Векторы. Линейная зависимость. Базис

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Свойства линейных операций над векторами
Свойства линейно зависимых систем векторов
Критерий линейной зависимости двух векторов
Критерий линейной зависимости трёх векторов
Линейная зависимость четырёх векторов в пространстве
Теорема о разложении вектора по базису
Линейные операции в координатах

теорема

Свойства линейных операций над векторами

Формулировка

Для любых векторов $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ и чисел $\alpha, \beta$ :

$\mathbf a + \mathbf b = \mathbf b + \mathbf a$ ;
$(\mathbf a + \mathbf b) + \mathbf c = \mathbf a + (\mathbf b + \mathbf c)$ ;
$\mathbf a + \mathbf 0 = \mathbf a$ ;
$\mathbf a + (-\mathbf a) = \mathbf 0$ ;
$1\cdot\mathbf a = \mathbf a$ ;
$\alpha(\beta\mathbf a) = (\alpha\beta)\mathbf a$ ;
$(\alpha + \beta)\mathbf a = \alpha\mathbf a + \beta\mathbf a$ ;
$\alpha(\mathbf a + \mathbf b) = \alpha\mathbf a + \alpha\mathbf b$ .

Доказательство

Развернуть

Для неколлинеарных векторов обе суммы — диагональ одного параллелограмма. Для коллинеарных проверка сводится к сложению длин с учётом направлений.
Если $\mathbf a = \overrightarrow{AB}$ , $\mathbf b = \overrightarrow{BC}$ , $\mathbf c = \overrightarrow{CD}$ , то обе части равны $\overrightarrow{AD}$ .

3–5 следуют прямо из определений.

6, 7. Векторы в обеих частях коллинеарны $\mathbf a$ . Их длины и направления совпадают: это проверяется перебором знаков $\alpha$ и $\beta$ .

Пусть $\alpha > 0$ , $\mathbf a = \overrightarrow{AB}$ , $\mathbf b = \overrightarrow{BC}$ . Гомотетия с центром $A$ и коэффициентом $\alpha$ переводит треугольник $ABC$ в $AB'C'$ с $\overrightarrow{AB'} = \alpha\mathbf a$ , $\overrightarrow{B'C'} = \alpha\mathbf b$ , $\overrightarrow{AC'} = \alpha(\mathbf a + \mathbf b)$ . Значит, $\alpha(\mathbf a+\mathbf b) = \alpha\mathbf a + \alpha\mathbf b$ . Случай $\alpha < 0$ сводится к этому с помощью центральной симметрии, а при $\alpha = 0$ равенство очевидно. $\blacksquare$

лемма

Свойства линейно зависимых систем векторов

Формулировка

Система из $k \ge 2$ векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.
Если часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима. В частности, любая система, содержащая $\mathbf 0$ , линейно зависима.

Доказательство

Развернуть

Если $\sum\lambda_i\mathbf a_i = \mathbf 0$ и $\lambda_j\ne0$ , то $\mathbf a_j = -\sum_{i\ne j}\frac{\lambda_i}{\lambda_j}\mathbf a_i$ . Обратно, из $\mathbf a_j = \sum_{i\ne j}\mu_i\mathbf a_i$ получаем нетривиальную комбинацию $\mathbf a_j - \sum_{i\ne j}\mu_i\mathbf a_i = \mathbf 0$ .
Нетривиальную нулевую комбинацию части системы дополним нулевыми коэффициентами при остальных векторах. Для нулевого вектора: $1\cdot\mathbf 0 = \mathbf 0$ . $\blacksquare$

теорема

Критерий линейной зависимости двух векторов

Формулировка

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Если $\mathbf a \ne \mathbf 0$ и $\mathbf b$ коллинеарен $\mathbf a$ , то $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ при единственном $\lambda$ .

Доказательство

Развернуть

Лемма. Пусть $\mathbf a \ne \mathbf 0$ и $\mathbf b\parallel\mathbf a$ . Положим $\lambda = |\mathbf b|/|\mathbf a|$ при $\mathbf b\uparrow\uparrow\mathbf a$ и $\lambda = -|\mathbf b|/|\mathbf a|$ при $\mathbf b\uparrow\downarrow\mathbf a$ ( $\lambda = 0$ при $\mathbf b = \mathbf 0$ ). Тогда $\lambda\mathbf a$ и $\mathbf b$ имеют одинаковые длину и направление, то есть $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ . Единственность: из $\lambda\mathbf a = \mu\mathbf a$ следует $(\lambda-\mu)\mathbf a = \mathbf 0$ , и так как $|\lambda - \mu|\,|\mathbf a| = 0$ , получаем $\lambda = \mu$ .

