Сопряжённые и самосопряжённые операторы

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Свойства сопряжённого оператора в нормированном пространстве
Существование и свойства сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве
Ядро сопряжённого оператора и образ оператора
Свойства самосопряжённых операторов
Спектр самосопряжённого оператора

теорема

Свойства сопряжённого оператора в нормированном пространстве

Формулировка

$A^*$ — ограниченный линейный оператор и $\|A^*\| = \|A\|$ . Кроме того, $(A + B)^* = A^* + B^*$ , $(\lambda A)^* = \lambda A^*$ , $(AB)^* = B^*A^*$ .

Доказательство

Развернуть

$|(A^*g)(x)| = |g(Ax)|\le\|g\|\|A\|\|x\|$ , поэтому $A^*g\in E^*$ и $\|A^*\|\le\|A\|$ .

Обратно, для $x$ с $Ax\ne 0$ по следствию теоремы Хана–Банаха найдётся $g$ с $\|g\| = 1$ , $g(Ax) = \|Ax\|$ . Тогда $\|Ax\| = (A^*g)(x)\le\|A^*\|\|x\|$ , и $\|A\|\le\|A^*\|$ .

Алгебраические свойства проверяются подстановкой: например, $((AB)^*g)(x) = g(ABx) = (A^*g)(Bx) = (B^*A^*g)(x)$ . $\blacksquare$

теорема

Существование и свойства сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Для любого $A\in\mathcal L(H)$ сопряжённый оператор существует, единствен, и

\|A^*\| = \|A\|,\quad A^{**} = A,\quad(AB)^* = B^*A^*,\quad(\lambda A)^* = \bar\lambda A^*,\quad\|A^*A\| = \|A\|^2.

Доказательство

Развернуть

При фиксированном $y$ функционал $x\mapsto(Ax, y)$ ограничен: $|(Ax, y)|\le\|A\|\|x\|\|y\|$ . По теореме Рисса $(Ax, y) = (x, z)$ для единственного $z =: A^*y$ . Линейность $A^*$ следует из единственности.

$\|A^*y\|^2 = (AA^*y, y)\le\|A\|\|A^*y\|\|y\|$ , откуда $\|A^*\|\le\|A\|$ . Из $(A^*y, x) = (y, Ax)$ следует $A^{**} = A$ , и тогда $\|A\|\le\|A^*\|$ .

$\|A^*A\|\le\|A\|^2$ , а $\|Ax\|^2 = (A^*Ax, x)\le\|A^*A\|\|x\|^2$ . Остальные свойства проверяются подстановкой. $\blacksquare$

теорема

Ядро сопряжённого оператора и образ оператора

Формулировка

Для $A\in\mathcal L(H)$

\operatorname{Ker}A^* = R(A)^\perp,\qquad H = [R(A)]\oplus\operatorname{Ker}A^*.

Если образ $R(A)$ замкнут, то уравнение $Ax = f$ разрешимо тогда и только тогда, когда $f\perp\operatorname{Ker}A^*$ .

Доказательство

Развернуть

$A^*y = 0\iff(x, A^*y) = 0\ \forall x\iff(Ax, y) = 0\ \forall x\iff y\perp R(A)$ .

Ортогональное дополнение множества совпадает с ортогональным дополнением замыкания его линейной оболочки, а $[R(A)]$ — подпространство. По теореме о разложении $H = [R(A)]\oplus[R(A)]^\perp = [R(A)]\oplus\operatorname{Ker}A^*$ . При замкнутом образе $f\in R(A)\iff f\perp\operatorname{Ker}A^*$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства самосопряжённых операторов

Формулировка

Пусть $A$ самосопряжён. Тогда:

$(Ax, x)$ вещественно при всех $x$ ;
собственные значения вещественны, а собственные элементы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны;
$\|A\| = \sup_{\|x\| = 1}|(Ax, x)|$ .

