Принцип равномерной ограниченности. Обратные операторы

Прогресс изучения0 из 9

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы9

Теорема Бэра о категории
Принцип равномерной ограниченности
Теорема Банаха–Штейнгауза о сильной сходимости
Ограниченность слабо сходящейся последовательности
Критерий слабой сходимости в lₚ
Обратимость оператора, близкого к тождественному. Ряд Неймана
Критерий существования ограниченного обратного
Теорема Банаха об обратном операторе
Сравнимые полные нормы эквивалентны

теорема

Теорема Бэра о категории

Формулировка

Полное метрическое пространство нельзя представить в виде счётного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство

Развернуть

Пусть $X = \bigcup_nM_n$ , все $M_n$ нигде не плотны. Замыкание $[M_1]$ не содержит шаров, поэтому найдётся замкнутый шар $B_1$ радиуса $r_1 < 1$ , не пересекающийся с $[M_1]$ . Внутри $B_1$ найдётся замкнутый шар $B_2$ радиуса $r_2 < \frac12$ , не пересекающийся с $[M_2]$ , и т. д.

Получаем вложенные замкнутые шары с радиусами $r_n\to 0$ . По теореме о вложенных шарах у них есть общая точка $x$ . Она не лежит ни в одном $M_n$ , что противоречит $X = \bigcup M_n$ . $\blacksquare$

теорема

Принцип равномерной ограниченности

Формулировка

Пусть $E$ банахово, $F$ нормированное, $\{A_\alpha\}\subset\mathcal L(E, F)$ и при каждом $x\in E$

\sup_\alpha\|A_\alpha x\| < \infty.

Тогда $\sup_\alpha\|A_\alpha\| < \infty$ .

Доказательство

Развернуть

Множества $M_n = \{x:\ \|A_\alpha x\|\le n\ \forall\alpha\}$ замкнуты (пересечение замкнутых множеств) и в объединении дают $E$ . По теореме Бэра некоторое $M_n$ не является нигде не плотным, то есть, будучи замкнутым, содержит шар $B[x_0, r]$ .

теорема

Теорема Банаха–Штейнгауза о сильной сходимости

Формулировка

Пусть $E$ , $F$ банаховы, $A_n\in\mathcal L(E, F)$ .

Если $A_nx$ сходится при каждом $x$ , то $\sup\|A_n\| < \infty$ , оператор $Ax = \lim A_nx$ ограничен и $\|A\|\le\varliminf\|A_n\|$ .
Пусть $A\in\mathcal L(E, F)$ . Тогда $A_nx\to Ax$ для всех $x$ в том и только в том случае, когда $\sup\|A_n\| < \infty$ и $A_nx\to Ax$ на всюду плотном множестве.

Доказательство

Развернуть

Сходящиеся последовательности ограничены, и по принципу равномерной ограниченности $\|A_n\|\le M$ . $A$ линеен и $\|Ax\| = \lim\|A_nx\|\le\varliminf\|A_n\|\|x\|$ .
Необходимость — по п. 1. Достаточность: для $x\in E$ и $\varepsilon > 0$ возьмём $x'$ из плотного множества с $\|x - x'\| < \varepsilon$ . Тогда

\|A_nx - Ax\|\le\|A_n\|\|x - x'\| + \|A_nx' - Ax'\| + \|A\|\|x' - x\|\le(M + \|A\|)\varepsilon + \|A_nx' - Ax'\|,

и последнее слагаемое мало при больших $n$ . $\blacksquare$

следствие

Ограниченность слабо сходящейся последовательности

Формулировка

Слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве ограничена.
Если $E$ банахово, то слабо* сходящаяся последовательность функционалов из $E^*$ ограничена по норме.

Доказательство

Развернуть

Элементы $\pi x_n\in E^{**} = \mathcal L(E^*, \mathbb R)$ (или $\mathcal L(E^*, \mathbb C)$ ) — ограниченные функционалы на банаховом пространстве $E^*$ , и при каждом $f$ последовательность $(\pi x_n)(f) = f(x_n)$ сходится, а значит, ограничена. По принципу равномерной ограниченности $\|\pi x_n\| = \|x_n\|$ ограничены.
Прямо следует из принципа равномерной ограниченности. $\blacksquare$

теорема

Критерий слабой сходимости в lₚ

Формулировка

В $l_p$ , $1 < p < \infty$ , последовательность $x^{(n)}$ сходится слабо к $x$ тогда и только тогда, когда она ограничена и сходится покоординатно: $x_k^{(n)}\to x_k$ при каждом $k$ .

Доказательство

Развернуть

Необходимость: ограниченность по предыдущему следствию, а координаты — значения функционалов $f_{e_k}$ .

Достаточность. Каждое $x^{(n)}$ задаёт функционал $\varphi_n(y) = \sum x_k^{(n)}y_k$ на банаховом пространстве $l_q$ с нормой $\|x^{(n)}\|_p$ . Нормы ограничены, а на всюду плотном в $l_q$ множестве финитных последовательностей $\varphi_n(y)\to\sum x_ky_k$ . По теореме Банаха–Штейнгауза $\varphi_n(y)\to\sum x_ky_k$ при всех $y\in l_q$ , а это и есть слабая сходимость. $\blacksquare$

теорема

Обратимость оператора, близкого к тождественному. Ряд Неймана

Формулировка

Пусть $E$ банахово, $A\in\mathcal L(E)$ и $\|A\| < 1$ . Тогда оператор $I - A$ непрерывно обратим и

(I - A)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty A^k,\qquad\|(I - A)^{-1}\|\le\frac1{1 - \|A\|}.