Необходимость. Один из векторов выражается через другой, $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ . По определению умножения на число такие векторы коллинеарны.

Достаточность. Если $\mathbf a = \mathbf 0$ , то $1\cdot\mathbf a + 0\cdot\mathbf b = \mathbf 0$ . Иначе по лемме $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ , то есть $\lambda\mathbf a - \mathbf b = \mathbf 0$ . $\blacksquare$

теорема

Критерий линейной зависимости трёх векторов

Формулировка

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Если $\mathbf a, \mathbf b$ неколлинеарны, а $\mathbf c$ компланарен с ними, то $\mathbf c = \alpha\mathbf a + \beta\mathbf b$ .

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть, скажем, $\mathbf c = \alpha\mathbf a + \beta\mathbf b$ . Отложим векторы от точки $O$ . Векторы $\alpha\mathbf a$ и $\beta\mathbf b$ лежат на прямых, содержащих $\mathbf a$ и $\mathbf b$ , а их сумма, построенная по правилу параллелограмма, лежит в той же плоскости.

Достаточность. Если $\mathbf a, \mathbf b$ коллинеарны, они линейно зависимы, а значит, зависима и вся тройка. Иначе отложим $\mathbf a = \overrightarrow{OA}$ , $\mathbf b = \overrightarrow{OB}$ , $\mathbf c = \overrightarrow{OC}$ в одной плоскости. Через $C$ проведём прямую, параллельную $OB$ ; она пересечёт прямую $OA$ в точке $C_1$ , так как $\mathbf a\nparallel\mathbf b$ . Тогда

\mathbf c = \overrightarrow{OC_1} + \overrightarrow{C_1C},\qquad \overrightarrow{OC_1} = \alpha\mathbf a,\quad \overrightarrow{C_1C} = \beta\mathbf b

по критерию коллинеарности двух векторов. Значит, $\alpha\mathbf a + \beta\mathbf b - \mathbf c = \mathbf 0$ . $\blacksquare$

теорема

Линейная зависимость четырёх векторов в пространстве

Формулировка

Любые четыре вектора пространства линейно зависимы. Если $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ некомпланарны, то любой вектор $\mathbf d$ представляется в виде $\mathbf d = \alpha\mathbf a + \beta\mathbf b + \gamma\mathbf c$ .

Доказательство

Развернуть

Если какие-то три из векторов компланарны, они линейно зависимы, а значит, зависима и вся четвёрка.

Пусть $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ некомпланарны, и векторы отложены от точки $O$ : $\mathbf d = \overrightarrow{OD}$ . Прямая через $D$ , параллельная $\mathbf c$ , пересекает плоскость векторов $\mathbf a, \mathbf b$ в точке $D'$ , так как $\mathbf c$ этой плоскости не параллелен. Тогда $\mathbf d = \overrightarrow{OD'} + \overrightarrow{D'D}$ , где $\overrightarrow{OD'} = \alpha\mathbf a + \beta\mathbf b$ и $\overrightarrow{D'D} = \gamma\mathbf c$ , так как $\overrightarrow{D'D}\parallel\mathbf c$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема о разложении вектора по базису

Формулировка

Любой вектор $\mathbf a \in V_3$ раскладывается по базису $(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)$ :

\mathbf a = x\mathbf e_1 + y\mathbf e_2 + z\mathbf e_3,

и это разложение единственно. Аналогичные утверждения верны в $V_2$ и $V_1$ .

Доказательство

Развернуть

Существование в $V_3$ следует из линейной зависимости любых четырёх векторов, в $V_2$ — из критерия компланарности трёх векторов, в $V_1$ — из критерия коллинеарности двух векторов.

