Сопряжённые пространства. Слабая сходимость

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Полнота сопряжённого пространства
Сопряжённые к основным пространствам
Каноническое вложение во второе сопряжённое
Рефлексивные и нерефлексивные пространства
Свойства слабой сходимости
Слабая сходимость в гильбертовом пространстве

теорема

Полнота сопряжённого пространства

Формулировка

Для любого нормированного пространства $E$ (не обязательно полного) сопряжённое пространство $E^*$ банахово.

Доказательство

Развернуть

Пусть $f_n$ фундаментальна в $E^*$ : $\|f_n - f_m\| < \varepsilon$ при $n, m\ge N$ . Тогда при каждом $x$ числа $f_n(x)$ образуют фундаментальную последовательность, и существует $f(x) = \lim f_n(x)$ ; $f$ линеен.

следствие

Сопряжённые к основным пространствам

Формулировка

При $1\le p < \infty$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ :

l_p^*\cong l_q,\qquad L_p[a, b]^*\cong L_q[a, b],

а для гильбертова пространства $H^*\cong H$ (в комплексном случае соответствие $y\mapsto(\cdot, y)$ сопряжённо-линейно). Кроме того, $c_0^*\cong l_1$ , а $C[a, b]^*$ изометрически изоморфно пространству нормированных функций ограниченной вариации ( $g(a) = 0$ , $g$ непрерывна слева в $(a, b)$ ) с нормой $\operatorname{V}_a^b(g)$ .

Доказательство

Развернуть

Отображение $y\mapsto f_y$ , $f_y(x) = \sum x_ky_k$ (соответственно $\int xy$ или $(x, y)$ ), линейно (в комплексном гильбертовом случае — сопряжённо-линейно) и сохраняет норму, а по теоремам об общем виде функционалов оно сюръективно. Описание $c_0^*$ разобрано в задаче, $C[a, b]^*$ — по теореме Рисса. $\blacksquare$

теорема

Каноническое вложение во второе сопряжённое

Формулировка

Каноническое отображение $\pi\colon E\to E^{**}$ линейно и изометрично: $\|\pi x\| = \|x\|$ .

Доказательство

Развернуть

Линейность $\pi x$ по $f$ и линейность $\pi$ по $x$ очевидны. $|(\pi x)(f)| = |f(x)|\le\|f\|\|x\|$ , то есть $\|\pi x\|\le\|x\|$ . По следствию теоремы Хана–Банаха $\|x\| = \max_{\|f\|\le 1}|f(x)| = \|\pi x\|$ . $\blacksquare$

теорема

Рефлексивные и нерефлексивные пространства

Формулировка

Гильбертовы пространства и пространства $l_p$ , $L_p[a, b]$ при $1 < p < \infty$ рефлексивны. Пространства $c_0$ , $l_1$ , $C[a, b]$ нерефлексивны.

Доказательство

Развернуть

$l_p$ : функционал $\Phi\in l_p^{**}$ — это функционал на $l_p^* = l_q$ , и по теореме об общем виде $\Phi(f_y) = \sum x_ky_k$ для некоторого $x\in l_p$ . Это означает $\Phi(f_y) = f_y(x) = (\pi x)(f_y)$ , то есть $\Phi = \pi x$ . Для $L_p$ и гильбертовых пространств рассуждение то же.

$c_0$ : $c_0^*\cong l_1$ , $l_1^*\cong l_\infty$ , и при этих отождествлениях $\pi$ — вложение $c_0\subset l_\infty$ , которое не сюръективно. Нерефлексивность $l_1$ и $C[a, b]$ приводится без доказательства (она следует, например, из того, что сопряжённые к ним несепарабельны, а сами они сепарабельны). $\blacksquare$

теорема

Свойства слабой сходимости

Формулировка

Слабый предел единствен.
Из сильной сходимости следует слабая.
Если $x_n\rightharpoonup x$ , то $\|x\|\le\varliminf\|x_n\|$ .
В конечномерном пространстве слабая и сильная сходимости совпадают.

