Компактные множества

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Компактные множества замкнуты и ограничены
Компактность в ℝⁿ
Ограниченное замкнутое множество может быть некомпактным
Непрерывные отображения на компактных множествах
Критерий компактности Хаусдорфа
Теорема Арцела–Асколи
Критерий относительной компактности в lₚ

теорема

Компактные множества замкнуты и ограничены

Формулировка

Относительно компактное множество ограничено.
Компактное множество замкнуто и ограничено.
Замкнутое подмножество компактного множества компактно.

Доказательство

Развернуть

Если $M$ не ограничено, выберем $x_n\in M$ с $\rho(x_n,x_1) > n$ . Любая подпоследовательность не ограничена и потому не сходится.
Ограниченность — п. 1. Пусть $a\in[K]$ и $x_n\in K$ , $x_n\to a$ . Некоторая подпоследовательность сходится к точке $K$ , а с другой стороны — к $a$ . По единственности предела $a\in K$ .
Пусть $F\subset K$ замкнуто, $x_n\in F$ . Подпоследовательность сходится к точке $K$ , а по замкнутости $F$ предел лежит в $F$ . $\blacksquare$

теорема

Компактность в ℝⁿ

Формулировка

В $\mathbb R^n_p$ множество относительно компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, и компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Доказательство

Развернуть

Необходимость следует из ограниченности относительно компактных множеств. Пусть $M$ ограничено и $\{x^{(m)}\}\subset M$ . Координаты ограничены. По теореме Больцано–Вейерштрасса из курса анализа выделим подпоследовательность, у которой сходится первая координата, из неё — подпоследовательность, у которой сходится вторая, и т.д. После $n$ шагов все координаты сходятся, а это сходимость в $\mathbb R^n_p$ . Если $M$ ещё и замкнуто, предел лежит в $M$ . $\blacksquare$

теорема

Ограниченное замкнутое множество может быть некомпактным

Формулировка

Замкнутые единичные шары в $l_2$ и в $C[0,1]$ ограничены и замкнуты, но не компактны.

Доказательство

Развернуть

$l_2$ . Векторы $e_k$ лежат в шаре, и $\rho(e_k, e_j) = \sqrt2$ при $k\ne j$ . Ни одна подпоследовательность не фундаментальна, поэтому не сходится.

$C[0,1]$ . Функции $x_n(t) = t^n$ лежат в шаре. Если бы подпоследовательность сходилась в $C[0,1]$ , то равномерно и, значит, поточечно. Но поточечный предел равен $0$ при $t < 1$ и $1$ при $t = 1$ — разрывная функция. Противоречие. $\blacksquare$

теорема

Непрерывные отображения на компактных множествах

Формулировка

Пусть $K$ — компактное множество, $f$ непрерывно на $K$ . Тогда:

$f(K)$ компактно;
(Вейерштрасс) если $f$ — вещественная функция, то она ограничена на $K$ и достигает на $K$ наибольшего и наименьшего значений;
(Кантор) $f$ равномерно непрерывно на $K$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $y_n = f(x_n)$ , $x_n\in K$ . Выделим $x_{n_k}\to x\in K$ . По непрерывности (в форме Гейне) $f(x_{n_k})\to f(x)\in f(K)$ .
$f(K)\subset\mathbb R$ компактно, значит, замкнуто и ограничено, и поэтому содержит свои точную верхнюю и нижнюю грани.
Пусть это не так: найдутся $\varepsilon > 0$ и $x_n, x_n'\in K$ с $\rho(x_n,x_n') < \frac1n$ и $\rho(f(x_n),f(x_n'))\ge\varepsilon$ . Выделим $x_{n_k}\to x\in K$ ; тогда и $x_{n_k}'\to x$ . По непрерывности оба образа стремятся к $f(x)$ , что противоречит $\rho(f(x_{n_k}),f(x_{n_k}'))\ge\varepsilon$ . $\blacksquare$

теорема

Критерий компактности Хаусдорфа

Формулировка

В любом метрическом пространстве относительно компактное множество вполне ограничено.
В полном метрическом пространстве вполне ограниченное множество относительно компактно.

