Скалярное, векторное и смешанное произведения

Прогресс изучения0 из 10

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы10

Линейность ортогональной проекции
Свойства скалярного произведения
Критерий ортогональности векторов
Скалярное произведение в ортонормированном базисе
Критерий коллинеарности. Геометрический смысл векторного произведения
Геометрический смысл смешанного произведения. Критерий компланарности
Свойства смешанного произведения
Алгебраические свойства векторного произведения
Векторное произведение в координатах
Смешанное произведение в координатах

лемма

Линейность ортогональной проекции

Формулировка

Для ненулевого вектора $\mathbf e$ , любых векторов $\mathbf a, \mathbf b$ и числа $\lambda$ :

\operatorname{пр}_{\mathbf e}(\mathbf a + \mathbf b) = \operatorname{пр}_{\mathbf e}\mathbf a + \operatorname{пр}_{\mathbf e}\mathbf b,\qquad \operatorname{пр}_{\mathbf e}(\lambda\mathbf a) = \lambda\operatorname{пр}_{\mathbf e}\mathbf a.

Доказательство

Развернуть

Пусть $l$ — ось с направлением $\mathbf e$ , $\mathbf a = \overrightarrow{AB}$ , и $A', B'$ — основания перпендикуляров из $A, B$ на $l$ . Из прямоугольного треугольника $\operatorname{пр}_{\mathbf e}\mathbf a$ — это алгебраическая (со знаком) длина отрезка $A'B'$ на оси.

Если $\mathbf b = \overrightarrow{BC}$ , то алгебраические длины складываются: $A'C' = A'B' + B'C'$ . Это первое равенство.

При $\lambda > 0$ угол с $\mathbf e$ не меняется, а длина умножается на $\lambda$ . При $\lambda < 0$ угол заменяется на $\pi - \varphi$ , и $\cos$ меняет знак. $\blacksquare$

теорема

Свойства скалярного произведения

Формулировка

$(\mathbf a, \mathbf b) = (\mathbf b, \mathbf a)$ ;
$(\lambda\mathbf a, \mathbf b) = \lambda(\mathbf a, \mathbf b)$ ;
$(\mathbf a + \mathbf b, \mathbf c) = (\mathbf a, \mathbf c) + (\mathbf b, \mathbf c)$ ;
$(\mathbf a, \mathbf a) = |\mathbf a|^2 \ge 0$ , причём $(\mathbf a, \mathbf a) = 0 \iff \mathbf a = \mathbf 0$ .

Доказательство

Развернуть

1 и 4 следуют из определения ( $\cos 0 = 1$ ). Для 2 и 3 при $\mathbf c \ne \mathbf 0$ запишем $(\mathbf a, \mathbf c) = |\mathbf c|\operatorname{пр}_{\mathbf c}\mathbf a$ и воспользуемся линейностью проекции. При $\mathbf c = \mathbf 0$ обе части равны нулю. $\blacksquare$

теорема

Критерий ортогональности векторов

Формулировка

Векторы $\mathbf a$ и $\mathbf b$ ортогональны тогда и только тогда, когда $(\mathbf a, \mathbf b) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Если один из векторов нулевой, обе части верны по соглашению. Иначе $|\mathbf a|\,|\mathbf b| \ne 0$ , и $(\mathbf a, \mathbf b) = 0 \iff \cos\varphi = 0 \iff \varphi = \pi/2$ при $\varphi\in[0,\pi]$ . $\blacksquare$

теорема

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Если в ортонормированном базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ , то

(\mathbf a, \mathbf b) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2,\qquad |\mathbf a| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2},\qquad \cos\varphi = \frac{(\mathbf a, \mathbf b)}{|\mathbf a|\,|\mathbf b|}.

Доказательство

Развернуть

Раскроем $(x_1\mathbf i + y_1\mathbf j + z_1\mathbf k,\ x_2\mathbf i + y_2\mathbf j + z_2\mathbf k)$ по линейности. Учитывая $(\mathbf i,\mathbf i) = (\mathbf j,\mathbf j) = (\mathbf k,\mathbf k) = 1$ и равенство нулю попарных произведений разных векторов базиса, получаем первую формулу. Вторая — случай $\mathbf b = \mathbf a$ , третья — определение скалярного произведения. Координаты единичного вектора $\mathbf a/|\mathbf a|$ равны $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ , и сумма их квадратов равна его длине в квадрате, то есть $1$ . $\blacksquare$

теорема

Критерий коллинеарности. Геометрический смысл векторного произведения

Формулировка

$\mathbf a\times\mathbf b = \mathbf 0$ тогда и только тогда, когда $\mathbf a$ и $\mathbf b$ коллинеарны.
$|\mathbf a\times\mathbf b|$ равен площади параллелограмма, построенного на $\mathbf a$ и $\mathbf b$ ; площадь треугольника равна $\frac12|\mathbf a\times\mathbf b|$ .

