Прямая в пространстве

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Уравнения прямой в пространстве
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Взаимное расположение прямой и плоскости
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Расстояние между скрещивающимися прямыми

теорема

Уравнения прямой в пространстве

Формулировка

Прямую через $M_0$ с направляющим вектором $\mathbf a = (l, m, n)$ можно задать уравнениями:

векторным: $\mathbf r = \mathbf r_0 + t\mathbf a$ ;
параметрическими: $x = x_0 + lt$ , $y = y_0 + mt$ , $z = z_0 + nt$ ;
каноническими: $\dfrac{x-x_0}{l} = \dfrac{y-y_0}{m} = \dfrac{z-z_0}{n}$ ;
через две точки: $\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} = \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}$ ;
общими — как пересечение двух непараллельных плоскостей:

\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0,\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0,\end{cases}

причём направляющим вектором служит $\mathbf a = \mathbf n_1\times\mathbf n_2$ .

Доказательство

Развернуть

$M$ лежит на прямой $\iff \overrightarrow{M_0M}\parallel\mathbf a \iff \overrightarrow{M_0M} = t\mathbf a$ .
Это уравнение 1 в координатах.
Получается исключением $t$ .
Канонические уравнения с $\mathbf a = \overrightarrow{M_1M_2}$ .
Прямая лежит в обеих плоскостях, поэтому её направляющий вектор ортогонален обеим нормалям. Вектор $\mathbf n_1\times\mathbf n_2 \ne \mathbf 0$ тоже ортогонален обеим нормалям. Два вектора, перпендикулярные одной плоскости (плоскости векторов $\mathbf n_1, \mathbf n_2$ ), коллинеарны. $\blacksquare$

теорема

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Формулировка

Пусть прямая $L_1$ проходит через $M_1$ с направляющим вектором $\mathbf a_1$ , а $L_2$ — через $M_2$ с вектором $\mathbf a_2$ . Положим $\Delta = \overrightarrow{M_1M_2}\,\mathbf a_1\mathbf a_2$ . Тогда:

$L_1$ и $L_2$ скрещиваются $\iff \Delta\ne0$ ;
пересекаются $\iff \Delta = 0$ и $\mathbf a_1\nparallel\mathbf a_2$ ;
параллельны $\iff \mathbf a_1\parallel\mathbf a_2$ и $\overrightarrow{M_1M_2}\nparallel\mathbf a_1$ ;
совпадают $\iff \mathbf a_1\parallel\mathbf a_2\parallel\overrightarrow{M_1M_2}$ .

Доказательство

Развернуть

Покажем, что прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы $\overrightarrow{M_1M_2}, \mathbf a_1, \mathbf a_2$ компланарны, то есть $\Delta = 0$ .

Если прямые лежат в плоскости $\pi$ , все три вектора параллельны $\pi$ . Обратно, пусть векторы компланарны. При $\mathbf a_1\nparallel\mathbf a_2$ плоскость через $M_1$ , параллельная $\mathbf a_1$ и $\mathbf a_2$ , содержит $L_1$ , точку $M_2$ и потому $L_2$ . При $\mathbf a_1\parallel\mathbf a_2$ обе прямые лежат в плоскости, проходящей через $L_1$ и $M_2$ .

В одной плоскости непараллельные прямые пересекаются. Параллельные прямые ( $\mathbf a_1\parallel\mathbf a_2$ ) совпадают тогда и только тогда, когда $M_2\in L_1$ , то есть $\overrightarrow{M_1M_2}\parallel\mathbf a_1$ . $\blacksquare$

теорема

Взаимное расположение прямой и плоскости

Формулировка

Пусть прямая $\mathbf r = \mathbf r_0 + t\mathbf a$ и плоскость $Ax + By + Cz + D = 0$ с нормалью $\mathbf n$ . Тогда:

прямая пересекает плоскость в одной точке $\iff (\mathbf n, \mathbf a)\ne 0$ ;
прямая параллельна плоскости $\iff (\mathbf n, \mathbf a) = 0$ и $M_0\notin\pi$ ;
прямая лежит в плоскости $\iff (\mathbf n, \mathbf a) = 0$ и $M_0\in\pi$ .

