Вполне непрерывные (компактные) операторы

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Простейшие свойства компактных операторов
Предел компактных операторов
Компактность интегральных операторов в C[a, b]
Компактный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся
Компактный оператор в бесконечномерном пространстве не обратим непрерывно
Компактность сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве
Собственные значения компактного оператора

теорема

Простейшие свойства компактных операторов

Формулировка

Компактный оператор ограничен.
Ограниченный конечномерный оператор компактен.
Линейная комбинация компактных операторов компактна.
Произведение компактного оператора на ограниченный (в любом порядке) компактно.
В бесконечномерном пространстве тождественный оператор не компактен.

Доказательство

Развернуть

Образ единичного шара относительно компактен, а значит, ограничен.
Образ ограниченного множества ограничен и лежит в конечномерном пространстве, где ограниченные множества относительно компактны.
Для $\alpha A + \beta B$ выбираем подпоследовательность дважды.
Ограниченный оператор переводит ограниченные множества в ограниченные, а сходящиеся последовательности — в сходящиеся.
Единичный шар бесконечномерного пространства не относительно компактен. $\blacksquare$

теорема

Предел компактных операторов

Формулировка

Пусть $F$ банахово, $A_n\colon E\to F$ компактны и $\|A_n - A\|\to 0$ . Тогда $A$ компактен. В частности, предел по норме конечномерных операторов компактен.

Доказательство

Развернуть

Пусть $B$ — единичный шар $E$ , $\varepsilon > 0$ . Выберем $n$ с $\|A - A_n\| < \frac\varepsilon3$ . Множество $A_n(B)$ относительно компактно, поэтому имеет конечную $\frac\varepsilon3$ -сеть $y_1, \dots, y_k$ . Для $x\in B$ найдём $y_j$ с $\|A_nx - y_j\| < \frac\varepsilon3$ ; тогда $\|Ax - y_j\| < \frac{2\varepsilon}3$ . Значит, $A(B)$ вполне ограничено, а в полном пространстве $F$ это означает относительную компактность. $\blacksquare$

теорема

Компактность интегральных операторов в C[a, b]

Формулировка

Интегральные операторы Фредгольма $(Ax)(t) = \int_a^bK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным на квадрате ядром и Вольтерра $(Vx)(t) = \int_a^tK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным на треугольнике ядром компактны в $C[a, b]$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\|x\|\le 1$ , $M = \max|K|$ , $\omega(\delta)$ — модуль непрерывности ядра. Тогда $|(Ax)(t)|\le M(b - a)$ и

|(Ax)(t_1) - (Ax)(t_2)|\le\int_a^b|K(t_1, s) - K(t_2, s)|\,ds\le(b - a)\,\omega(|t_1 - t_2|).

Образ единичного шара равномерно ограничен и равностепенно непрерывен, и по теореме Арцела–Асколи относительно компактен.

Для $V$ при $t_1 < t_2$ :

|(Vx)(t_2) - (Vx)(t_1)|\le\int_a^{t_1}|K(t_2, s) - K(t_1, s)|\,ds + \int_{t_1}^{t_2}|K(t_2, s)|\,ds\le(b - a)\,\omega(t_2 - t_1) + M(t_2 - t_1).\qquad\blacksquare

теорема

Компактный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся

Формулировка

Если $A$ компактен и $x_n\rightharpoonup x$ , то $Ax_n\to Ax$ по норме. В частности, в гильбертовом пространстве $Ae_n\to 0$ для любой ортонормированной последовательности $e_n$ .

Доказательство

Развернуть

Для $g\in F^*$ функционал $g\circ A$ ограничен, поэтому $g(Ax_n)\to g(Ax)$ , то есть $Ax_n\rightharpoonup Ax$ . Последовательность $x_n$ ограничена (слабо сходящаяся).

Если $Ax_n\not\to Ax$ , то для некоторых $\varepsilon > 0$ и подпоследовательности $\|Ax_{n_k} - Ax\|\ge\varepsilon$ . По компактности из неё выбирается подпоследовательность с $Ax_{n_{k_j}}\to y$ . Тогда и $Ax_{n_{k_j}}\rightharpoonup y$ , а по единственности слабого предела $y = Ax$ — противоречие.

