Полные метрические пространства

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Свойства фундаментальных последовательностей
Полнота основных пространств
Неполнота пространств Cₚ[a,b] и ℚ
Полнота и замкнутость подпространства
Теорема о вложенных шарах
Теорема о пополнении

теорема

Свойства фундаментальных последовательностей

Формулировка

Сходящаяся последовательность фундаментальна.
Фундаментальная последовательность ограничена.
Если у фундаментальной последовательности есть подпоследовательность, сходящаяся к $x$ , то и вся последовательность сходится к $x$ .

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\to x$ , то $\rho(x_n,x_m)\le\rho(x_n,x) + \rho(x,x_m) < \varepsilon$ при больших $n,m$ .
При $n > N$ имеем $\rho(x_n, x_{N+1}) < 1$ ; дальше рассуждаем так же, как для сходящейся последовательности.
Пусть $x_{n_k}\to x$ . При $n, n_k > N$ имеем $\rho(x_n, x)\le\rho(x_n, x_{n_k}) + \rho(x_{n_k}, x) < \varepsilon + \rho(x_{n_k}, x)$ . Переходя к пределу по $k$ , получаем $\rho(x_n,x)\le\varepsilon$ . $\blacksquare$

теорема

Полнота основных пространств

Формулировка

Пространства $\mathbb R$ , $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $C[a,b]$ , $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и $l_\infty$ полны.

Доказательство

Развернуть

$\mathbb R$ — это критерий Коши из курса анализа.

$\mathbb R^n_p$ . Координаты фундаментальной последовательности фундаментальны ( $|x_k - y_k|\le\rho_p(x,y)$ ), поэтому сходятся. Покоординатная сходимость равносильна сходимости в $\mathbb R^n_p$ .

$C[a,b]$ . Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна: $|x_n(t) - x_m(t)| < \varepsilon$ при $n,m > N$ и всех $t$ . При каждом $t$ числовая последовательность $x_n(t)$ фундаментальна, значит, имеет предел $x(t)$ . Переходя к пределу при $m\to\infty$ , получаем $|x_n(t) - x(t)|\le\varepsilon$ при $n > N$ и всех $t$ , то есть сходимость равномерная. Предельная функция непрерывна: при $|t - s| < \delta$ (где $\delta$ выбрано по непрерывности $x_n$ )

|x(t) - x(s)|\le|x(t) - x_n(t)| + |x_n(t) - x_n(s)| + |x_n(s) - x(s)| < 3\varepsilon.

Итак, $x\in C[a,b]$ и $\rho(x_n, x)\le\varepsilon$ при $n > N$ .

$l_p$ . Координаты фундаментальны и сходятся: $x_k^{(n)}\to x_k$ . При $n, m > N$ и любом $K$ имеем $\sum_{k=1}^K|x_k^{(n)} - x_k^{(m)}|^p < \varepsilon^p$ . Переходим к пределу сначала при $m\to\infty$ , затем при $K\to\infty$ :

\sum_{k=1}^\infty|x_k^{(n)} - x_k|^p\le\varepsilon^p.

Значит, $x^{(n)} - x\in l_p$ , и по неравенству Минковского $x = x^{(n)} - (x^{(n)} - x)\in l_p$ , причём $\rho(x^{(n)}, x)\le\varepsilon$ .

$l_\infty$ — так же, с супремумом вместо суммы. $\blacksquare$

теорема

Неполнота пространств Cₚ[a,b] и ℚ

Формулировка

Пространства $C_p[a,b]$ ( $p\ge 1$ ) и $\mathbb Q$ (с метрикой $|x - y|$ ) не полны.

Доказательство

Развернуть

$C_p[-1,1]$ (общий отрезок сводится к нему линейной заменой). Пусть

x_n(t) = \begin{cases}-1, & t\le-\frac1n,\\ nt, & |t| < \frac1n,\\ 1, & t\ge\frac1n.\end{cases}

При $m > n$ функции $x_n$ и $x_m$ различаются лишь на $(-\frac1n,\frac1n)$ , и там $|x_n - x_m|\le 1$ . Поэтому $\rho_p(x_n,x_m)^p\le\frac2n$ , и последовательность фундаментальна.

Пусть $x_n\to x\in C_p[-1,1]$ . Для $\delta > 0$ и $n > \frac1\delta$ на $[\delta, 1]$ имеем $x_n = 1$ , поэтому

\int_\delta^1|1 - x(t)|^p\,dt\le\rho_p(x_n,x)^p\to 0.

Значит, $x = 1$ на $[\delta,1]$ для любого $\delta$ , то есть на $(0,1]$ . Аналогично $x = -1$ на $[-1,0)$ . Такая функция разрывна в нуле — противоречие.

$\mathbb Q$ . Десятичные приближения $\sqrt2$ образуют фундаментальную последовательность рациональных чисел. Её предел в $\mathbb R$ равен $\sqrt2\notin\mathbb Q$ , а по единственности предела другого предела быть не может. $\blacksquare$

теорема

Полнота и замкнутость подпространства

Формулировка

Полное подпространство любого метрического пространства замкнуто.
Если $X$ полно, то его подпространство $Y$ полно тогда и только тогда, когда $Y$ замкнуто.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x\in[Y]$ и $y_n\in Y$ , $y_n\to x$ . Последовательность $\{y_n\}$ фундаментальна, поэтому сходится в $Y$ к некоторому $y$ . По единственности предела $x = y\in Y$ .
Пусть $Y$ замкнуто и $\{y_n\}\subset Y$ фундаментальна. Она сходится в $X$ к некоторому $x$ , а по замкнутости $x\in Y$ . Обратное — это п. 1. $\blacksquare$

теорема

Теорема о вложенных шарах

Формулировка

Метрическое пространство $X$ полно тогда и только тогда, когда любая последовательность вложенных замкнутых шаров $B[a_1,r_1]\supset B[a_2,r_2]\supset\dots$ с радиусами $r_n\to 0$ имеет непустое пересечение. При этом пересечение состоит из одной точки.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. При $m > n$ центр $a_m$ лежит в $B[a_n, r_n]$ , поэтому $\rho(a_m, a_n)\le r_n\to 0$ . Последовательность центров фундаментальна и сходится к некоторому $a$ . Все $a_m$ с $m\ge n$ лежат в замкнутом шаре $B[a_n,r_n]$ , значит, и $a$ лежит в нём. Итак, $a$ — общая точка шаров. Две общие точки удалены друг от друга не более чем на $2r_n\to 0$ , то есть совпадают.