Доказательство

Развернуть

Для коллинеарных векторов $\mathbf a\times\mathbf b = \mathbf 0$ по определению. Для неколлинеарных $\mathbf a, \mathbf b \ne \mathbf 0$ и $\varphi \in (0, \pi)$ , поэтому $|\mathbf a\times\mathbf b| = |\mathbf a|\,|\mathbf b|\sin\varphi > 0$ .
Площадь параллелограмма равна произведению основания $|\mathbf a|$ на высоту $|\mathbf b|\sin\varphi$ . $\blacksquare$

теорема

Геометрический смысл смешанного произведения. Критерий компланарности

Формулировка

Если $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ некомпланарны, то $\mathbf a\mathbf b\mathbf c = \pm V$ , где $V$ — объём параллелепипеда, построенного на этих векторах. Знак $+$ берётся для правой тройки, знак $-$ — для левой.
$\mathbf a\mathbf b\mathbf c = 0$ тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Доказательство

Развернуть

Если $\mathbf a\parallel\mathbf b$ , то $\mathbf a\times\mathbf b = \mathbf 0$ , смешанное произведение равно нулю, и тройка компланарна.

Пусть $\mathbf a\nparallel\mathbf b$ , $\mathbf d = \mathbf a\times\mathbf b$ . Тогда $|\mathbf d| = S$ — площадь основания, а

\mathbf a\mathbf b\mathbf c = (\mathbf d, \mathbf c) = |\mathbf d|\operatorname{пр}_{\mathbf d}\mathbf c = S\cdot(\pm h).

Здесь $h$ — высота параллелепипеда, так как $\mathbf d$ перпендикулярен плоскости основания. Знак $+$ получается, когда $\mathbf c$ и $\mathbf d$ лежат по одну сторону от плоскости $\mathbf a, \mathbf b$ , то есть когда тройка $(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c)$ ориентирована так же, как правая тройка $(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf d)$ . Наконец, $h = 0$ тогда и только тогда, когда $\mathbf c$ лежит в плоскости $\mathbf a, \mathbf b$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства смешанного произведения

Формулировка

$\mathbf a\mathbf b\mathbf c = \mathbf b\mathbf c\mathbf a = \mathbf c\mathbf a\mathbf b = -\mathbf b\mathbf a\mathbf c = -\mathbf a\mathbf c\mathbf b = -\mathbf c\mathbf b\mathbf a$ .
$(\mathbf a\times\mathbf b, \mathbf c) = (\mathbf a, \mathbf b\times\mathbf c)$ .
Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.

Доказательство

Развернуть

Компланарность не зависит от порядка векторов, поэтому для компланарных векторов все произведения нулевые. Для некомпланарных модуль каждого равен $V$ , а знак определяется ориентацией. Циклическая перестановка ориентацию сохраняет, перестановка двух векторов меняет.
$(\mathbf a, \mathbf b\times\mathbf c) = (\mathbf b\times\mathbf c, \mathbf a) = \mathbf b\mathbf c\mathbf a = \mathbf a\mathbf b\mathbf c$ .
$\mathbf a\mathbf b\mathbf c = (\mathbf a\times\mathbf b, \mathbf c)$ линейно по $\mathbf c$ в силу линейности скалярного произведения. Линейность по $\mathbf a$ и $\mathbf b$ следует из пункта 1: например, $\mathbf a\mathbf b\mathbf c = \mathbf b\mathbf c\mathbf a$ , а это выражение линейно по последнему аргументу $\mathbf a$ . $\blacksquare$

теорема

Алгебраические свойства векторного произведения

Формулировка

$\mathbf a\times\mathbf b = -\mathbf b\times\mathbf a$ (антикоммутативность);
$(\lambda\mathbf a)\times\mathbf b = \lambda(\mathbf a\times\mathbf b)$ ;
$(\mathbf a + \mathbf b)\times\mathbf c = \mathbf a\times\mathbf c + \mathbf b\times\mathbf c$ .

Доказательство

Развернуть

Заметим: если $(\mathbf d, \mathbf x) = 0$ для всех $\mathbf x$ , то $\mathbf d = \mathbf 0$ . Достаточно взять $\mathbf x = \mathbf d$ : тогда $|\mathbf d|^2 = 0$ .

Для $\mathbf d = \mathbf a\times\mathbf b + \mathbf b\times\mathbf a$ и любого $\mathbf x$ имеем $(\mathbf d, \mathbf x) = \mathbf a\mathbf b\mathbf x + \mathbf b\mathbf a\mathbf x = 0$ .
Для $\mathbf d = (\mathbf a+\mathbf b)\times\mathbf c - \mathbf a\times\mathbf c - \mathbf b\times\mathbf c$ по линейности смешанного произведения по первому аргументу $(\mathbf d, \mathbf x) = 0$ .

2 доказывается так же. $\blacksquare$

теорема

Векторное произведение в координатах

Формулировка

Если в правом ортонормированном базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ , то

\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix} = (y_1z_2 - z_1y_2,\ \ z_1x_2 - x_1z_2,\ \ x_1y_2 - y_1x_2).

Доказательство

Развернуть

По определению для правого ортонормированного базиса

\mathbf i\times\mathbf j = \mathbf k,\quad \mathbf j\times\mathbf k = \mathbf i,\quad \mathbf k\times\mathbf i = \mathbf j,\quad \mathbf i\times\mathbf i = \mathbf j\times\mathbf j = \mathbf k\times\mathbf k = \mathbf 0.