Ортонормированная последовательность слабо сходится к нулю. $\blacksquare$

следствие

Компактный оператор в бесконечномерном пространстве не обратим непрерывно

Формулировка

Если $E$ бесконечномерно и $A\in\mathcal L(E)$ компактен, то $A$ не является непрерывно обратимым. Следовательно, $0\in\sigma(A)$ .

Доказательство

Развернуть

Если бы $A^{-1}$ был ограничен, то тождественный оператор $I = A^{-1}A$ был бы компактен как произведение ограниченного оператора на компактный. Это невозможно в бесконечномерном пространстве. $\blacksquare$

теорема

Компактность сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Оператор $A\in\mathcal L(H)$ компактен тогда и только тогда, когда компактен $A^*$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $A$ компактен, $\|y_n\|\le C$ . Оператор $AA^*$ компактен, и можно считать, что $AA^*y_n$ сходится. Тогда

\|A^*(y_n - y_m)\|^2 = (AA^*(y_n - y_m), y_n - y_m)\le 2C\|AA^*(y_n - y_m)\|\to 0,

так что $A^*y_n$ фундаментальна и сходится. Обратное следует из $A^{**} = A$ . $\blacksquare$

теорема

Собственные значения компактного оператора

Формулировка

Пусть $A$ — компактный оператор в банаховом пространстве. Тогда:

при $\lambda\ne 0$ собственное подпространство $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ конечномерно;
для любого $\delta > 0$ собственных значений с $|\lambda|\ge\delta$ конечное число.

Следовательно, ненулевые собственные значения образуют не более чем счётное множество, которое может накапливаться только к нулю.

Доказательство

Развернуть

На $N = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ оператор действует как $\lambda I$ , поэтому единичный шар $B_N = \frac1\lambda A(B_N)$ относительно компактен. По критерию конечномерности $N$ конечномерно.
Пусть есть бесконечно много различных $\lambda_n$ с $|\lambda_n|\ge\delta$ и собственные элементы $x_n$ . Они линейно независимы, и подпространства $L_n = \operatorname{span}\{x_1, \dots, x_n\}$ строго возрастают. При этом $AL_n\subset L_n$ и $(A - \lambda_n)L_n\subset L_{n-1}$ . По лемме Рисса возьмём $y_n\in L_n$ , $\|y_n\| = 1$ , $\rho(y_n, L_{n-1})\ge\frac12$ . При $n > m$

Ay_n - Ay_m = \lambda_ny_n - \bigl[(\lambda_n - A)y_n + Ay_m\bigr],

где скобка лежит в $L_{n-1}$ . Поэтому $\|Ay_n - Ay_m\|\ge|\lambda_n|\cdot\frac12\ge\frac\delta2$ , и у ограниченной последовательности $y_n$ образы не имеют сходящейся подпоследовательности — противоречие с компактностью. $\blacksquare$

Диагональный оператор в l₂

Условие

Пусть $Ae_k = \lambda_ke_k$ в $l_2$ , $(\lambda_k)$ ограничена. Доказать, что $A$ компактен тогда и только тогда, когда $\lambda_k\to 0$ .

Решение

Развернуть

Если $\lambda_k\to 0$ , то конечномерные операторы $A_n$ (оставляющие первые $n$ координат) удовлетворяют $\|A - A_n\| = \sup_{k>n}|\lambda_k|\to 0$ , и $A$ компактен по теореме о пределе.

Если $A$ компактен, то $Ae_k = \lambda_ke_k\to 0$ , так как $e_k\rightharpoonup 0$ . Значит, $|\lambda_k| = \|Ae_k\|\to 0$ .

Оператор умножения на t не компактен

Условие

Доказать, что оператор $(Ax)(t) = tx(t)$ в $L_2[0, 1]$ не компактен.

Решение

Развернуть

Возьмём функции $x_n(t) = 2\sin(2\pi nt)$ при $t\in[\frac12, 1]$ и $x_n(t) = 0$ при $t < \frac12$ . Они образуют ортонормированную систему в $L_2[0, 1]$ : $\int_{1/2}^14\sin^2(2\pi nt)\,dt = 1$ , а $\int_{1/2}^1\sin(2\pi nt)\sin(2\pi mt)\,dt = 0$ при $n\ne m$ . Так как $t\ge\frac12$ на носителе,

\|Ax_n - Ax_m\|^2 = \int_{1/2}^1t^2|x_n - x_m|^2\,dt\ge\frac14\|x_n - x_m\|^2 = \frac12.

