Линейные ограниченные операторы

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Непрерывность и ограниченность линейного оператора
Пространство ограниченных операторов
Нормы матричных операторов
Норма интегрального оператора в C[a, b]
Продолжение ограниченного оператора по непрерывности

теорема

Непрерывность и ограниченность линейного оператора

Формулировка

Линейный оператор $A\colon E\to F$ непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен (и тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле). При этом $\|Ax\|\le\|A\|\|x\|$ .

Доказательство

Развернуть

Дословно повторяет доказательство для функционалов с заменой $|f(x)|$ на $\|Ax\|$ : если $\|Ax_n\| > n\|x_n\|$ , то $y_n = x_n/(n\|x_n\|)\to 0$ , но $\|Ay_n\| > 1$ ; обратно, $\|Ax_n - Ax\|\le C\|x_n - x\|$ . $\blacksquare$

теорема

Пространство ограниченных операторов

Формулировка

$\mathcal L(E, F)$ — нормированное пространство; если $F$ банахово, то $\mathcal L(E, F)$ банахово. Кроме того, $\|AB\|\le\|A\|\|B\|$ , в частности $\|A^n\|\le\|A\|^n$ .

Доказательство

Развернуть

Аксиомы нормы проверяются непосредственно; например, $\|(A + B)x\|\le(\|A\| + \|B\|)\|x\|$ .

$\|ABx\|\le\|A\|\|Bx\|\le\|A\|\|B\|\|x\|$ . $\blacksquare$

теорема

Нормы матричных операторов

Формулировка

Для оператора $A\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ , заданного матрицей $(a_{ij})$ :

\|A\|_{\infty} = \max_i\sum_j|a_{ij}|,\qquad\|A\|_{1} = \max_j\sum_i|a_{ij}|,\qquad\|A\|_{2} = \sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)},

где индекс указывает норму $\rho_\infty$ , $\rho_1$ , $\rho_2$ в обоих пространствах.

Доказательство

Развернуть

$\infty$ : $\left|\sum_ja_{ij}x_j\right|\le\sum_j|a_{ij}|\max|x_j|$ ; равенство достигается при $x_j = \operatorname{sign}a_{i_0j}$ , где $i_0$ — строка с наибольшей суммой.

$1$ : $\sum_i\left|\sum_ja_{ij}x_j\right|\le\sum_j|x_j|\sum_i|a_{ij}|$ ; равенство при $x = e_{j_0}$ .

$2$ : $\|Ax\|^2 = (A^TAx, x)$ . Матрица $A^TA$ симметрична и неотрицательна, в ортонормированном базисе её собственных векторов $(A^TAx, x) = \sum\lambda_kx_k^2\le\lambda_{\max}\|x\|^2$ , с равенством на собственном векторе. $\blacksquare$

теорема

Норма интегрального оператора в C[a, b]

Формулировка

Пусть ядро $K(t, s)$ непрерывно на $[a, b]^2$ . Оператор $(Ax)(t) = \int_a^bK(t, s)x(s)\,ds$ ограничен в $C[a, b]$ и

\|A\| = \max_{t\in[a,b]}\int_a^b|K(t, s)|\,ds.

Доказательство

Развернуть

$Ax$ непрерывна по равномерной непрерывности ядра, и $|(Ax)(t)|\le\|x\|\int_a^b|K(t, s)|\,ds$ , так что $\|A\|\le M := \max_tg(t)$ , где $g(t) = \int_a^b|K(t, s)|\,ds$ .

Пусть $g(t_0) = M$ . Положим $x_n(s) = \dfrac{K(t_0, s)}{|K(t_0, s)| + 1/n}$ ; тогда $x_n$ непрерывна и $|x_n|\le 1$ . Так как $\dfrac{K^2}{|K| + \varepsilon}\ge|K| - \varepsilon$ ,

\|Ax_n\|\ge(Ax_n)(t_0) = \int_a^b\frac{K(t_0, s)^2}{|K(t_0, s)| + 1/n}\,ds\ge M - \frac{b - a}n.