Раскроем $(x_1\mathbf i + y_1\mathbf j + z_1\mathbf k)\times(x_2\mathbf i + y_2\mathbf j + z_2\mathbf k)$ (с учётом антикоммутативности, например $\mathbf j\times\mathbf i = -\mathbf k$ ):

x_1y_2\mathbf k - x_1z_2\mathbf j - y_1x_2\mathbf k + y_1z_2\mathbf i + z_1x_2\mathbf j - z_1y_2\mathbf i.

Это и есть разложение указанного определителя по первой строке. $\blacksquare$

теорема

Смешанное произведение в координатах

Формулировка

В правом ортонормированном базисе

\mathbf a\mathbf b\mathbf c = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\\ x_3 & y_3 & z_3\end{vmatrix}.

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда этот определитель равен нулю.

Доказательство

Развернуть

По формулам векторного и скалярного произведений в координатах

(\mathbf a\times\mathbf b, \mathbf c) = x_3\begin{vmatrix}y_1&z_1\\y_2&z_2\end{vmatrix} - y_3\begin{vmatrix}x_1&z_1\\x_2&z_2\end{vmatrix} + z_3\begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix},

а это разложение определителя по третьей строке. Второе утверждение следует из геометрического критерия компланарности. $\blacksquare$

Площадь треугольника

Условие

Найти площадь треугольника с вершинами $A(1,0,1)$ , $B(2,1,3)$ , $C(0,2,1)$ .

Решение

Развернуть

$\overrightarrow{AB} = (1,1,2)$ , $\overrightarrow{AC} = (-1,2,0)$ . Тогда

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\1&1&2\\-1&2&0\end{vmatrix} = (-4, -2, 3).

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения: $S = \frac12\sqrt{16+4+9} = \frac{\sqrt{29}}{2}$ .

Объём тетраэдра и его высота

Условие

Найти объём тетраэдра $ABCD$ и длину высоты, опущенной из $D$ , если $A(1,0,1)$ , $B(2,1,3)$ , $C(0,2,1)$ , $D(1,1,4)$ .

Решение

Развернуть

$\overrightarrow{AB} = (1,1,2)$ , $\overrightarrow{AC} = (-1,2,0)$ , $\overrightarrow{AD} = (0,1,3)$ . Смешанное произведение:

\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix}1&1&2\\-1&2&0\\0&1&3\end{vmatrix} = 7.

Объём тетраэдра составляет $1/6$ объёма параллелепипеда: $V = 7/6$ . Площадь грани $ABC$ равна $\sqrt{29}/2$ , поэтому

h = \frac{3V}{S} = \frac{7}{\sqrt{29}}.

Угол между векторами и проекция

Условие

Найти угол между векторами $\mathbf a = (1,2,2)$ и $\mathbf b = (3,0,4)$ и проекцию $\operatorname{пр}_{\mathbf b}\mathbf a$ .

Решение

Развернуть

В координатах $(\mathbf a,\mathbf b) = 3 + 0 + 8 = 11$ , $|\mathbf a| = 3$ , $|\mathbf b| = 5$ . Отсюда

\cos\varphi = \frac{11}{15},\quad \varphi = \arccos\frac{11}{15};\qquad \operatorname{пр}_{\mathbf b}\mathbf a = \frac{(\mathbf a, \mathbf b)}{|\mathbf b|} = \frac{11}{5}.

Вектор, перпендикулярный двум данным

Условие

Найти вектор $\mathbf x$ , перпендикулярный векторам $\mathbf a = (2,-1,1)$ и $\mathbf b = (1,2,-1)$ и удовлетворяющий условию $(\mathbf x, \mathbf c) = 14$ , где $\mathbf c = (1,1,1)$ .

Решение

Развернуть

Вектор, перпендикулярный неколлинеарным $\mathbf a$ и $\mathbf b$ , коллинеарен $\mathbf a\times\mathbf b$ . Вычислим его:

\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\2&-1&1\\1&2&-1\end{vmatrix} = (-1, 3, 5).

Пусть $\mathbf x = \lambda(-1,3,5)$ . Тогда $(\mathbf x,\mathbf c) = 7\lambda = 14$ , откуда $\lambda = 2$ и $\mathbf x = (-2, 6, 10)$ .

Проверка компланарности векторов

Условие

Компланарны ли векторы $\mathbf a = (1,2,3)$ , $\mathbf b = (2,1,0)$ , $\mathbf c = (0,3,6)$ ?

Решение

Развернуть

\begin{vmatrix}1&2&3\\2&1&0\\0&3&6\end{vmatrix} = 1\cdot 6 - 2\cdot 12 + 3\cdot 6 = 0,

поэтому векторы компланарны. И действительно, $\mathbf c = 2\mathbf a - \mathbf b$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Угол между векторами. Проекция вектора на ось

Углом между ненулевыми векторами $\mathbf a = \overrightarrow{OA}$ и $\mathbf b = \overrightarrow{OB}$ называется угол $\varphi \in [0, \pi]$ между лучами $OA$ и $OB$ .