Достаточность. Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна. Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ так, что $\rho(x_m, x_{n_k}) < 2^{-k}$ при $m\ge n_k$ . Положим $B_k = B[x_{n_k}, 2^{1-k}]$ . Шары вложены: если $y\in B_{k+1}$ , то

\rho(y, x_{n_k})\le\rho(y, x_{n_{k+1}}) + \rho(x_{n_{k+1}}, x_{n_k})\le 2^{-k} + 2^{-k} = 2^{1-k}.

Пусть $x$ — их общая точка. Тогда $\rho(x_{n_k}, x)\le 2^{1-k}\to 0$ , и вся последовательность сходится к $x$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема о пополнении

Формулировка

Любое метрическое пространство $X$ имеет пополнение. Пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей точки $X$ неподвижными.

Доказательство

Развернуть (основные шаги)

1. Построение. Фундаментальные последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ назовём эквивалентными, если $\rho(x_n,y_n)\to 0$ . Это отношение эквивалентности. Пусть $\widetilde X$ — множество классов эквивалентности.

2. Метрика. Для классов $\xi\ni\{x_n\}$ , $\eta\ni\{y_n\}$ положим $\tilde\rho(\xi,\eta) = \lim\rho(x_n,y_n)$ . Предел существует: по неравенству четырёхугольника

|\rho(x_n,y_n) - \rho(x_m,y_m)|\le\rho(x_n,x_m) + \rho(y_n,y_m),

числовая последовательность фундаментальна и сходится по полноте $\mathbb R$ . По тому же неравенству предел не зависит от представителей. Аксиомы метрики получаются предельным переходом.

3. Вложение. Сопоставим $x\in X$ класс стационарной последовательности $(x,x,\dots)$ . Это изометрия $X$ на подмножество $X_0\subset\widetilde X$ .

4. Плотность. Если $\xi\ni\{x_n\}$ , то $\tilde\rho(\xi, x_m) = \lim_n\rho(x_n, x_m) < \varepsilon$ при больших $m$ . Значит, $X_0$ всюду плотно.

5. Полнота. Пусть $\{\xi_n\}$ фундаментальна в $\widetilde X$ . По п. 4 выберем $x_n\in X$ с $\tilde\rho(\xi_n, x_n) < \frac1n$ . Последовательность $\{x_n\}$ фундаментальна в $X$ ; пусть $\xi$ — её класс. Тогда $\tilde\rho(\xi_n,\xi)\le\frac1n + \lim_m\rho(x_n,x_m)\to 0$ .

6. Единственность. Если $\widetilde X_1$ и $\widetilde X_2$ — пополнения, то изометрия между плотными копиями $X$ продолжается по непрерывности: точке, являющейся пределом $x_n\in X$ в $\widetilde X_1$ , сопоставляется предел той же последовательности в $\widetilde X_2$ . Получается изометрия $\widetilde X_1$ на $\widetilde X_2$ , тождественная на $X$ . $\blacksquare$

Неполная метрика на натуральных числах

Условие

Полно ли пространство $\mathbb N$ с метрикой $\rho(m,n) = \left|\frac1m - \frac1n\right|$ ?

Решение

Развернуть

Нет. Последовательность $x_n = n$ фундаментальна: $\rho(n,m) = \left|\frac1n - \frac1m\right|\to 0$ . Если бы $x_n\to k$ , то $\rho(n,k) = \left|\frac1n - \frac1k\right|\to\frac1k\ne 0$ — противоречие.

Полнота подпространства функций, обращающихся в нуль

Условие

Доказать, что множество $Y = \{x\in C[0,1]: x(0) = 0\}$ — полное подпространство $C[0,1]$ .

Решение

Развернуть

Если $x_n\in Y$ и $x_n\to x$ в $C[0,1]$ , то $|x(0)| = |x(0) - x_n(0)|\le\rho(x,x_n)\to 0$ , то есть $x\in Y$ . Значит, $Y$ замкнуто. Пространство $C[0,1]$ полно, а замкнутое подмножество полного пространства полно, поэтому $Y$ полно.

Вложенные шары с пустым пересечением в ℚ

Условие

Построить в $\mathbb Q$ последовательность вложенных замкнутых шаров с радиусами, стремящимися к нулю, и пустым пересечением.

Решение

Развернуть

Пусть $a_n$ — десятичное приближение $\sqrt2$ с недостатком с $n$ знаками после запятой, $r_n = 10^{-n}$ , $B_n = \{q\in\mathbb Q: |q - a_n|\le r_n\}$ .

Шары вложены: $0\le a_{n+1} - a_n\le 9\cdot10^{-(n+1)}$ , поэтому

|a_{n+1} - a_n| + r_{n+1}\le 10^{-n} = r_n.

Так как $|\sqrt2 - a_n| < 10^{-n}$ , единственная общая точка соответствующих отрезков в $\mathbb R$ — это $\sqrt2\notin\mathbb Q$ . Значит, в $\mathbb Q$ пересечение пусто. Это согласуется с теоремой о вложенных шарах, поскольку $\mathbb Q$ не полно.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Фундаментальная последовательность в метрическом пространстве

Последовательность $\{x_n\}$ элементов метрического пространства называется фундаментальной (последовательностью Коши), если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $N$ такое, что $\rho(x_n, x_m) < \varepsilon$ при всех $n, m > N$ .

Полное метрическое пространство

Метрическое пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.

Изометрия

Биективное отображение $\varphi\colon X\to Y$ метрических пространств называется изометрией, если $\rho_Y(\varphi(x),\varphi(y)) = \rho_X(x,y)$ для всех $x,y\in X$ . Пространства, между которыми есть изометрия, называются изометричными.