Следовательно, в полном метрическом пространстве множество относительно компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено, и компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.

Доказательство

Развернуть

Пусть для некоторого $\varepsilon$ у $M$ нет конечной $\varepsilon$ -сети. Выберем $x_1\in M$ . Так как $\{x_1\}$ — не $\varepsilon$ -сеть, найдётся $x_2\in M$ с $\rho(x_2,x_1)\ge\varepsilon$ . Продолжая, получим $x_n\in M$ с $\rho(x_n,x_i)\ge\varepsilon$ при всех $i < n$ . У такой последовательности нет фундаментальных, а значит, и сходящихся подпоследовательностей.
Пусть $\{x_n\}\subset M$ . Конечная $1$ -сеть покрывает $M$ конечным числом шаров радиуса $1$ , и в одном из них лежит бесконечная подпоследовательность $\{x_n^{(1)}\}$ . Из неё так же выделим подпоследовательность $\{x_n^{(2)}\}$ , лежащую в шаре радиуса $\frac12$ , и т.д. Диагональная последовательность $y_k = x_k^{(k)}$ фундаментальна: при $m > k$ точки $y_k, y_m$ лежат в одном шаре радиуса $\frac1k$ , и $\rho(y_k,y_m) < \frac2k$ . По полноте она сходится.

Следствие: компактное множество замкнуто. Обратно, если $M$ замкнуто и относительно компактно, пределы подпоследовательностей лежат в $M$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Арцела–Асколи

Формулировка

Множество $M\subset C[a,b]$ относительно компактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Доказательство

Развернуть

Пространство $C[a,b]$ полно, поэтому достаточно сравнить условия с полной ограниченностью.

Необходимость. Пусть $x_1,\dots,x_m$ — конечная $\frac\varepsilon3$ -сеть для $M$ .

Равномерная ограниченность: $|x(t)|\le\max_i\max_t|x_i(t)| + \frac\varepsilon3$ .
Равностепенная непрерывность: каждая $x_i$ равномерно непрерывна; возьмём $\delta = \min_i\delta_i$ . Для $x\in M$ выберем $x_i$ с $\rho(x,x_i) < \frac\varepsilon3$ . При $|t - s| < \delta$

|x(t) - x(s)|\le|x(t) - x_i(t)| + |x_i(t) - x_i(s)| + |x_i(s) - x(s)| < \varepsilon.

Достаточность. Пусть $|x(t)|\le C$ , а $\delta$ соответствует $\frac\varepsilon4$ в определении равностепенной непрерывности. Разобьём $[a,b]$ точками $t_0 < \dots < t_n$ с шагом меньше $\delta$ , а отрезок $[-C,C]$ — уровнями $y_0,\dots,y_m$ с шагом не больше $\frac\varepsilon4$ . Рассмотрим конечное множество ломаных $\varphi$ с вершинами $(t_i, y_{j_i})$ .

Для $x\in M$ выберем в каждом узле уровень $y_{j_i}$ с $|x(t_i) - y_{j_i}|\le\frac\varepsilon8$ и построим ломаную $\varphi$ . При $t\in[t_i,t_{i+1}]$ значение $\varphi(t)$ лежит между $\varphi(t_i)$ и $\varphi(t_{i+1})$ , поэтому

|\varphi(t) - \varphi(t_i)|\le|\varphi(t_{i+1}) - \varphi(t_i)|\le\frac\varepsilon8 + \frac\varepsilon4 + \frac\varepsilon8 = \frac\varepsilon2,

|x(t) - \varphi(t)|\le|x(t) - x(t_i)| + |x(t_i) - \varphi(t_i)| + |\varphi(t_i) - \varphi(t)| < \frac\varepsilon4 + \frac\varepsilon8 + \frac\varepsilon2 < \varepsilon.