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\rightharpoonup x$ и $x_n\rightharpoonup y$ , то $f(x) = f(y)$ для всех $f$ , и $x = y$ , так как функционалы разделяют точки.
$|f(x_n) - f(x)|\le\|f\|\|x_n - x\|$ .
Возьмём $f$ с $\|f\| = 1$ , $f(x) = \|x\|$ . Тогда $\|x\| = \lim f(x_n)\le\varliminf\|x_n\|$ .
Координатные функционалы в базисе ограничены, и из слабой сходимости следует сходимость координат, то есть сходимость в норме $\sum|x_k|$ , эквивалентной данной. $\blacksquare$

теорема

Слабая сходимость в гильбертовом пространстве

Формулировка

В гильбертовом пространстве:

$x_n\rightharpoonup x\iff(x_n, y)\to(x, y)$ для всех $y\in H$ ;
любая ортонормированная система $e_n$ слабо сходится к нулю, но не сходится сильно;
если $x_n\rightharpoonup x$ и $\|x_n\|\to\|x\|$ , то $x_n\to x$ сильно.

Доказательство

Развернуть

По теореме Рисса все функционалы имеют вид $(\cdot, y)$ .
По неравенству Бесселя $\sum_n|(y, e_n)|^2\le\|y\|^2$ , так что $(e_n, y)\to 0$ . Но $\|e_n - e_m\| = \sqrt2$ .
$\|x_n - x\|^2 = \|x_n\|^2 - 2\operatorname{Re}(x_n, x) + \|x\|^2\to\|x\|^2 - 2\|x\|^2 + \|x\|^2 = 0$ . $\blacksquare$

Базисные векторы в l₂ и l₁

Условие

Исследовать слабую и сильную сходимость последовательности $e_n$ в $l_2$ и в $l_1$ .

Решение

Развернуть

$l_2$ : $e_n$ — ортонормированная система, $e_n\rightharpoonup 0$ , но $\|e_n\| = 1$ , сильной сходимости нет.

$l_1$ : функционалы — $f_y(x) = \sum x_ky_k$ , $y\in l_\infty$ . Если бы $e_n\rightharpoonup x$ , то, беря $y = e_k$ , получили бы $x_k = \lim(e_n)_k = 0$ , то есть $x = 0$ . Но для $y = (1, 1, \dots)$ имеем $f_y(e_n) = 1\not\to 0$ . Слабой сходимости нет.

Последовательность sin nt в L₂[0, π]

Условие

Доказать, что $x_n(t) = \sin nt$ слабо сходится к нулю в $L_2[0, \pi]$ , но не сходится сильно. Проверить неравенство $\|x\|\le\varliminf\|x_n\|$ .

Решение

Развернуть

Функции $\sqrt{2/\pi}\sin nt$ образуют ортонормированную систему, поэтому $x_n\rightharpoonup 0$ . Но $\|x_n\| = \sqrt{\pi/2}$ — сильной сходимости нет. Неравенство строгое: $0 < \sqrt{\pi/2}$ . Это частный случай леммы Римана–Лебега.

Слабая* сходимость δ-функционалов

Условие

В $C[0, 1]^*$ рассмотрим $\delta_s(x) = x(s)$ . Доказать, что $\delta_{1/n}\to\delta_0$ слабо*, но не по норме.

Решение

Развернуть

$\delta_{1/n}(x) = x(1/n)\to x(0)$ по непрерывности $x$ — слабая* сходимость.

$\|\delta_{1/n} - \delta_0\|\le 2$ ; для непрерывной $x$ с $x(0) = -1$ , $x(1/n) = 1$ , $|x|\le 1$ получаем $|\delta_{1/n}(x) - \delta_0(x)| = 2$ . Значит, $\|\delta_{1/n} - \delta_0\| = 2\not\to 0$ .