У образов нет фундаментальной подпоследовательности, а $x_n$ ограничена. (То же следует из того, что $Ax_n\not\to 0$ при $x_n\rightharpoonup 0$ .)

Компактность оператора Вольтерра

Условие

Доказать, что оператор $(Jx)(t) = \int_0^tx(s)\,ds$ компактен в $C[0, 1]$ , и объяснить, почему $0\in\sigma(J)$ .

Решение

Развернуть

При $\|x\|\le 1$ : $|Jx|\le 1$ и $|(Jx)(t_1) - (Jx)(t_2)|\le|t_1 - t_2|$ . Функции равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, по теореме Арцела–Асколи образ шара относительно компактен.

Компактный оператор в бесконечномерном пространстве не обратим непрерывно, поэтому $0\in\sigma(J)$ . Это согласуется с теоремой о спектре оператора Вольтерра.

Сдвиг не компактен

Условие

Доказать, что правый сдвиг $S_r$ в $l_2$ не компактен.

Решение

Развернуть

$e_n\rightharpoonup 0$ , но $\|S_re_n\| = \|e_{n+1}\| = 1\not\to 0$ . Компактный оператор переводил бы слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Вполне непрерывный (компактный) оператор

Линейный оператор $A\colon E\to F$ называется вполне непрерывным (компактным), если он переводит любое ограниченное множество в относительно компактное. Равносильно: из любой ограниченной последовательности $x_n$ можно выбрать подпоследовательность, для которой $Ax_{n_k}$ сходится.

Оператор называется конечномерным, если его образ конечномерен.

Линейный ограниченный оператор. Норма оператора

Пусть $E$ , $F$ — нормированные пространства. Отображение $A\colon E\to F$ называется линейным оператором, если $A(\alpha x + \beta y) = \alpha Ax + \beta Ay$ . Оператор ограничен, если существует $C$ с $\|Ax\|\le C\|x\|$ для всех $x$ . Нормой ограниченного оператора называется

\|A\| = \sup_{\|x\|\le 1}\|Ax\| = \sup_{x\ne 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}.

Множество ограниченных операторов обозначается $\mathcal L(E, F)$ , $\mathcal L(E) = \mathcal L(E, E)$ . Часто оператор задан лишь на линейном многообразии $D(A)\subset E$ — области определения.

ε-сеть. Вполне ограниченное множество

Множество $S\subset X$ называется $\varepsilon$ -сетью для множества $M$ , если для любого $x\in M$ найдётся $s\in S$ с $\rho(x,s) < \varepsilon$ .

Множество $M$ называется вполне ограниченным, если при любом $\varepsilon > 0$ для него существует конечная $\varepsilon$ -сеть. Вполне ограниченное множество ограничено.

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

$C[a,b]$ — множество функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$ , с равномерной (чебышёвской) метрикой

\rho(x, y) = \max_{t\in[a,b]}|x(t) - y(t)|.

$C_p[a,b]$ , $p\ge 1$ , — то же множество функций с интегральной метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\int_a^b |x(t) - y(t)|^p\,dt\right)^{1/p}.

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра

Уравнение Фредгольма второго рода:

x(t) = \lambda\int_a^b K(t,s)x(s)\,ds + f(t),

где ядро $K$ непрерывно на квадрате $[a,b]^2$ , $f\in C[a,b]$ .

Уравнение Вольтерра второго рода:

x(t) = \lambda\int_a^t K(t,s)x(s)\,ds + f(t),

где $K$ непрерывно на треугольнике $a\le s\le t\le b$ . Интегральный оператор Вольтерра: $(Vx)(t) = \int_a^tK(t,s)x(s)\,ds$ .

Сильная и слабая сходимости

Последовательность $x_n\in E$ сходится сильно к $x$ , если $\|x_n - x\|\to 0$ , и слабо ( $x_n\rightharpoonup x$ ), если

f(x_n)\to f(x)\quad\text{для любого } f\in E^*.

Последовательность функционалов $f_n\in E^*$ сходится слабо* к $f$ , если $f_n(x)\to f(x)$ для любого $x\in E$ .

Обратный оператор

Пусть $A\colon E\to F$ — линейный оператор, взаимно однозначный на области определения. Обратным оператором называется $A^{-1}\colon R(A)\to E$ , где $R(A)$ — образ $A$ , такой что $A^{-1}Ax = x$ . Он линеен.

Оператор $A\in\mathcal L(E, F)$ называется непрерывно обратимым, если $R(A) = F$ , обратный оператор существует и ограничен.