Итак, ломаные образуют конечную $\varepsilon$ -сеть. $\blacksquare$

теорема

Критерий относительной компактности в lₚ

Формулировка

Множество $M\subset l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) относительно компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и остатки равномерно малы: для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $N$ такое, что

\sum_{k>N}|x_k|^p < \varepsilon\quad\text{для всех } x\in M.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $\|x\|_{>N} = \left(\sum_{k>N}|x_k|^p\right)^{1/p}$ ; это удовлетворяет неравенству треугольника.

Необходимость. Относительно компактное множество ограничено. Пусть $x^{(1)},\dots,x^{(m)}$ — конечная $\eta$ -сеть. Выберем $N$ так, что $\|x^{(i)}\|_{>N} < \eta$ при всех $i$ . Для $x\in M$ и ближайшего $x^{(i)}$

\|x\|_{>N}\le\|x - x^{(i)}\|_{>N} + \|x^{(i)}\|_{>N} < 2\eta.

Достаточность. Выберем $N$ так, что $\|x\|_{>N} < \frac\varepsilon2$ на $M$ , и рассмотрим срезки $P_Nx = (x_1,\dots,x_N,0,\dots)$ . Множество $P_N(M)$ ограничено в $\mathbb R^N$ и относительно компактно, значит, имеет конечную $\frac\varepsilon2$ -сеть $S$ . Для $x\in M$ и подходящего $s\in S$

\rho(x,s)\le\rho(x,P_Nx) + \rho(P_Nx,s) < \varepsilon.

Пространство $l_p$ полно; применяем критерий Хаусдорфа. $\blacksquare$

Последовательность sin nt не относительно компактна в C[0, π]

Условие

Относительно компактно ли множество $\{\sin nt\}_{n\in\mathbb N}$ в $C[0,\pi]$ ?

Решение

Развернуть

Множество равномерно ограничено ( $|\sin nt|\le1$ ), но не равностепенно непрерывно: для $t_n = \frac{\pi}{2n}$ имеем $|t_n - 0|\to 0$ , а $|\sin(nt_n) - \sin 0| = 1$ . Множество не относительно компактно.

Компактность множества липшицевых функций

Условие

Доказать, что множество $M = \{x\in C[0,1]: |x(t)|\le1,\ |x(t) - x(s)|\le|t - s|\}$ компактно в $C[0,1]$ .

Решение

Развернуть

$M$ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно (подходит $\delta = \varepsilon$ ), поэтому относительно компактно. $M$ замкнуто: оба неравенства сохраняются при равномерном, а значит, и при поточечном предельном переходе. Замкнутое относительно компактное множество компактно.

Компактность гильбертова кирпича

Условие

Доказать, что «гильбертов кирпич» $Q = \{x\in l_2: |x_k|\le\frac1k\}$ компактен в $l_2$ .

Решение

Развернуть

$Q$ ограничено: $\|x\|^2\le\sum\frac1{k^2}$ . Остатки равномерно малы: $\sum_{k>N}|x_k|^2\le\sum_{k>N}\frac1{k^2}\to 0$ . По критерию относительной компактности в $l_p$ множество $Q$ относительно компактно. Если $x^{(n)}\to x$ в $l_2$ , то и покоординатно, поэтому $|x_k|\le\frac1k$ , то есть $Q$ замкнуто. Значит, $Q$ компактно.

Ближайшая точка компактного множества

Условие

Пусть $K$ — компактное множество в метрическом пространстве, $x\in X$ . Доказать, что существует $y\in K$ с $\rho(x,y) = \rho(x,K)$ .

Решение

Развернуть

Функция $f(y) = \rho(x,y)$ непрерывна: $|f(y) - f(y')|\le\rho(y,y')$ . По теореме Вейерштрасса она достигает на $K$ наименьшего значения, равного $\rho(x,K)$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Компактное и относительно компактное множество

Множество $K$ метрического пространства $X$ называется компактным, если из любой последовательности его элементов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу $K$ .

Множество $M$ называется относительно компактным (предкомпактным), если из любой последовательности его элементов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в $X$ (предел может не лежать в $M$ ).