Сопряжённое к c₀

Условие

Доказать, что $c_0^*\cong l_1$ : любой ограниченный функционал на $c_0$ имеет вид $f(x) = \sum x_ky_k$ с $y\in l_1$ и $\|f\| = \|y\|_1$ .

Решение

Развернуть

$y_k = f(e_k)$ ; так как $e_k$ — базис $c_0$ , имеем $f(x) = \sum x_ky_k$ .

Вектор $x^{(n)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_n, 0, \dots)\in c_0$ имеет $\|x^{(n)}\|_\infty\le 1$ , и $f(x^{(n)}) = \sum_{k\le n}|y_k|\le\|f\|$ . Значит, $y\in l_1$ и $\|y\|_1\le\|f\|$ .

Обратно, $|f(x)|\le\|x\|_\infty\sum|y_k|$ , то есть $\|f\|\le\|y\|_1$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Сопряжённое и второе сопряжённое пространства

Сопряжённым пространством $E^*$ к нормированному пространству $E$ называется пространство всех ограниченных линейных функционалов на $E$ с нормой функционала. Второе сопряжённое $E^{**} = (E^*)^*$ .

Каноническое вложение $\pi\colon E\to E^{**}$ : $(\pi x)(f) = f(x)$ . Пространство называется рефлексивным, если $\pi(E) = E^{**}$ .

Пространства $E$ и $F$ называются изометрически изоморфными, если существует линейная биекция $T\colon E\to F$ с $\|Tx\| = \|x\|$ ; пишут $E\cong F$ .

Сильная и слабая сходимости

Последовательность $x_n\in E$ сходится сильно к $x$ , если $\|x_n - x\|\to 0$ , и слабо ( $x_n\rightharpoonup x$ ), если

f(x_n)\to f(x)\quad\text{для любого } f\in E^*.

Последовательность функционалов $f_n\in E^*$ сходится слабо* к $f$ , если $f_n(x)\to f(x)$ для любого $x\in E$ .

Банахово пространство

Банаховым пространством (БП) называется полное нормированное пространство.

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

$l_p$ , $1\le p<\infty$ , — множество числовых последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ с $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < \infty$ и метрикой

\rho(x,y) = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^p\right)^{1/p}.

$l_\infty$ (обозначается также $m$ ) — множество ограниченных последовательностей с метрикой $\rho(x,y) = \sup_k |x_k - y_k|$ .
$c_0$ — множество последовательностей, сходящихся к нулю, с той же метрикой, что в $l_\infty$ .

Пространства L₁, L₂, Lₚ

Пусть $\mu(X) < \infty$ (например, $X = [a, b]$ с мерой Лебега), $1\le p < \infty$ . Пространство $L_p(X)$ состоит из измеримых функций, для которых $|f|^p$ интегрируема; эквивалентные функции считаются одним элементом. Норма:

\|f\|_p = \left(\int_X|f|^p\,d\mu\right)^{1/p}.

В $L_2(X)$ вводится скалярное произведение

(f, g) = \int_Xf\,g\,d\mu

(в комплексном случае $\int f\bar g\,d\mu$ ).

Гильбертово пространство

Гильбертовым пространством (ГП) называется полное евклидово пространство.

Примеры:

$\mathbb R^n$ с $(x,y) = \sum x_ky_k$ ;
$l_2$ с $(x,y) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k$ (ряд сходится по неравенству Коши–Буняковского);
$C_2[a,b]$ с $(x,y) = \int_a^bx(t)y(t)\,dt$ — евклидово, но не полное;
его пополнение $L_2[a,b]$ (функции с интегрируемым по Лебегу квадратом) — гильбертово.

Ортонормированная система. Коэффициенты и ряд Фурье

Система $\{e_k\}$ евклидова пространства называется ортонормированной (ОНС), если $(e_i,e_j) = \delta_{ij}$ . Система ненулевых попарно ортогональных элементов называется ортогональной. Ортонормированная система линейно независима.