Единственность. Если $\mathbf a = \sum x_i\mathbf e_i = \sum x_i'\mathbf e_i$ , то $\sum(x_i - x_i')\mathbf e_i = \mathbf 0$ . Векторы базиса некомпланарны и линейно независимы, поэтому $x_i = x_i'$ . $\blacksquare$

теорема

Линейные операции в координатах

Формулировка

Пусть в некотором базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ . Тогда:

$\mathbf a + \mathbf b = (x_1+x_2,\ y_1+y_2,\ z_1+z_2)$ , $\lambda\mathbf a = (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1)$ ;
$\mathbf a = \mathbf b$ тогда и только тогда, когда их координаты совпадают;
при $\mathbf a \ne \mathbf 0$ векторы $\mathbf a$ и $\mathbf b$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ .

Доказательство

Развернуть

По свойствам линейных операций

\mathbf a + \mathbf b = (x_1\mathbf e_1 + y_1\mathbf e_2 + z_1\mathbf e_3) + (x_2\mathbf e_1 + \dots) = (x_1+x_2)\mathbf e_1 + (y_1+y_2)\mathbf e_2 + (z_1+z_2)\mathbf e_3.

Для $\lambda\mathbf a$ аналогично.

Следует из единственности разложения.
Коллинеарность с ненулевым $\mathbf a$ означает $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ ; по пунктам 1, 2 это равносильно пропорциональности координат. $\blacksquare$

Разложение вектора по базису

Условие

В некотором базисе даны векторы $\mathbf e_1' = (1,0,1)$ , $\mathbf e_2' = (1,1,0)$ , $\mathbf e_3' = (0,1,1)$ и $\mathbf a = (2, 3, 5)$ . Разложить $\mathbf a$ по векторам $\mathbf e_1', \mathbf e_2', \mathbf e_3'$ .

Решение

Развернуть

Ищем $\mathbf a = x\mathbf e_1' + y\mathbf e_2' + z\mathbf e_3'$ . Это равносильно системе

x + y = 2,\qquad y + z = 3,\qquad x + z = 5.

Сложив уравнения, получаем $x + y + z = 5$ , откуда $z = 3$ , $x = 2$ , $y = 0$ . Решение единственно, как и должно быть для разложения по базису: векторы $\mathbf e_i'$ образуют базис, так как определитель из их координат равен $2 \ne 0$ .

Ответ: $\mathbf a = 2\mathbf e_1' + 3\mathbf e_3'$ .

Точка пересечения медиан треугольника

Условие

Доказать векторно, что медианы треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке $M$ и делятся ею в отношении $2:1$ , считая от вершины. При этом для любой точки $O$

\overrightarrow{OM} = \tfrac13\big(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\big).

Решение

Развернуть

Пусть $A_1$ — середина $BC$ : $\overrightarrow{OA_1} = \frac12(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$ . Точка $M$ на медиане $AA_1$ с $AM : MA_1 = 2:1$ удовлетворяет

\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \tfrac23\big(\overrightarrow{OA_1} - \overrightarrow{OA}\big) = \tfrac13\overrightarrow{OA} + \tfrac13\overrightarrow{OB} + \tfrac13\overrightarrow{OC}

Выражение симметрично относительно $A, B, C$ , поэтому та же точка делит в отношении $2:1$ и две другие медианы. $\blacksquare$

Условие коллинеарности векторов в координатах

Условие

При каких $\alpha$ и $\beta$ векторы $\mathbf a = (\alpha, 2, -1)$ и $\mathbf b = (3, \beta, 1)$ коллинеарны?

Решение

Развернуть

Координаты должны быть пропорциональны:

\frac{\alpha}{3} = \frac{2}{\beta} = \frac{-1}{1},

откуда $\alpha = -3$ , $\beta = -2$ , и $\mathbf a = -\mathbf b$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Геометрический вектор

Геометрическим вектором (направленным отрезком) $\overrightarrow{AB}$ называется отрезок с упорядоченными концами: $A$ — начало, $B$ — конец. Длина (модуль) вектора $|\overrightarrow{AB}|$ — длина отрезка $AB$ . Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым ( $\mathbf 0$ ); его направление не определено.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины, то есть один получается из другого параллельным переносом. Векторы, рассматриваемые с точностью до такого равенства, называются свободными. Их обозначают $\mathbf a$ , $\vec a$ ; множество свободных векторов пространства обозначают $V_3$ , плоскости — $V_2$ , прямой — $V_1$ .

Коллинеарные и компланарные векторы

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Ненулевые коллинеарные векторы либо сонаправлены ( $\mathbf a \uparrow\uparrow \mathbf b$ ), либо противоположно направлены ( $\mathbf a \uparrow\downarrow \mathbf b$ ).