Доказательство

Развернуть

$(Ax, x) = (x, Ax) = \overline{(Ax, x)}$ .
Если $Ax = \lambda x$ , $x\ne 0$ , то $\lambda\|x\|^2 = (Ax, x)$ вещественно. Если $Ax = \lambda x$ , $Ay = \mu y$ , $\lambda\ne\mu$ , то $\lambda(x, y) = (Ax, y) = (x, Ay) = \mu(x, y)$ , и $(x, y) = 0$ .
Пусть $N = \sup_{\|x\|=1}|(Ax, x)|$ ; ясно, что $N\le\|A\|$ . Для любых $x, y$

4\operatorname{Re}(Ax, y) = (A(x + y), x + y) - (A(x - y), x - y)\le N\bigl(\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2\bigr) = 2N\bigl(\|x\|^2 + \|y\|^2\bigr).

При $\|x\| = 1$ , $Ax\ne 0$ и $y = Ax/\|Ax\|$ получаем $4\|Ax\|\le 4N$ . $\blacksquare$

теорема

Спектр самосопряжённого оператора

Формулировка

Пусть $A$ самосопряжён, $m = \inf_{\|x\|=1}(Ax, x)$ , $M = \sup_{\|x\|=1}(Ax, x)$ . Тогда $\sigma(A)\subset[m, M]$ , причём $m, M\in\sigma(A)$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\lambda = \alpha + i\beta$ , $\beta\ne 0$ . Тогда

\|(A - \lambda)x\|\|x\|\ge|\operatorname{Im}((A - \lambda)x, x)| = |\beta|\|x\|^2,

и оператор оценён снизу; по лемме об оценке снизу его образ замкнут. Образ ортогонален $\operatorname{Ker}(A - \bar\lambda) = \{0\}$ (у $A$ нет невещественных собственных значений), поэтому совпадает с $H$ . Значит, $\lambda\in\rho(A)$ . Для вещественного $\lambda > M$ рассуждение то же с оценкой $((\lambda - A)x, x)\ge(\lambda - M)\|x\|^2$ ; аналогично при $\lambda < m$ .

$M\in\sigma(A)$ . Оператор $B = M - A$ неотрицателен: $(Bx, x)\ge 0$ . Для неотрицательной эрмитовой формы $(Bx, y)$ выполнено неравенство Коши–Буняковского, и при $y = Bx$

\|Bx\|^4\le(Bx, x)(B^2x, Bx)\le(Bx, x)\|B\|\|Bx\|^2,\qquad\text{то есть}\qquad\|Bx\|^2\le\|B\|(Bx, x).

Для единичных $x_n$ с $(Ax_n, x_n)\to M$ имеем $(Bx_n, x_n)\to 0$ , значит, $Bx_n\to 0$ . Тогда $B$ не оценён снизу и не является непрерывно обратимым. Аналогично $m\in\sigma(A)$ . $\blacksquare$

Сопряжённый к правому сдвигу

Условие

Найти оператор, сопряжённый к правому сдвигу $S_r$ в $l_2$ . Является ли $S_r$ самосопряжённым?

Решение

Развернуть

$(S_rx, y) = \sum_{k\ge 2}x_{k-1}\bar y_k = \sum_{k\ge 1}x_k\bar y_{k+1} = (x, S_ly)$ . Значит, $S_r^* = S_l$ , и $S_r$ не самосопряжён.

Сопряжённый к оператору интегрирования в L₂

Условие

Найти оператор, сопряжённый к $(Jx)(t) = \int_0^tx(s)\,ds$ в вещественном $L_2[0, 1]$ .

Решение

Развернуть

Меняя порядок интегрирования (теорема Фубини), получаем

(Jx, y) = \int_0^1\int_0^tx(s)y(t)\,ds\,dt = \int_0^1x(s)\int_s^1y(t)\,dt\,ds.

Значит, $(J^*y)(s) = \int_s^1y(t)\,dt$ . Это интегральный оператор с «транспонированным» ядром: ядро $J$ равно $\chi_{\{s\le t\}}$ , а ядро $J^*$ равно $\chi_{\{t\le s\}}$ (переменные поменялись ролями).

Оператор умножения на функцию в L₂

Условие

Пусть $a(t)$ — вещественная непрерывная функция на $[0, 1]$ , $(Ax)(t) = a(t)x(t)$ в $L_2[0, 1]$ . Доказать, что $A$ самосопряжён, и найти $m$ , $M$ и спектр.