Следствие: если $A$ непрерывно обратим и $\|B\| < 1/\|A^{-1}\|$ , то $A - B$ непрерывно обратим (множество непрерывно обратимых операторов открыто).

Доказательство

Развернуть

$\sum\|A^k\|\le\sum\|A\|^k < \infty$ , и так как $\mathcal L(E)$ банахово, ряд сходится к некоторому $S$ , причём $\|S\|\le\frac1{1 - \|A\|}$ . Для частичных сумм

(I - A)S_n = S_n(I - A) = I - A^{n+1}\to I,

откуда $(I - A)S = S(I - A) = I$ .

Следствие: $A - B = A(I - A^{-1}B)$ , и $\|A^{-1}B\| < 1$ . $\blacksquare$

лемма

Критерий существования ограниченного обратного

Формулировка

Линейный оператор $A$ имеет обратный, ограниченный на $R(A)$ , тогда и только тогда, когда существует $m > 0$ с

\|Ax\|\ge m\|x\|\quad\text{для всех } x.

При этом $\|A^{-1}\|\le 1/m$ . Если $E$ банахово и $A$ ограничен, то $R(A)$ при этом замкнуто.

Доказательство

Развернуть

Если оценка выполнена, то из $Ax = 0$ следует $x = 0$ , и для $y = Ax$ имеем $\|A^{-1}y\| = \|x\|\le\|y\|/m$ . Обратно, если $\|A^{-1}y\|\le C\|y\|$ , то $\|x\|\le C\|Ax\|$ , и $m = 1/C$ .

Замкнутость: если $Ax_n\to y$ , то $x_n$ фундаментальна (по оценке), сходится к $x$ , и $Ax = y$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Банаха об обратном операторе

Формулировка

Если $E$ , $F$ банаховы и $A\in\mathcal L(E, F)$ — биекция, то обратный оператор $A^{-1}$ ограничен.

Доказательство

Развернуть

Обозначим $B_r$ открытый шар радиуса $r$ с центром $0$ в $E$ , $V_r$ — в $F$ .

Шаг 1. $F = \bigcup_n[A(B_n)]$ , так как $A$ сюръективен. По теореме Бэра некоторое $[A(B_n)]$ содержит шар $V(y_0, \varepsilon)$ . Если $\|y\| < \varepsilon$ , то $y = (y_0 + y) - y_0$ — разность элементов $[A(B_n)]$ , поэтому $y\in[A(B_{2n})]$ . По однородности $[A(B_1)]\supset V_\delta$ , $\delta = \frac\varepsilon{2n}$ , и вообще $[A(B_r)]\supset V_{r\delta}$ .

Шаг 2. Докажем, что $A(B_2)\supset V_\delta$ . Пусть $\|y\| < \delta$ . Выберем $x_1\in B_1$ с $\|y - Ax_1\| < \frac\delta2$ , затем $x_2\in B_{1/2}$ с $\|y - Ax_1 - Ax_2\| < \frac\delta4$ , и т. д., $x_k\in B_{2^{1-k}}$ . Ряд $\sum x_k$ сходится абсолютно в банаховом $E$ к элементу $x$ с $\|x\| < 2$ , и $Ax = \lim A\sum_{k\le n}x_k = y$ .

Шаг 3. Для $y\ne 0$ элемент $y' = \frac{\delta}{2\|y\|}y$ лежит в $V_\delta$ , так что $\|A^{-1}y'\| < 2$ , то есть $\|A^{-1}y\|\le\frac4\delta\|y\|$ . $\blacksquare$

следствие

Сравнимые полные нормы эквивалентны

Формулировка

Если линейное пространство банахово относительно каждой из норм $\|\cdot\|_1$ , $\|\cdot\|_2$ и $\|x\|_1\le C\|x\|_2$ , то нормы эквивалентны.

Доказательство

Развернуть

Тождественное отображение $(E, \|\cdot\|_2)\to(E, \|\cdot\|_1)$ ограничено и биективно. По теореме Банаха обратное к нему ограничено: $\|x\|_2\le C'\|x\|_1$ . $\blacksquare$

Уравнение x(t) − ½x(t²) = 1

Условие

Доказать, что уравнение $x(t) - \frac12x(t^2) = f(t)$ однозначно разрешимо в $C[0, 1]$ при любой $f$ , оценить норму решения и решить его при $f\equiv 1$ .

Решение

Развернуть

$(Bx)(t) = \frac12x(t^2)$ ; так как $t^2\in[0, 1]$ при $t\in[0, 1]$ , имеем $\max_t|x(t^2)| = \|x\|$ , и $\|B\| = \frac12 < 1$ . По теореме о ряде Неймана $I - B$ непрерывно обратим, $\|x\|\le 2\|f\|$ , и $x = \sum_kB^kf$ .

При $f\equiv 1$ : $B^kf = 2^{-k}$ , и $x = \sum_k2^{-k} = 2$ . Проверка: $2 - \frac12\cdot 2 = 1$ .