Три (и более) вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости, то есть, будучи отложенными от одной точки, лежат в одной плоскости.

Линейные операции над векторами

Сумма векторов (правило треугольника): если $\mathbf a = \overrightarrow{AB}$ , $\mathbf b = \overrightarrow{BC}$ , то $\mathbf a + \mathbf b = \overrightarrow{AC}$ . Для неколлинеарных векторов это равносильно правилу параллелограмма.

Произведением вектора $\mathbf a$ на число $\lambda$ называется вектор $\lambda\mathbf a$ длины $|\lambda|\,|\mathbf a|$ . Он сонаправлен с $\mathbf a$ при $\lambda > 0$ и противоположно направлен при $\lambda < 0$ . При $\lambda = 0$ или $\mathbf a = \mathbf 0$ результат — нулевой вектор.

Вектор $-\mathbf a = (-1)\mathbf a$ называется противоположным к $\mathbf a$ ; разность $\mathbf a - \mathbf b = \mathbf a + (-\mathbf b)$ .

Линейная зависимость векторов

Линейной комбинацией векторов $\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_k$ называется вектор $\lambda_1\mathbf a_1 + \dots + \lambda_k\mathbf a_k$ . Векторы называются линейно зависимыми, если существуют числа $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ , не все равные нулю, такие что

\lambda_1\mathbf a_1 + \dots + \lambda_k\mathbf a_k = \mathbf 0,

и линейно независимыми — в противном случае, то есть когда это равенство возможно лишь при $\lambda_1 = \dots = \lambda_k = 0$ .

Базис. Координаты вектора

Базисом в $V_3$ называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов $(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)$ ; в $V_2$ — упорядоченная пара неколлинеарных векторов; в $V_1$ — любой ненулевой вектор.

Если $\mathbf a = x\mathbf e_1 + y\mathbf e_2 + z\mathbf e_3$ , то числа $x, y, z$ называются координатами вектора $\mathbf a$ в базисе $(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)$ ; пишут $\mathbf a = (x, y, z)$ .

Линейность ортогональной проекции

Формулировка

Для ненулевого вектора $\mathbf e$ , любых векторов $\mathbf a, \mathbf b$ и числа $\lambda$ :

\operatorname{пр}_{\mathbf e}(\mathbf a + \mathbf b) = \operatorname{пр}_{\mathbf e}\mathbf a + \operatorname{пр}_{\mathbf e}\mathbf b,\qquad \operatorname{пр}_{\mathbf e}(\lambda\mathbf a) = \lambda\operatorname{пр}_{\mathbf e}\mathbf a.

Доказательство

Развернуть

Пусть $l$ — ось с направлением $\mathbf e$ , $\mathbf a = \overrightarrow{AB}$ , и $A', B'$ — основания перпендикуляров из $A, B$ на $l$ . Из прямоугольного треугольника $\operatorname{пр}_{\mathbf e}\mathbf a$ — это алгебраическая (со знаком) длина отрезка $A'B'$ на оси.

Если $\mathbf b = \overrightarrow{BC}$ , то алгебраические длины складываются: $A'C' = A'B' + B'C'$ . Это первое равенство.

При $\lambda > 0$ угол с $\mathbf e$ не меняется, а длина умножается на $\lambda$ . При $\lambda < 0$ угол заменяется на $\pi - \varphi$ , и $\cos$ меняет знак. $\blacksquare$

Специальные виды уравнения прямой на плоскости

Формулировка

Пусть прямая проходит через точку $M_0(x_0, y_0)$ с радиус-вектором $\mathbf r_0$ и имеет направляющий вектор $\mathbf a = (l, m)$ . Её можно задать уравнениями:

векторным: $\mathbf r = \mathbf r_0 + t\mathbf a$ , $t\in\mathbb R$ ;
параметрическими: $x = x_0 + lt$ , $y = y_0 + mt$ ;
каноническим: $\dfrac{x - x_0}{l} = \dfrac{y - y_0}{m}$ ;
через две точки $M_1, M_2$ : $\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}$ ;
в отрезках: $\dfrac xa + \dfrac yb = 1$ (прямая отсекает на осях отрезки $a, b \ne 0$ );
с угловым коэффициентом (в ПДСК): $y = kx + b$ , $k = \operatorname{tg}\alpha$ ;
нормальным (в ПДСК): $x\cos\theta + y\sin\theta - p = 0$ , где $p \ge 0$ — расстояние от начала координат.