Решение

Развернуть

$(Ax, y) = \int ax\bar y = (x, Ay)$ — самосопряжён.

$(Ax, x) = \int a|x|^2\in[\min a, \max a]\cdot\|x\|^2$ . Концентрируя $x$ около точек минимума и максимума, получаем $m = \min a$ , $M = \max a$ , и $\sigma(A)\subset[\min a, \max a]$ .

Любое $\lambda = a(t_0)$ лежит в спектре: для $x_n = \sqrt{n}\chi_{e_n}$ , где $e_n$ — отрезок длины $\frac1n$ около $t_0$ , имеем $\|(A - \lambda)x_n\|\le\max_{e_n}|a - a(t_0)|\to 0$ . Оператор не оценён снизу. Итак, $\sigma(A) = [\min a, \max a]$ — множество значений $a$ .

Сопряжённый к левому сдвигу в l₁

Условие

Найти оператор, сопряжённый к левому сдвигу $A(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ в $l_1$ , отождествив $l_1^*$ с $l_\infty$ .

Решение

Развернуть

Для $g = g_y$ , $y\in l_\infty$ : $(A^*g)(x) = g(Ax) = \sum_kx_{k+1}y_k = \sum_{k\ge 2}x_ky_{k-1}$ . Это функционал $g_z$ с $z = (0, y_1, y_2, \dots)$ .

Значит, $A^*$ — правый сдвиг в $l_\infty$ , и $\|A^*\| = \|A\| = 1$ .

Норма самосопряжённого оператора через квадратичную форму

Условие

Для оператора в $\mathbb R^2_2$ с матрицей $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ найти $m$ , $M$ , спектр и норму.

Решение

Развернуть

$(Ax, x) = 2x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2$ . На единичной окружности её экстремумы — собственные значения $1$ и $3$ (собственные векторы $(1, -1)$ и $(1, 1)$ ). $m = 1$ , $M = 3$ , $\sigma(A) = \{1, 3\}$ , $\|A\| = \max(|m|, |M|) = 3$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Сопряжённый оператор в нормированном пространстве

Пусть $A\in\mathcal L(E, F)$ . Сопряжённым оператором называется оператор $A^*\colon F^*\to E^*$ , определённый равенством

(A^*g)(x) = g(Ax),\qquad g\in F^*,\ x\in E.

Сопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Самосопряжённый оператор

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A\in\mathcal L(H)$ . Сопряжённый оператор $A^*\in\mathcal L(H)$ определяется равенством

(Ax, y) = (x, A^*y)\qquad\text{для всех } x, y\in H.

Оператор называется самосопряжённым, если $A^* = A$ , то есть $(Ax, y) = (x, Ay)$ .

Гильбертово пространство

Гильбертовым пространством (ГП) называется полное евклидово пространство.

Примеры:

$\mathbb R^n$ с $(x,y) = \sum x_ky_k$ ;
$l_2$ с $(x,y) = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k$ (ряд сходится по неравенству Коши–Буняковского);
$C_2[a,b]$ с $(x,y) = \int_a^bx(t)y(t)\,dt$ — евклидово, но не полное;
его пополнение $L_2[a,b]$ (функции с интегрируемым по Лебегу квадратом) — гильбертово.

Ортогональность. Ортогональное дополнение

Элементы $x$ и $y$ евклидова пространства ортогональны ( $x\perp y$ ), если $(x,y) = 0$ . Элемент $x$ ортогонален множеству $M$ ( $x\perp M$ ), если $x\perp y$ для всех $y\in M$ .

Ортогональное дополнение множества $M$ : $M^\perp = \{x: x\perp M\}$ .

Собственные значения и собственные элементы. Части спектра

Число $\lambda$ называется собственным значением оператора $A$ , если существует $x\ne 0$ с $Ax = \lambda x$ ; такой $x$ называется собственным элементом (вектором), а $\operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ — собственным подпространством. Множество собственных значений называется точечным спектром.

Остальные точки спектра (где $A - \lambda I$ инъективен, но не непрерывно обратим) образуют непрерывный спектр, если образ $A - \lambda I$ всюду плотен, и остаточный спектр, если не плотен.