Пополнение метрического пространства

Полное метрическое пространство $\widetilde X$ называется пополнением метрического пространства $X$ , если $X$ изометрично некоторому всюду плотному подмножеству $\widetilde X$ .

Сходимость в метрическом пространстве

Последовательность $\{x_n\}$ элементов метрического пространства $X$ сходится к элементу $x\in X$ (пишут $x_n\to x$ ), если $\rho(x_n, x)\to 0$ при $n\to\infty$ , то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся номер $N$ такой, что $\rho(x_n, x) < \varepsilon$ при всех $n > N$ .

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространство $\mathbb R^n_p$ — множество упорядоченных наборов $x = (x_1, \dots, x_n)$ с метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\sum_{k=1}^n |x_k - y_k|^p\right)^{1/p},\quad p\ge 1, \qquad \rho_\infty(x,y) = \max_{1\le k\le n}|x_k - y_k|.

При $p = 2$ получается евклидова метрика.

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

$C[a,b]$ — множество функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$ , с равномерной (чебышёвской) метрикой

\rho(x, y) = \max_{t\in[a,b]}|x(t) - y(t)|.

$C_p[a,b]$ , $p\ge 1$ , — то же множество функций с интегральной метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\int_a^b |x(t) - y(t)|^p\,dt\right)^{1/p}.

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

$l_p$ , $1\le p<\infty$ , — множество числовых последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ с $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < \infty$ и метрикой

\rho(x,y) = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^p\right)^{1/p}.

$l_\infty$ (обозначается также $m$ ) — множество ограниченных последовательностей с метрикой $\rho(x,y) = \sup_k |x_k - y_k|$ .
$c_0$ — множество последовательностей, сходящихся к нулю, с той же метрикой, что в $l_\infty$ .

Подпространство метрического пространства

Если $Y\subset X$ , то $Y$ с ограничением на него метрики $\rho$ — тоже метрическое пространство. Его называют подпространством метрического пространства $X$ .

В нормированных пространствах термин «подпространство» имеет другой смысл: так называют замкнутое линейное многообразие.

Предельная точка. Замыкание. Замкнутое множество

Точка $a\in X$ называется предельной точкой множества $M$ , если любая её окрестность содержит точку множества $M$ , отличную от $a$ . Точка $a\in M$ , не являющаяся предельной, называется изолированной.

Пусть $M'$ — множество предельных точек $M$ . Замыкание множества — $[M] = M\cup M'$ (обозначается также $\overline M$ ). Точка $a$ лежит в $[M]$ тогда и только тогда, когда любая её окрестность пересекается с $M$ .

Множество $M$ замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки, то есть $M'\subset M$ .

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Пусть $a\in X$ , $r > 0$ .

Открытый шар: $B(a, r) = \{x\in X: \rho(x,a) < r\}$ ; замкнутый шар: $B[a, r] = \{x\in X: \rho(x,a)\le r\}$ . Шар $B(a,\varepsilon)$ называют также $\varepsilon$ -окрестностью точки $a$ .
Множество $M\subset X$ ограничено, если оно содержится в некотором шаре.
Диаметр множества: $\operatorname{diam} M = \sup_{x,y\in M}\rho(x,y)$ .
Расстояние от точки до множества: $\rho(x, M) = \inf_{y\in M}\rho(x,y)$ .

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Множество $A$ плотно в множестве $B$ , если $B\subset[A]$ .
$A$ всюду плотно в $X$ , если $[A] = X$ .
$A$ нигде не плотно в $X$ , если в каждом шаре $B(a, r)$ найдётся шар $B(b, s)\subset B(a,r)$ , не содержащий точек множества $A$ .

Свойства сходящихся последовательностей в метрическом пространстве

Формулировка

Последовательность в метрическом пространстве имеет не более одного предела.
Сходящаяся последовательность ограничена.
Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\to x$ и $x_n\to y$ , то $\rho(x,y)\le\rho(x,x_n) + \rho(x_n,y)\to 0$ , значит, $\rho(x,y) = 0$ и $x = y$ .
Найдётся $N$ с $\rho(x_n, x) < 1$ при $n > N$ . Положим $r = 1 + \max\{1, \rho(x_1,x), \dots, \rho(x_N, x)\}$ . Тогда все $x_n$ лежат в шаре $B(x, r)$ .
Если $\rho(x_n, x) < \varepsilon$ при $n > N$ , то и $\rho(x_{n_k}, x) < \varepsilon$ при $n_k > N$ . $\blacksquare$

Продолжение ограниченного оператора по непрерывности

Формулировка

Пусть $E_0$ — всюду плотное линейное многообразие в $E$ , $F$ банахово и $A_0\colon E_0\to F$ — ограниченный линейный оператор. Тогда существует единственный $A\in\mathcal L(E, F)$ , совпадающий с $A_0$ на $E_0$ , и $\|A\| = \|A_0\|$ .

Доказательство

Развернуть

Для $x\in E$ возьмём $x_n\in E_0$ , $x_n\to x$ . Последовательность $A_0x_n$ фундаментальна, так как $\|A_0x_n - A_0x_m\|\le\|A_0\|\|x_n - x_m\|$ , и сходится в $F$ . Положим $Ax = \lim A_0x_n$ . Предел не зависит от выбора $x_n$ (чередуем две последовательности). $A$ линеен, и $\|Ax\| = \lim\|A_0x_n\|\le\|A_0\|\|x\|$ . Единственность следует из непрерывности. $\blacksquare$

Критерий компактности Хаусдорфа

Формулировка

В любом метрическом пространстве относительно компактное множество вполне ограничено.
В полном метрическом пространстве вполне ограниченное множество относительно компактно.

Следовательно, в полном метрическом пространстве множество относительно компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено, и компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.