Числа $c_k = (x,e_k)$ — коэффициенты Фурье элемента $x$ по ОНС $\{e_k\}$ , а ряд $\sum c_ke_k$ — его ряд Фурье.

Ограниченность и непрерывность линейного функционала

Формулировка

Для линейного функционала $f$ на нормированном пространстве равносильны условия:

$f$ непрерывен в нуле;
$f$ непрерывен на $E$ ;
$f$ ограничен.

При этом $|f(x)|\le\|f\|\,\|x\|$ и $\|f\| = \sup_{\|x\| = 1}|f(x)|$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 3$ . Если $f$ неограничен, найдутся $x_n$ с $|f(x_n)| > n\|x_n\|$ . Тогда $y_n = \dfrac{x_n}{n\|x_n\|}\to 0$ , но $|f(y_n)| > 1$ — противоречие с непрерывностью в нуле.

$3\Rightarrow 2$ . $|f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)|\le C\|x_n - x\|$ .

$2\Rightarrow 1$ очевидно. Неравенство $|f(x)|\le\|f\|\|x\|$ и формула для нормы следуют из однородности: $f(x) = \|x\|f(x/\|x\|)$ . $\blacksquare$

Полнота основных пространств

Формулировка

Пространства $\mathbb R$ , $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $C[a,b]$ , $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и $l_\infty$ полны.

Доказательство

Развернуть

$\mathbb R$ — это критерий Коши из курса анализа.

$\mathbb R^n_p$ . Координаты фундаментальной последовательности фундаментальны ( $|x_k - y_k|\le\rho_p(x,y)$ ), поэтому сходятся. Покоординатная сходимость равносильна сходимости в $\mathbb R^n_p$ .

$C[a,b]$ . Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна: $|x_n(t) - x_m(t)| < \varepsilon$ при $n,m > N$ и всех $t$ . При каждом $t$ числовая последовательность $x_n(t)$ фундаментальна, значит, имеет предел $x(t)$ . Переходя к пределу при $m\to\infty$ , получаем $|x_n(t) - x(t)|\le\varepsilon$ при $n > N$ и всех $t$ , то есть сходимость равномерная. Предельная функция непрерывна: при $|t - s| < \delta$ (где $\delta$ выбрано по непрерывности $x_n$ )

|x(t) - x(s)|\le|x(t) - x_n(t)| + |x_n(t) - x_n(s)| + |x_n(s) - x(s)| < 3\varepsilon.

Итак, $x\in C[a,b]$ и $\rho(x_n, x)\le\varepsilon$ при $n > N$ .

$l_p$ . Координаты фундаментальны и сходятся: $x_k^{(n)}\to x_k$ . При $n, m > N$ и любом $K$ имеем $\sum_{k=1}^K|x_k^{(n)} - x_k^{(m)}|^p < \varepsilon^p$ . Переходим к пределу сначала при $m\to\infty$ , затем при $K\to\infty$ :

\sum_{k=1}^\infty|x_k^{(n)} - x_k|^p\le\varepsilon^p.

Значит, $x^{(n)} - x\in l_p$ , и по неравенству Минковского $x = x^{(n)} - (x^{(n)} - x)\in l_p$ , причём $\rho(x^{(n)}, x)\le\varepsilon$ .

$l_\infty$ — так же, с супремумом вместо суммы. $\blacksquare$

Ограниченность слабо сходящейся последовательности

Формулировка

Слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве ограничена.
Если $E$ банахово, то слабо* сходящаяся последовательность функционалов из $E^*$ ограничена по норме.