Регулярные значения, резольвента, спектр

Пусть $E$ — комплексное банахово пространство, $A\in\mathcal L(E)$ . Число $\lambda\in\mathbb C$ называется регулярным значением оператора $A$ , если оператор $A - \lambda I$ непрерывно обратим. Оператор

R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}

называется резольвентой. Множество регулярных значений $\rho(A)$ — резольвентное множество, его дополнение $\sigma(A) = \mathbb C\setminus\rho(A)$ — спектр оператора.

Следствия теоремы Хана–Банаха

Формулировка

Пусть $E$ — нормированное пространство.

Для любого $x_0\ne 0$ существует ограниченный функционал $F$ с $\|F\| = 1$ и $F(x_0) = \|x_0\|$ .
Ограниченные функционалы разделяют точки: если $x\ne y$ , то $F(x)\ne F(y)$ для некоторого $F$ .
$\|x\| = \max_{\|F\|\le 1}|F(x)|$ .
Если $L$ — линейное многообразие и $d = \rho(x_0, L) > 0$ , то существует $F$ с $F|_L = 0$ , $F(x_0) = 1$ , $\|F\| = 1/d$ .
$x_0\in[L]$ тогда и только тогда, когда каждый ограниченный функционал, обращающийся в нуль на $L$ , обращается в нуль и в $x_0$ .

Доказательство

Развернуть

На $\operatorname{span}\{x_0\}$ положим $f(tx_0) = t\|x_0\|$ ; $\|f\| = 1$ . Продолжаем с сохранением нормы.
Применяем п. 1 к $x - y$ . 3. $|F(x)|\le\|x\|$ при $\|F\|\le 1$ , и равенство достигается в п. 1.
На $L + \operatorname{span}\{x_0\}$ положим $f(y + tx_0) = t$ . Так как $|t|d\le\|tx_0 + y\|$ , имеем $\|f\|\le 1/d$ . Взяв $y_n\in L$ с $\|x_0 - y_n\|\to d$ , получаем $1 = f(x_0 - y_n)\le\|f\|\|x_0 - y_n\|$ , то есть $\|f\| = 1/d$ . Продолжаем с сохранением нормы.
Необходимость — по непрерывности. Достаточность: если $x_0\notin[L]$ , то $\rho(x_0, L) > 0$ , и функционал из п. 4 нулевой на $L$ , но не в $x_0$ . $\blacksquare$

Непрерывность и ограниченность линейного оператора

Формулировка

Линейный оператор $A\colon E\to F$ непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен (и тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле). При этом $\|Ax\|\le\|A\|\|x\|$ .

Доказательство

Развернуть

Дословно повторяет доказательство для функционалов с заменой $|f(x)|$ на $\|Ax\|$ : если $\|Ax_n\| > n\|x_n\|$ , то $y_n = x_n/(n\|x_n\|)\to 0$ , но $\|Ay_n\| > 1$ ; обратно, $\|Ax_n - Ax\|\le C\|x_n - x\|$ . $\blacksquare$

Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве

Формулировка

Для любого ограниченного линейного функционала $f$ на гильбертовом пространстве $H$ существует единственный элемент $y\in H$ такой, что

f(x) = (x, y)\quad\text{для всех } x\in H,\qquad\|f\| = \|y\|.

Доказательство

Развернуть

При $f = 0$ берём $y = 0$ . Иначе $N = \operatorname{Ker}f$ — замкнутое подпространство, $N\ne H$ , и $H = N\oplus N^\perp$ . Возьмём $z\in N^\perp$ , $z\ne 0$ . Для любого $x$ элемент $f(x)z - f(z)x$ лежит в $N$ , поэтому ортогонален $z$ :

f(x)\|z\|^2 - f(z)(x, z) = 0\quad\Longrightarrow\quad f(x) = \left(x, \frac{\overline{f(z)}}{\|z\|^2}z\right) =: (x, y).