ε-сеть. Вполне ограниченное множество

Множество $S\subset X$ называется $\varepsilon$ -сетью для множества $M$ , если для любого $x\in M$ найдётся $s\in S$ с $\rho(x,s) < \varepsilon$ .

Множество $M$ называется вполне ограниченным, если при любом $\varepsilon > 0$ для него существует конечная $\varepsilon$ -сеть. Вполне ограниченное множество ограничено.

Равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность

Множество функций $M\subset C[a,b]$ называется:

равномерно ограниченным, если существует $C$ такое, что $|x(t)|\le C$ для всех $x\in M$ , $t\in[a,b]$ ;
равностепенно непрерывным, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что из $|t - s| < \delta$ следует $|x(t) - x(s)| < \varepsilon$ сразу для всех $x\in M$ .

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Пусть $a\in X$ , $r > 0$ .

Открытый шар: $B(a, r) = \{x\in X: \rho(x,a) < r\}$ ; замкнутый шар: $B[a, r] = \{x\in X: \rho(x,a)\le r\}$ . Шар $B(a,\varepsilon)$ называют также $\varepsilon$ -окрестностью точки $a$ .
Множество $M\subset X$ ограничено, если оно содержится в некотором шаре.
Диаметр множества: $\operatorname{diam} M = \sup_{x,y\in M}\rho(x,y)$ .
Расстояние от точки до множества: $\rho(x, M) = \inf_{y\in M}\rho(x,y)$ .

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространство $\mathbb R^n_p$ — множество упорядоченных наборов $x = (x_1, \dots, x_n)$ с метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\sum_{k=1}^n |x_k - y_k|^p\right)^{1/p},\quad p\ge 1, \qquad \rho_\infty(x,y) = \max_{1\le k\le n}|x_k - y_k|.

При $p = 2$ получается евклидова метрика.

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

$l_p$ , $1\le p<\infty$ , — множество числовых последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ с $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < \infty$ и метрикой

\rho(x,y) = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^p\right)^{1/p}.

$l_\infty$ (обозначается также $m$ ) — множество ограниченных последовательностей с метрикой $\rho(x,y) = \sup_k |x_k - y_k|$ .
$c_0$ — множество последовательностей, сходящихся к нулю, с той же метрикой, что в $l_\infty$ .

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

$C[a,b]$ — множество функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$ , с равномерной (чебышёвской) метрикой

\rho(x, y) = \max_{t\in[a,b]}|x(t) - y(t)|.

$C_p[a,b]$ , $p\ge 1$ , — то же множество функций с интегральной метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\int_a^b |x(t) - y(t)|^p\,dt\right)^{1/p}.

Непрерывное отображение метрических пространств

Отображение $f\colon X\to Y$ метрических пространств непрерывно в точке $x_0$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что из $\rho_X(x, x_0) < \delta$ следует $\rho_Y(f(x), f(x_0)) < \varepsilon$ . Отображение непрерывно, если оно непрерывно в каждой точке. Отображение равномерно непрерывно, если $\delta$ можно выбрать не зависящим от $x_0$ .

Прообраз множества $G\subset Y$ : $f^{-1}(G) = \{x\in X: f(x)\in G\}$ .

Полное метрическое пространство

Метрическое пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.

Свойства сходящихся последовательностей в метрическом пространстве

Формулировка

Последовательность в метрическом пространстве имеет не более одного предела.
Сходящаяся последовательность ограничена.
Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\to x$ и $x_n\to y$ , то $\rho(x,y)\le\rho(x,x_n) + \rho(x_n,y)\to 0$ , значит, $\rho(x,y) = 0$ и $x = y$ .
Найдётся $N$ с $\rho(x_n, x) < 1$ при $n > N$ . Положим $r = 1 + \max\{1, \rho(x_1,x), \dots, \rho(x_N, x)\}$ . Тогда все $x_n$ лежат в шаре $B(x, r)$ .
Если $\rho(x_n, x) < \varepsilon$ при $n > N$ , то и $\rho(x_{n_k}, x) < \varepsilon$ при $n_k > N$ . $\blacksquare$

Предельная точка как предел последовательности

Формулировка

$a$ — предельная точка $M$ $\iff$ существует последовательность $x_n\in M$ , $x_n\ne a$ , сходящаяся к $a$ .
$a\in[M]$ $\iff$ существует последовательность $x_n\in M$ , сходящаяся к $a$ .
$M$ замкнуто $\iff$ пределы всех сходящихся последовательностей из $M$ лежат в $M$ .

