Обобщённые функции

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Существование и свойства основных функций
Регулярные обобщённые функции
Дельта-функция — сингулярная обобщённая функция
Свойства производной обобщённой функции
Производная функции Хевисайда. Формула скачков
Дельта-образные последовательности
Обобщённые функции с нулевой производной

теорема

Существование и свойства основных функций

Формулировка

Функция («шапочка»)

\omega(x) = \begin{cases}e^{-1/(1 - x^2)}, & |x| < 1,\\ 0, & |x|\ge 1\end{cases}

принадлежит $\mathcal D$ . 2. $\mathcal D$ — линейное пространство, замкнутое относительно дифференцирования, умножения на бесконечно дифференцируемые функции и сдвигов. Эти операции непрерывны в смысле сходимости в $\mathcal D$ .

Доказательство

Развернуть

Функция $g(\tau) = e^{-1/\tau}$ при $\tau > 0$ и $g = 0$ при $\tau\le 0$ бесконечно дифференцируема: при $\tau > 0$ производные имеют вид $P_k(1/\tau)e^{-1/\tau}$ с многочленом $P_k$ и стремятся к нулю при $\tau\to+0$ . Значит, $\omega(x) = g(1 - x^2)$ бесконечно дифференцируема и равна нулю вне $(-1, 1)$ .
Финитность и гладкость сохраняются. Если $\varphi_n\to\varphi$ в $\mathcal D$ и все носители лежат в $[-c, c]$ , то по формуле Лейбница $(a\varphi_n)^{(k)} = \sum\binom kja^{(k-j)}\varphi_n^{(j)}$ сходится равномерно на $[-c, c]$ . Для производных и сдвигов утверждение очевидно. $\blacksquare$

теорема

Регулярные обобщённые функции

Формулировка

Локально интегрируемая функция $f$ задаёт обобщённую функцию $(f, \varphi) = \int f\varphi\,dx$ .
Если непрерывная $f$ удовлетворяет условию $\int f\varphi = 0$ для всех $\varphi\in\mathcal D$ , то $f\equiv 0$ . Поэтому разные непрерывные функции задают разные обобщённые функции (для локально интегрируемых — с точностью до эквивалентности).

Доказательство

Развернуть

Линейность очевидна. Если $\varphi_n\to\varphi$ в $\mathcal D$ и все носители в $[-a, a]$ , то

|(f, \varphi_n) - (f, \varphi)|\le\int_{-a}^a|f|\,dx\cdot\max|\varphi_n - \varphi|\to 0.

Пусть $f(x_0) > 0$ . Тогда $f > 0$ на $(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)$ . Для $\varphi(x) = \omega\bigl((x - x_0)/\varepsilon\bigr)\ge 0$ интеграл $\int f\varphi > 0$ — противоречие. $\blacksquare$

теорема

Дельта-функция — сингулярная обобщённая функция

Формулировка

$\delta$ — обобщённая функция, но не регулярная: не существует локально интегрируемой $f$ с $\int f\varphi\,dx = \varphi(0)$ для всех $\varphi\in\mathcal D$ .

Доказательство

Развернуть

Линейность и непрерывность очевидны: из $\varphi_n\to\varphi$ следует $\varphi_n(0)\to\varphi(0)$ .

Пусть $\delta = f$ . Возьмём $\varphi_\varepsilon(x) = \omega(x/\varepsilon)$ : $\varphi_\varepsilon(0) = e^{-1}$ , $0\le\varphi_\varepsilon\le e^{-1}$ , $\varphi_\varepsilon = 0$ при $|x|\ge\varepsilon$ . Тогда

e^{-1} = \varphi_\varepsilon(0) = \int f\varphi_\varepsilon\le e^{-1}\int_{-\varepsilon}^\varepsilon|f|\,dx\to 0

по абсолютной непрерывности интеграла — противоречие. $\blacksquare$

теорема

Свойства производной обобщённой функции

Формулировка

Производная обобщённой функции — обобщённая функция; поэтому всякая обобщённая функция бесконечно дифференцируема.
Для $f\in C^1(\mathbb R)$ обобщённая производная совпадает с классической.
Дифференцирование непрерывно в $\mathcal D'$ : если $T_n\to T$ , то $T_n'\to T'$ . В частности, сходящиеся в $\mathcal D'$ ряды можно дифференцировать почленно.
$(aT)' = a'T + aT'$ для бесконечно дифференцируемой $a$ .