В каноническом уравнении нулевой знаменатель означает, что равен нулю и соответствующий числитель.

Доказательство

Развернуть

$M$ лежит на прямой $\iff \overrightarrow{M_0M}\parallel\mathbf a \iff \overrightarrow{M_0M} = t\mathbf a$ .
Это уравнение 1 в координатах.
Получается исключением $t$ из уравнений 2.
Каноническое уравнение с $\mathbf a = \overrightarrow{M_1M_2}$ .
Уравнение 4 для точек $(a, 0)$ и $(0, b)$ .
Если прямая не вертикальна, то $l \ne 0$ , и из 3 получаем $y = \frac ml x + \left(y_0 - \frac ml x_0\right)$ , где $\frac ml = \operatorname{tg}\alpha$ .
Единичный вектор $\mathbf n = (\cos\theta, \sin\theta)$ , перпендикулярный прямой и направленный от начала координат, и точка $M$ прямой удовлетворяют $(\mathbf n, \overrightarrow{OM}) = p$ : проекция $\overrightarrow{OM}$ на $\mathbf n$ равна расстоянию от $O$ до прямой. $\blacksquare$

Уравнения прямой в пространстве

Формулировка

Прямую через $M_0$ с направляющим вектором $\mathbf a = (l, m, n)$ можно задать уравнениями:

векторным: $\mathbf r = \mathbf r_0 + t\mathbf a$ ;
параметрическими: $x = x_0 + lt$ , $y = y_0 + mt$ , $z = z_0 + nt$ ;
каноническими: $\dfrac{x-x_0}{l} = \dfrac{y-y_0}{m} = \dfrac{z-z_0}{n}$ ;
через две точки: $\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} = \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}$ ;
общими — как пересечение двух непараллельных плоскостей:

\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0,\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0,\end{cases}

причём направляющим вектором служит $\mathbf a = \mathbf n_1\times\mathbf n_2$ .

Доказательство

Развернуть

$M$ лежит на прямой $\iff \overrightarrow{M_0M}\parallel\mathbf a \iff \overrightarrow{M_0M} = t\mathbf a$ .
Это уравнение 1 в координатах.
Получается исключением $t$ .
Канонические уравнения с $\mathbf a = \overrightarrow{M_1M_2}$ .
Прямая лежит в обеих плоскостях, поэтому её направляющий вектор ортогонален обеим нормалям. Вектор $\mathbf n_1\times\mathbf n_2 \ne \mathbf 0$ тоже ортогонален обеим нормалям. Два вектора, перпендикулярные одной плоскости (плоскости векторов $\mathbf n_1, \mathbf n_2$ ), коллинеарны. $\blacksquare$

Критерий коллинеарности. Геометрический смысл векторного произведения

Формулировка

$\mathbf a\times\mathbf b = \mathbf 0$ тогда и только тогда, когда $\mathbf a$ и $\mathbf b$ коллинеарны.
$|\mathbf a\times\mathbf b|$ равен площади параллелограмма, построенного на $\mathbf a$ и $\mathbf b$ ; площадь треугольника равна $\frac12|\mathbf a\times\mathbf b|$ .

Доказательство

Развернуть

Для коллинеарных векторов $\mathbf a\times\mathbf b = \mathbf 0$ по определению. Для неколлинеарных $\mathbf a, \mathbf b \ne \mathbf 0$ и $\varphi \in (0, \pi)$ , поэтому $|\mathbf a\times\mathbf b| = |\mathbf a|\,|\mathbf b|\sin\varphi > 0$ .
Площадь параллелограмма равна произведению основания $|\mathbf a|$ на высоту $|\mathbf b|\sin\varphi$ . $\blacksquare$

Специальные виды уравнения плоскости

Формулировка

Плоскость через точку $M_0$ параллельно неколлинеарным векторам $\mathbf a = (a_1,a_2,a_3)$ , $\mathbf b = (b_1,b_2,b_3)$ :

\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix} = 0; \qquad\text{параметрически: } \mathbf r = \mathbf r_0 + u\mathbf a + v\mathbf b.

Через три точки $M_1, M_2, M_3$ , не лежащие на одной прямой:

\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1\\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix} = 0.