Доказательство

Развернуть

$\Rightarrow$ : в каждом шаре $B(a, \frac1n)$ выберем точку $x_n\in M$ , $x_n\ne a$ ; тогда $\rho(x_n, a) < \frac1n\to 0$ . $\Leftarrow$ : любой шар $B(a,\varepsilon)$ содержит $x_n$ при больших $n$ , и $x_n\ne a$ .
Если $a\in M$ , берём $x_n = a$ . Если $a\in M'$ , применяем п. 1. Обратно, если $x_n\to a$ , то любой шар $B(a,\varepsilon)$ пересекается с $M$ , а это и означает $a\in[M]$ .
Следует из п. 2: $M$ замкнуто $\iff [M] = M$ . $\blacksquare$

Простейшие свойства компактных операторов

Формулировка

Компактный оператор ограничен.
Ограниченный конечномерный оператор компактен.
Линейная комбинация компактных операторов компактна.
Произведение компактного оператора на ограниченный (в любом порядке) компактно.
В бесконечномерном пространстве тождественный оператор не компактен.

Доказательство

Развернуть

Образ единичного шара относительно компактен, а значит, ограничен.
Образ ограниченного множества ограничен и лежит в конечномерном пространстве, где ограниченные множества относительно компактны.
Для $\alpha A + \beta B$ выбираем подпоследовательность дважды.
Ограниченный оператор переводит ограниченные множества в ограниченные, а сходящиеся последовательности — в сходящиеся.
Единичный шар бесконечномерного пространства не относительно компактен. $\blacksquare$

Сходимость в основных метрических пространствах

Формулировка

В $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ) сходимость равносильна покоординатной.
Сходимость в $C[a,b]$ — это равномерная сходимость на $[a,b]$ .
Из сходимости в $C[a,b]$ следует сходимость в $C_p[a,b]$ ; обратное неверно.
Из сходимости в $l_p$ следует покоординатная сходимость; обратное неверно.

Доказательство

Развернуть

Для любой координаты $|x_k - y_k|\le\rho_p(x,y)\le n^{1/p}\max_k|x_k - y_k|$ .
Неравенство $\max_t|x_n(t) - x(t)| < \varepsilon$ при $n > N$ — определение равномерной сходимости.
$\rho_p(x,y)\le(b-a)^{1/p}\rho(x,y)$ . Обратное неверно: на $[0,1]$ для $x_n(t) = t^n$

\rho_p(x_n, 0)^p = \int_0^1 t^{np}\,dt = \frac{1}{np + 1}\to 0,\quad\text{но}\quad \rho(x_n, 0) = \max_{[0,1]} t^n = 1.

$|x_k^{(n)} - x_k|\le\rho(x^{(n)}, x)$ . Обратное неверно: последовательность $e_n = (0,\dots,0,1,0,\dots)$ (единица на $n$ -м месте) сходится к нулю покоординатно, но $\rho(e_n, 0) = 1$ . $\blacksquare$

Эквивалентность норм в конечномерном пространстве

Формулировка

В конечномерном линейном пространстве любые две нормы эквивалентны.

Доказательство

Развернуть

Пусть $e_1,\dots,e_n$ — базис, $x = \sum\xi_ie_i$ , $|\xi|_2 = \left(\sum\xi_i^2\right)^{1/2}$ . Достаточно показать, что любая норма $\|\cdot\|$ эквивалентна $|\xi|_2$ .

Оценка сверху. По неравенству Коши–Буняковского

\|x\|\le\sum|\xi_i|\,\|e_i\|\le\beta|\xi|_2,\qquad\beta = \left(\sum\|e_i\|^2\right)^{1/2}.