Доказательство

Развернуть

Пусть для некоторого $\varepsilon$ у $M$ нет конечной $\varepsilon$ -сети. Выберем $x_1\in M$ . Так как $\{x_1\}$ — не $\varepsilon$ -сеть, найдётся $x_2\in M$ с $\rho(x_2,x_1)\ge\varepsilon$ . Продолжая, получим $x_n\in M$ с $\rho(x_n,x_i)\ge\varepsilon$ при всех $i < n$ . У такой последовательности нет фундаментальных, а значит, и сходящихся подпоследовательностей.
Пусть $\{x_n\}\subset M$ . Конечная $1$ -сеть покрывает $M$ конечным числом шаров радиуса $1$ , и в одном из них лежит бесконечная подпоследовательность $\{x_n^{(1)}\}$ . Из неё так же выделим подпоследовательность $\{x_n^{(2)}\}$ , лежащую в шаре радиуса $\frac12$ , и т.д. Диагональная последовательность $y_k = x_k^{(k)}$ фундаментальна: при $m > k$ точки $y_k, y_m$ лежат в одном шаре радиуса $\frac1k$ , и $\rho(y_k,y_m) < \frac2k$ . По полноте она сходится.

Следствие: компактное множество замкнуто. Обратно, если $M$ замкнуто и относительно компактно, пределы подпоследовательностей лежат в $M$ . $\blacksquare$

Ограниченное замкнутое множество может быть некомпактным

Формулировка

Замкнутые единичные шары в $l_2$ и в $C[0,1]$ ограничены и замкнуты, но не компактны.

Доказательство

Развернуть

$l_2$ . Векторы $e_k$ лежат в шаре, и $\rho(e_k, e_j) = \sqrt2$ при $k\ne j$ . Ни одна подпоследовательность не фундаментальна, поэтому не сходится.

$C[0,1]$ . Функции $x_n(t) = t^n$ лежат в шаре. Если бы подпоследовательность сходилась в $C[0,1]$ , то равномерно и, значит, поточечно. Но поточечный предел равен $0$ при $t < 1$ и $1$ при $t = 1$ — разрывная функция. Противоречие. $\blacksquare$

Принцип сжимающих отображений

Формулировка

Сжимающее отображение $A$ полного метрического пространства $X$ в себя имеет единственную неподвижную точку $x^*$ . Для любого $x_0\in X$ последовательность $x_n = A^nx_0$ сходится к $x^*$ , причём

\rho(x_n, x^*)\le\frac{\alpha^n}{1-\alpha}\rho(x_0,x_1)\quad\text{(априорная оценка)},\qquad \rho(x_n,x^*)\le\frac{\alpha}{1-\alpha}\rho(x_{n-1},x_n)\quad\text{(апостериорная оценка)}.

Доказательство

Развернуть

По индукции $\rho(x_{k+1},x_k)\le\alpha^k\rho(x_1,x_0)$ . При $m > n$

\rho(x_m,x_n)\le\sum_{k=n}^{m-1}\rho(x_{k+1},x_k)\le\sum_{k=n}^{\infty}\alpha^k\rho(x_1,x_0) = \frac{\alpha^n}{1-\alpha}\rho(x_0,x_1)\to 0.

Последовательность фундаментальна и по полноте сходится к некоторому $x^*$ . Сжатие непрерывно (из $x_n\to x$ следует $\rho(Ax_n,Ax)\le\alpha\rho(x_n,x)\to 0$ ), поэтому $Ax^* = \lim Ax_n = \lim x_{n+1} = x^*$ ; здесь использована единственность предела.

Единственность. Если $Ax^* = x^*$ , $Ay^* = y^*$ , то $\rho(x^*,y^*)\le\alpha\rho(x^*,y^*)$ , откуда $\rho(x^*,y^*) = 0$ .

Оценки. В неравенстве для $\rho(x_m,x_n)$ переходим к пределу $m\to\infty$ (по непрерывности метрики) и получаем априорную оценку. Апостериорная — это априорная при $n = 1$ с начальной точкой $x_{n-1}$ . $\blacksquare$

Абсолютно сходящиеся ряды в банаховом пространстве

Формулировка

В банаховом пространстве абсолютно сходящийся ряд сходится, и $\left\|\sum x_k\right\|\le\sum\|x_k\|$ .
Обратно, если в нормированном пространстве каждый абсолютно сходящийся ряд сходится, то пространство банахово.

Доказательство

Развернуть

$\left\|\sum_{n+1}^{n+p}x_k\right\|\le\sum_{n+1}^{n+p}\|x_k\|$ ; правая часть мала по критерию Коши для числового ряда. Применяем критерий Коши для рядов. Оценка нормы суммы получается переходом к пределу в $\|S_n\|\le\sum_{k\le n}\|x_k\|$ (по непрерывности нормы).
Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна. Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ с $\|x_{n_{k+1}} - x_{n_k}\| < 2^{-k}$ . Ряд $x_{n_1} + \sum_k(x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ сходится абсолютно, значит, сходится. Его частичные суммы — это $x_{n_k}$ . Итак, подпоследовательность сходится, а сходится и вся последовательность. $\blacksquare$

Критерий Коши сходимости ряда в банаховом пространстве

Формулировка

Ряд $\sum x_k$ в банаховом пространстве сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $N$ такое, что

\left\|\sum_{k=n+1}^{n+p}x_k\right\| < \varepsilon\quad\text{при всех } n > N,\ p\ge1.

Доказательство

Развернуть

Условие означает фундаментальность частичных сумм: $\|S_{n+p} - S_n\| < \varepsilon$ . В полном пространстве фундаментальность равносильна сходимости. $\blacksquare$

Критерий Коши сходимости числовой последовательности

Формулировка

Числовая последовательность $\{x_n\}$ сходится (имеет конечный предел) тогда и только тогда, когда она фундаментальна:

\exists\lim_{n\to\infty}x_n\in\mathbb R\iff\forall\varepsilon > 0\ \ \exists N\ \ \forall n, m > N:\ |x_n - x_m| < \varepsilon.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть $x_n\to a$ , $\varepsilon > 0$ . Найдётся $N$ с $|x_n - a| < \frac\varepsilon2$ при $n > N$ . Тогда при $n, m > N$

|x_n - x_m|\le|x_n - a| + |a - x_m| < \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon.