Доказательство

Развернуть

Если $\varphi_n\to\varphi$ в $\mathcal D$ , то $\varphi_n'\to\varphi'$ в $\mathcal D$ , и $(T', \varphi_n) = -(T, \varphi_n')\to(T', \varphi)$ .
$\int f\varphi' = -\int f'\varphi$ , так как внеинтегральные члены равны нулю из-за финитности $\varphi$ .
$(T_n', \varphi) = -(T_n, \varphi')\to -(T, \varphi') = (T', \varphi)$ .
$((aT)', \varphi) = -(T, a\varphi') = -(T, (a\varphi)') + (T, a'\varphi) = (T', a\varphi) + (a'T, \varphi) = (aT' + a'T, \varphi)$ . $\blacksquare$

теорема

Производная функции Хевисайда. Формула скачков

Формулировка

Для функции Хевисайда $\theta(x)$ ( $1$ при $x > 0$ , $0$ при $x < 0$ ) имеем $\theta' = \delta$ .
Если $f$ непрерывно дифференцируема всюду, кроме точек $x_k$ (не более конечного числа на каждом отрезке), где она имеет скачки $[f]_k = f(x_k + 0) - f(x_k - 0)$ , а $f'$ кусочно непрерывна, то

f' = \{f'\} + \sum_k[f]_k\,\delta(x - x_k),

где $\{f'\}$ — классическая производная, рассматриваемая как регулярная обобщённая функция.

Доказательство

Развернуть

$(\theta', \varphi) = -\int_0^\infty\varphi'(x)\,dx = \varphi(0)$ .
Пусть $\operatorname{supp}\varphi\subset(\alpha, \beta)$ и $x_1 < \dots < x_m$ — все точки скачков на $[\alpha, \beta]$ . Интегрируя по частям на каждом промежутке между ними, получаем

-\int f\varphi' = \int\{f'\}\varphi + \sum_k\bigl(f(x_k + 0) - f(x_k - 0)\bigr)\varphi(x_k).\qquad\blacksquare

теорема

Дельта-образные последовательности

Формулировка

Пусть $f_n\ge 0$ интегрируемы, $\int f_n\,dx = 1$ и для любого $\delta > 0$

\int_{|x|\ge\delta}f_n\,dx\to 0.

Тогда $f_n\to\delta$ в $\mathcal D'$ .

Доказательство

Развернуть

|(f_n, \varphi) - \varphi(0)| = \left|\int f_n(x)\bigl(\varphi(x) - \varphi(0)\bigr)\,dx\right|\le\max_{|x|\le\delta}|\varphi(x) - \varphi(0)| + 2\max|\varphi|\int_{|x|\ge\delta}f_n\,dx.

Первое слагаемое мало при малом $\delta$ по непрерывности $\varphi$ , второе стремится к нулю при $n\to\infty$ . $\blacksquare$

теорема

Обобщённые функции с нулевой производной

Формулировка

Если $T' = 0$ в $\mathcal D'$ , то $T$ — постоянная. Следовательно, решения уравнения $T' = S$ в $\mathcal D'$ отличаются на постоянную.

Доказательство

Развернуть

Фиксируем $\omega_0\in\mathcal D$ с $\int\omega_0 = 1$ . Любая $\varphi\in\mathcal D$ представляется в виде $\varphi = \psi' + \left(\int\varphi\right)\omega_0$ , где

\psi(x) = \int_{-\infty}^x\Bigl(\varphi(t) - \Bigl(\int\varphi\Bigr)\omega_0(t)\Bigr)dt.

Функция $\psi$ бесконечно дифференцируема и финитна, так как интеграл подынтегральной функции по всей прямой равен нулю. Тогда

(T, \varphi) = (T, \psi') + \Bigl(\int\varphi\Bigr)(T, \omega_0) = -(T', \psi) + C\int\varphi = (C, \varphi),\qquad C = (T, \omega_0).\qquad\blacksquare

Вторая производная модуля

Условие

Найти первую и вторую обобщённые производные функции $|x|$ .

Решение

Развернуть

$|x|$ непрерывна, классическая производная $\operatorname{sign}x$ (при $x\ne 0$ ), скачков нет: $|x|' = \operatorname{sign}x = 2\theta(x) - 1$ . Далее $(\operatorname{sign}x)' = 2\delta$ (скачок $2$ в нуле). Итак, $|x|'' = 2\delta$ .

Произведения xδ и xδ'

Условие

Вычислить $x\delta$ и $x\delta'$ .

Решение

Развернуть

$(x\delta, \varphi) = (\delta, x\varphi) = 0\cdot\varphi(0) = 0$ , то есть $x\delta = 0$ .

$(x\delta', \varphi) = (\delta', x\varphi) = -(x\varphi)'(0) = -\varphi(0)$ , то есть $x\delta' = -\delta$ . Это согласуется с формулой Лейбница: $(x\delta)' = \delta + x\delta' = 0$ .

Дельта-образная последовательность из функций Коши

Условие

Доказать, что $f_n(x) = \dfrac{n}{\pi(1 + n^2x^2)}\to\delta$ в $\mathcal D'$ .