Оценка снизу. Единичная сфера $S = \{|\xi|_2 = 1\}$ замкнута и ограничена, а значит, компактна. По теореме Вейерштрасса $\varphi$ достигает на ней минимума $\alpha$ . При этом $\alpha > 0$ , так как $\sum\xi_ie_i\ne0$ при $\xi\ne0$ . По однородности $\alpha|\xi|_2\le\|x\|\le\beta|\xi|_2$ для всех $x$ . $\blacksquare$

Компактность в конечномерных пространствах

Формулировка

В конечномерном нормированном пространстве ограниченные множества относительно компактны, а замкнутые ограниченные множества компактны.

Доказательство

Развернуть

Ограниченность и сходимость по норме равносильны ограниченности и сходимости векторов координат в $\mathbb R^n_2$ . Остаётся воспользоваться критерием компактности в $\mathbb R^n$ . $\blacksquare$

Свойства фундаментальных последовательностей

Формулировка

Сходящаяся последовательность фундаментальна.
Фундаментальная последовательность ограничена.
Если у фундаментальной последовательности есть подпоследовательность, сходящаяся к $x$ , то и вся последовательность сходится к $x$ .

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\to x$ , то $\rho(x_n,x_m)\le\rho(x_n,x) + \rho(x,x_m) < \varepsilon$ при больших $n,m$ .
При $n > N$ имеем $\rho(x_n, x_{N+1}) < 1$ ; дальше рассуждаем так же, как для сходящейся последовательности.
Пусть $x_{n_k}\to x$ . При $n, n_k > N$ имеем $\rho(x_n, x)\le\rho(x_n, x_{n_k}) + \rho(x_{n_k}, x) < \varepsilon + \rho(x_{n_k}, x)$ . Переходя к пределу по $k$ , получаем $\rho(x_n,x)\le\varepsilon$ . $\blacksquare$

Эквивалентные определения непрерывности

Формулировка

Отображение $f\colon X\to Y$ непрерывно в точке $x_0$ (по Коши) тогда и только тогда, когда для любой последовательности $x_n\to x_0$ выполнено $f(x_n)\to f(x_0)$ (по Гейне).
$f$ непрерывно на $X$ $\iff$ прообраз любого открытого множества открыт $\iff$ прообраз любого замкнутого множества замкнут.

Доказательство

Развернуть

$\Rightarrow$ : по $\varepsilon$ найдём $\delta$ ; при больших $n$ имеем $\rho(x_n, x_0) < \delta$ , значит, $\rho(f(x_n), f(x_0)) < \varepsilon$ . $\Leftarrow$ : если $f$ не непрерывна, найдётся $\varepsilon > 0$ такое, что для каждого $n$ есть $x_n$ с $\rho(x_n,x_0) < \frac1n$ и $\rho(f(x_n), f(x_0))\ge\varepsilon$ . Тогда $x_n\to x_0$ , но $f(x_n)\not\to f(x_0)$ .
Пусть $f$ непрерывно, $G$ открыто, $x\in f^{-1}(G)$ . Тогда $B(f(x),\varepsilon)\subset G$ при некотором $\varepsilon$ , и по непрерывности $f(B(x,\delta))\subset B(f(x),\varepsilon)$ , то есть $B(x,\delta)\subset f^{-1}(G)$ .

Обратно, шар $B(f(x_0),\varepsilon)$ открыт, поэтому его прообраз открыт и содержит $x_0$ вместе с некоторым шаром $B(x_0,\delta)$ . Это и есть непрерывность в $x_0$ .

Утверждение для замкнутых множеств следует из равенства $f^{-1}(Y\setminus F) = X\setminus f^{-1}(F)$ и двойственности открытых и замкнутых множеств. $\blacksquare$

Предел компактных операторов

Формулировка

Пусть $F$ банахово, $A_n\colon E\to F$ компактны и $\|A_n - A\|\to 0$ . Тогда $A$ компактен. В частности, предел по норме конечномерных операторов компактен.