Регулярные значения, резольвента, спектр

Пусть $E$ — комплексное банахово пространство, $A\in\mathcal L(E)$ . Число $\lambda\in\mathbb C$ называется регулярным значением оператора $A$ , если оператор $A - \lambda I$ непрерывно обратим. Оператор

R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}

называется резольвентой. Множество регулярных значений $\rho(A)$ — резольвентное множество, его дополнение $\sigma(A) = \mathbb C\setminus\rho(A)$ — спектр оператора.

Сопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Самосопряжённый оператор

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A\in\mathcal L(H)$ . Сопряжённый оператор $A^*\in\mathcal L(H)$ определяется равенством

(Ax, y) = (x, A^*y)\qquad\text{для всех } x, y\in H.

Оператор называется самосопряжённым, если $A^* = A$ , то есть $(Ax, y) = (x, Ay)$ .

Собственные значения и собственные элементы. Части спектра

Число $\lambda$ называется собственным значением оператора $A$ , если существует $x\ne 0$ с $Ax = \lambda x$ ; такой $x$ называется собственным элементом (вектором), а $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ — собственным подпространством. Множество собственных значений называется точечным спектром.

Остальные точки спектра (где $A - \lambda I$ инъективен, но не непрерывно обратим) образуют непрерывный спектр, если образ $A - \lambda I$ всюду плотен, и остаточный спектр, если не плотен.

Компактность в конечномерных пространствах

Формулировка

В конечномерном нормированном пространстве ограниченные множества относительно компактны, а замкнутые ограниченные множества компактны.

Доказательство

Развернуть

Ограниченность и сходимость по норме равносильны ограниченности и сходимости векторов координат в $\mathbb R^n_2$ . Остаётся воспользоваться критерием компактности в $\mathbb R^n$ . $\blacksquare$

Критерий конечномерности (компактность единичного шара)

Формулировка

Замкнутый единичный шар нормированного пространства $E$ компактен (то есть $E$ локально компактно) тогда и только тогда, когда $E$ конечномерно.

Доказательство

Развернуть

Если $E$ конечномерно, шар замкнут и ограничен, а значит, компактен.

Пусть $E$ бесконечномерно. Возьмём $\|x_1\| = 1$ и $L_1 = \operatorname{span}\{x_1\}$ . Это подпространство, и $L_1\ne E$ . С $\varepsilon = \frac12$ найдётся $x_2$ , $\|x_2\| = 1$ , $\rho(x_2,L_1)\ge\frac12$ . Затем $L_2 = \operatorname{span}\{x_1,x_2\}$ , и так далее.

Получаем последовательность единичных векторов с $\|x_n - x_m\|\ge\frac12$ при $n\ne m$ . У неё нет сходящихся подпоследовательностей, и шар не компактен. $\blacksquare$

Компактные множества замкнуты и ограничены

Формулировка

Относительно компактное множество ограничено.
Компактное множество замкнуто и ограничено.
Замкнутое подмножество компактного множества компактно.

Доказательство

Развернуть

Если $M$ не ограничено, выберем $x_n\in M$ с $\rho(x_n,x_1) > n$ . Любая подпоследовательность не ограничена и потому не сходится.
Ограниченность — п. 1. Пусть $a\in[K]$ и $x_n\in K$ , $x_n\to a$ . Некоторая подпоследовательность сходится к точке $K$ , а с другой стороны — к $a$ . По единственности предела $a\in K$ .
Пусть $F\subset K$ замкнуто, $x_n\in F$ . Подпоследовательность сходится к точке $K$ , а по замкнутости $F$ предел лежит в $F$ . $\blacksquare$

Компактный самосопряжённый оператор имеет собственное значение ±‖A‖

Формулировка

Если $A\ne 0$ — компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве, то одно из чисел $\|A\|$ , $-\|A\|$ является его собственным значением.

Доказательство

Развернуть

По свойству самосопряжённых операторов $\|A\| = \sup_{\|x\|=1}|(Ax, x)|$ . Выберем единичные $x_n$ с $(Ax_n, x_n)\to\lambda$ , $|\lambda| = \|A\|$ (числа $(Ax_n, x_n)$ вещественны). Тогда

\|Ax_n - \lambda x_n\|^2 = \|Ax_n\|^2 - 2\lambda(Ax_n, x_n) + \lambda^2\le 2\lambda^2 - 2\lambda(Ax_n, x_n)\to 0.