Значит, $\|A\|\ge M$ . $\blacksquare$

теорема

Продолжение ограниченного оператора по непрерывности

Формулировка

Пусть $E_0$ — всюду плотное линейное многообразие в $E$ , $F$ банахово и $A_0\colon E_0\to F$ — ограниченный линейный оператор. Тогда существует единственный $A\in\mathcal L(E, F)$ , совпадающий с $A_0$ на $E_0$ , и $\|A\| = \|A_0\|$ .

Доказательство

Развернуть

Для $x\in E$ возьмём $x_n\in E_0$ , $x_n\to x$ . Последовательность $A_0x_n$ фундаментальна, так как $\|A_0x_n - A_0x_m\|\le\|A_0\|\|x_n - x_m\|$ , и сходится в $F$ . Положим $Ax = \lim A_0x_n$ . Предел не зависит от выбора $x_n$ (чередуем две последовательности). $A$ линеен, и $\|Ax\| = \lim\|A_0x_n\|\le\|A_0\|\|x\|$ . Единственность следует из непрерывности. $\blacksquare$

Оператор умножения на независимую переменную

Условие

Найти норму оператора $(Ax)(t) = tx(t)$ в $C[0, 1]$ и в $L_2[0, 1]$ .

Решение

Развернуть

$C[0, 1]$ : $|tx(t)|\le\|x\|$ , и при $x\equiv 1$ получаем $\|Ax\| = 1$ . $\|A\| = 1$ .

$L_2[0, 1]$ : $\|Ax\|_2\le\|x\|_2$ . Для $x_n = \sqrt n\chi_{[1 - 1/n, 1]}$ имеем $\|x_n\|_2 = 1$ и $\|Ax_n\|_2^2 = n\int_{1-1/n}^1t^2\,dt\ge\left(1 - \frac1n\right)^2$ . Значит, $\|A\| = 1$ , но норма не достигается: $\|Ax\|_2 = \|x\|_2$ означало бы $\int(1 - t^2)x^2 = 0$ , то есть $x = 0$ почти всюду.

Оператор дифференцирования

Условие

Доказать, что оператор $D = d/dt$ неограничен как оператор из $C[0, 1]$ в $C[0, 1]$ с областью определения $C^1[0, 1]$ , но ограничен как оператор из $C^1[0, 1]$ (норма $\max|x| + \max|x'|$ ) в $C[0, 1]$ .

Решение

Развернуть

$x_n = t^n$ : $\max|x_n| = 1$ , $\max|Dx_n| = n$ .

Во втором случае $\max|x'|\le\|x\|_{C^1}$ , так что $\|D\|\le 1$ . Для $x_n = \frac{\sin nt}n$ имеем $\|x_n\|_{C^1}\le 1 + \frac1n$ и $\|Dx_n\| = 1$ , откуда $\|D\| = 1$ .

Нормы матрицы в трёх нормах

Условие

Найти нормы оператора с матрицей $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ в $\mathbb R^2_\infty$ , $\mathbb R^2_1$ и $\mathbb R^2_2$ .

Решение

Развернуть

$\|A\|_\infty = \max(1 + 2, 3 + 4) = 7$ , $\|A\|_1 = \max(1 + 3, 2 + 4) = 6$ .

$A^TA = \begin{pmatrix}10&14\\14&20\end{pmatrix}$ , $\lambda^2 - 30\lambda + 4 = 0$ , $\lambda_{\max} = 15 + \sqrt{221}$ , и

\|A\|_2 = \sqrt{15 + \sqrt{221}}\approx 5{,}465.

Норма интегрального оператора с ядром t − s

Условие

Найти норму оператора $(Ax)(t) = \int_0^1(t - s)x(s)\,ds$ в $C[0, 1]$ .