Доказательство

Развернуть

Элементы $\pi x_n\in E^{**} = \mathcal L(E^*, \mathbb R)$ (или $\mathcal L(E^*, \mathbb C)$ ) — ограниченные функционалы на банаховом пространстве $E^*$ , и при каждом $f$ последовательность $(\pi x_n)(f) = f(x_n)$ сходится, а значит, ограничена. По принципу равномерной ограниченности $\|\pi x_n\| = \|x_n\|$ ограничены.
Прямо следует из принципа равномерной ограниченности. $\blacksquare$

Пространство ограниченных операторов

Формулировка

$\mathcal L(E, F)$ — нормированное пространство; если $F$ банахово, то $\mathcal L(E, F)$ банахово. Кроме того, $\|AB\|\le\|A\|\|B\|$ , в частности $\|A^n\|\le\|A\|^n$ .

Доказательство

Развернуть

Аксиомы нормы проверяются непосредственно; например, $\|(A + B)x\|\le(\|A\| + \|B\|)\|x\|$ .

$\|ABx\|\le\|A\|\|Bx\|\le\|A\|\|B\|\|x\|$ . $\blacksquare$

Общий вид непрерывного функционала в lₚ

Формулировка

Пусть $1\le p < \infty$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ ( $q = \infty$ при $p = 1$ ). Каждый ограниченный линейный функционал на $l_p$ имеет вид

f(x) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k,\qquad y = (y_k)\in l_q,\qquad\|f\| = \|y\|_q,

и, обратно, каждый $y\in l_q$ задаёт такой функционал.

Доказательство

Развернуть

Положим $y_k = f(e_k)$ . Так как $x = \sum x_ke_k$ в $l_p$ , по непрерывности $f(x) = \sum x_ky_k$ .

$1 < p < \infty$ . Возьмём $x^{(n)}$ с координатами $|y_k|^{q-1}\operatorname{sign}y_k$ при $k\le n$ и $0$ при $k > n$ (в комплексном случае вместо $\operatorname{sign}y_k$ берём $\overline{\operatorname{sign}y_k}$ , где $\operatorname{sign}z = z/|z|$ ). Тогда $f(x^{(n)}) = \sum_{k\le n}|y_k|^q$ , а $\|x^{(n)}\|_p = \left(\sum_{k\le n}|y_k|^q\right)^{1/p}$ , так как $(q - 1)p = q$ . Из $f(x^{(n)})\le\|f\|\|x^{(n)}\|_p$ получаем $\left(\sum_{k\le n}|y_k|^q\right)^{1/q}\le\|f\|$ , то есть $y\in l_q$ и $\|y\|_q\le\|f\|$ .

$p = 1$ : $|y_k| = |f(e_k)|\le\|f\|$ , то есть $\|y\|_\infty\le\|f\|$ .

Обратно, по неравенству Гёльдера $|f(x)|\le\|x\|_p\|y\|_q$ , так что $\|f\|\le\|y\|_q$ . $\blacksquare$

Общий вид функционалов в Lₚ[a, b] и C[a, b]

Формулировка

При $1\le p < \infty$ каждый ограниченный линейный функционал на $L_p[a, b]$ имеет вид

f(x) = \int_a^bx(t)y(t)\,dt,\qquad y\in L_q[a, b],\qquad\|f\| = \|y\|_q.

(Теорема Рисса.) Каждый ограниченный линейный функционал на $C[a, b]$ имеет вид интеграла Стилтьеса

f(x) = \int_a^bx(t)\,dg(t),

где $g$ — функция ограниченной вариации, и $\|f\| = \operatorname{V}_a^b(g)$ (при нормировке $g(a) = 0$ и непрерывности $g$ слева внутри интервала).

Доказательство

Развернуть

В курсе теорема приводится без полного доказательства. Достаточность в п. 1 следует из неравенства Гёльдера: $|f(x)|\le\|x\|_p\|y\|_q$ . При $p = 2$ утверждение п. 1 — частный случай теоремы Рисса в гильбертовом пространстве $L_2$ . В общем случае $y$ строится как производная функции множеств $e\mapsto f(\chi_e)$ (теорема Радона–Никодима). П. 2 доказывается продолжением $f$ по теореме Хана–Банаха на ограниченные функции и применением его к ступенькам $\chi_{[a,t]}$ , что даёт $g(t)$ . $\blacksquare$

Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве

Формулировка

Для любого ограниченного линейного функционала $f$ на гильбертовом пространстве $H$ существует единственный элемент $y\in H$ такой, что

f(x) = (x, y)\quad\text{для всех } x\in H,\qquad\|f\| = \|y\|.