Доказательство

Развернуть

Пусть $B$ — единичный шар $E$ , $\varepsilon > 0$ . Выберем $n$ с $\|A - A_n\| < \frac\varepsilon3$ . Множество $A_n(B)$ относительно компактно, поэтому имеет конечную $\frac\varepsilon3$ -сеть $y_1, \dots, y_k$ . Для $x\in B$ найдём $y_j$ с $\|A_nx - y_j\| < \frac\varepsilon3$ ; тогда $\|Ax - y_j\| < \frac{2\varepsilon}3$ . Значит, $A(B)$ вполне ограничено, а в полном пространстве $F$ это означает относительную компактность. $\blacksquare$

Полнота основных пространств

Формулировка

Пространства $\mathbb R$ , $\mathbb R^n_p$ ( $1\le p\le\infty$ ), $C[a,b]$ , $l_p$ ( $1\le p<\infty$ ) и $l_\infty$ полны.

Доказательство

Развернуть

$\mathbb R$ — это критерий Коши из курса анализа.

$\mathbb R^n_p$ . Координаты фундаментальной последовательности фундаментальны ( $|x_k - y_k|\le\rho_p(x,y)$ ), поэтому сходятся. Покоординатная сходимость равносильна сходимости в $\mathbb R^n_p$ .

$C[a,b]$ . Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна: $|x_n(t) - x_m(t)| < \varepsilon$ при $n,m > N$ и всех $t$ . При каждом $t$ числовая последовательность $x_n(t)$ фундаментальна, значит, имеет предел $x(t)$ . Переходя к пределу при $m\to\infty$ , получаем $|x_n(t) - x(t)|\le\varepsilon$ при $n > N$ и всех $t$ , то есть сходимость равномерная. Предельная функция непрерывна: при $|t - s| < \delta$ (где $\delta$ выбрано по непрерывности $x_n$ )

|x(t) - x(s)|\le|x(t) - x_n(t)| + |x_n(t) - x_n(s)| + |x_n(s) - x(s)| < 3\varepsilon.

Итак, $x\in C[a,b]$ и $\rho(x_n, x)\le\varepsilon$ при $n > N$ .

$l_p$ . Координаты фундаментальны и сходятся: $x_k^{(n)}\to x_k$ . При $n, m > N$ и любом $K$ имеем $\sum_{k=1}^K|x_k^{(n)} - x_k^{(m)}|^p < \varepsilon^p$ . Переходим к пределу сначала при $m\to\infty$ , затем при $K\to\infty$ :

\sum_{k=1}^\infty|x_k^{(n)} - x_k|^p\le\varepsilon^p.

Значит, $x^{(n)} - x\in l_p$ , и по неравенству Минковского $x = x^{(n)} - (x^{(n)} - x)\in l_p$ , причём $\rho(x^{(n)}, x)\le\varepsilon$ .

$l_\infty$ — так же, с супремумом вместо суммы. $\blacksquare$

Компактность интегральных операторов в C[a, b]

Формулировка

Интегральные операторы Фредгольма $(Ax)(t) = \int_a^bK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным на квадрате ядром и Вольтерра $(Vx)(t) = \int_a^tK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным на треугольнике ядром компактны в $C[a, b]$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\|x\|\le 1$ , $M = \max|K|$ , $\omega(\delta)$ — модуль непрерывности ядра. Тогда $|(Ax)(t)|\le M(b - a)$ и

|(Ax)(t_1) - (Ax)(t_2)|\le\int_a^b|K(t_1, s) - K(t_2, s)|\,ds\le(b - a)\,\omega(|t_1 - t_2|).

Образ единичного шара равномерно ограничен и равностепенно непрерывен, и по теореме Арцела–Асколи относительно компактен.

Для $V$ при $t_1 < t_2$ :

|(Vx)(t_2) - (Vx)(t_1)|\le\int_a^{t_1}|K(t_2, s) - K(t_1, s)|\,ds + \int_{t_1}^{t_2}|K(t_2, s)|\,ds\le(b - a)\,\omega(t_2 - t_1) + M(t_2 - t_1).\qquad\blacksquare

Неравенство Минковского

Формулировка

При $p\ge 1$

\left(\sum_{k=1}^n|x_k + y_k|^p\right)^{1/p} \le \left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{k=1}^n|y_k|^p\right)^{1/p}.