Решение

Развернуть

$g(t) = \int_0^1|t - s|\,ds = \frac{t^2}2 + \frac{(1 - t)^2}2$ . На $[0, 1]$ максимум при $t = 0$ и $t = 1$ равен $\frac12$ . По теореме о норме интегрального оператора $\|A\| = \frac12$ ; норма достигается, например, на $x(s) = -1$ : $(Ax)(0) = \int_0^1s\,ds = \frac12$ .

Операторы сдвига в l₂

Условие

Для операторов правого сдвига $S_r(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ и левого сдвига $S_l(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ в $l_2$ найти нормы и произведения $S_lS_r$ , $S_rS_l$ .

Решение

Развернуть

$\|S_rx\| = \|x\|$ , то есть $S_r$ — изометрия и $\|S_r\| = 1$ . $\|S_lx\|\le\|x\|$ , с равенством при $x_1 = 0$ , так что $\|S_l\| = 1$ .

$S_lS_r = I$ , а $S_rS_l(x_1, x_2, \dots) = (0, x_2, x_3, \dots)\ne x$ — проектор на векторы с $x_1 = 0$ . В бесконечномерном пространстве из $AB = I$ не следует $BA = I$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Линейный ограниченный оператор. Норма оператора

Пусть $E$ , $F$ — нормированные пространства. Отображение $A\colon E\to F$ называется линейным оператором, если $A(\alpha x + \beta y) = \alpha Ax + \beta Ay$ . Оператор ограничен, если существует $C$ с $\|Ax\|\le C\|x\|$ для всех $x$ . Нормой ограниченного оператора называется

\|A\| = \sup_{\|x\|\le 1}\|Ax\| = \sup_{x\ne 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}.

Множество ограниченных операторов обозначается $\mathcal L(E, F)$ , $\mathcal L(E) = \mathcal L(E, E)$ . Часто оператор задан лишь на линейном многообразии $D(A)\subset E$ — области определения.

Действия над операторами

Для $A, B\in\mathcal L(E, F)$ и числа $\lambda$ : $(A + B)x = Ax + Bx$ , $(\lambda A)x = \lambda Ax$ . Для $A\in\mathcal L(F, G)$ , $B\in\mathcal L(E, F)$ произведение $(AB)x = A(Bx)$ . $I$ — тождественный оператор, $A^n = A\cdots A$ .

Банахово пространство

Банаховым пространством (БП) называется полное нормированное пространство.

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространство $\mathbb R^n_p$ — множество упорядоченных наборов $x = (x_1, \dots, x_n)$ с метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\sum_{k=1}^n |x_k - y_k|^p\right)^{1/p},\quad p\ge 1, \qquad \rho_\infty(x,y) = \max_{1\le k\le n}|x_k - y_k|.

При $p = 2$ получается евклидова метрика.

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

$C[a,b]$ — множество функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$ , с равномерной (чебышёвской) метрикой

\rho(x, y) = \max_{t\in[a,b]}|x(t) - y(t)|.

$C_p[a,b]$ , $p\ge 1$ , — то же множество функций с интегральной метрикой

\rho_p(x,y) = \left(\int_a^b |x(t) - y(t)|^p\,dt\right)^{1/p}.

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Множество $A$ плотно в множестве $B$ , если $B\subset[A]$ .
$A$ всюду плотно в $X$ , если $[A] = X$ .
$A$ нигде не плотно в $X$ , если в каждом шаре $B(a, r)$ найдётся шар $B(b, s)\subset B(a,r)$ , не содержащий точек множества $A$ .

Ограниченность и непрерывность линейного функционала

Формулировка

Для линейного функционала $f$ на нормированном пространстве равносильны условия:

$f$ непрерывен в нуле;
$f$ непрерывен на $E$ ;
$f$ ограничен.

При этом $|f(x)|\le\|f\|\,\|x\|$ и $\|f\| = \sup_{\|x\| = 1}|f(x)|$ .