Доказательство

Развернуть

При $f = 0$ берём $y = 0$ . Иначе $N = \operatorname{Ker}f$ — замкнутое подпространство, $N\ne H$ , и $H = N\oplus N^\perp$ . Возьмём $z\in N^\perp$ , $z\ne 0$ . Для любого $x$ элемент $f(x)z - f(z)x$ лежит в $N$ , поэтому ортогонален $z$ :

f(x)\|z\|^2 - f(z)(x, z) = 0\quad\Longrightarrow\quad f(x) = \left(x, \frac{\overline{f(z)}}{\|z\|^2}z\right) =: (x, y).

По неравенству Коши–Буняковского $|f(x)|\le\|x\|\|y\|$ , а $f(y) = \|y\|^2$ , так что $\|f\| = \|y\|$ . Если $(x, y) = (x, y')$ при всех $x$ , то при $x = y - y'$ получаем $y = y'$ . $\blacksquare$

Следствия теоремы Хана–Банаха

Формулировка

Пусть $E$ — нормированное пространство.

Для любого $x_0\ne 0$ существует ограниченный функционал $F$ с $\|F\| = 1$ и $F(x_0) = \|x_0\|$ .
Ограниченные функционалы разделяют точки: если $x\ne y$ , то $F(x)\ne F(y)$ для некоторого $F$ .
$\|x\| = \max_{\|F\|\le 1}|F(x)|$ .
Если $L$ — линейное многообразие и $d = \rho(x_0, L) > 0$ , то существует $F$ с $F|_L = 0$ , $F(x_0) = 1$ , $\|F\| = 1/d$ .
$x_0\in[L]$ тогда и только тогда, когда каждый ограниченный функционал, обращающийся в нуль на $L$ , обращается в нуль и в $x_0$ .

Доказательство

Развернуть

На $\operatorname{span}\{x_0\}$ положим $f(tx_0) = t\|x_0\|$ ; $\|f\| = 1$ . Продолжаем с сохранением нормы.
Применяем п. 1 к $x - y$ . 3. $|F(x)|\le\|x\|$ при $\|F\|\le 1$ , и равенство достигается в п. 1.
На $L + \operatorname{span}\{x_0\}$ положим $f(y + tx_0) = t$ . Так как $|t|d\le\|tx_0 + y\|$ , имеем $\|f\|\le 1/d$ . Взяв $y_n\in L$ с $\|x_0 - y_n\|\to d$ , получаем $1 = f(x_0 - y_n)\le\|f\|\|x_0 - y_n\|$ , то есть $\|f\| = 1/d$ . Продолжаем с сохранением нормы.
Необходимость — по непрерывности. Достаточность: если $x_0\notin[L]$ , то $\rho(x_0, L) > 0$ , и функционал из п. 4 нулевой на $L$ , но не в $x_0$ . $\blacksquare$

Функционалы на конечномерном пространстве

Формулировка

Любой линейный функционал на конечномерном нормированном пространстве ограничен.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1, \dots, e_n$ — базис, $x = \sum x_ke_k$ . Тогда $|f(x)| = \left|\sum x_kf(e_k)\right|\le\max_k|f(e_k)|\sum|x_k|$ . Функция $\sum|x_k|$ — норма на $E$ , а в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, так что $\sum|x_k|\le c\|x\|$ . $\blacksquare$

Компактный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся

Формулировка

Если $A$ компактен и $x_n\rightharpoonup x$ , то $Ax_n\to Ax$ по норме. В частности, в гильбертовом пространстве $Ae_n\to 0$ для любой ортонормированной последовательности $e_n$ .