Обратимость без ограниченности обратного

Условие

а) Доказать, что оператор $(Ax)(t) = tx(t)$ в $C[0, 1]$ имеет обратный на $R(A)$ , но этот обратный неограничен.

б) Доказать, что правый сдвиг $S_r$ в $l_2$ оценён снизу, но не является непрерывно обратимым.

Решение

Развернуть

а) Если $tx(t)\equiv 0$ , то $x = 0$ на $(0, 1]$ , а по непрерывности и в нуле, так что $A$ инъективен. Оценки снизу нет: для $x_n$ — «шапочки» высоты $1$ на $[0, \frac1n]$ (с $x_n(0) = 1$ , равной нулю при $t\ge\frac1n$ ) получаем $\|Ax_n\|\le\frac1n$ при $\|x_n\| = 1$ . Это не противоречит теореме Банаха: $R(A)\ne C[0, 1]$ (все функции из образа обращаются в нуль при $t = 0$ ).

б) $\|S_rx\| = \|x\|$ , так что $m = 1$ . Но $R(S_r) = \{x:\ x_1 = 0\}\ne l_2$ , поэтому оператор не является непрерывно обратимым.

Непрерывная функция с расходящимся рядом Фурье

Условие

Пусть $\tilde C$ — банахово пространство непрерывных $2\pi$ -периодических функций с нормой $\max|x|$ , и $S_n(x)$ — значение в нуле $n$ -й частичной суммы ряда Фурье функции $x$ . Доказать, что существует $x\in\tilde C$ , у которой последовательность $S_n(x)$ неограничена.

Решение

Развернуть

$S_n(x) = \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi x(t)D_n(t)\,dt$ , где $D_n(t) = \dfrac{\sin(n + \frac12)t}{2\sin\frac t2}$ — ядро Дирихле. Как в теореме о норме интегрального оператора (приближая $\operatorname{sign}D_n$ непрерывными функциями), получаем

\|S_n\| = L_n = \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi|D_n(t)|\,dt.

Так как $2\sin\frac t2\le t$ при $t\in[0, \pi]$ , имеем

L_n\ge\frac2\pi\int_0^\pi\frac{|\sin(n + \frac12)t|}t\,dt = \frac2\pi\int_0^{(n+\frac12)\pi}\frac{|\sin u|}u\,du\ge\frac2\pi\sum_{k=1}^n\frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}|\sin u|\,du = \frac4{\pi^2}\sum_{k=1}^n\frac1k\to\infty.

Если бы $S_n(x)$ были ограничены при каждом $x$ , то по принципу равномерной ограниченности были бы ограничены $\|S_n\| = L_n$ . Противоречие.

Роль полноты в теореме об эквивалентности норм

Условие

На $C[0, 1]$ рассмотрим нормы $\|x\|_\infty = \max|x|$ и $\|x\|_1 = \int_0^1|x|\,dt$ . Выполнено $\|x\|_1\le\|x\|_\infty$ . Эквивалентны ли нормы? Почему это не противоречит следствию теоремы Банаха?

Решение

Развернуть

Нормы не эквивалентны: для $x_n = t^n$ имеем $\|x_n\|_\infty = 1$ , $\|x_n\|_1 = \frac1{n + 1}\to 0$ .

Противоречия нет: пространство $C[0, 1]$ с нормой $\|\cdot\|_1$ (то есть $C_1[0, 1]$ ) неполно, а следствие требует полноты относительно обеих норм.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Обратный оператор

Пусть $A\colon E\to F$ — линейный оператор, взаимно однозначный на области определения. Обратным оператором называется $A^{-1}\colon R(A)\to E$ , где $R(A)$ — образ $A$ , такой что $A^{-1}Ax = x$ . Он линеен.

Оператор $A\in\mathcal L(E, F)$ называется непрерывно обратимым, если $R(A) = F$ , обратный оператор существует и ограничен.

Равномерная и сильная сходимость операторов

Последовательность $A_n\in\mathcal L(E, F)$ сходится равномерно (по норме) к $A$ , если $\|A_n - A\|\to 0$ , и сильно (поточечно), если $A_nx\to Ax$ для каждого $x\in E$ . Из равномерной сходимости следует сильная, но не наоборот.

Полное метрическое пространство

Метрическое пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Множество $A$ плотно в множестве $B$ , если $B\subset[A]$ .
$A$ всюду плотно в $X$ , если $[A] = X$ .
$A$ нигде не плотно в $X$ , если в каждом шаре $B(a, r)$ найдётся шар $B(b, s)\subset B(a,r)$ , не содержащий точек множества $A$ .

Линейный ограниченный оператор. Норма оператора

Пусть $E$ , $F$ — нормированные пространства. Отображение $A\colon E\to F$ называется линейным оператором, если $A(\alpha x + \beta y) = \alpha Ax + \beta Ay$ . Оператор ограничен, если существует $C$ с $\|Ax\|\le C\|x\|$ для всех $x$ . Нормой ограниченного оператора называется

\|A\| = \sup_{\|x\|\le 1}\|Ax\| = \sup_{x\ne 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}.

Множество ограниченных операторов обозначается $\mathcal L(E, F)$ , $\mathcal L(E) = \mathcal L(E, E)$ . Часто оператор задан лишь на линейном многообразии $D(A)\subset E$ — области определения.