Достаточность. Фундаментальная последовательность ограничена: при $\varepsilon = 1$ найдётся $N_1$ с $|x_n - x_m| < 1$ при $n, m > N_1$ ; в частности $|x_n|\le|x_{N_1+1}| + 1$ при $n > N_1$ , и $|x_n|\le\max\{|x_1|, \ldots, |x_{N_1}|, |x_{N_1+1}| + 1\}$ для всех $n$ .

По принципу Больцано–Вейерштрасса существует подпоследовательность $x_{n_k}\to a\in\mathbb R$ .

Покажем, что $x_n\to a$ . Пусть $\varepsilon > 0$ . По условию Коши найдётся $N$ с $|x_n - x_m| < \frac\varepsilon2$ при $n, m > N$ , а по сходимости подпоследовательности — номер $K$ с $|x_{n_k} - a| < \frac\varepsilon2$ при $k > K$ . Возьмём $n > N$ и какое-нибудь $k > \max(K, N)$ ; тогда $n_k\ge k > N$ , и

|x_n - a|\le|x_n - x_{n_k}| + |x_{n_k} - a| < \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon.

Итак, $x_n\to a$ .

Замечание. В множестве $\mathbb Q$ аналог критерия неверен: десятичные приближения $1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414;\ \ldots$ числа $\sqrt2$ фундаментальны, но не имеют рационального предела. Критерий Коши выражает полноту $\mathbb R$ . $\blacksquare$

Сходимость в основных метрических пространствах

Формулировка

В $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ) сходимость равносильна покоординатной.
Сходимость в $C[a,b]$ — это равномерная сходимость на $[a,b]$ .
Из сходимости в $C[a,b]$ следует сходимость в $C_p[a,b]$ ; обратное неверно.
Из сходимости в $l_p$ следует покоординатная сходимость; обратное неверно.

Доказательство

Развернуть

Для любой координаты $|x_k - y_k|\le\rho_p(x,y)\le n^{1/p}\max_k|x_k - y_k|$ .
Неравенство $\max_t|x_n(t) - x(t)| < \varepsilon$ при $n > N$ — определение равномерной сходимости.
$\rho_p(x,y)\le(b-a)^{1/p}\rho(x,y)$ . Обратное неверно: на $[0,1]$ для $x_n(t) = t^n$

\rho_p(x_n, 0)^p = \int_0^1 t^{np}\,dt = \frac{1}{np + 1}\to 0,\quad\text{но}\quad \rho(x_n, 0) = \max_{[0,1]} t^n = 1.

$|x_k^{(n)} - x_k|\le\rho(x^{(n)}, x)$ . Обратное неверно: последовательность $e_n = (0,\dots,0,1,0,\dots)$ (единица на $n$ -м месте) сходится к нулю покоординатно, но $\rho(e_n, 0) = 1$ . $\blacksquare$

Неравенство Минковского

Формулировка

При $p\ge 1$

\left(\sum_{k=1}^n|x_k + y_k|^p\right)^{1/p} \le \left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{k=1}^n|y_k|^p\right)^{1/p}.

То же верно для рядов (если ряды справа сходятся, то сходится и ряд слева) и для интегралов от непрерывных функций.

Доказательство

Развернуть

При $p = 1$ это неравенство треугольника для модулей. Пусть $p > 1$ и $S = \sum|x_k + y_k|^p$ . Тогда

S \le \sum|x_k|\,|x_k + y_k|^{p-1} + \sum|y_k|\,|x_k + y_k|^{p-1}.

Применим к каждой сумме неравенство Гёльдера и учтём, что $(p-1)q = p$ :

S \le \left[\left(\sum|x_k|^p\right)^{1/p} + \left(\sum|y_k|^p\right)^{1/p}\right] S^{1/q}.

При $S > 0$ делим на $S^{1/q}$ и получаем $S^{1 - 1/q} = S^{1/p}\le\dots$ , что и требовалось.

Для рядов частичные суммы слева ограничены суммой полных рядов справа. Для интегралов рассуждение то же. $\blacksquare$

Теорема Арцела–Асколи

Формулировка

Множество $M\subset C[a,b]$ относительно компактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Доказательство

Развернуть

Пространство $C[a,b]$ полно, поэтому достаточно сравнить условия с полной ограниченностью.

Необходимость. Пусть $x_1,\dots,x_m$ — конечная $\frac\varepsilon3$ -сеть для $M$ .

Равномерная ограниченность: $|x(t)|\le\max_i\max_t|x_i(t)| + \frac\varepsilon3$ .
Равностепенная непрерывность: каждая $x_i$ равномерно непрерывна; возьмём $\delta = \min_i\delta_i$ . Для $x\in M$ выберем $x_i$ с $\rho(x,x_i) < \frac\varepsilon3$ . При $|t - s| < \delta$

|x(t) - x(s)|\le|x(t) - x_i(t)| + |x_i(t) - x_i(s)| + |x_i(s) - x(s)| < \varepsilon.

Достаточность. Пусть $|x(t)|\le C$ , а $\delta$ соответствует $\frac\varepsilon4$ в определении равностепенной непрерывности. Разобьём $[a,b]$ точками $t_0 < \dots < t_n$ с шагом меньше $\delta$ , а отрезок $[-C,C]$ — уровнями $y_0,\dots,y_m$ с шагом не больше $\frac\varepsilon4$ . Рассмотрим конечное множество ломаных $\varphi$ с вершинами $(t_i, y_{j_i})$ .

Для $x\in M$ выберем в каждом узле уровень $y_{j_i}$ с $|x(t_i) - y_{j_i}|\le\frac\varepsilon8$ и построим ломаную $\varphi$ . При $t\in[t_i,t_{i+1}]$ значение $\varphi(t)$ лежит между $\varphi(t_i)$ и $\varphi(t_{i+1})$ , поэтому

|\varphi(t) - \varphi(t_i)|\le|\varphi(t_{i+1}) - \varphi(t_i)|\le\frac\varepsilon8 + \frac\varepsilon4 + \frac\varepsilon8 = \frac\varepsilon2,

|x(t) - \varphi(t)|\le|x(t) - x(t_i)| + |x(t_i) - \varphi(t_i)| + |\varphi(t_i) - \varphi(t)| < \frac\varepsilon4 + \frac\varepsilon8 + \frac\varepsilon2 < \varepsilon.