По неравенству Коши–Буняковского $|f(x)|\le\|x\|\|y\|$ , а $f(y) = \|y\|^2$ , так что $\|f\| = \|y\|$ . Если $(x, y) = (x, y')$ при всех $x$ , то при $x = y - y'$ получаем $y = y'$ . $\blacksquare$

Пространство ограниченных операторов

Формулировка

$\mathcal L(E, F)$ — нормированное пространство; если $F$ банахово, то $\mathcal L(E, F)$ банахово. Кроме того, $\|AB\|\le\|A\|\|B\|$ , в частности $\|A^n\|\le\|A\|^n$ .

Доказательство

Развернуть

Аксиомы нормы проверяются непосредственно; например, $\|(A + B)x\|\le(\|A\| + \|B\|)\|x\|$ .

$\|ABx\|\le\|A\|\|Bx\|\le\|A\|\|B\|\|x\|$ . $\blacksquare$

Компактность сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Оператор $A\in\mathcal L(H)$ компактен тогда и только тогда, когда компактен $A^*$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $A$ компактен, $\|y_n\|\le C$ . Оператор $AA^*$ компактен, и можно считать, что $AA^*y_n$ сходится. Тогда

\|A^*(y_n - y_m)\|^2 = (AA^*(y_n - y_m), y_n - y_m)\le 2C\|AA^*(y_n - y_m)\|\to 0,

так что $A^*y_n$ фундаментальна и сходится. Обратное следует из $A^{**} = A$ . $\blacksquare$

Сопряжённый к интегральному оператору

Формулировка

Оператор, сопряжённый к оператору Гильберта–Шмидта с ядром $K(t, s)$ , — оператор Гильберта–Шмидта с ядром

K^*(t, s) = \overline{K(s, t)}.

Оператор самосопряжён тогда и только тогда, когда ядро эрмитово (в вещественном случае — симметрично).

Доказательство

Развернуть

По теореме Фубини (подынтегральная функция интегрируема на $Q$ по неравенству Коши–Буняковского)

(Ax, y) = \int_a^b\!\!\int_a^bK(t, s)x(s)\overline{y(t)}\,ds\,dt = \int_a^bx(s)\overline{\int_a^b\overline{K(t, s)}y(t)\,dt}\,ds = (x, A^*y),

где $(A^*y)(s) = \int_a^b\overline{K(t, s)}y(t)\,dt$ . Переобозначив переменные, получаем ядро $\overline{K(s, t)}$ . Операторы с ядрами, совпадающими почти всюду, совпадают, и обратно. $\blacksquare$

Разложение гильбертова пространства в прямую сумму

Формулировка

Если $L$ — подпространство гильбертова пространства $H$ , то

H = L\oplus L^\perp,\qquad (L^\perp)^\perp = L.

Доказательство

Развернуть

Для $x\in H$ имеем $x = P_Lx + (x - P_Lx)$ , где $x - P_Lx\in L^\perp$ по свойству ортогональной проекции. Разложение единственно, так как $L\cap L^\perp = \{0\}$ .

Включение $L\subset(L^\perp)^\perp$ очевидно. Пусть $x\in(L^\perp)^\perp$ и $x = y + z$ , $y\in L$ , $z\in L^\perp$ . Тогда $0 = (x,z) = (y,z) + (z,z) = \|z\|^2$ , то есть $x = y\in L$ . $\blacksquare$

Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольным ядром

Формулировка

Пусть $K$ — ядро Гильберта–Шмидта, $A$ — соответствующий оператор в $L_2[a, b]$ . Тогда для уравнения $x - \lambda Ax = f$ :

(альтернатива Фредгольма) либо оно однозначно разрешимо при любой $f\in L_2$ , либо однородное уравнение имеет ненулевое решение;
однородное уравнение $x = \lambda Ax$ и союзное однородное $y = \bar\lambda A^*y$ имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений;
неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогональна всем решениям союзного однородного уравнения;
характеристические числа образуют не более чем счётное множество, не имеющее конечных предельных точек.

Доказательство

Развернуть

Зафиксируем $\rho > 0$ и рассмотрим $|\lambda| < \rho$ . Разложим $K = K_n + R$ , где $K_n$ вырождено, а $\|R\|_{L_2(Q)} < 1/\rho$ . Тогда для оператора $R$ с этим ядром $\|\lambda R\| < 1$ , и $I - \lambda R$ непрерывно обратим (ряд Неймана). Справедливо разложение

I - \lambda A = (I - \lambda R)(I - T),\qquad T = \lambda(I - \lambda R)^{-1}A_n,

где $T$ конечномерен: $Tx = \sum_i(x, \bar b_i)\tilde a_i$ с $\tilde a_i = \lambda(I - \lambda R)^{-1}a_i$ .