Ортогональной проекцией вектора $\mathbf a$ на ненулевой вектор $\mathbf e$ (на ось, направленную по $\mathbf e$ ) называется число

\operatorname{пр}_{\mathbf e}\mathbf a = |\mathbf a|\cos\varphi,

где $\varphi$ — угол между $\mathbf a$ и $\mathbf e$ . Для $\mathbf a = \mathbf 0$ проекция равна нулю.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$ называется число

(\mathbf a, \mathbf b) = |\mathbf a|\,|\mathbf b|\cos\varphi,

где $\varphi$ — угол между ними. Если один из векторов нулевой, то $(\mathbf a, \mathbf b) = 0$ . Равносильно: $(\mathbf a, \mathbf b) = |\mathbf b|\operatorname{пр}_{\mathbf b}\mathbf a$ при $\mathbf b \ne \mathbf 0$ .

Ортогональность. Ортонормированный базис

Ненулевые векторы называются ортогональными ( $\mathbf a\perp\mathbf b$ ), если угол между ними равен $\pi/2$ . Нулевой вектор считается ортогональным любому.

Базис $(\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k)$ называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Точка $O$ вместе с ортонормированным базисом образует прямоугольную декартову систему координат (ПДСК).

Правая и левая тройки векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c)$ , отложенных от одной точки, называется правой, если из конца вектора $\mathbf c$ кратчайший поворот от $\mathbf a$ к $\mathbf b$ виден происходящим против часовой стрелки, и левой — в противном случае.

Циклическая перестановка векторов тройки сохраняет её ориентацию, а перестановка двух векторов меняет ориентацию на противоположную.

Векторное произведение векторов

Векторным произведением неколлинеарных векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$ называется вектор $\mathbf c = \mathbf a\times\mathbf b$ (обозначается также $[\mathbf a, \mathbf b]$ ) такой, что:

$|\mathbf c| = |\mathbf a|\,|\mathbf b|\sin\varphi$ , где $\varphi$ — угол между $\mathbf a$ и $\mathbf b$ ;
$\mathbf c \perp \mathbf a$ , $\mathbf c\perp\mathbf b$ ;
тройка $(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c)$ правая.

Если $\mathbf a$ и $\mathbf b$ коллинеарны, то $\mathbf a\times\mathbf b = \mathbf 0$ .

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ называется число

\mathbf a\mathbf b\mathbf c = (\mathbf a\times\mathbf b, \mathbf c).

Коллинеарные и компланарные векторы

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Ненулевые коллинеарные векторы либо сонаправлены ( $\mathbf a \uparrow\uparrow \mathbf b$ ), либо противоположно направлены ( $\mathbf a \uparrow\downarrow \mathbf b$ ).

Три (и более) вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости, то есть, будучи отложенными от одной точки, лежат в одной плоскости.

Свойства линейных операций над векторами

Формулировка

Для любых векторов $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ и чисел $\alpha, \beta$ :

$\mathbf a + \mathbf b = \mathbf b + \mathbf a$ ;
$(\mathbf a + \mathbf b) + \mathbf c = \mathbf a + (\mathbf b + \mathbf c)$ ;
$\mathbf a + \mathbf 0 = \mathbf a$ ;
$\mathbf a + (-\mathbf a) = \mathbf 0$ ;
$1\cdot\mathbf a = \mathbf a$ ;
$\alpha(\beta\mathbf a) = (\alpha\beta)\mathbf a$ ;
$(\alpha + \beta)\mathbf a = \alpha\mathbf a + \beta\mathbf a$ ;
$\alpha(\mathbf a + \mathbf b) = \alpha\mathbf a + \alpha\mathbf b$ .

Доказательство

Развернуть

Для неколлинеарных векторов обе суммы — диагональ одного параллелограмма. Для коллинеарных проверка сводится к сложению длин с учётом направлений.
Если $\mathbf a = \overrightarrow{AB}$ , $\mathbf b = \overrightarrow{BC}$ , $\mathbf c = \overrightarrow{CD}$ , то обе части равны $\overrightarrow{AD}$ .

3–5 следуют прямо из определений.

6, 7. Векторы в обеих частях коллинеарны $\mathbf a$ . Их длины и направления совпадают: это проверяется перебором знаков $\alpha$ и $\beta$ .

Пусть $\alpha > 0$ , $\mathbf a = \overrightarrow{AB}$ , $\mathbf b = \overrightarrow{BC}$ . Гомотетия с центром $A$ и коэффициентом $\alpha$ переводит треугольник $ABC$ в $AB'C'$ с $\overrightarrow{AB'} = \alpha\mathbf a$ , $\overrightarrow{B'C'} = \alpha\mathbf b$ , $\overrightarrow{AC'} = \alpha(\mathbf a + \mathbf b)$ . Значит, $\alpha(\mathbf a+\mathbf b) = \alpha\mathbf a + \alpha\mathbf b$ . Случай $\alpha < 0$ сводится к этому с помощью центральной симметрии, а при $\alpha = 0$ равенство очевидно. $\blacksquare$

Нормальный вектор прямой в ПДСК

Формулировка

В ПДСК вектор $\mathbf n = (A, B)$ — нормальный вектор прямой $Ax + By + C = 0$ . Прямая, проходящая через $M_0(x_0, y_0)$ перпендикулярно $\mathbf n = (A, B)$ , имеет уравнение

A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0.