По компактности для подпоследовательности $Ax_{n_k}\to y$ . Тогда $\lambda x_{n_k}\to y$ , $\|y\| = |\lambda|\ne 0$ , и $Ay = \lim\lambda Ax_{n_k} = \lambda y$ . $\blacksquare$

Компактность оператора Гильберта–Шмидта

Формулировка

Оператор Гильберта–Шмидта компактен в $L_2[a, b]$ .

Доказательство

Развернуть

Возьмём вырожденные ядра $K_n$ с $\|K - K_n\|_{L_2(Q)}\to 0$ . Соответствующие операторы $A_n$ конечномерны и ограничены, то есть компактны. По оценке нормы оператора Гильберта–Шмидта $\|A - A_n\|\le\|K - K_n\|_{L_2(Q)}\to 0$ , и по теореме о пределе компактных операторов $A$ компактен. $\blacksquare$

Критерий компактности Хаусдорфа

Формулировка

В любом метрическом пространстве относительно компактное множество вполне ограничено.
В полном метрическом пространстве вполне ограниченное множество относительно компактно.

Следовательно, в полном метрическом пространстве множество относительно компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено, и компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.

Доказательство

Развернуть

Пусть для некоторого $\varepsilon$ у $M$ нет конечной $\varepsilon$ -сети. Выберем $x_1\in M$ . Так как $\{x_1\}$ — не $\varepsilon$ -сеть, найдётся $x_2\in M$ с $\rho(x_2,x_1)\ge\varepsilon$ . Продолжая, получим $x_n\in M$ с $\rho(x_n,x_i)\ge\varepsilon$ при всех $i < n$ . У такой последовательности нет фундаментальных, а значит, и сходящихся подпоследовательностей.
Пусть $\{x_n\}\subset M$ . Конечная $1$ -сеть покрывает $M$ конечным числом шаров радиуса $1$ , и в одном из них лежит бесконечная подпоследовательность $\{x_n^{(1)}\}$ . Из неё так же выделим подпоследовательность $\{x_n^{(2)}\}$ , лежащую в шаре радиуса $\frac12$ , и т.д. Диагональная последовательность $y_k = x_k^{(k)}$ фундаментальна: при $m > k$ точки $y_k, y_m$ лежат в одном шаре радиуса $\frac1k$ , и $\rho(y_k,y_m) < \frac2k$ . По полноте она сходится.

Следствие: компактное множество замкнуто. Обратно, если $M$ замкнуто и относительно компактно, пределы подпоследовательностей лежат в $M$ . $\blacksquare$

Теорема Арцела–Асколи

Формулировка

Множество $M\subset C[a,b]$ относительно компактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Доказательство

Развернуть

Пространство $C[a,b]$ полно, поэтому достаточно сравнить условия с полной ограниченностью.

Необходимость. Пусть $x_1,\dots,x_m$ — конечная $\frac\varepsilon3$ -сеть для $M$ .

Равномерная ограниченность: $|x(t)|\le\max_i\max_t|x_i(t)| + \frac\varepsilon3$ .
Равностепенная непрерывность: каждая $x_i$ равномерно непрерывна; возьмём $\delta = \min_i\delta_i$ . Для $x\in M$ выберем $x_i$ с $\rho(x,x_i) < \frac\varepsilon3$ . При $|t - s| < \delta$

|x(t) - x(s)|\le|x(t) - x_i(t)| + |x_i(t) - x_i(s)| + |x_i(s) - x(s)| < \varepsilon.

Достаточность. Пусть $|x(t)|\le C$ , а $\delta$ соответствует $\frac\varepsilon4$ в определении равностепенной непрерывности. Разобьём $[a,b]$ точками $t_0 < \dots < t_n$ с шагом меньше $\delta$ , а отрезок $[-C,C]$ — уровнями $y_0,\dots,y_m$ с шагом не больше $\frac\varepsilon4$ . Рассмотрим конечное множество ломаных $\varphi$ с вершинами $(t_i, y_{j_i})$ .