Для конечномерного оператора $T$ утверждения 2, 3 доказаны: рассуждение теоремы Фредгольма для вырожденного ядра переносится на операторы вида $\sum(x, \bar b_i)\tilde a_i$ (линейная независимость $\tilde a_i$ не нужна: на $\operatorname{Ker}(I - T)$ отображение $x\mapsto c$ , $c_i = (x, \bar b_i)$ , инъективно, так как $x = \sum c_i\tilde a_i$ ). Переносим их на $I - \lambda A$ :

$\operatorname{Ker}(I - \lambda A) = \operatorname{Ker}(I - T)$ , так как $I - \lambda R$ обратим;
$(I - \lambda A)^* = (I - T)^*(I - \lambda R)^*$ , поэтому $\operatorname{Ker}(I - \lambda A)^* = \bigl((I - \lambda R)^*\bigr)^{-1}\operatorname{Ker}(I - T)^*$ — той же размерности, что $\operatorname{Ker}(I - T)^*$ . Это п. 2;
$f\in R(I - \lambda A)\iff(I - \lambda R)^{-1}f\in R(I - T)\iff(I - \lambda R)^{-1}f\perp\operatorname{Ker}(I - T)^*\iff f\perp\operatorname{Ker}(I - \lambda A)^*$ . Это п. 3.

П. 1 следует из пп. 2, 3: если однородное уравнение имеет лишь нулевое решение, то и союзное тоже, и тогда разрешимость есть при любой $f$ , а единственность — из тривиальности ядра.

П. 4: ненулевые решения уравнения $x = Tx$ существуют тогда и только тогда, когда $\det\bigl(\delta_{ij} - (\tilde a_j, \bar b_i)\bigr) = 0$ . Этот определитель — аналитическая функция $\lambda$ в круге $|\lambda| < \rho$ (по ряду Неймана), равная $1$ при $\lambda = 0$ . Её нули изолированы, и в любом меньшем замкнутом круге их конечное число. $\blacksquare$

Равенство параллелограмма

Формулировка

В евклидовом пространстве

\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.

Как следствие, нормы пространств $C[a,b]$ и $l_p$ при $p\ne2$ не порождаются никаким скалярным произведением.

Доказательство

Развернуть

Раскрываем скобки: $\|x\pm y\|^2 = \|x\|^2\pm2(x,y) + \|y\|^2$ и складываем.

В $l_p$ для $e_1, e_2$ имеем $\|e_1\pm e_2\|_p = 2^{1/p}$ . Равенство $2\cdot2^{2/p} = 4$ выполнено лишь при $p = 2$ . В $l_\infty$ : $\|e_1\pm e_2\| = 1$ , и $2\ne4$ . В $C[0,1]$ для $x = 1$ , $y = t$ : $\|x + y\| = 2$ , $\|x - y\| = 1$ , и $5\ne4$ . $\blacksquare$

Замечание. Верно и обратное (теорема Йордана–фон Неймана): если норма удовлетворяет равенству параллелограмма, то $(x,y) = \frac14\left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\right)$ — скалярное произведение, порождающее эту норму.

Компактный самосопряжённый оператор имеет собственное значение ±‖A‖

Формулировка

Если $A\ne 0$ — компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве, то одно из чисел $\|A\|$ , $-\|A\|$ является его собственным значением.

Доказательство

Развернуть

По свойству самосопряжённых операторов $\|A\| = \sup_{\|x\|=1}|(Ax, x)|$ . Выберем единичные $x_n$ с $(Ax_n, x_n)\to\lambda$ , $|\lambda| = \|A\|$ (числа $(Ax_n, x_n)$ вещественны). Тогда

\|Ax_n - \lambda x_n\|^2 = \|Ax_n\|^2 - 2\lambda(Ax_n, x_n) + \lambda^2\le 2\lambda^2 - 2\lambda(Ax_n, x_n)\to 0.