Итак, ломаные образуют конечную $\varepsilon$ -сеть. $\blacksquare$

Критерий относительной компактности в lₚ

Формулировка

Множество $M\subset l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) относительно компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и остатки равномерно малы: для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $N$ такое, что

\sum_{k>N}|x_k|^p < \varepsilon\quad\text{для всех } x\in M.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $\|x\|_{>N} = \left(\sum_{k>N}|x_k|^p\right)^{1/p}$ ; это удовлетворяет неравенству треугольника.

Необходимость. Относительно компактное множество ограничено. Пусть $x^{(1)},\dots,x^{(m)}$ — конечная $\eta$ -сеть. Выберем $N$ так, что $\|x^{(i)}\|_{>N} < \eta$ при всех $i$ . Для $x\in M$ и ближайшего $x^{(i)}$

\|x\|_{>N}\le\|x - x^{(i)}\|_{>N} + \|x^{(i)}\|_{>N} < 2\eta.

Достаточность. Выберем $N$ так, что $\|x\|_{>N} < \frac\varepsilon2$ на $M$ , и рассмотрим срезки $P_Nx = (x_1,\dots,x_N,0,\dots)$ . Множество $P_N(M)$ ограничено в $\mathbb R^N$ и относительно компактно, значит, имеет конечную $\frac\varepsilon2$ -сеть $S$ . Для $x\in M$ и подходящего $s\in S$

\rho(x,s)\le\rho(x,P_Nx) + \rho(P_Nx,s) < \varepsilon.

Пространство $l_p$ полно; применяем критерий Хаусдорфа. $\blacksquare$

Существование и единственность решения задачи Коши

Формулировка

Пусть $f(t,x)$ непрерывна на $[t_0,T]\times\mathbb R$ и удовлетворяет условию Липшица по $x$ : $|f(t,x) - f(t,y)|\le L|x - y|$ . Тогда задача Коши

x' = f(t,x),\qquad x(t_0) = x_0

имеет единственное решение на $[t_0,T]$ .

Доказательство

Развернуть

Непрерывно дифференцируемая функция решает задачу Коши тогда и только тогда, когда непрерывная функция $x$ удовлетворяет интегральному уравнению

x(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s,x(s))\,ds.

Обозначим правую часть $(Ax)(t)$ ; оператор $A$ переводит $C[t_0,T]$ в себя. Как для уравнения Вольтерра, индукцией получаем

|(A^nx)(t) - (A^ny)(t)|\le\frac{L^n(t-t_0)^n}{n!}\rho(x,y),

так как $|(Ax)(t) - (Ay)(t)|\le L\int_{t_0}^t|x(s) - y(s)|\,ds$ . При больших $n$ отображение $A^n$ — сжатие полного пространства $C[t_0,T]$ ; применяем теорему об отображении, степень которого — сжатие. $\blacksquare$

Разрешимость уравнения Фредгольма при малых λ

Формулировка

Пусть $M = \max|K(t,s)|$ . При $|\lambda| < \dfrac{1}{M(b-a)}$ уравнение Фредгольма второго рода имеет в $C[a,b]$ единственное решение, и его можно найти методом последовательных приближений.

Доказательство

Развернуть

Оператор $(Ax)(t) = \lambda\int_a^bK(t,s)x(s)\,ds + f(t)$ переводит $C[a,b]$ в себя: ядро равномерно непрерывно, поэтому интеграл непрерывно зависит от $t$ . Далее,

|(Ax)(t) - (Ay)(t)|\le|\lambda|\int_a^b|K(t,s)|\,|x(s) - y(s)|\,ds\le|\lambda|M(b-a)\rho(x,y).

При указанном $\lambda$ это сжатие полного пространства $C[a,b]$ ; применяем принцип сжимающих отображений. $\blacksquare$

Применение принципа сжимающих отображений к системам линейных уравнений

Формулировка

Система $x = Cx + b$ в $\mathbb R^n$ имеет единственное решение, к которому сходятся итерации $x_{k+1} = Cx_k + b$ при любом $x_0$ , если выполнено хотя бы одно из условий:

\max_i\sum_j|c_{ij}| < 1,\qquad \max_j\sum_i|c_{ij}| < 1,\qquad \sum_{i,j}c_{ij}^2 < 1.

Доказательство

Развернуть

Пространства $\mathbb R^n_p$ полны. Проверим, что $Ax = Cx + b$ — сжатие при соответствующей метрике.

В $\rho_\infty$ : $|(Cx - Cy)_i|\le\sum_j|c_{ij}|\,|x_j - y_j|\le\left(\sum_j|c_{ij}|\right)\rho_\infty(x,y)$ .
В $\rho_1$ : $\sum_i\left|\sum_jc_{ij}(x_j - y_j)\right|\le\sum_j\left(\sum_i|c_{ij}|\right)|x_j - y_j|\le\max_j\sum_i|c_{ij}|\cdot\rho_1(x,y)$ .
В $\rho_2$ : по неравенству Коши–Буняковского $\left(\sum_jc_{ij}(x_j - y_j)\right)^2\le\sum_jc_{ij}^2\cdot\rho_2(x,y)^2$ ; суммируем по $i$ .

Остаётся применить принцип сжимающих отображений. $\blacksquare$

Свойства оператора Вольтерра и разрешимость уравнения Вольтерра

Формулировка

Пусть $M = \max|K(t,s)|$ .

Для степеней оператора Вольтерра при всех $z\in C[a,b]$ , $t\in[a,b]$

|(V^nz)(t)|\le\frac{M^n(t-a)^n}{n!}\max_{[a,b]}|z|.