Доказательство

Развернуть

Направляющий вектор прямой равен $(-B, A)$ , а $\big((A,B), (-B,A)\big) = -AB + BA = 0$ , поэтому $\mathbf n\perp$ прямой. Второе утверждение: $M$ лежит на прямой $\iff (\mathbf n, \overrightarrow{M_0M}) = 0$ . $\blacksquare$

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка

Формулировка

В ПДСК всякая плоскость задаётся уравнением первой степени, и всякое уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ задаёт плоскость. Вектор $\mathbf n = (A, B, C)$ — её нормальный вектор. Плоскость, проходящая через точку $M_0(x_0,y_0,z_0)$ перпендикулярно $\mathbf n$ , имеет уравнение

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0.

Доказательство

Развернуть

Точка $M$ лежит в плоскости, проходящей через $M_0$ перпендикулярно $\mathbf n$ , тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{M_0M}\perp\mathbf n$ . Это и есть указанное уравнение первой степени.

Обратно, у уравнения $Ax + By + Cz + D = 0$ есть решение $(x_0, y_0, z_0)$ . Вычитая, приводим уравнение к виду $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ , а это плоскость через $M_0$ с нормалью $(A, B, C)$ . $\blacksquare$

Теорема о разложении вектора по базису

Формулировка

Любой вектор $\mathbf a \in V_3$ раскладывается по базису $(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)$ :

\mathbf a = x\mathbf e_1 + y\mathbf e_2 + z\mathbf e_3,

и это разложение единственно. Аналогичные утверждения верны в $V_2$ и $V_1$ .

Доказательство

Развернуть

Существование в $V_3$ следует из линейной зависимости любых четырёх векторов, в $V_2$ — из критерия компланарности трёх векторов, в $V_1$ — из критерия коллинеарности двух векторов.

Единственность. Если $\mathbf a = \sum x_i\mathbf e_i = \sum x_i'\mathbf e_i$ , то $\sum(x_i - x_i')\mathbf e_i = \mathbf 0$ . Векторы базиса некомпланарны и линейно независимы, поэтому $x_i = x_i'$ . $\blacksquare$

Координаты вектора по точкам. Деление отрезка в данном отношении

Формулировка

Пусть в аффинной системе координат даны точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ .

$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)$ .
Точка $M$ , для которой $\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{MB}$ ( $\lambda\ne-1$ ), имеет координаты

x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda},\qquad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1+\lambda};

в частности, середина отрезка — при $\lambda = 1$ . 3. В ПДСК $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ .

Аналогичные формулы верны в пространстве.

Доказательство

Развернуть

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ и переходим к координатам.
Условие $\mathbf r - \mathbf r_A = \lambda(\mathbf r_B - \mathbf r)$ даёт $\mathbf r = \frac{\mathbf r_A + \lambda\mathbf r_B}{1+\lambda}$ для радиус-векторов; переходим к координатам.
Это длина вектора $\overrightarrow{AB}$ в ортонормированном базисе. $\blacksquare$

Связь полярных и декартовых координат

Формулировка

Если полюс совпадает с началом ПДСК, а полярная ось — с положительной полуосью $Ox$ , то

x = r\cos\varphi,\quad y = r\sin\varphi;\qquad r = \sqrt{x^2+y^2},\quad \cos\varphi = \frac{x}{r},\ \ \sin\varphi = \frac yr.

Доказательство

Развернуть

Единичный вектор, образующий угол $\varphi$ с $\mathbf i$ , равен $(\cos\varphi, \sin\varphi)$ , и $\overrightarrow{OM}$ — этот вектор, умноженный на $r = |OM|$ . Формула для $r$ — это длина вектора $\overrightarrow{OM}$ . $\blacksquare$

Преобразование прямоугольных координат. Поворот и перенос

Формулировка

Если обе системы прямоугольные и одинаково ориентированные, а новая ось $O'x'$ повёрнута относительно $Ox$ на угол $\varphi$ , то

\begin{cases} x = x'\cos\varphi - y'\sin\varphi + x_0,\\ y = x'\sin\varphi + y'\cos\varphi + y_0.\end{cases}

При противоположной ориентации у слагаемых с $y'$ меняются знаки. Матрица перехода ортогональна: $C^\mathsf{T}C = E$ .

Доказательство

Развернуть

Единичный вектор $\mathbf i'$ , образующий угол $\varphi$ с $\mathbf i$ , имеет координаты $(\cos\varphi, \sin\varphi)$ . Единичный вектор $\mathbf j'\perp\mathbf i'$ равен $\pm(-\sin\varphi, \cos\varphi)$ , со знаком $+$ при той же ориентации. Подставляем в формулы преобразования аффинных координат. Элементы $C^\mathsf{T}C$ — попарные скалярные произведения столбцов, то есть $(\mathbf i',\mathbf i')$ , $(\mathbf i',\mathbf j')$ и т.д. Они образуют $E$ . $\blacksquare$

Угол между прямыми на плоскости

Формулировка

В ПДСК угол $\varphi\in[0, \pi/2]$ между прямыми $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ находится по формуле

\cos\varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}},

а для прямых $y = k_1x + b_1$ , $y = k_2x + b_2$ при $k_1k_2 \ne -1$ —

\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}\right|.

Прямые перпендикулярны $\iff A_1A_2 + B_1B_2 = 0 \iff k_1k_2 = -1$ .