Доказательство

Развернуть

Для $g\in F^*$ функционал $g\circ A$ ограничен, поэтому $g(Ax_n)\to g(Ax)$ , то есть $Ax_n\rightharpoonup Ax$ . Последовательность $x_n$ ограничена (слабо сходящаяся).

Если $Ax_n\not\to Ax$ , то для некоторых $\varepsilon > 0$ и подпоследовательности $\|Ax_{n_k} - Ax\|\ge\varepsilon$ . По компактности из неё выбирается подпоследовательность с $Ax_{n_{k_j}}\to y$ . Тогда и $Ax_{n_{k_j}}\rightharpoonup y$ , а по единственности слабого предела $y = Ax$ — противоречие.

Ортонормированная последовательность слабо сходится к нулю. $\blacksquare$

Неравенство Бесселя

Формулировка

Для любой ОНС $\{e_k\}$ и любого $x$

\sum_{k=1}^\infty(x,e_k)^2\le\|x\|^2.

В частности, $(x,e_k)\to0$ .

Доказательство

Развернуть

По минимальному свойству коэффициентов Фурье $\|x\|^2 - \sum_{k\le n}c_k^2\ge0$ при любом $n$ . Частичные суммы ряда с неотрицательными членами ограничены, поэтому он сходится, и неравенство сохраняется в пределе. $\blacksquare$

Счётные базисы в пространствах последовательностей

Формулировка

Последовательность $e_k = (0,\dots,0,1,0,\dots)$ — счётный базис в $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и в $c_0$ , причём $x = \sum x_ke_k$ . В $l_\infty$ счётного базиса нет.

Доказательство

Развернуть

Для $x\in l_p$

\left\|x - \sum_{k\le n}x_ke_k\right\|^p = \sum_{k>n}|x_k|^p\to0,

то есть разложение существует. Единственность: если $x = \sum c_ke_k$ , то, переходя к покоординатной сходимости, получаем $c_k = x_k$ . Для $c_0$ остаток оценивается через $\sup_{k>n}|x_k|\to0$ .

$l_\infty$ несепарабельно, а пространство со счётным базисом сепарабельно. $\blacksquare$

Сопряжённые пространства. Слабая сходимость

Полнота сопряжённого пространства

Формулировка

Доказательство

Сопряжённые к основным пространствам

Формулировка

Доказательство

Каноническое вложение во второе сопряжённое

Формулировка

Доказательство

Рефлексивные и нерефлексивные пространства

Формулировка

Доказательство

Свойства слабой сходимости

Формулировка

Доказательство

Слабая сходимость в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Базисные векторы в l₂ и l₁

Условие

Решение

Последовательность sin nt в L₂[0, π]

Условие

Решение

Слабая* сходимость δ-функционалов

Условие

Решение

Сопряжённое к c₀

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Сопряжённое и второе сопряжённое пространства

Сильная и слабая сходимости

Банахово пространство

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

Пространства L₁, L₂, Lₚ

Гильбертово пространство

Ортонормированная система. Коэффициенты и ряд Фурье

Ограниченность и непрерывность линейного функционала

Формулировка

Доказательство

Полнота основных пространств

Формулировка

Доказательство

Ограниченность слабо сходящейся последовательности

Формулировка

Доказательство

Пространство ограниченных операторов

Формулировка

Доказательство

Общий вид непрерывного функционала в lₚ

Формулировка

Доказательство

Общий вид функционалов в Lₚ[a, b] и C[a, b]

Формулировка

Доказательство

Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Следствия теоремы Хана–Банаха

Формулировка

Доказательство

Функционалы на конечномерном пространстве

Формулировка

Доказательство

Компактный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся

Формулировка

Доказательство

Неравенство Бесселя

Формулировка

Доказательство

Счётные базисы в пространствах последовательностей

Формулировка

Доказательство