Уравнение Вольтерра второго рода имеет единственное решение в $C[a,b]$ при любом $\lambda$ , и метод последовательных приближений сходится.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n$ . При $n = 0$ неравенство очевидно. Если оно верно для $n-1$ , то

|(V^nz)(t)|\le M\int_a^t|(V^{n-1}z)(s)|\,ds\le M\int_a^t\frac{M^{n-1}(s-a)^{n-1}}{(n-1)!}\max|z|\,ds = \frac{M^n(t-a)^n}{n!}\max|z|.

Пусть $Ax = \lambda Vx + f$ . Тогда $Ax - Ay = \lambda V(x - y)$ и по индукции $A^nx - A^ny = \lambda^nV^n(x - y)$ . По п. 1

\rho(A^nx, A^ny)\le\frac{(|\lambda|M(b-a))^n}{n!}\rho(x,y).

Коэффициент стремится к нулю, поэтому при некотором $n$ он меньше $1$ , и $A^n$ — сжатие полного пространства $C[a,b]$ . Применяем теорему об отображении, степень которого — сжатие. $\blacksquare$

Полнота сопряжённого пространства

Формулировка

Для любого нормированного пространства $E$ (не обязательно полного) сопряжённое пространство $E^*$ банахово.

Доказательство

Развернуть

Пусть $f_n$ фундаментальна в $E^*$ : $\|f_n - f_m\| < \varepsilon$ при $n, m\ge N$ . Тогда при каждом $x$ числа $f_n(x)$ образуют фундаментальную последовательность, и существует $f(x) = \lim f_n(x)$ ; $f$ линеен.

Примеры банаховых пространств

Формулировка

С нормами

\|x\|_p = \left(\sum|x_k|^p\right)^{1/p},\quad \|x\|_\infty = \sup_k|x_k|,\quad \|x\|_{C} = \max_{[a,b]}|x(t)|

пространства $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $l_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $c_0$ и $C[a,b]$ банаховы. Пространство $C_p[a,b]$ с нормой $\left(\int_a^b|x|^p\,dt\right)^{1/p}$ — нормированное, но не банахово.

Доказательство

Развернуть

Аксиомы 1–2 нормы очевидны, а неравенство треугольника и порождаемые метрики — это метрики основных метрических пространств. Полнота $\mathbb R^n_p$ , $l_p$ , $l_\infty$ , $C[a,b]$ и неполнота $C_p[a,b]$ доказаны в теме «Полные метрические пространства».

$c_0$ замкнуто в $l_\infty$ : пусть $x^{(n)}\in c_0$ , $\|x^{(n)} - x\|_\infty < \frac\varepsilon2$ , и $|x_k^{(n)}| < \frac\varepsilon2$ при $k > K$ . Тогда $|x_k| < \varepsilon$ при $k > K$ , то есть $x\in c_0$ . Как замкнутое подпространство полного пространства $l_\infty$ , оно полно. $\blacksquare$

Полнота конечномерных пространств и замкнутость конечномерных многообразий

Формулировка

Любое конечномерное нормированное пространство банахово.
Любое конечномерное линейное многообразие нормированного пространства замкнуто, то есть является подпространством.

Доказательство

Развернуть

Норма эквивалентна евклидовой норме координат. Поэтому фундаментальная последовательность имеет фундаментальные координаты, которые сходятся по полноте $\mathbb R^n$ , и последовательность сходится по норме.
Конечномерное многообразие с индуцированной нормой полно по п. 1, а полное подпространство замкнуто. $\blacksquare$

Предельная точка как предел последовательности

Формулировка

$a$ — предельная точка $M$ $\iff$ существует последовательность $x_n\in M$ , $x_n\ne a$ , сходящаяся к $a$ .
$a\in[M]$ $\iff$ существует последовательность $x_n\in M$ , сходящаяся к $a$ .
$M$ замкнуто $\iff$ пределы всех сходящихся последовательностей из $M$ лежат в $M$ .

Доказательство

Развернуть

$\Rightarrow$ : в каждом шаре $B(a, \frac1n)$ выберем точку $x_n\in M$ , $x_n\ne a$ ; тогда $\rho(x_n, a) < \frac1n\to 0$ . $\Leftarrow$ : любой шар $B(a,\varepsilon)$ содержит $x_n$ при больших $n$ , и $x_n\ne a$ .
Если $a\in M$ , берём $x_n = a$ . Если $a\in M'$ , применяем п. 1. Обратно, если $x_n\to a$ , то любой шар $B(a,\varepsilon)$ пересекается с $M$ , а это и означает $a\in[M]$ .
Следует из п. 2: $M$ замкнуто $\iff [M] = M$ . $\blacksquare$

Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества

Формулировка

Пусть $M$ — замкнутое выпуклое множество гильбертова пространства $H$ , $x\in H$ . Тогда существует единственный $y\in M$ с $\|x - y\| = \rho(x,M)$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $d = \rho(x,M)$ и $y_n\in M$ , $\|x - y_n\|^2 < d^2 + \frac1n$ . Применим равенство параллелограмма к $x - y_n$ и $x - y_m$ :

\|y_n - y_m\|^2 = 2\|x - y_n\|^2 + 2\|x - y_m\|^2 - 4\left\|x - \frac{y_n + y_m}{2}\right\|^2.

По выпуклости $\frac{y_n + y_m}2\in M$ , поэтому последнее слагаемое не меньше $4d^2$ , и $\|y_n - y_m\|^2\le\frac2n + \frac2m$ . Последовательность фундаментальна. $M$ замкнуто в полном $H$ и потому полно, так что $y_n\to y\in M$ . По непрерывности нормы $\|x - y\| = d$ .

Единственность. Если $y, y'\in M$ — два ближайших элемента, та же оценка даёт $\|y - y'\|^2\le2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$ . $\blacksquare$

Открытость открытого шара и замкнутость замкнутого

Формулировка

Открытый шар $B(a,r)$ — открытое множество, замкнутый шар $B[a,r]$ — замкнутое множество.

Доказательство

Развернуть

Пусть $x\in B(a,r)$ и $\delta = r - \rho(x,a) > 0$ . Если $\rho(y,x) < \delta$ , то $\rho(y,a)\le\rho(y,x) + \rho(x,a) < r$ , то есть $B(x,\delta)\subset B(a,r)$ .