Решение

Развернуть

$f_n > 0$ , $\int f_n = \frac1\pi\operatorname{arctg}(nx)\Big|_{-\infty}^\infty = 1$ , и

\int_{|x|\ge\delta}f_n\,dx = 1 - \frac2\pi\operatorname{arctg}(n\delta)\to 0.

По теореме о дельта-образных последовательностях $f_n\to\delta$ .

Производная функции θ(x) cos x

Условие

Найти обобщённую производную функции $f(x) = \theta(x)\cos x$ .

Решение

Развернуть

По формуле скачков: классическая производная $-\theta(x)\sin x$ , скачок в нуле $\cos 0 = 1$ . Итак, $f' = -\theta(x)\sin x + \delta$ .

По формуле Лейбница: $(\cos x\cdot\theta)' = -\sin x\,\theta + \cos x\,\delta = -\theta\sin x + \delta$ , так как $\cos x\,\delta = \cos 0\,\delta$ .

Слабая сходимость sin nx к нулю

Условие

Доказать, что $\sin nx\to 0$ и $n\sin nx\to 0$ в $\mathcal D'$ , хотя поточечно эти последовательности не сходятся.

Решение

Развернуть

Интегрируя по частям, получаем $(\sin nx, \varphi) = \frac1n\int\cos nx\,\varphi'(x)\,dx$ , и модуль не превосходит $\frac1n\int|\varphi'|\to 0$ .

Интегрируя дважды, получаем $(n\sin nx, \varphi) = -\frac1n\int\sin nx\,\varphi''\,dx\to 0$ .

Иначе: $n\sin nx = -(\cos nx)'$ , $\cos nx\to 0$ в $\mathcal D'$ (так же, как синус), и по непрерывности дифференцирования $n\sin nx\to 0$ .

Обобщённые решения уравнения xy' = 0

Условие

Найти все обобщённые решения уравнения $xy' = 0$ .

Решение

Развернуть

Лемма. Если $xT = 0$ , то $T = C\delta$ . Возьмём $\omega_1\in\mathcal D$ с $\omega_1 = 1$ в окрестности нуля. Для $\varphi\in\mathcal D$ функция $\varphi - \varphi(0)\omega_1$ обращается в нуль в точке $0$ , поэтому равна $x\psi(x)$ с $\psi\in\mathcal D$ ( $\psi(x) = \int_0^1(\varphi - \varphi(0)\omega_1)'(\tau x)\,d\tau$ ). Тогда

(T, \varphi) = \varphi(0)(T, \omega_1) + (xT, \psi) = C\varphi(0).

Из уравнения по лемме $y' = C\delta$ . Так как $(C\theta)' = C\delta$ , имеем $(y - C\theta)' = 0$ , и по теореме о нулевой производной $y - C\theta$ — постоянная.

Ответ: $y = C_1 + C_2\theta(x)$ . Классические решения на всей прямой — только постоянные, а обобщённое решение $\theta(x)$ разрывно в нуле.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Пространство основных функций

Основными функциями называются бесконечно дифференцируемые финитные функции на $\mathbb R$ (равные нулю вне некоторого отрезка). Их пространство обозначается $\mathcal D = C_0^\infty(\mathbb R)$ .

Последовательность $\varphi_n\in\mathcal D$ сходится к $\varphi$ в $\mathcal D$ , если все $\varphi_n$ равны нулю вне одного отрезка $[-a, a]$ и при каждом $k$ производные $\varphi_n^{(k)}$ сходятся к $\varphi^{(k)}$ равномерно.

Обобщённая функция

Обобщённой функцией называется непрерывный линейный функционал $T$ на $\mathcal D$ : из $\varphi_n\to\varphi$ в $\mathcal D$ следует $(T, \varphi_n)\to(T, \varphi)$ . Их пространство обозначается $\mathcal D'$ .

Локально интегрируемая функция $f$ порождает регулярную обобщённую функцию $(f, \varphi) = \int f\varphi\,dx$ . Остальные обобщённые функции называются сингулярными; пример — дельта-функция Дирака $(\delta, \varphi) = \varphi(0)$ , а также $(\delta(x - a), \varphi) = \varphi(a)$ .

Последовательность $T_n$ сходится в $\mathcal D'$ к $T$ , если $(T_n, \varphi)\to(T, \varphi)$ при всех $\varphi\in\mathcal D$ .

Действия над обобщёнными функциями

Для $T\in\mathcal D'$ определяются:

умножение на бесконечно дифференцируемую функцию $a$ : $(aT, \varphi) = (T, a\varphi)$ ;
производная: $(T', \varphi) = -(T, \varphi')$ ;
сдвиг: $(T(x - h), \varphi) = (T, \varphi(x + h))$ .