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 3$ . Если $f$ неограничен, найдутся $x_n$ с $|f(x_n)| > n\|x_n\|$ . Тогда $y_n = \dfrac{x_n}{n\|x_n\|}\to 0$ , но $|f(y_n)| > 1$ — противоречие с непрерывностью в нуле.

$3\Rightarrow 2$ . $|f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)|\le C\|x_n - x\|$ .

$2\Rightarrow 1$ очевидно. Неравенство $|f(x)|\le\|f\|\|x\|$ и формула для нормы следуют из однородности: $f(x) = \|x\|f(x/\|x\|)$ . $\blacksquare$

Свойства сопряжённого оператора в нормированном пространстве

Формулировка

$A^*$ — ограниченный линейный оператор и $\|A^*\| = \|A\|$ . Кроме того, $(A + B)^* = A^* + B^*$ , $(\lambda A)^* = \lambda A^*$ , $(AB)^* = B^*A^*$ .

Доказательство

Развернуть

$|(A^*g)(x)| = |g(Ax)|\le\|g\|\|A\|\|x\|$ , поэтому $A^*g\in E^*$ и $\|A^*\|\le\|A\|$ .

Обратно, для $x$ с $Ax\ne 0$ по следствию теоремы Хана–Банаха найдётся $g$ с $\|g\| = 1$ , $g(Ax) = \|Ax\|$ . Тогда $\|Ax\| = (A^*g)(x)\le\|A^*\|\|x\|$ , и $\|A\|\le\|A^*\|$ .

Алгебраические свойства проверяются подстановкой: например, $((AB)^*g)(x) = g(ABx) = (A^*g)(Bx) = (B^*A^*g)(x)$ . $\blacksquare$

Критерий существования ограниченного обратного

Формулировка

Линейный оператор $A$ имеет обратный, ограниченный на $R(A)$ , тогда и только тогда, когда существует $m > 0$ с

\|Ax\|\ge m\|x\|\quad\text{для всех } x.

При этом $\|A^{-1}\|\le 1/m$ . Если $E$ банахово и $A$ ограничен, то $R(A)$ при этом замкнуто.

Доказательство

Развернуть

Если оценка выполнена, то из $Ax = 0$ следует $x = 0$ , и для $y = Ax$ имеем $\|A^{-1}y\| = \|x\|\le\|y\|/m$ . Обратно, если $\|A^{-1}y\|\le C\|y\|$ , то $\|x\|\le C\|Ax\|$ , и $m = 1/C$ .

Замкнутость: если $Ax_n\to y$ , то $x_n$ фундаментальна (по оценке), сходится к $x$ , и $Ax = y$ . $\blacksquare$

Принцип равномерной ограниченности

Формулировка

Пусть $E$ банахово, $F$ нормированное, $\{A_\alpha\}\subset\mathcal L(E, F)$ и при каждом $x\in E$

\sup_\alpha\|A_\alpha x\| < \infty.

Тогда $\sup_\alpha\|A_\alpha\| < \infty$ .

Доказательство

Развернуть

Множества $M_n = \{x:\ \|A_\alpha x\|\le n\ \forall\alpha\}$ замкнуты (пересечение замкнутых множеств) и в объединении дают $E$ . По теореме Бэра некоторое $M_n$ не является нигде не плотным, то есть, будучи замкнутым, содержит шар $B[x_0, r]$ .

Свойства собственных элементов

Формулировка

Собственное подпространство $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ ограниченного оператора замкнуто.
Собственные элементы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство

Развернуть

Это ядро ограниченного оператора $A - \lambda I$ , то есть прообраз замкнутого множества $\{0\}$ .
Индукция по числу элементов. Пусть $Ax_k = \lambda_kx_k$ , $k\le n$ , и $\sum_{k\le n}c_kx_k = 0$ . Применим $A - \lambda_nI$ : $\sum_{k<n}c_k(\lambda_k - \lambda_n)x_k = 0$ . По предположению индукции $c_k(\lambda_k - \lambda_n) = 0$ , то есть $c_k = 0$ при $k < n$ . Тогда $c_nx_n = 0$ и $c_n = 0$ . $\blacksquare$

Полнота сопряжённого пространства

Формулировка

Для любого нормированного пространства $E$ (не обязательно полного) сопряжённое пространство $E^*$ банахово.