Банахово пространство

Банаховым пространством (БП) называется полное нормированное пространство.

Сильная и слабая сходимости

Последовательность $x_n\in E$ сходится сильно к $x$ , если $\|x_n - x\|\to 0$ , и слабо ( $x_n\rightharpoonup x$ ), если

f(x_n)\to f(x)\quad\text{для любого } f\in E^*.

Последовательность функционалов $f_n\in E^*$ сходится слабо* к $f$ , если $f_n(x)\to f(x)$ для любого $x\in E$ .

Сопряжённое и второе сопряжённое пространства

Сопряжённым пространством $E^*$ к нормированному пространству $E$ называется пространство всех ограниченных линейных функционалов на $E$ с нормой функционала. Второе сопряжённое $E^{**} = (E^*)^*$ .

Каноническое вложение $\pi\colon E\to E^{**}$ : $(\pi x)(f) = f(x)$ . Пространство называется рефлексивным, если $\pi(E) = E^{**}$ .

Пространства $E$ и $F$ называются изометрически изоморфными, если существует линейная биекция $T\colon E\to F$ с $\|Tx\| = \|x\|$ ; пишут $E\cong F$ .

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

$l_p$ , $1\le p<\infty$ , — множество числовых последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ с $\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < \infty$ и метрикой

\rho(x,y) = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^p\right)^{1/p}.

$l_\infty$ (обозначается также $m$ ) — множество ограниченных последовательностей с метрикой $\rho(x,y) = \sup_k |x_k - y_k|$ .
$c_0$ — множество последовательностей, сходящихся к нулю, с той же метрикой, что в $l_\infty$ .

Эквивалентные нормы

Нормы $\|\cdot\|_1$ и $\|\cdot\|_2$ в одном линейном пространстве называются эквивалентными, если существуют $c_1, c_2 > 0$ такие, что

c_1\|x\|_1\le\|x\|_2\le c_2\|x\|_1\quad\forall x.

Эквивалентные нормы задают одинаковые сходящиеся и фундаментальные последовательности.

Теорема о вложенных шарах

Формулировка

Метрическое пространство $X$ полно тогда и только тогда, когда любая последовательность вложенных замкнутых шаров $B[a_1,r_1]\supset B[a_2,r_2]\supset\dots$ с радиусами $r_n\to 0$ имеет непустое пересечение. При этом пересечение состоит из одной точки.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. При $m > n$ центр $a_m$ лежит в $B[a_n, r_n]$ , поэтому $\rho(a_m, a_n)\le r_n\to 0$ . Последовательность центров фундаментальна и сходится к некоторому $a$ . Все $a_m$ с $m\ge n$ лежат в замкнутом шаре $B[a_n,r_n]$ , значит, и $a$ лежит в нём. Итак, $a$ — общая точка шаров. Две общие точки удалены друг от друга не более чем на $2r_n\to 0$ , то есть совпадают.

Достаточность. Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна. Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ так, что $\rho(x_m, x_{n_k}) < 2^{-k}$ при $m\ge n_k$ . Положим $B_k = B[x_{n_k}, 2^{1-k}]$ . Шары вложены: если $y\in B_{k+1}$ , то

\rho(y, x_{n_k})\le\rho(y, x_{n_{k+1}}) + \rho(x_{n_{k+1}}, x_{n_k})\le 2^{-k} + 2^{-k} = 2^{1-k}.

Пусть $x$ — их общая точка. Тогда $\rho(x_{n_k}, x)\le 2^{1-k}\to 0$ , и вся последовательность сходится к $x$ . $\blacksquare$

Критерий нигде не плотного множества

Формулировка

Следующие условия равносильны:

$M$ нигде не плотно;
замыкание $[M]$ не содержит ни одного шара;
дополнение $X\setminus[M]$ всюду плотно.

Доказательство

Развернуть

$1\Rightarrow 2$ . Пусть $B(a,r)\subset[M]$ . По определению внутри него есть шар $B(b,s)$ без точек $M$ . Но $b\in[M]$ , поэтому любой шар с центром $b$ пересекается с $M$ — противоречие.

$2\Rightarrow 1$ . Шар $B(a,r)$ не содержится в $[M]$ , то есть найдётся $b\in B(a,r)\setminus[M]$ . Множество $X\setminus[M]$ открыто, поэтому при малом $s$ шар $B(b,s)$ лежит и в $B(a,r)$ , и в $X\setminus[M]$ , то есть не содержит точек $M$ .

$2\iff 3$ . Замыкание $[M]$ не содержит шаров $\iff$ каждый шар пересекается с $X\setminus[M]$ $\iff$ $X\setminus[M]$ всюду плотно. $\blacksquare$

Непрерывность и ограниченность линейного оператора

Формулировка

Линейный оператор $A\colon E\to F$ непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен (и тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле). При этом $\|Ax\|\le\|A\|\|x\|$ .