Угол $\varphi$ между прямой и плоскостью: $\sin\varphi = \dfrac{|(\mathbf n,\mathbf a)|}{|\mathbf n|\,|\mathbf a|}$ .

Доказательство

Развернуть

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости:

(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) + t\,(\mathbf n, \mathbf a) = 0.

При $(\mathbf n, \mathbf a)\ne0$ это уравнение имеет единственный корень $t$ . При $(\mathbf n, \mathbf a) = 0$ решений нет, если $M_0\notin\pi$ , и любое $t$ подходит, если $M_0\in\pi$ .

Если $\psi$ — угол между $\mathbf a$ и $\mathbf n$ , то $\varphi = |\pi/2 - \psi|$ , поэтому $\sin\varphi = |\cos\psi|$ . $\blacksquare$

теорема

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Формулировка

Расстояние от точки $M$ до прямой, проходящей через $M_0$ с направляющим вектором $\mathbf a$ , равно

d = \frac{|\overrightarrow{M_0M}\times\mathbf a|}{|\mathbf a|}.

Доказательство

Развернуть

Модуль $|\overrightarrow{M_0M}\times\mathbf a|$ — площадь параллелограмма, построенного на $\overrightarrow{M_0M}$ и $\mathbf a$ . Его основание $|\mathbf a|$ лежит на прямой, а высота равна искомому расстоянию $d$ . $\blacksquare$

теорема

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Формулировка

Расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ ( $M_1, \mathbf a_1$ ) и $L_2$ ( $M_2, \mathbf a_2$ ) равно

d = \frac{|\overrightarrow{M_1M_2}\,\mathbf a_1\mathbf a_2|}{|\mathbf a_1\times\mathbf a_2|}.

Доказательство

Развернуть

Через $L_1$ и $L_2$ проведём параллельные плоскости, обе параллельные векторам $\mathbf a_1$ и $\mathbf a_2$ . Расстояние между прямыми равно расстоянию между этими плоскостями, то есть длине общего перпендикуляра.

Рассмотрим параллелепипед на векторах $\overrightarrow{M_1M_2}, \mathbf a_1, \mathbf a_2$ . Его объём равен $|\Delta|$ , площадь основания — $|\mathbf a_1\times\mathbf a_2|$ , а высота — расстояние между указанными плоскостями. $\blacksquare$

Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Условие

Записать канонические уравнения прямой

\begin{cases} x + y - z = 1,\\ 2x - y + z = 2.\end{cases}

Решение

Развернуть

Направляющий вектор

\mathbf n_1\times\mathbf n_2 = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\1&1&-1\\2&-1&1\end{vmatrix} = (0, -3, -3) \parallel (0, 1, 1).

Найдём точку прямой: при $z = 0$ получаем $x + y = 1$ , $2x - y = 2$ , откуда $x = 1$ , $y = 0$ . Ответ:

\frac{x-1}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Условие

Доказать, что прямые

L_1:\ \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1},\qquad L_2:\ \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1}

скрещиваются, и найти расстояние между ними.

Решение

Развернуть

$M_1(1,0,-1)$ , $\mathbf a_1 = (1,2,-1)$ ; $M_2(0,1,2)$ , $\mathbf a_2 = (2,1,1)$ ; $\overrightarrow{M_1M_2} = (-1,1,3)$ . Смешанное произведение:

\Delta = \begin{vmatrix}-1&1&3\\1&2&-1\\2&1&1\end{vmatrix} = -15 \ne 0,

поэтому прямые скрещиваются. Далее, $\mathbf a_1\times\mathbf a_2 = (3,-3,-3)$ , $|\mathbf a_1\times\mathbf a_2| = 3\sqrt3$ . Расстояние:

d = \frac{15}{3\sqrt3} = \frac{5}{\sqrt3}.

Пересечение прямой с плоскостью и угол между ними

Условие

Найти точку пересечения прямой $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{-1}$ с плоскостью $x + y + z = 3$ и угол между ними.