Доказательство

Развернуть

Угол между прямыми равен углу между их нормальными векторами или дополняет его до $\pi$ . Поэтому в формуле для косинуса угла между векторами берётся модуль. Для угловых коэффициентов $k_i = \operatorname{tg}\alpha_i$ угол между прямыми равен $|\alpha_2 - \alpha_1|$ или дополняет его до $\pi$ ; применяем формулу тангенса разности. $\blacksquare$

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Формулировка

В ПДСК расстояние от точки $M_0(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ равно

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

Доказательство

Развернуть

Пусть $M_1(x_1, y_1)$ — точка прямой, $\mathbf n = (A, B)$ — нормальный вектор. Искомое расстояние — модуль проекции $\overrightarrow{M_1M_0}$ на $\mathbf n$ :

d = \frac{|(\mathbf n, \overrightarrow{M_1M_0})|}{|\mathbf n|} = \frac{|A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1)|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}},

так как $Ax_1 + By_1 = -C$ . $\blacksquare$

Расстояние от точки до плоскости

Формулировка

Расстояние от точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ равно

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Доказательство

Развернуть

Для точки $M_1$ плоскости $d = |\operatorname{пр}_{\mathbf n}\overrightarrow{M_1M_0}| = |(\mathbf n, \overrightarrow{M_1M_0})|/|\mathbf n|$ . Раскрыв скалярное произведение и учитывая $Ax_1 + By_1 + Cz_1 = -D$ , получаем формулу. $\blacksquare$

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями

Формулировка

Плоскости $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ с нормалями $\mathbf n_1, \mathbf n_2$ :

пересекаются по прямой $\iff \mathbf n_1\nparallel\mathbf n_2$ ;
параллельны $\iff \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2}\ne\dfrac{D_1}{D_2}$ ;
совпадают $\iff$ все четыре коэффициента пропорциональны.

Угол между плоскостями: $\cos\varphi = \dfrac{|(\mathbf n_1, \mathbf n_2)|}{|\mathbf n_1|\,|\mathbf n_2|}$ ; плоскости перпендикулярны $\iff (\mathbf n_1, \mathbf n_2) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Общие точки — решения системы из двух уравнений с тремя неизвестными.

Если $\mathbf n_1\nparallel\mathbf n_2$ , то ранг матрицы системы равен 2, и система совместна по теореме Кронекера–Капелли. Её общее решение имеет вид $X = X_\text{ч} + tX_1$ с одним параметром — это прямая.

Если $\mathbf n_2 = \mu\mathbf n_1$ , то при $D_2 = \mu D_1$ уравнения равносильны. Иначе ранг расширенной матрицы равен 2 при ранге матрицы системы 1, и общих точек нет.

Угол между плоскостями равен углу между нормалями или дополняет его до $\pi$ ; отсюда формула для косинуса. $\blacksquare$

Взаимное расположение прямой и плоскости

Формулировка

Пусть прямая $\mathbf r = \mathbf r_0 + t\mathbf a$ и плоскость $Ax + By + Cz + D = 0$ с нормалью $\mathbf n$ . Тогда:

прямая пересекает плоскость в одной точке $\iff (\mathbf n, \mathbf a)\ne 0$ ;
прямая параллельна плоскости $\iff (\mathbf n, \mathbf a) = 0$ и $M_0\notin\pi$ ;
прямая лежит в плоскости $\iff (\mathbf n, \mathbf a) = 0$ и $M_0\in\pi$ .

Угол $\varphi$ между прямой и плоскостью: $\sin\varphi = \dfrac{|(\mathbf n,\mathbf a)|}{|\mathbf n|\,|\mathbf a|}$ .

Доказательство

Развернуть

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости:

(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) + t\,(\mathbf n, \mathbf a) = 0.

При $(\mathbf n, \mathbf a)\ne0$ это уравнение имеет единственный корень $t$ . При $(\mathbf n, \mathbf a) = 0$ решений нет, если $M_0\notin\pi$ , и любое $t$ подходит, если $M_0\in\pi$ .

Если $\psi$ — угол между $\mathbf a$ и $\mathbf n$ , то $\varphi = |\pi/2 - \psi|$ , поэтому $\sin\varphi = |\cos\psi|$ . $\blacksquare$

Критерий линейной зависимости двух векторов

Формулировка

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Если $\mathbf a \ne \mathbf 0$ и $\mathbf b$ коллинеарен $\mathbf a$ , то $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ при единственном $\lambda$ .

Доказательство

Развернуть

Лемма. Пусть $\mathbf a \ne \mathbf 0$ и $\mathbf b\parallel\mathbf a$ . Положим $\lambda = |\mathbf b|/|\mathbf a|$ при $\mathbf b\uparrow\uparrow\mathbf a$ и $\lambda = -|\mathbf b|/|\mathbf a|$ при $\mathbf b\uparrow\downarrow\mathbf a$ ( $\lambda = 0$ при $\mathbf b = \mathbf 0$ ). Тогда $\lambda\mathbf a$ и $\mathbf b$ имеют одинаковые длину и направление, то есть $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ . Единственность: из $\lambda\mathbf a = \mu\mathbf a$ следует $(\lambda-\mu)\mathbf a = \mathbf 0$ , и так как $|\lambda - \mu|\,|\mathbf a| = 0$ , получаем $\lambda = \mu$ .