Доказательство

Развернуть

Дословно повторяет доказательство для функционалов с заменой $|f(x)|$ на $\|Ax\|$ : если $\|Ax_n\| > n\|x_n\|$ , то $y_n = x_n/(n\|x_n\|)\to 0$ , но $\|Ay_n\| > 1$ ; обратно, $\|Ax_n - Ax\|\le C\|x_n - x\|$ . $\blacksquare$

Каноническое вложение во второе сопряжённое

Формулировка

Каноническое отображение $\pi\colon E\to E^{**}$ линейно и изометрично: $\|\pi x\| = \|x\|$ .

Доказательство

Развернуть

Линейность $\pi x$ по $f$ и линейность $\pi$ по $x$ очевидны. $|(\pi x)(f)| = |f(x)|\le\|f\|\|x\|$ , то есть $\|\pi x\|\le\|x\|$ . По следствию теоремы Хана–Банаха $\|x\| = \max_{\|f\|\le 1}|f(x)| = \|\pi x\|$ . $\blacksquare$

Полнота сопряжённого пространства

Формулировка

Для любого нормированного пространства $E$ (не обязательно полного) сопряжённое пространство $E^*$ банахово.

Доказательство

Развернуть

Пусть $f_n$ фундаментальна в $E^*$ : $\|f_n - f_m\| < \varepsilon$ при $n, m\ge N$ . Тогда при каждом $x$ числа $f_n(x)$ образуют фундаментальную последовательность, и существует $f(x) = \lim f_n(x)$ ; $f$ линеен.

Компактный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся

Формулировка

Если $A$ компактен и $x_n\rightharpoonup x$ , то $Ax_n\to Ax$ по норме. В частности, в гильбертовом пространстве $Ae_n\to 0$ для любой ортонормированной последовательности $e_n$ .

Доказательство

Развернуть

Для $g\in F^*$ функционал $g\circ A$ ограничен, поэтому $g(Ax_n)\to g(Ax)$ , то есть $Ax_n\rightharpoonup Ax$ . Последовательность $x_n$ ограничена (слабо сходящаяся).

Если $Ax_n\not\to Ax$ , то для некоторых $\varepsilon > 0$ и подпоследовательности $\|Ax_{n_k} - Ax\|\ge\varepsilon$ . По компактности из неё выбирается подпоследовательность с $Ax_{n_{k_j}}\to y$ . Тогда и $Ax_{n_{k_j}}\rightharpoonup y$ , а по единственности слабого предела $y = Ax$ — противоречие.

Ортонормированная последовательность слабо сходится к нулю. $\blacksquare$

Общий вид непрерывного функционала в lₚ

Формулировка

Пусть $1\le p < \infty$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ ( $q = \infty$ при $p = 1$ ). Каждый ограниченный линейный функционал на $l_p$ имеет вид

f(x) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k,\qquad y = (y_k)\in l_q,\qquad\|f\| = \|y\|_q,

и, обратно, каждый $y\in l_q$ задаёт такой функционал.

Доказательство

Развернуть

Положим $y_k = f(e_k)$ . Так как $x = \sum x_ke_k$ в $l_p$ , по непрерывности $f(x) = \sum x_ky_k$ .

$1 < p < \infty$ . Возьмём $x^{(n)}$ с координатами $|y_k|^{q-1}\operatorname{sign}y_k$ при $k\le n$ и $0$ при $k > n$ (в комплексном случае вместо $\operatorname{sign}y_k$ берём $\overline{\operatorname{sign}y_k}$ , где $\operatorname{sign}z = z/|z|$ ). Тогда $f(x^{(n)}) = \sum_{k\le n}|y_k|^q$ , а $\|x^{(n)}\|_p = \left(\sum_{k\le n}|y_k|^q\right)^{1/p}$ , так как $(q - 1)p = q$ . Из $f(x^{(n)})\le\|f\|\|x^{(n)}\|_p$ получаем $\left(\sum_{k\le n}|y_k|^q\right)^{1/q}\le\|f\|$ , то есть $y\in l_q$ и $\|y\|_q\le\|f\|$ .

$p = 1$ : $|y_k| = |f(e_k)|\le\|f\|$ , то есть $\|y\|_\infty\le\|f\|$ .

Обратно, по неравенству Гёльдера $|f(x)|\le\|x\|_p\|y\|_q$ , так что $\|f\|\le\|y\|_q$ . $\blacksquare$

Пространство ограниченных операторов

Формулировка

$\mathcal L(E, F)$ — нормированное пространство; если $F$ банахово, то $\mathcal L(E, F)$ банахово. Кроме того, $\|AB\|\le\|A\|\|B\|$ , в частности $\|A^n\|\le\|A\|^n$ .

Доказательство

Развернуть

Аксиомы нормы проверяются непосредственно; например, $\|(A + B)x\|\le(\|A\| + \|B\|)\|x\|$ .

$\|ABx\|\le\|A\|\|Bx\|\le\|A\|\|B\|\|x\|$ . $\blacksquare$

Абсолютно сходящиеся ряды в банаховом пространстве

Формулировка

В банаховом пространстве абсолютно сходящийся ряд сходится, и $\left\|\sum x_k\right\|\le\sum\|x_k\|$ .
Обратно, если в нормированном пространстве каждый абсолютно сходящийся ряд сходится, то пространство банахово.