Для $x\in M$ выберем в каждом узле уровень $y_{j_i}$ с $|x(t_i) - y_{j_i}|\le\frac\varepsilon8$ и построим ломаную $\varphi$ . При $t\in[t_i,t_{i+1}]$ значение $\varphi(t)$ лежит между $\varphi(t_i)$ и $\varphi(t_{i+1})$ , поэтому

|\varphi(t) - \varphi(t_i)|\le|\varphi(t_{i+1}) - \varphi(t_i)|\le\frac\varepsilon8 + \frac\varepsilon4 + \frac\varepsilon8 = \frac\varepsilon2,

|x(t) - \varphi(t)|\le|x(t) - x(t_i)| + |x(t_i) - \varphi(t_i)| + |\varphi(t_i) - \varphi(t)| < \frac\varepsilon4 + \frac\varepsilon8 + \frac\varepsilon2 < \varepsilon.

Итак, ломаные образуют конечную $\varepsilon$ -сеть. $\blacksquare$

Норма интегрального оператора в C[a, b]

Формулировка

Пусть ядро $K(t, s)$ непрерывно на $[a, b]^2$ . Оператор $(Ax)(t) = \int_a^bK(t, s)x(s)\,ds$ ограничен в $C[a, b]$ и

\|A\| = \max_{t\in[a,b]}\int_a^b|K(t, s)|\,ds.

Доказательство

Развернуть

$Ax$ непрерывна по равномерной непрерывности ядра, и $|(Ax)(t)|\le\|x\|\int_a^b|K(t, s)|\,ds$ , так что $\|A\|\le M := \max_tg(t)$ , где $g(t) = \int_a^b|K(t, s)|\,ds$ .

Пусть $g(t_0) = M$ . Положим $x_n(s) = \dfrac{K(t_0, s)}{|K(t_0, s)| + 1/n}$ ; тогда $x_n$ непрерывна и $|x_n|\le 1$ . Так как $\dfrac{K^2}{|K| + \varepsilon}\ge|K| - \varepsilon$ ,

\|Ax_n\|\ge(Ax_n)(t_0) = \int_a^b\frac{K(t_0, s)^2}{|K(t_0, s)| + 1/n}\,ds\ge M - \frac{b - a}n.

Значит, $\|A\|\ge M$ . $\blacksquare$

Ограниченность слабо сходящейся последовательности

Формулировка

Слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве ограничена.
Если $E$ банахово, то слабо* сходящаяся последовательность функционалов из $E^*$ ограничена по норме.

Доказательство

Развернуть

Элементы $\pi x_n\in E^{**} = \mathcal L(E^*, \mathbb R)$ (или $\mathcal L(E^*, \mathbb C)$ ) — ограниченные функционалы на банаховом пространстве $E^*$ , и при каждом $f$ последовательность $(\pi x_n)(f) = f(x_n)$ сходится, а значит, ограничена. По принципу равномерной ограниченности $\|\pi x_n\| = \|x_n\|$ ограничены.
Прямо следует из принципа равномерной ограниченности. $\blacksquare$

Свойства слабой сходимости

Формулировка

Слабый предел единствен.
Из сильной сходимости следует слабая.
Если $x_n\rightharpoonup x$ , то $\|x\|\le\varliminf\|x_n\|$ .
В конечномерном пространстве слабая и сильная сходимости совпадают.

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\rightharpoonup x$ и $x_n\rightharpoonup y$ , то $f(x) = f(y)$ для всех $f$ , и $x = y$ , так как функционалы разделяют точки.
$|f(x_n) - f(x)|\le\|f\|\|x_n - x\|$ .
Возьмём $f$ с $\|f\| = 1$ , $f(x) = \|x\|$ . Тогда $\|x\| = \lim f(x_n)\le\varliminf\|x_n\|$ .
Координатные функционалы в базисе ограничены, и из слабой сходимости следует сходимость координат, то есть сходимость в норме $\sum|x_k|$ , эквивалентной данной. $\blacksquare$

Теорема Гильберта–Шмидта

Формулировка

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$ . Существует конечная или счётная ортонормированная система собственных элементов $e_k$ , $Ae_k = \lambda_ke_k$ , с вещественными $\lambda_k\ne 0$ , $|\lambda_1|\ge|\lambda_2|\ge\dots$ , $\lambda_k\to 0$ (если их бесконечно много), такая что для любого $x\in H$

x = x_0 + \sum_k(x, e_k)e_k,\quad x_0\in\operatorname{Ker}A,\qquad Ax = \sum_k\lambda_k(x, e_k)e_k.