Доказательство

Развернуть

Пусть $f_n$ фундаментальна в $E^*$ : $\|f_n - f_m\| < \varepsilon$ при $n, m\ge N$ . Тогда при каждом $x$ числа $f_n(x)$ образуют фундаментальную последовательность, и существует $f(x) = \lim f_n(x)$ ; $f$ линеен.

Существование и свойства сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Для любого $A\in\mathcal L(H)$ сопряжённый оператор существует, единствен, и

\|A^*\| = \|A\|,\quad A^{**} = A,\quad(AB)^* = B^*A^*,\quad(\lambda A)^* = \bar\lambda A^*,\quad\|A^*A\| = \|A\|^2.

Доказательство

Развернуть

При фиксированном $y$ функционал $x\mapsto(Ax, y)$ ограничен: $|(Ax, y)|\le\|A\|\|x\|\|y\|$ . По теореме Рисса $(Ax, y) = (x, z)$ для единственного $z =: A^*y$ . Линейность $A^*$ следует из единственности.

$\|A^*y\|^2 = (AA^*y, y)\le\|A\|\|A^*y\|\|y\|$ , откуда $\|A^*\|\le\|A\|$ . Из $(A^*y, x) = (y, Ax)$ следует $A^{**} = A$ , и тогда $\|A\|\le\|A^*\|$ .

$\|A^*A\|\le\|A\|^2$ , а $\|Ax\|^2 = (A^*Ax, x)\le\|A^*A\|\|x\|^2$ . Остальные свойства проверяются подстановкой. $\blacksquare$

Обратимость оператора, близкого к тождественному. Ряд Неймана

Формулировка

Пусть $E$ банахово, $A\in\mathcal L(E)$ и $\|A\| < 1$ . Тогда оператор $I - A$ непрерывно обратим и

(I - A)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty A^k,\qquad\|(I - A)^{-1}\|\le\frac1{1 - \|A\|}.

Следствие: если $A$ непрерывно обратим и $\|B\| < 1/\|A^{-1}\|$ , то $A - B$ непрерывно обратим (множество непрерывно обратимых операторов открыто).

Доказательство

Развернуть

$\sum\|A^k\|\le\sum\|A\|^k < \infty$ , и так как $\mathcal L(E)$ банахово, ряд сходится к некоторому $S$ , причём $\|S\|\le\frac1{1 - \|A\|}$ . Для частичных сумм

(I - A)S_n = S_n(I - A) = I - A^{n+1}\to I,

откуда $(I - A)S = S(I - A) = I$ .

Следствие: $A - B = A(I - A^{-1}B)$ , и $\|A^{-1}B\| < 1$ . $\blacksquare$

Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряжённого оператора

Формулировка

Для любого самосопряжённого оператора в конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из его собственных векторов. В этом базисе матрица оператора диагональна, а пространство раскладывается в прямую сумму попарно ортогональных собственных подпространств.

Доказательство

Развернуть

Индукция по $n = \dim V$ ; при $n = 1$ любой ненулевой вектор собственный. Пусть $n > 1$ . Характеристический многочлен имеет корень, и он вещественный, поэтому существует собственный вектор; нормируем его и обозначим $e_1$ .

Подпространство $L = \operatorname{span}(e_1)$ инвариантно, значит, $L^\perp$ размерности $n - 1$ тоже инвариантно, и ограничение $\mathcal A|_{L^\perp}$ самосопряжено. По предположению индукции в $L^\perp$ есть ортонормированный базис $e_2,\dots,e_n$ из собственных векторов. Векторы $e_1,\dots,e_n$ — искомый базис.

