacksquare$

Решение уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром

Формулировка

Пусть $K$ — симметричное ядро Гильберта–Шмидта с характеристическими числами $\mu_k$ и ортонормированными собственными функциями $\varphi_k$ , $f_k = (f, \varphi_k)$ . Если $\lambda\ne\mu_k$ , то уравнение $x - \lambda\int_a^bK(t, s)x(s)\,ds = f$ имеет единственное решение (формула Шмидта)

x = f + \lambda\sum_k\frac{f_k}{\mu_k - \lambda}\varphi_k.

Если $\lambda = \mu_j$ , уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогональна всем собственным функциям, отвечающим $\mu_j$ ; решение определено с точностью до их линейной комбинации.

Доказательство

Развернуть

Это теорема о решении уравнения второго рода с компактным самосопряжённым оператором при $\mu = \lambda$ и $\lambda_k = 1/\mu_k$ : $\frac{\lambda\lambda_k}{1 - \lambda\lambda_k} = \frac{\lambda}{\mu_k - \lambda}$ . $\blacksquare$

Вырожденные ядра. Теоремы Фредгольма

Сведение уравнения с вырожденным ядром к линейной системе

Формулировка

Доказательство

Теоремы Фредгольма для вырожденного ядра

Формулировка

Доказательство

Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольным ядром

Формулировка

Доказательство

Ненулевой спектр интегрального оператора состоит из собственных значений

Формулировка

Доказательство

Резольвента ядра и ряд Неймана

Формулировка

Доказательство

Уравнение с вырожденным ядром t + s

Условие

Решение

Ядро cos(t − s) и условие разрешимости

Условие

Решение

Несимметричное ядро: собственные функции союзного уравнения

Условие

Решение

Резольвента ядра ts

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Союзное (сопряжённое) интегральное уравнение

Вырожденное ядро

Классификация линейных интегральных уравнений

Ядро и оператор Гильберта–Шмидта

Регулярные значения, резольвента, спектр

Собственные значения и собственные элементы. Части спектра

Теорема Кронекера–Капелли

Формулировка

Доказательство

Ранг как максимальное число линейно независимых строк и столбцов

Формулировка

Доказательство

Приближение ядра вырожденными ядрами

Формулировка

Доказательство

Ограниченность оператора Гильберта–Шмидта

Формулировка

Доказательство

Сопряжённый к интегральному оператору

Формулировка

Доказательство

Обратимость оператора, близкого к тождественному. Ряд Неймана

Формулировка

Доказательство

Ядро сопряжённого оператора и образ оператора

Формулировка

Доказательство

Теорема Банаха об обратном операторе

Формулировка

Доказательство

Собственные значения компактного оператора

Формулировка

Доказательство

Решение уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром

Формулировка

Доказательство