Доказательство

Развернуть

Положим $H_1 = H$ и по предыдущей теореме найдём $e_1$ , $|\lambda_1| = \|A\|$ . Подпространство $H_2 = \{e_1\}^\perp$ инвариантно: $(Ax, e_1) = (x, Ae_1) = \lambda_1(x, e_1) = 0$ при $x\in H_2$ . Сужение $A$ на $H_2$ компактно и самосопряжено. Если оно не нулевое, находим $e_2\in H_2$ с $|\lambda_2| = \|A|_{H_2}\|\le|\lambda_1|$ , и так далее. Процесс обрывается, если на очередном $H_n$ оператор равен нулю.

Если процесс бесконечен, то $e_n\rightharpoonup 0$ , и $|\lambda_n| = \|Ae_n\|\to 0$ по теореме о компактных операторах.

Для $x\in H$ элемент $y_n = x - \sum_{k<n}(x, e_k)e_k$ лежит в $H_n$ , и $\|Ay_n\|\le|\lambda_n|\|y_n\|\le|\lambda_n|\|x\|\to 0$ (или $Ay_n = 0$ при конечном процессе). Значит, $Ax = \sum\lambda_k(x, e_k)e_k$ . Ряд $\sum(x, e_k)e_k$ сходится по неравенству Бесселя и теореме Рисса–Фишера, и для $x_0 = x - \sum(x, e_k)e_k$ по непрерывности $A$ получаем $Ax_0 = 0$ . $\blacksquare$

Спектр компактного самосопряжённого оператора

Формулировка

Ненулевые точки спектра компактного самосопряжённого оператора — это собственные значения $\lambda_k$ из теоремы Гильберта–Шмидта; каждое имеет конечную кратность. В бесконечномерном пространстве $0\in\sigma(A)$ . При $\lambda\ne 0$ , $\lambda\ne\lambda_k$ резольвента имеет вид

R_\lambda f = -\frac{f_0}\lambda + \sum_k\frac{(f, e_k)}{\lambda_k - \lambda}e_k,\qquad f_0 = f - \sum_k(f, e_k)e_k.

Доказательство

Развернуть

Заметим, что $\operatorname{Ker}A\perp e_k$ : при $Ax_0 = 0$ имеем $\lambda_k(x_0, e_k) = (x_0, Ae_k) = (Ax_0, e_k) = 0$ , $\lambda_k\ne 0$ . Поэтому разложение $x = x_0 + \sum c_ke_k$ единственно, $c_k = (x, e_k)$ .

Ищем решение уравнения $(A - \lambda)x = f$ в виде $x = x_0 + \sum c_ke_k$ . По теореме Гильберта–Шмидта $(A - \lambda)x = -\lambda x_0 + \sum(\lambda_k - \lambda)c_ke_k$ , и сравнение с разложением $f$ даёт $x_0 = -f_0/\lambda$ , $c_k = (f, e_k)/(\lambda_k - \lambda)$ .

Конечность кратностей следует из теоремы о собственных значениях компактного оператора, а $0\in\sigma(A)$ — из необратимости компактного оператора. $\blacksquare$

Существование и свойства сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Для любого $A\in\mathcal L(H)$ сопряжённый оператор существует, единствен, и

\|A^*\| = \|A\|,\quad A^{**} = A,\quad(AB)^* = B^*A^*,\quad(\lambda A)^* = \bar\lambda A^*,\quad\|A^*A\| = \|A\|^2.

Доказательство

Развернуть

При фиксированном $y$ функционал $x\mapsto(Ax, y)$ ограничен: $|(Ax, y)|\le\|A\|\|x\|\|y\|$ . По теореме Рисса $(Ax, y) = (x, z)$ для единственного $z =: A^*y$ . Линейность $A^*$ следует из единственности.

$\|A^*y\|^2 = (AA^*y, y)\le\|A\|\|A^*y\|\|y\|$ , откуда $\|A^*\|\le\|A\|$ . Из $(A^*y, x) = (y, Ax)$ следует $A^{**} = A$ , и тогда $\|A\|\le\|A^*\|$ .

$\|A^*A\|\le\|A\|^2$ , а $\|Ax\|^2 = (A^*Ax, x)\le\|A^*A\|\|x\|^2$ . Остальные свойства проверяются подстановкой. $\blacksquare$

Лемма Рисса о почти перпендикуляре

Формулировка

Пусть $L$ — подпространство нормированного пространства $E$ , $L\ne E$ . Тогда для любого $\varepsilon\in(0,1)$ существует $x_\varepsilon\in E$ с $\|x_\varepsilon\| = 1$ и $\rho(x_\varepsilon, L)\ge1 - \varepsilon$ .