Необходимость. Один из векторов выражается через другой, $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ . По определению умножения на число такие векторы коллинеарны.

Достаточность. Если $\mathbf a = \mathbf 0$ , то $1\cdot\mathbf a + 0\cdot\mathbf b = \mathbf 0$ . Иначе по лемме $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ , то есть $\lambda\mathbf a - \mathbf b = \mathbf 0$ . $\blacksquare$

Уравнения прямой в пространстве

Формулировка

Прямую через $M_0$ с направляющим вектором $\mathbf a = (l, m, n)$ можно задать уравнениями:

векторным: $\mathbf r = \mathbf r_0 + t\mathbf a$ ;
параметрическими: $x = x_0 + lt$ , $y = y_0 + mt$ , $z = z_0 + nt$ ;
каноническими: $\dfrac{x-x_0}{l} = \dfrac{y-y_0}{m} = \dfrac{z-z_0}{n}$ ;
через две точки: $\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} = \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}$ ;
общими — как пересечение двух непараллельных плоскостей:

\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0,\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0,\end{cases}

причём направляющим вектором служит $\mathbf a = \mathbf n_1\times\mathbf n_2$ .

Доказательство

Развернуть

$M$ лежит на прямой $\iff \overrightarrow{M_0M}\parallel\mathbf a \iff \overrightarrow{M_0M} = t\mathbf a$ .
Это уравнение 1 в координатах.
Получается исключением $t$ .
Канонические уравнения с $\mathbf a = \overrightarrow{M_1M_2}$ .
Прямая лежит в обеих плоскостях, поэтому её направляющий вектор ортогонален обеим нормалям. Вектор $\mathbf n_1\times\mathbf n_2 \ne \mathbf 0$ тоже ортогонален обеим нормалям. Два вектора, перпендикулярные одной плоскости (плоскости векторов $\mathbf n_1, \mathbf n_2$ ), коллинеарны. $\blacksquare$

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Формулировка

Пусть прямая $L_1$ проходит через $M_1$ с направляющим вектором $\mathbf a_1$ , а $L_2$ — через $M_2$ с вектором $\mathbf a_2$ . Положим $\Delta = \overrightarrow{M_1M_2}\,\mathbf a_1\mathbf a_2$ . Тогда:

$L_1$ и $L_2$ скрещиваются $\iff \Delta\ne0$ ;
пересекаются $\iff \Delta = 0$ и $\mathbf a_1\nparallel\mathbf a_2$ ;
параллельны $\iff \mathbf a_1\parallel\mathbf a_2$ и $\overrightarrow{M_1M_2}\nparallel\mathbf a_1$ ;
совпадают $\iff \mathbf a_1\parallel\mathbf a_2\parallel\overrightarrow{M_1M_2}$ .

Доказательство

Развернуть

Покажем, что прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы $\overrightarrow{M_1M_2}, \mathbf a_1, \mathbf a_2$ компланарны, то есть $\Delta = 0$ .

Если прямые лежат в плоскости $\pi$ , все три вектора параллельны $\pi$ . Обратно, пусть векторы компланарны. При $\mathbf a_1\nparallel\mathbf a_2$ плоскость через $M_1$ , параллельная $\mathbf a_1$ и $\mathbf a_2$ , содержит $L_1$ , точку $M_2$ и потому $L_2$ . При $\mathbf a_1\parallel\mathbf a_2$ обе прямые лежат в плоскости, проходящей через $L_1$ и $M_2$ .

В одной плоскости непараллельные прямые пересекаются. Параллельные прямые ( $\mathbf a_1\parallel\mathbf a_2$ ) совпадают тогда и только тогда, когда $M_2\in L_1$ , то есть $\overrightarrow{M_1M_2}\parallel\mathbf a_1$ . $\blacksquare$

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Формулировка

Расстояние от точки $M$ до прямой, проходящей через $M_0$ с направляющим вектором $\mathbf a$ , равно

d = \frac{|\overrightarrow{M_0M}\times\mathbf a|}{|\mathbf a|}.

Доказательство

Развернуть

Модуль $|\overrightarrow{M_0M}\times\mathbf a|$ — площадь параллелограмма, построенного на $\overrightarrow{M_0M}$ и $\mathbf a$ . Его основание $|\mathbf a|$ лежит на прямой, а высота равна искомому расстоянию $d$ . $\blacksquare$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Формулировка

Расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ ( $M_1, \mathbf a_1$ ) и $L_2$ ( $M_2, \mathbf a_2$ ) равно

d = \frac{|\overrightarrow{M_1M_2}\,\mathbf a_1\mathbf a_2|}{|\mathbf a_1\times\mathbf a_2|}.

Доказательство

Развернуть

Через $L_1$ и $L_2$ проведём параллельные плоскости, обе параллельные векторам $\mathbf a_1$ и $\mathbf a_2$ . Расстояние между прямыми равно расстоянию между этими плоскостями, то есть длине общего перпендикуляра.

Рассмотрим параллелепипед на векторах $\overrightarrow{M_1M_2}, \mathbf a_1, \mathbf a_2$ . Его объём равен $|\Delta|$ , площадь основания — $|\mathbf a_1\times\mathbf a_2|$ , а высота — расстояние между указанными плоскостями. $\blacksquare$

Разложение определителя по строке (столбцу)

Формулировка

Для любых $i$ и $j$ :

\det A = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} \quad\text{(разложение по } i\text{-й строке)}, \qquad \det A = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj} \quad\text{(по } j\text{-му столбцу)}.