Доказательство

Развернуть

$\left\|\sum_{n+1}^{n+p}x_k\right\|\le\sum_{n+1}^{n+p}\|x_k\|$ ; правая часть мала по критерию Коши для числового ряда. Применяем критерий Коши для рядов. Оценка нормы суммы получается переходом к пределу в $\|S_n\|\le\sum_{k\le n}\|x_k\|$ (по непрерывности нормы).
Пусть $\{x_n\}$ фундаментальна. Выберем $n_1 < n_2 < \dots$ с $\|x_{n_{k+1}} - x_{n_k}\| < 2^{-k}$ . Ряд $x_{n_1} + \sum_k(x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ сходится абсолютно, значит, сходится. Его частичные суммы — это $x_{n_k}$ . Итак, подпоследовательность сходится, а сходится и вся последовательность. $\blacksquare$

Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольным ядром

Формулировка

Пусть $K$ — ядро Гильберта–Шмидта, $A$ — соответствующий оператор в $L_2[a, b]$ . Тогда для уравнения $x - \lambda Ax = f$ :

(альтернатива Фредгольма) либо оно однозначно разрешимо при любой $f\in L_2$ , либо однородное уравнение имеет ненулевое решение;
однородное уравнение $x = \lambda Ax$ и союзное однородное $y = \bar\lambda A^*y$ имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений;
неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогональна всем решениям союзного однородного уравнения;
характеристические числа образуют не более чем счётное множество, не имеющее конечных предельных точек.

Доказательство

Развернуть

Зафиксируем $\rho > 0$ и рассмотрим $|\lambda| < \rho$ . Разложим $K = K_n + R$ , где $K_n$ вырождено, а $\|R\|_{L_2(Q)} < 1/\rho$ . Тогда для оператора $R$ с этим ядром $\|\lambda R\| < 1$ , и $I - \lambda R$ непрерывно обратим (ряд Неймана). Справедливо разложение

I - \lambda A = (I - \lambda R)(I - T),\qquad T = \lambda(I - \lambda R)^{-1}A_n,

где $T$ конечномерен: $Tx = \sum_i(x, \bar b_i)\tilde a_i$ с $\tilde a_i = \lambda(I - \lambda R)^{-1}a_i$ .

Для конечномерного оператора $T$ утверждения 2, 3 доказаны: рассуждение теоремы Фредгольма для вырожденного ядра переносится на операторы вида $\sum(x, \bar b_i)\tilde a_i$ (линейная независимость $\tilde a_i$ не нужна: на $\operatorname{Ker}(I - T)$ отображение $x\mapsto c$ , $c_i = (x, \bar b_i)$ , инъективно, так как $x = \sum c_i\tilde a_i$ ). Переносим их на $I - \lambda A$ :

$\operatorname{Ker}(I - \lambda A) = \operatorname{Ker}(I - T)$ , так как $I - \lambda R$ обратим;
$(I - \lambda A)^* = (I - T)^*(I - \lambda R)^*$ , поэтому $\operatorname{Ker}(I - \lambda A)^* = \bigl((I - \lambda R)^*\bigr)^{-1}\operatorname{Ker}(I - T)^*$ — той же размерности, что $\operatorname{Ker}(I - T)^*$ . Это п. 2;
$f\in R(I - \lambda A)\iff(I - \lambda R)^{-1}f\in R(I - T)\iff(I - \lambda R)^{-1}f\perp\operatorname{Ker}(I - T)^*\iff f\perp\operatorname{Ker}(I - \lambda A)^*$ . Это п. 3.

П. 1 следует из пп. 2, 3: если однородное уравнение имеет лишь нулевое решение, то и союзное тоже, и тогда разрешимость есть при любой $f$ , а единственность — из тривиальности ядра.

П. 4: ненулевые решения уравнения $x = Tx$ существуют тогда и только тогда, когда $\det\bigl(\delta_{ij} - (\tilde a_j, \bar b_i)\bigr) = 0$ . Этот определитель — аналитическая функция $\lambda$ в круге $|\lambda| < \rho$ (по ряду Неймана), равная $1$ при $\lambda = 0$ . Её нули изолированы, и в любом меньшем замкнутом круге их конечное число. $\blacksquare$

Резольвента ядра и ряд Неймана

Формулировка

Пусть $K$ — ядро Гильберта–Шмидта, $|\lambda| < 1/\|K\|_{L_2(Q)}$ . Определим итерированные ядра

K_1 = K,\qquad K_{n+1}(t, s) = \int_a^bK(t, u)K_n(u, s)\,du.

Ряд $R(t, s; \lambda) = \sum_{n\ge 1}\lambda^{n-1}K_n(t, s)$ сходится в $L_2(Q)$ , а решение уравнения $x - \lambda\int Kx = f$ имеет вид

x(t) = f(t) + \lambda\int_a^bR(t, s; \lambda)f(s)\,ds.

Доказательство

Развернуть

Оператор $A^n$ — интегральный с ядром $K_n$ (по теореме Фубини). По неравенству Коши–Буняковского $|K_{n+1}(t, s)|^2\le\int|K(t, u)|^2\,du\int|K_n(u, s)|^2\,du$ , откуда $\|K_{n+1}\|\le\|K\|\|K_n\|$ и $\|K_n\|\le\|K\|^n$ . Ряд для $R$ сходится в $L_2(Q)$ при $|\lambda|\|K\| < 1$ .