Собственные подпространства для разных собственных значений ортогональны, а их сумма — всё $V$ , так как содержит построенный базис. $\blacksquare$

Компактность интегральных операторов в C[a, b]

Формулировка

Интегральные операторы Фредгольма $(Ax)(t) = \int_a^bK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным на квадрате ядром и Вольтерра $(Vx)(t) = \int_a^tK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным на треугольнике ядром компактны в $C[a, b]$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\|x\|\le 1$ , $M = \max|K|$ , $\omega(\delta)$ — модуль непрерывности ядра. Тогда $|(Ax)(t)|\le M(b - a)$ и

|(Ax)(t_1) - (Ax)(t_2)|\le\int_a^b|K(t_1, s) - K(t_2, s)|\,ds\le(b - a)\,\omega(|t_1 - t_2|).

Образ единичного шара равномерно ограничен и равностепенно непрерывен, и по теореме Арцела–Асколи относительно компактен.

Для $V$ при $t_1 < t_2$ :

|(Vx)(t_2) - (Vx)(t_1)|\le\int_a^{t_1}|K(t_2, s) - K(t_1, s)|\,ds + \int_{t_1}^{t_2}|K(t_2, s)|\,ds\le(b - a)\,\omega(t_2 - t_1) + M(t_2 - t_1).\qquad\blacksquare

Свойства фундаментальных последовательностей

Формулировка

Сходящаяся последовательность фундаментальна.
Фундаментальная последовательность ограничена.
Если у фундаментальной последовательности есть подпоследовательность, сходящаяся к $x$ , то и вся последовательность сходится к $x$ .

Доказательство

Развернуть

Если $x_n\to x$ , то $\rho(x_n,x_m)\le\rho(x_n,x) + \rho(x,x_m) < \varepsilon$ при больших $n,m$ .
При $n > N$ имеем $\rho(x_n, x_{N+1}) < 1$ ; дальше рассуждаем так же, как для сходящейся последовательности.
Пусть $x_{n_k}\to x$ . При $n, n_k > N$ имеем $\rho(x_n, x)\le\rho(x_n, x_{n_k}) + \rho(x_{n_k}, x) < \varepsilon + \rho(x_{n_k}, x)$ . Переходя к пределу по $k$ , получаем $\rho(x_n,x)\le\varepsilon$ . $\blacksquare$

Линейные ограниченные операторы

Непрерывность и ограниченность линейного оператора

Формулировка

Доказательство

Пространство ограниченных операторов

Формулировка

Доказательство

Нормы матричных операторов

Формулировка

Доказательство

Норма интегрального оператора в C[a, b]

Формулировка

Доказательство

Продолжение ограниченного оператора по непрерывности

Формулировка

Доказательство

Оператор умножения на независимую переменную

Условие

Решение

Оператор дифференцирования

Условие

Решение

Нормы матрицы в трёх нормах

Условие

Решение

Норма интегрального оператора с ядром t − s

Условие

Решение

Операторы сдвига в l₂

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Линейный ограниченный оператор. Норма оператора

Действия над операторами

Банахово пространство

Пространства ℝⁿ с метриками ρₚ

Пространства C[a,b] и Cₚ[a,b]

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Ограниченность и непрерывность линейного функционала

Формулировка

Доказательство

Свойства сопряжённого оператора в нормированном пространстве

Формулировка

Доказательство

Критерий существования ограниченного обратного

Формулировка

Доказательство

Принцип равномерной ограниченности

Формулировка

Доказательство

Свойства собственных элементов

Формулировка

Доказательство

Полнота сопряжённого пространства

Формулировка

Доказательство

Существование и свойства сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Обратимость оператора, близкого к тождественному. Ряд Неймана

Формулировка

Доказательство

Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Компактность интегральных операторов в C[a, b]

Формулировка

Доказательство

Свойства фундаментальных последовательностей

Формулировка

Доказательство