Доказательство

Развернуть

Шаг 1. Пусть последняя строка матрицы $A$ равна $(0, \dots, 0, a_{nn})$ . Ненулевыми могут быть лишь слагаемые с $\sigma(n) = n$ . Такие $\sigma$ взаимно однозначно соответствуют подстановкам $\sigma'$ чисел $1, \dots, n-1$ , и число инверсий у них одинаково: элемент $n$ в конце нижней строки инверсий не добавляет. Поэтому

\det A = a_{nn}\sum_{\sigma'}\operatorname{sgn}\sigma'\, a_{1\sigma'(1)}\cdots a_{n-1,\sigma'(n-1)} = a_{nn} M_{nn} = a_{nn}A_{nn}.

Шаг 2. Пусть в $i$ -й строке ненулевой лишь элемент $a_{ij}$ . Переместим $i$ -ю строку вниз $n - i$ перестановками соседних строк, а $j$ -й столбец вправо $n - j$ перестановками соседних столбцов. Порядок остальных строк и столбцов сохраняется, поэтому минор элемента в правом нижнем углу по-прежнему равен $M_{ij}$ . Определитель умножился на $(-1)^{(n-i)+(n-j)} = (-1)^{i+j}$ . По шагу 1 получаем $\det A = (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} = a_{ij}A_{ij}$ .

Шаг 3. Запишем $i$ -ю строку как сумму $n$ строк, в $k$ -й из которых ненулевым может быть лишь элемент $a_{ik}$ . По линейности и шагу 2 $\det A = \sum_k a_{ik}A_{ik}$ ; здесь важно, что $A_{ik}$ не зависят от элементов $i$ -й строки. Разложение по столбцу следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Специальные виды уравнения плоскости

Формулировка

Плоскость через точку $M_0$ параллельно неколлинеарным векторам $\mathbf a = (a_1,a_2,a_3)$ , $\mathbf b = (b_1,b_2,b_3)$ :

\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix} = 0; \qquad\text{параметрически: } \mathbf r = \mathbf r_0 + u\mathbf a + v\mathbf b.

Через три точки $M_1, M_2, M_3$ , не лежащие на одной прямой:

\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1\\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix} = 0.

В отрезках: $\dfrac xa + \dfrac yb + \dfrac zc = 1$ .
Нормальное: $x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma - p = 0$ , где $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ — единичная нормаль, $p \ge 0$ — расстояние от начала координат.

Доказательство

Развернуть

$M$ лежит в плоскости $\iff$ векторы $\overrightarrow{M_0M}, \mathbf a, \mathbf b$ компланарны $\iff$ их смешанное произведение равно нулю. Параметрическая форма — та же компланарность, записанная как $\overrightarrow{M_0M} = u\mathbf a + v\mathbf b$ .
Частный случай 1 с $\mathbf a = \overrightarrow{M_1M_2}$ , $\mathbf b = \overrightarrow{M_1M_3}$ .
Это уравнение 2 для точек $(a,0,0)$ , $(0,b,0)$ , $(0,0,c)$ .
Проекция $\overrightarrow{OM}$ на единичную нормаль, направленную от $O$ , постоянна и равна $p$ . $\blacksquare$

Скалярное, векторное и смешанное произведения

Линейность ортогональной проекции

Формулировка

Доказательство

Свойства скалярного произведения

Формулировка

Доказательство

Критерий ортогональности векторов

Формулировка

Доказательство

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Доказательство

Критерий коллинеарности. Геометрический смысл векторного произведения

Формулировка

Доказательство

Геометрический смысл смешанного произведения. Критерий компланарности

Формулировка

Доказательство

Свойства смешанного произведения

Формулировка

Доказательство

Алгебраические свойства векторного произведения

Формулировка

Доказательство

Векторное произведение в координатах

Формулировка

Доказательство

Смешанное произведение в координатах

Формулировка

Доказательство

Площадь треугольника

Условие

Решение

Объём тетраэдра и его высота

Условие

Решение

Угол между векторами и проекция

Условие

Решение

Вектор, перпендикулярный двум данным

Условие

Решение

Проверка компланарности векторов

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Угол между векторами. Проекция вектора на ось

Скалярное произведение векторов

Ортогональность. Ортонормированный базис

Правая и левая тройки векторов

Векторное произведение векторов

Смешанное произведение векторов

Коллинеарные и компланарные векторы

Свойства линейных операций над векторами

Формулировка

Доказательство

Нормальный вектор прямой в ПДСК

Формулировка

Доказательство

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка

Формулировка

Доказательство

Теорема о разложении вектора по базису

Формулировка

Доказательство

Координаты вектора по точкам. Деление отрезка в данном отношении

Формулировка

Доказательство

Связь полярных и декартовых координат

Формулировка

Доказательство

Преобразование прямоугольных координат. Поворот и перенос

Формулировка

Доказательство

Угол между прямыми на плоскости

Формулировка

Доказательство

Расстояние от точки до прямой на плоскости