По теореме о ряде Неймана ( $\|\lambda A\| < 1$ ) решение равно $x = \sum_{n\ge 0}\lambda^nA^nf = f + \lambda\sum_{n\ge 1}\lambda^{n-1}A^nf$ , а это и есть $f + \lambda\int R(\cdot, s; \lambda)f(s)\,ds$ . $\blacksquare$

Спектр ограничен и замкнут

Формулировка

При $|\lambda| > \|A\|$ число $\lambda$ регулярно и

R_\lambda = -\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{\lambda^{k+1}}.

Резольвентное множество открыто: если $\lambda_0\in\rho(A)$ и $|\lambda - \lambda_0| < 1/\|R_{\lambda_0}\|$ , то $\lambda\in\rho(A)$ .

Следовательно, спектр — замкнутое множество в круге $|\lambda|\le\|A\|$ , то есть компакт.

Доказательство

Развернуть

$A - \lambda I = -\lambda\left(I - \frac A\lambda\right)$ , и $\left\|\frac A\lambda\right\| < 1$ . По теореме о ряде Неймана оператор обратим и $(A - \lambda I)^{-1} = -\frac1\lambda\sum\frac{A^k}{\lambda^k}$ .
$A - \lambda I = (A - \lambda_0I) - (\lambda - \lambda_0)I$ , и по следствию теоремы о ряде Неймана этот оператор непрерывно обратим при $\|(\lambda - \lambda_0)I\| = |\lambda - \lambda_0| < 1/\|R_{\lambda_0}\|$ . $\blacksquare$

Спектр самосопряжённого оператора

Формулировка

Пусть $A$ самосопряжён, $m = \inf_{\|x\|=1}(Ax, x)$ , $M = \sup_{\|x\|=1}(Ax, x)$ . Тогда $\sigma(A)\subset[m, M]$ , причём $m, M\in\sigma(A)$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda = \alpha + i\beta$ , $\beta\ne 0$ . Тогда

\|(A - \lambda)x\|\|x\|\ge|\operatorname{Im}((A - \lambda)x, x)| = |\beta|\|x\|^2,

и оператор оценён снизу; по лемме об оценке снизу его образ замкнут. Образ ортогонален $\operatorname{Ker}(A - \bar\lambda) = \{0\}$ (у $A$ нет невещественных собственных значений), поэтому совпадает с $H$ . Значит, $\lambda\in\rho(A)$ . Для вещественного $\lambda > M$ рассуждение то же с оценкой $((\lambda - A)x, x)\ge(\lambda - M)\|x\|^2$ ; аналогично при $\lambda < m$ .

$M\in\sigma(A)$ . Оператор $B = M - A$ неотрицателен: $(Bx, x)\ge 0$ . Для неотрицательной эрмитовой формы $(Bx, y)$ выполнено неравенство Коши–Буняковского, и при $y = Bx$

\|Bx\|^4\le(Bx, x)(B^2x, Bx)\le(Bx, x)\|B\|\|Bx\|^2,\qquad\text{то есть}\qquad\|Bx\|^2\le\|B\|(Bx, x).

Для единичных $x_n$ с $(Ax_n, x_n)\to M$ имеем $(Bx_n, x_n)\to 0$ , значит, $Bx_n\to 0$ . Тогда $B$ не оценён снизу и не является непрерывно обратимым. Аналогично $m\in\sigma(A)$ . $\blacksquare$

Ненулевой спектр интегрального оператора состоит из собственных значений

Формулировка

Для оператора Гильберта–Шмидта каждая ненулевая точка спектра — собственное значение конечной кратности. Ненулевой спектр не более чем счётен и может накапливаться лишь к нулю.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda\ne 0$ не является собственным значением. Тогда $\mu = 1/\lambda$ не характеристическое число, и по альтернативе Фредгольма уравнение $x - \mu Ax = f$ однозначно разрешимо при любой $f$ . Значит, $A - \lambda I = -\lambda(I - \mu A)$ — биекция банахова пространства, и по теореме Банаха обратный оператор ограничен, то есть $\lambda\in\rho(A)$ . Остальное — теорема о собственных значениях компактного оператора. $\blacksquare$

Уравнение первого рода. Теорема Пикара

Формулировка

Пусть $A$ — компактный самосопряжённый оператор с нулевым ядром. Уравнение $Ax = f$ разрешимо тогда и только тогда, когда

\sum_k\frac{|(f, e_k)|^2}{\lambda_k^2} < \infty,

и тогда решение единственно: $x = \sum_k\frac{(f, e_k)}{\lambda_k}e_k$ . В бесконечномерном пространстве образ $R(A)$ всюду плотен, но не замкнут, так что малые изменения $f$ могут вызывать большие изменения решения.

Доказательство

Развернуть

Если $Ax = f$ , то $(f, e_k) = (Ax, e_k) = (x, Ae_k) = \lambda_k(x, e_k)$ , и по равенству Парсеваля $\sum|(f, e_k)|^2/\lambda_k^2 = \|x\|^2 < \infty$ .

Обратно, при сходимости ряда по теореме Рисса–Фишера существует $x$ с коэффициентами $(f, e_k)/\lambda_k$ , и $Ax = \sum\lambda_k(x, e_k)e_k = \sum(f, e_k)e_k = f$ , так как $\{e_k\}$ — базис. Единственность следует из $\operatorname{Ker}A = \{0\}$ .