В отрезках: $\dfrac xa + \dfrac yb + \dfrac zc = 1$ .
Нормальное: $x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma - p = 0$ , где $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ — единичная нормаль, $p \ge 0$ — расстояние от начала координат.

Доказательство

Развернуть

$M$ лежит в плоскости $\iff$ векторы $\overrightarrow{M_0M}, \mathbf a, \mathbf b$ компланарны $\iff$ их смешанное произведение равно нулю. Параметрическая форма — та же компланарность, записанная как $\overrightarrow{M_0M} = u\mathbf a + v\mathbf b$ .
Частный случай 1 с $\mathbf a = \overrightarrow{M_1M_2}$ , $\mathbf b = \overrightarrow{M_1M_3}$ .
Это уравнение 2 для точек $(a,0,0)$ , $(0,b,0)$ , $(0,0,c)$ .
Проекция $\overrightarrow{OM}$ на единичную нормаль, направленную от $O$ , постоянна и равна $p$ . $\blacksquare$

Преобразование аффинных координат на плоскости

Формулировка

Пусть даны «старая» система $(O; \mathbf e_1, \mathbf e_2)$ и «новая» $(O'; \mathbf e_1', \mathbf e_2')$ , причём

\mathbf e_1' = c_{11}\mathbf e_1 + c_{21}\mathbf e_2,\quad \mathbf e_2' = c_{12}\mathbf e_1 + c_{22}\mathbf e_2,\quad O'(x_0, y_0).

Тогда старые координаты $(x, y)$ точки выражаются через новые $(x', y')$ формулами

\begin{cases} x = c_{11}x' + c_{12}y' + x_0,\\ y = c_{21}x' + c_{22}y' + y_0,\end{cases} \qquad\text{т.е.}\qquad X = CX' + X_0.

Матрица перехода $C = (c_{ij})$ , столбцы которой — координаты новых базисных векторов, невырождена, и $X' = C^{-1}(X - X_0)$ .

Доказательство

Развернуть

\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'M} = x_0\mathbf e_1 + y_0\mathbf e_2 + x'\mathbf e_1' + y'\mathbf e_2'.

Подставив выражения $\mathbf e_1', \mathbf e_2'$ и приведя подобные члены, получаем разложение $\overrightarrow{OM}$ по $\mathbf e_1, \mathbf e_2$ . По единственности разложения его коэффициенты равны $x$ и $y$ .

Векторы $\mathbf e_1', \mathbf e_2'$ неколлинеарны, поэтому столбцы $C$ не пропорциональны, и $\det C \ne 0$ . Поэтому $C^{-1}$ существует, что даёт обратную формулу. $\blacksquare$

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Если в ортонормированном базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ , то

(\mathbf a, \mathbf b) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2,\qquad |\mathbf a| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2},\qquad \cos\varphi = \frac{(\mathbf a, \mathbf b)}{|\mathbf a|\,|\mathbf b|}.

Доказательство

Развернуть

Раскроем $(x_1\mathbf i + y_1\mathbf j + z_1\mathbf k,\ x_2\mathbf i + y_2\mathbf j + z_2\mathbf k)$ по линейности. Учитывая $(\mathbf i,\mathbf i) = (\mathbf j,\mathbf j) = (\mathbf k,\mathbf k) = 1$ и равенство нулю попарных произведений разных векторов базиса, получаем первую формулу. Вторая — случай $\mathbf b = \mathbf a$ , третья — определение скалярного произведения. Координаты единичного вектора $\mathbf a/|\mathbf a|$ равны $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ , и сумма их квадратов равна его длине в квадрате, то есть $1$ . $\blacksquare$

Координаты вектора по точкам. Деление отрезка в данном отношении

Формулировка

Пусть в аффинной системе координат даны точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ .

$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)$ .
Точка $M$ , для которой $\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{MB}$ ( $\lambda\ne-1$ ), имеет координаты

x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda},\qquad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1+\lambda};

в частности, середина отрезка — при $\lambda = 1$ . 3. В ПДСК $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ .

Аналогичные формулы верны в пространстве.