Определения согласованы с обычными операциями для регулярных функций: например, для $f\in C^1$ формула производной — это интегрирование по частям.

Основные свойства интеграла Лебега

Формулировка

На множестве $A$ конечной меры:

$\int_A1\,d\mu = \mu(A)$ ; интеграл линеен.
Ограниченная измеримая функция интегрируема; если $|f|\le M$ , то $\left|\int_Af\right|\le M\mu(A)$ .
Если $f\ge 0$ , то $\int_Af\ge 0$ ; если $f\le g$ , то $\int_Af\le\int_Ag$ .
Интегрируемая функция измерима. Если $f$ измерима, $|f|\le\varphi$ и $\varphi$ интегрируема, то $f$ интегрируема и $\left|\int_Af\right|\le\int_A\varphi$ . В частности, измеримая функция $f$ интегрируема $\iff$ $|f|$ интегрируема.
Если $f = g$ почти всюду и одна из функций интегрируема, то интегрируема и другая, и $\int_Af = \int_Ag$ .

Доказательство

Развернуть

Линейность переносится с простых функций предельным переходом.
Простые функции $f_n$ из теоремы о приближении ограничены, значит интегрируемы, и $f_n\rightrightarrows f$ . Оценка сохраняется в пределе.
Для $f\ge 0$ приближающие функции $f_n(x) = \frac kn$ при $\frac kn\le f < \frac{k+1}n$ неотрицательны. Они интегрируемы, так как отличаются от любых интегрируемых простых $g_m\rightrightarrows f$ на ограниченную простую функцию. Поэтому $\int_Af = \lim\int_Af_n\ge 0$ . Второе утверждение получаем, применив первое к $g - f$ .
Интегрируемая $f$ — равномерный предел измеримых функций. Пусть $f$ измерима, $|f|\le\varphi$ , $\varphi_n$ — интегрируемые простые функции с $\sup_A|\varphi - \varphi_n| < \frac1n$ (выбираются из равномерно сходящейся последовательности). Канонические приближения $f_n$ функции $f$ удовлетворяют $|f_n|\le|f| + \frac1n\le\varphi_n + \frac2n$ , и по лемме об интеграле простых функций $f_n$ интегрируемы. Оценка получается из монотонности. Наконец, если $f_n\rightrightarrows f$ , то $|f_n|\rightrightarrows|f|$ .
Функция $h = f - g$ равна нулю вне множества $N$ меры нуль. Её канонические приближения имеют ненулевые значения лишь на подмножествах $N$ , поэтому их интегралы равны нулю. Значит, $h$ интегрируема и $\int_Ah = 0$ . $\blacksquare$

Абсолютная непрерывность интеграла Лебега

Формулировка

Если $f$ интегрируема на $A$ , то для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для любого измеримого $e\subset A$ с $\mu(e) < \delta$

\int_e|f|\,d\mu < \varepsilon.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A_n = \{n\le|f| < n + 1\}$ , $n = 0, 1, \dots$ По счётной аддитивности $\sum_n\int_{A_n}|f| = \int_A|f| < \infty$ . Выберем $N$ с $\sum_{n>N}\int_{A_n}|f| < \frac\varepsilon2$ и положим $B = \bigsqcup_{n>N}A_n$ ; вне $B$ выполнено $|f| < N + 1$ .

Возьмём $\delta = \frac{\varepsilon}{2(N + 1)}$ . Если $\mu(e) < \delta$ , то

\int_e|f| = \int_{e\cap B}|f| + \int_{e\setminus B}|f|\le\int_B|f| + (N + 1)\mu(e) < \varepsilon.\qquad\blacksquare

Обобщённые функции

Существование и свойства основных функций

Формулировка

Доказательство

Регулярные обобщённые функции

Формулировка

Доказательство

Дельта-функция — сингулярная обобщённая функция

Формулировка

Доказательство

Свойства производной обобщённой функции

Формулировка

Доказательство

Производная функции Хевисайда. Формула скачков

Формулировка

Доказательство

Дельта-образные последовательности

Формулировка

Доказательство

Обобщённые функции с нулевой производной

Формулировка

Доказательство

Вторая производная модуля

Условие

Решение

Произведения xδ и xδ'

Условие

Решение

Дельта-образная последовательность из функций Коши

Условие

Решение

Производная функции θ(x) cos x

Условие

Решение

Слабая сходимость sin nx к нулю

Условие

Решение

Обобщённые решения уравнения xy' = 0

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Пространство основных функций

Обобщённая функция

Действия над обобщёнными функциями

Основные свойства интеграла Лебега

Формулировка

Доказательство

Абсолютная непрерывность интеграла Лебега

Формулировка

Доказательство