Доказательство

Развернуть

Возьмём $x_0\notin L$ , $d = \rho(x_0,L)$ . Тогда $d > 0$ : иначе $x_0\in[L] = L$ . Выберем $y_0\in L$ с $\|x_0 - y_0\| < \frac{d}{1-\varepsilon}$ и положим $x_\varepsilon = \frac{x_0 - y_0}{\|x_0 - y_0\|}$ . Для $y\in L$ элемент $y_0 + \|x_0 - y_0\|y$ лежит в $L$ , поэтому

\|x_\varepsilon - y\| = \frac{\|x_0 - (y_0 + \|x_0 - y_0\|y)\|}{\|x_0 - y_0\|}\ge\frac{d}{\|x_0 - y_0\|} > 1 - \varepsilon.

$\blacksquare$

Свойства собственных элементов

Формулировка

Собственное подпространство $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ ограниченного оператора замкнуто.
Собственные элементы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство

Развернуть

Это ядро ограниченного оператора $A - \lambda I$ , то есть прообраз замкнутого множества $\{0\}$ .
Индукция по числу элементов. Пусть $Ax_k = \lambda_kx_k$ , $k\le n$ , и $\sum_{k\le n}c_kx_k = 0$ . Применим $A - \lambda_nI$ : $\sum_{k<n}c_k(\lambda_k - \lambda_n)x_k = 0$ . По предположению индукции $c_k(\lambda_k - \lambda_n) = 0$ , то есть $c_k = 0$ при $k < n$ . Тогда $c_nx_n = 0$ и $c_n = 0$ . $\blacksquare$

Ненулевой спектр интегрального оператора состоит из собственных значений

Формулировка

Для оператора Гильберта–Шмидта каждая ненулевая точка спектра — собственное значение конечной кратности. Ненулевой спектр не более чем счётен и может накапливаться лишь к нулю.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda\ne 0$ не является собственным значением. Тогда $\mu = 1/\lambda$ не характеристическое число, и по альтернативе Фредгольма уравнение $x - \mu Ax = f$ однозначно разрешимо при любой $f$ . Значит, $A - \lambda I = -\lambda(I - \mu A)$ — биекция банахова пространства, и по теореме Банаха обратный оператор ограничен, то есть $\lambda\in\rho(A)$ . Остальное — теорема о собственных значениях компактного оператора. $\blacksquare$

Вполне непрерывные (компактные) операторы

Простейшие свойства компактных операторов

Формулировка

Доказательство

Предел компактных операторов

Формулировка

Доказательство

Компактность интегральных операторов в C[a, b]

Формулировка

Доказательство

Компактный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся

Формулировка

Доказательство

Компактный оператор в бесконечномерном пространстве не обратим непрерывно

Формулировка

Доказательство

Компактность сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Собственные значения компактного оператора

Формулировка

Доказательство

Диагональный оператор в l₂

Условие

Решение

Оператор умножения на t не компактен

Условие

Решение

Компактность оператора Вольтерра

Условие

Решение

Сдвиг не компактен

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Вполне непрерывный (компактный) оператор

Линейный ограниченный оператор. Норма оператора

ε-сеть. Вполне ограниченное множество

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра

Сильная и слабая сходимости

Обратный оператор

Регулярные значения, резольвента, спектр

Сопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Самосопряжённый оператор

Собственные значения и собственные элементы. Части спектра

Компактность в конечномерных пространствах

Формулировка

Доказательство

Критерий конечномерности (компактность единичного шара)

Формулировка

Доказательство

Компактные множества замкнуты и ограничены

Формулировка

Доказательство

Компактный самосопряжённый оператор имеет собственное значение ±‖A‖

Формулировка

Доказательство

Компактность оператора Гильберта–Шмидта

Формулировка

Доказательство

Критерий компактности Хаусдорфа

Формулировка

Доказательство

Теорема Арцела–Асколи

Формулировка

Доказательство

Норма интегрального оператора в C[a, b]

Формулировка

Доказательство

Ограниченность слабо сходящейся последовательности

Формулировка

Доказательство

Свойства слабой сходимости

Формулировка

Доказательство

Теорема Гильберта–Шмидта

Формулировка

Доказательство

Спектр компактного самосопряжённого оператора