Доказательство

Развернуть

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ и переходим к координатам.
Условие $\mathbf r - \mathbf r_A = \lambda(\mathbf r_B - \mathbf r)$ даёт $\mathbf r = \frac{\mathbf r_A + \lambda\mathbf r_B}{1+\lambda}$ для радиус-векторов; переходим к координатам.
Это длина вектора $\overrightarrow{AB}$ в ортонормированном базисе. $\blacksquare$

Прямая на плоскости — алгебраическая кривая первого порядка

Формулировка

В любой аффинной системе координат на плоскости всякая прямая задаётся уравнением первой степени $Ax + By + C = 0$ , и всякое такое уравнение задаёт прямую. Вектор $(-B, A)$ — направляющий вектор этой прямой. Порядок кривой не зависит от выбора аффинной системы координат.

Доказательство

Развернуть

Пусть прямая проходит через $M_0(x_0, y_0)$ и имеет направляющий вектор $\mathbf a = (l, m)$ . Точка $M(x,y)$ лежит на прямой тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{M_0M}\parallel\mathbf a$ . Это означает $(x - x_0)m - (y - y_0)l = 0$ — уравнение первой степени, так как $(m, -l)\ne(0,0)$ .

Обратно, у уравнения $Ax + By + C = 0$ есть решение $(x_0, y_0)$ . Вычитая, получаем $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$ , то есть векторы $(x - x_0, y - y_0)$ и $(-B, A)$ коллинеарны. Это прямая через $M_0$ с направляющим вектором $(-B, A)$ .

Замена аффинной системы координат выражает старые координаты линейно через новые, поэтому степень уравнения сохраняется. $\blacksquare$

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями

Формулировка

Плоскости $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ с нормалями $\mathbf n_1, \mathbf n_2$ :

пересекаются по прямой $\iff \mathbf n_1\nparallel\mathbf n_2$ ;
параллельны $\iff \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2}\ne\dfrac{D_1}{D_2}$ ;
совпадают $\iff$ все четыре коэффициента пропорциональны.

Угол между плоскостями: $\cos\varphi = \dfrac{|(\mathbf n_1, \mathbf n_2)|}{|\mathbf n_1|\,|\mathbf n_2|}$ ; плоскости перпендикулярны $\iff (\mathbf n_1, \mathbf n_2) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Общие точки — решения системы из двух уравнений с тремя неизвестными.

Если $\mathbf n_1\nparallel\mathbf n_2$ , то ранг матрицы системы равен 2, и система совместна по теореме Кронекера–Капелли. Её общее решение имеет вид $X = X_\text{ч} + tX_1$ с одним параметром — это прямая.

Если $\mathbf n_2 = \mu\mathbf n_1$ , то при $D_2 = \mu D_1$ уравнения равносильны. Иначе ранг расширенной матрицы равен 2 при ранге матрицы системы 1, и общих точек нет.

Угол между плоскостями равен углу между нормалями или дополняет его до $\pi$ ; отсюда формула для косинуса. $\blacksquare$

Векторы. Линейная зависимость. Базис

Свойства линейных операций над векторами

Формулировка

Доказательство

Свойства линейно зависимых систем векторов

Формулировка

Доказательство

Критерий линейной зависимости двух векторов

Формулировка

Доказательство

Критерий линейной зависимости трёх векторов

Формулировка

Доказательство

Линейная зависимость четырёх векторов в пространстве

Формулировка

Доказательство

Теорема о разложении вектора по базису

Формулировка

Доказательство

Линейные операции в координатах

Формулировка

Доказательство

Разложение вектора по базису

Условие

Решение

Точка пересечения медиан треугольника

Условие

Решение

Условие коллинеарности векторов в координатах

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Геометрический вектор

Коллинеарные и компланарные векторы

Линейные операции над векторами

Линейная зависимость векторов

Базис. Координаты вектора

Линейность ортогональной проекции

Формулировка

Доказательство

Специальные виды уравнения прямой на плоскости

Формулировка

Доказательство

Уравнения прямой в пространстве

Формулировка

Доказательство

Критерий коллинеарности. Геометрический смысл векторного произведения

Формулировка

Доказательство

Специальные виды уравнения плоскости

Формулировка

Доказательство

Преобразование аффинных координат на плоскости

Формулировка

Доказательство

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Доказательство

Координаты вектора по точкам. Деление отрезка в данном отношении

Формулировка

Доказательство

Прямая на плоскости — алгебраическая кривая первого порядка

Формулировка

Доказательство

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями

Формулировка

Доказательство