Образ плотен: $e_k = A(e_k/\lambda_k)\in R(A)$ , а $\{e_k\}$ — базис. Неустойчивость: $f + \varepsilon e_k$ даёт решение $x + \frac\varepsilon{\lambda_k}e_k$ , а $\frac\varepsilon{|\lambda_k|}\to\infty$ ; значит, обратный оператор $A^{-1}$ на $R(A)$ не ограничен. Если бы образ был замкнут, то $R(A) = H$ , и по теореме Банаха об обратном операторе $A^{-1}$ был бы ограничен — противоречие. $\blacksquare$

Спектр оператора Вольтерра

Формулировка

Для оператора Вольтерра $(Vx)(t) = \int_a^tK(t, s)x(s)\,ds$ с непрерывным ядром в $C[a, b]$ спектр содержится в $\{0\}$ . Для оператора интегрирования $(Jx)(t) = \int_a^tx(s)\,ds$ спектр равен $\{0\}$ , а собственных значений нет.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda\ne 0$ . Уравнение $(V - \lambda I)x = f$ равносильно уравнению Вольтерра второго рода $x = \frac1\lambda Vx - \frac f\lambda$ , которое по теореме об уравнении Вольтерра однозначно разрешимо при любом значении параметра и любой $f$ (доказательство теоремы об уравнении Вольтерра дословно переносится на комплексные значения параметра). Значит, $V - \lambda I$ — биекция банахова пространства $C[a, b]$ , и по теореме Банаха обратный оператор ограничен: $\lambda\in\rho(V)$ .

Для $J$ : если $Jx = 0$ , то $\int_a^tx = 0$ при всех $t$ , и после дифференцирования $x = 0$ . Значит, $0$ не собственное значение. Но $0\in\sigma(J)$ : образ $J$ состоит из функций с $x(a) = 0$ и не совпадает с $C[a, b]$ . $\blacksquare$

Норма интегрального оператора в C[a, b]

Формулировка

Пусть ядро $K(t, s)$ непрерывно на $[a, b]^2$ . Оператор $(Ax)(t) = \int_a^bK(t, s)x(s)\,ds$ ограничен в $C[a, b]$ и

\|A\| = \max_{t\in[a,b]}\int_a^b|K(t, s)|\,ds.

Доказательство

Развернуть

$Ax$ непрерывна по равномерной непрерывности ядра, и $|(Ax)(t)|\le\|x\|\int_a^b|K(t, s)|\,ds$ , так что $\|A\|\le M := \max_tg(t)$ , где $g(t) = \int_a^b|K(t, s)|\,ds$ .

Пусть $g(t_0) = M$ . Положим $x_n(s) = \dfrac{K(t_0, s)}{|K(t_0, s)| + 1/n}$ ; тогда $x_n$ непрерывна и $|x_n|\le 1$ . Так как $\dfrac{K^2}{|K| + \varepsilon}\ge|K| - \varepsilon$ ,

\|Ax_n\|\ge(Ax_n)(t_0) = \int_a^b\frac{K(t_0, s)^2}{|K(t_0, s)| + 1/n}\,ds\ge M - \frac{b - a}n.

Значит, $\|A\|\ge M$ . $\blacksquare$

Принцип равномерной ограниченности. Обратные операторы

Теорема Бэра о категории

Формулировка

Доказательство

Принцип равномерной ограниченности

Формулировка

Доказательство

Теорема Банаха–Штейнгауза о сильной сходимости

Формулировка

Доказательство

Ограниченность слабо сходящейся последовательности

Формулировка

Доказательство

Критерий слабой сходимости в lₚ

Формулировка

Доказательство

Обратимость оператора, близкого к тождественному. Ряд Неймана

Формулировка

Доказательство

Критерий существования ограниченного обратного

Формулировка

Доказательство

Теорема Банаха об обратном операторе

Формулировка

Доказательство

Сравнимые полные нормы эквивалентны

Формулировка

Доказательство

Уравнение x(t) − ½x(t²) = 1

Условие

Решение

Обратимость без ограниченности обратного

Условие

Решение

Непрерывная функция с расходящимся рядом Фурье

Условие

Решение

Роль полноты в теореме об эквивалентности норм

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Обратный оператор

Равномерная и сильная сходимость операторов

Полное метрическое пространство

Плотные, всюду плотные и нигде не плотные множества

Линейный ограниченный оператор. Норма оператора

Банахово пространство

Сильная и слабая сходимости

Сопряжённое и второе сопряжённое пространства

Пространства последовательностей lₚ, l∞ и c₀

Эквивалентные нормы

Теорема о вложенных шарах

Формулировка

Доказательство

Критерий нигде не плотного множества

Формулировка

Доказательство

Непрерывность и ограниченность линейного оператора

Формулировка

Доказательство

Каноническое вложение во второе сопряжённое

Формулировка

Доказательство

Полнота сопряжённого пространства

Формулировка

Доказательство

Компактный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся

Формулировка

Доказательство

Общий вид непрерывного функционала в lₚ

Формулировка

Доказательство

Пространство ограниченных операторов

Формулировка

Доказательство

Абсолютно сходящиеся ряды в банаховом пространстве

Формулировка

Доказательство

Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольным ядром