Решение

Развернуть

Параметрически: $x = 1 + 2t$ , $y = -1 + t$ , $z = -t$ . Подставляя в уравнение плоскости, получаем $2t = 3$ , $t = \frac32$ . Точка пересечения: $\left(4, \frac12, -\frac32\right)$ .

Синус угла между прямой и плоскостью:

\sin\varphi = \frac{|2 + 1 - 1|}{\sqrt3\sqrt6} = \frac{\sqrt2}{3}.

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Условие

Найти расстояние от точки $P(1,1,1)$ до прямой $x = t$ , $y = t$ , $z = 0$ .

Решение

Развернуть

$M_0 = O(0,0,0)$ , $\mathbf a = (1,1,0)$ , $\overrightarrow{OP}\times\mathbf a = (-1, 1, 0)$ . Отсюда

d = \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1.

Это очевидно и геометрически: точка $P$ лежит над точкой $(1,1,0)$ прямой.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Направляющий вектор и канонические уравнения прямой в пространстве

Направляющим вектором прямой в пространстве называется любой ненулевой вектор $\mathbf a = (l, m, n)$ , коллинеарный прямой. Прямая через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $\mathbf a$ задаётся каноническими уравнениями

\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}.

Нулевой знаменатель означает, что равен нулю и соответствующий числитель.

Скрещивающиеся прямые. Угол между прямой и плоскостью

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Углом между прямыми в пространстве называется угол $\varphi\in[0,\pi/2]$ между их направляющими векторами (или дополнительный к нему до $\pi$ ).

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость; если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен $\pi/2$ .

Векторное произведение векторов

Векторным произведением неколлинеарных векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$ называется вектор $\mathbf c = \mathbf a\times\mathbf b$ (обозначается также $[\mathbf a, \mathbf b]$ ) такой, что:

$|\mathbf c| = |\mathbf a|\,|\mathbf b|\sin\varphi$ , где $\varphi$ — угол между $\mathbf a$ и $\mathbf b$ ;
$\mathbf c \perp \mathbf a$ , $\mathbf c\perp\mathbf b$ ;
тройка $(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c)$ правая.

Если $\mathbf a$ и $\mathbf b$ коллинеарны, то $\mathbf a\times\mathbf b = \mathbf 0$ .

Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости

Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный ей. Общим уравнением плоскости называется уравнение

Ax + By + Cz + D = 0,\qquad A^2 + B^2 + C^2 \ne 0.

Множество точек, удовлетворяющих такому уравнению в аффинной системе координат, называется алгебраической поверхностью первого порядка.

Критерий линейной зависимости двух векторов

Формулировка

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Если $\mathbf a \ne \mathbf 0$ и $\mathbf b$ коллинеарен $\mathbf a$ , то $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ при единственном $\lambda$ .

Доказательство

Развернуть

Лемма. Пусть $\mathbf a \ne \mathbf 0$ и $\mathbf b\parallel\mathbf a$ . Положим $\lambda = |\mathbf b|/|\mathbf a|$ при $\mathbf b\uparrow\uparrow\mathbf a$ и $\lambda = -|\mathbf b|/|\mathbf a|$ при $\mathbf b\uparrow\downarrow\mathbf a$ ( $\lambda = 0$ при $\mathbf b = \mathbf 0$ ). Тогда $\lambda\mathbf a$ и $\mathbf b$ имеют одинаковые длину и направление, то есть $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ . Единственность: из $\lambda\mathbf a = \mu\mathbf a$ следует $(\lambda-\mu)\mathbf a = \mathbf 0$ , и так как $|\lambda - \mu|\,|\mathbf a| = 0$ , получаем $\lambda = \mu$ .

Необходимость. Один из векторов выражается через другой, $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ . По определению умножения на число такие векторы коллинеарны.

Достаточность. Если $\mathbf a = \mathbf 0$ , то $1\cdot\mathbf a + 0\cdot\mathbf b = \mathbf 0$ . Иначе по лемме $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ , то есть $\lambda\mathbf a - \mathbf b = \mathbf 0$ . $\blacksquare$

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка

Формулировка

В ПДСК всякая плоскость задаётся уравнением первой степени, и всякое уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ задаёт плоскость. Вектор $\mathbf n = (A, B, C)$ — её нормальный вектор. Плоскость, проходящая через точку $M_0(x_0,y_0,z_0)$ перпендикулярно $\mathbf n$ , имеет уравнение

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0.