Пусть $b\notin B[a,r]$ , то есть $\rho(b,a) > r$ , и $\delta = \rho(b,a) - r$ . Для $x\in B(b,\delta)$ имеем $\rho(x,a)\ge\rho(b,a) - \rho(b,x) > r$ . Значит, окрестность $B(b,\delta)$ не содержит точек $B[a,r]$ , и $b$ не является его предельной точкой. Следовательно, все предельные точки $B[a,r]$ лежат в нём. $\blacksquare$

Теорема Бэра о категории

Формулировка

Полное метрическое пространство нельзя представить в виде счётного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство

Развернуть

Пусть $X = \bigcup_nM_n$ , все $M_n$ нигде не плотны. Замыкание $[M_1]$ не содержит шаров, поэтому найдётся замкнутый шар $B_1$ радиуса $r_1 < 1$ , не пересекающийся с $[M_1]$ . Внутри $B_1$ найдётся замкнутый шар $B_2$ радиуса $r_2 < \frac12$ , не пересекающийся с $[M_2]$ , и т. д.

Получаем вложенные замкнутые шары с радиусами $r_n\to 0$ . По теореме о вложенных шарах у них есть общая точка $x$ . Она не лежит ни в одном $M_n$ , что противоречит $X = \bigcup M_n$ . $\blacksquare$

Неравенство четырёхугольника. Непрерывность метрики

Формулировка

Для любых $x, y, x', y'\in X$ :

|\rho(x,z) - \rho(y,z)| \le \rho(x,y),\qquad |\rho(x,y) - \rho(x',y')| \le \rho(x,x') + \rho(y,y').

Следовательно, если $x_n\to x$ , $y_n\to y$ , то $\rho(x_n, y_n)\to\rho(x,y)$ .

Доказательство

Развернуть

По неравенству треугольника $\rho(x,z)\le\rho(x,y) + \rho(y,z)$ , то есть $\rho(x,z) - \rho(y,z)\le\rho(x,y)$ . Меняя $x$ и $y$ местами, получаем первое неравенство.

Применяя его дважды:

|\rho(x,y) - \rho(x',y')| \le |\rho(x,y) - \rho(x',y)| + |\rho(x',y) - \rho(x',y')| \le \rho(x,x') + \rho(y,y').

Последнее утверждение сразу следует из второго неравенства. $\blacksquare$

Плотные множества в Lₚ[a, b]. Lₚ как пополнение Cₚ

Формулировка

В $L_p[a, b]$ , $1\le p < \infty$ , всюду плотны множества ограниченных измеримых функций, простых функций с конечным числом значений, ступенчатых функций и непрерывных функций. Следовательно, $L_p[a, b]$ — пополнение пространства $C_p[a, b]$ , и оно сепарабельно.

Доказательство

Развернуть

Срезки $f_N = f\chi_{\{|f|\le N\}}$ ограничены, $|f - f_N|^p\le|f|^p$ и $f - f_N\to 0$ всюду. По теореме Лебега $\|f - f_N\|_p\to 0$ .
Ограниченная $f$ равномерно приближается простыми функциями $g$ с конечным числом значений, и $\|f - g\|_p\le(b - a)^{1/p}\sup|f - g|$ .
Простая функция — линейная комбинация характеристических функций $\chi_e$ измеримых множеств. По определению измеримости найдётся конечное объединение полуинтервалов $B$ с $\mu(e\mathbin\triangle B) < \varepsilon$ . Тогда $\|\chi_e - \chi_B\|_p = \mu(e\mathbin\triangle B)^{1/p}$ , а $\chi_B$ — ступенчатая функция.
$\chi_{[c, d)}$ приближается непрерывной «трапецией», отличающейся от неё лишь на множестве меры $2\eta$ и не превосходящей $1$ по модулю. Расстояние в $L_p$ не больше $(2\eta)^{1/p}$ .

Итак, $C_p[a, b]$ плотно в полном пространстве $L_p[a, b]$ , и по теореме о пополнении (единственность) $L_p$ — пополнение $C_p$ . Ступенчатые функции с рациональными точками разрыва и значениями образуют счётное всюду плотное множество. $\blacksquare$

Полные метрические пространства

Свойства фундаментальных последовательностей

Формулировка

Доказательство

Полнота основных пространств

Формулировка

Доказательство

Неполнота пространств Cₚ[a,b] и ℚ

Формулировка

Доказательство

Полнота и замкнутость подпространства

Формулировка

Доказательство

Теорема о вложенных шарах

Формулировка

Доказательство

Теорема о пополнении

Формулировка

Доказательство

Неполная метрика на натуральных числах

Условие

Решение

Полнота подпространства функций, обращающихся в нуль

Условие

Решение

Вложенные шары с пустым пересечением в ℚ

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Фундаментальная последовательность в метрическом пространстве

Полное метрическое пространство

Изометрия

Пополнение метрического пространства

Сходимость в метрическом пространстве

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

Подпространство метрического пространства

Предельная точка. Замыкание. Замкнутое множество

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Свойства сходящихся последовательностей в метрическом пространстве

Формулировка

Доказательство

Продолжение ограниченного оператора по непрерывности

Формулировка

Доказательство

Критерий компактности Хаусдорфа

Формулировка

Доказательство

Ограниченное замкнутое множество может быть некомпактным

Формулировка

Доказательство

Принцип сжимающих отображений

Формулировка

Доказательство

Абсолютно сходящиеся ряды в банаховом пространстве

Формулировка

Доказательство

Критерий Коши сходимости ряда в банаховом пространстве

Формулировка

Доказательство

Критерий Коши сходимости числовой последовательности

Формулировка

Доказательство

Сходимость в основных метрических пространствах

Формулировка

Доказательство

Неравенство Минковского

Формулировка

Доказательство

Теорема Арцела–Асколи

Формулировка

Доказательство

Критерий относительной компактности в lₚ

Формулировка

Доказательство

Существование и единственность решения задачи Коши

Формулировка