То же верно для рядов (если ряды справа сходятся, то сходится и ряд слева) и для интегралов от непрерывных функций.

Доказательство

Развернуть

При $p = 1$ это неравенство треугольника для модулей. Пусть $p > 1$ и $S = \sum|x_k + y_k|^p$ . Тогда

S \le \sum|x_k|\,|x_k + y_k|^{p-1} + \sum|y_k|\,|x_k + y_k|^{p-1}.

Применим к каждой сумме неравенство Гёльдера и учтём, что $(p-1)q = p$ :

S \le \left[\left(\sum|x_k|^p\right)^{1/p} + \left(\sum|y_k|^p\right)^{1/p}\right] S^{1/q}.

При $S > 0$ делим на $S^{1/q}$ и получаем $S^{1 - 1/q} = S^{1/p}\le\dots$ , что и требовалось.

Для рядов частичные суммы слева ограничены суммой полных рядов справа. Для интегралов рассуждение то же. $\blacksquare$

Неравенство четырёхугольника. Непрерывность метрики

Формулировка

Для любых $x, y, x', y'\in X$ :

|\rho(x,z) - \rho(y,z)| \le \rho(x,y),\qquad |\rho(x,y) - \rho(x',y')| \le \rho(x,x') + \rho(y,y').

Следовательно, если $x_n\to x$ , $y_n\to y$ , то $\rho(x_n, y_n)\to\rho(x,y)$ .

Доказательство

Развернуть

По неравенству треугольника $\rho(x,z)\le\rho(x,y) + \rho(y,z)$ , то есть $\rho(x,z) - \rho(y,z)\le\rho(x,y)$ . Меняя $x$ и $y$ местами, получаем первое неравенство.

Применяя его дважды:

|\rho(x,y) - \rho(x',y')| \le |\rho(x,y) - \rho(x',y)| + |\rho(x',y) - \rho(x',y')| \le \rho(x,x') + \rho(y,y').

Последнее утверждение сразу следует из второго неравенства. $\blacksquare$

Компактные множества

Компактные множества замкнуты и ограничены

Формулировка

Доказательство

Компактность в ℝⁿ

Формулировка

Доказательство

Ограниченное замкнутое множество может быть некомпактным

Формулировка

Доказательство

Непрерывные отображения на компактных множествах

Формулировка

Доказательство

Критерий компактности Хаусдорфа

Формулировка

Доказательство

Теорема Арцела–Асколи

Формулировка

Доказательство

Критерий относительной компактности в lₚ

Формулировка

Доказательство

Последовательность sin nt не относительно компактна в C[0, π]

Условие

Решение

Компактность множества липшицевых функций

Условие

Решение

Компактность гильбертова кирпича

Условие

Решение

Ближайшая точка компактного множества

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Компактное и относительно компактное множество

ε-сеть. Вполне ограниченное множество

Равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность

Шары, ограниченные множества, расстояние до множества

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

Непрерывное отображение метрических пространств

Полное метрическое пространство

Свойства сходящихся последовательностей в метрическом пространстве

Формулировка

Доказательство

Предельная точка как предел последовательности

Формулировка

Доказательство

Простейшие свойства компактных операторов

Формулировка

Доказательство

Сходимость в основных метрических пространствах

Формулировка

Доказательство

Эквивалентность норм в конечномерном пространстве

Формулировка

Доказательство

Компактность в конечномерных пространствах

Формулировка

Доказательство

Свойства фундаментальных последовательностей

Формулировка

Доказательство

Эквивалентные определения непрерывности

Формулировка

Доказательство

Предел компактных операторов

Формулировка

Доказательство

Полнота основных пространств

Формулировка

Доказательство

Компактность интегральных операторов в C[a, b]

Формулировка

Доказательство

Неравенство Минковского

Формулировка