По компактности для подпоследовательности $Ax_{n_k}\to y$ . Тогда $\lambda x_{n_k}\to y$ , $\|y\| = |\lambda|\ne 0$ , и $Ay = \lim\lambda Ax_{n_k} = \lambda y$ . $\blacksquare$

Критерий существования ограниченного обратного

Формулировка

Линейный оператор $A$ имеет обратный, ограниченный на $R(A)$ , тогда и только тогда, когда существует $m > 0$ с

\|Ax\|\ge m\|x\|\quad\text{для всех } x.

При этом $\|A^{-1}\|\le 1/m$ . Если $E$ банахово и $A$ ограничен, то $R(A)$ при этом замкнуто.

Доказательство

Развернуть

Если оценка выполнена, то из $Ax = 0$ следует $x = 0$ , и для $y = Ax$ имеем $\|A^{-1}y\| = \|x\|\le\|y\|/m$ . Обратно, если $\|A^{-1}y\|\le C\|y\|$ , то $\|x\|\le C\|Ax\|$ , и $m = 1/C$ .

Замкнутость: если $Ax_n\to y$ , то $x_n$ фундаментальна (по оценке), сходится к $x$ , и $Ax = y$ . $\blacksquare$

Сопряжённые к основным пространствам

Формулировка

При $1\le p < \infty$ , $\frac1p + \frac1q = 1$ :

l_p^*\cong l_q,\qquad L_p[a, b]^*\cong L_q[a, b],

а для гильбертова пространства $H^*\cong H$ (в комплексном случае соответствие $y\mapsto(\cdot, y)$ сопряжённо-линейно). Кроме того, $c_0^*\cong l_1$ , а $C[a, b]^*$ изометрически изоморфно пространству нормированных функций ограниченной вариации ( $g(a) = 0$ , $g$ непрерывна слева в $(a, b)$ ) с нормой $\operatorname{V}_a^b(g)$ .

Доказательство

Развернуть

Отображение $y\mapsto f_y$ , $f_y(x) = \sum x_ky_k$ (соответственно $\int xy$ или $(x, y)$ ), линейно (в комплексном гильбертовом случае — сопряжённо-линейно) и сохраняет норму, а по теоремам об общем виде функционалов оно сюръективно. Описание $c_0^*$ разобрано в задаче, $C[a, b]^*$ — по теореме Рисса. $\blacksquare$

Сопряжённые и самосопряжённые операторы

Свойства сопряжённого оператора в нормированном пространстве

Формулировка

Доказательство

Существование и свойства сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Ядро сопряжённого оператора и образ оператора

Формулировка

Доказательство

Свойства самосопряжённых операторов

Формулировка

Доказательство

Спектр самосопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Сопряжённый к правому сдвигу

Условие

Решение

Сопряжённый к оператору интегрирования в L₂

Условие

Решение

Оператор умножения на функцию в L₂

Условие

Решение

Сопряжённый к левому сдвигу в l₁

Условие

Решение

Норма самосопряжённого оператора через квадратичную форму

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Сопряжённый оператор в нормированном пространстве

Сопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Самосопряжённый оператор

Гильбертово пространство

Ортогональность. Ортогональное дополнение

Собственные значения и собственные элементы. Части спектра

Регулярные значения, резольвента, спектр

Следствия теоремы Хана–Банаха

Формулировка

Доказательство

Непрерывность и ограниченность линейного оператора

Формулировка

Доказательство

Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Пространство ограниченных операторов

Формулировка

Доказательство

Компактность сопряжённого оператора в гильбертовом пространстве

Формулировка

Доказательство

Сопряжённый к интегральному оператору

Формулировка

Доказательство

Разложение гильбертова пространства в прямую сумму

Формулировка

Доказательство

Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольным ядром

Формулировка

Доказательство

Равенство параллелограмма

Формулировка

Доказательство

Компактный самосопряжённый оператор имеет собственное значение ±‖A‖

Формулировка

Доказательство

Критерий существования ограниченного обратного

Формулировка

Доказательство

Сопряжённые к основным пространствам

Формулировка

Доказательство