Доказательство

Развернуть

Точка $M$ лежит в плоскости, проходящей через $M_0$ перпендикулярно $\mathbf n$ , тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{M_0M}\perp\mathbf n$ . Это и есть указанное уравнение первой степени.

Обратно, у уравнения $Ax + By + Cz + D = 0$ есть решение $(x_0, y_0, z_0)$ . Вычитая, приводим уравнение к виду $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ , а это плоскость через $M_0$ с нормалью $(A, B, C)$ . $\blacksquare$

Критерий коллинеарности. Геометрический смысл векторного произведения

Формулировка

$\mathbf a\times\mathbf b = \mathbf 0$ тогда и только тогда, когда $\mathbf a$ и $\mathbf b$ коллинеарны.
$|\mathbf a\times\mathbf b|$ равен площади параллелограмма, построенного на $\mathbf a$ и $\mathbf b$ ; площадь треугольника равна $\frac12|\mathbf a\times\mathbf b|$ .

Доказательство

Развернуть

Для коллинеарных векторов $\mathbf a\times\mathbf b = \mathbf 0$ по определению. Для неколлинеарных $\mathbf a, \mathbf b \ne \mathbf 0$ и $\varphi \in (0, \pi)$ , поэтому $|\mathbf a\times\mathbf b| = |\mathbf a|\,|\mathbf b|\sin\varphi > 0$ .
Площадь параллелограмма равна произведению основания $|\mathbf a|$ на высоту $|\mathbf b|\sin\varphi$ . $\blacksquare$

Геометрический смысл смешанного произведения. Критерий компланарности

Формулировка

Если $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ некомпланарны, то $\mathbf a\mathbf b\mathbf c = \pm V$ , где $V$ — объём параллелепипеда, построенного на этих векторах. Знак $+$ берётся для правой тройки, знак $-$ — для левой.
$\mathbf a\mathbf b\mathbf c = 0$ тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Доказательство

Развернуть

Если $\mathbf a\parallel\mathbf b$ , то $\mathbf a\times\mathbf b = \mathbf 0$ , смешанное произведение равно нулю, и тройка компланарна.

Пусть $\mathbf a\nparallel\mathbf b$ , $\mathbf d = \mathbf a\times\mathbf b$ . Тогда $|\mathbf d| = S$ — площадь основания, а

\mathbf a\mathbf b\mathbf c = (\mathbf d, \mathbf c) = |\mathbf d|\operatorname{пр}_{\mathbf d}\mathbf c = S\cdot(\pm h).

Здесь $h$ — высота параллелепипеда, так как $\mathbf d$ перпендикулярен плоскости основания. Знак $+$ получается, когда $\mathbf c$ и $\mathbf d$ лежат по одну сторону от плоскости $\mathbf a, \mathbf b$ , то есть когда тройка $(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c)$ ориентирована так же, как правая тройка $(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf d)$ . Наконец, $h = 0$ тогда и только тогда, когда $\mathbf c$ лежит в плоскости $\mathbf a, \mathbf b$ . $\blacksquare$

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Если в ортонормированном базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ , то

(\mathbf a, \mathbf b) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2,\qquad |\mathbf a| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2},\qquad \cos\varphi = \frac{(\mathbf a, \mathbf b)}{|\mathbf a|\,|\mathbf b|}.

Доказательство

Развернуть

Раскроем $(x_1\mathbf i + y_1\mathbf j + z_1\mathbf k,\ x_2\mathbf i + y_2\mathbf j + z_2\mathbf k)$ по линейности. Учитывая $(\mathbf i,\mathbf i) = (\mathbf j,\mathbf j) = (\mathbf k,\mathbf k) = 1$ и равенство нулю попарных произведений разных векторов базиса, получаем первую формулу. Вторая — случай $\mathbf b = \mathbf a$ , третья — определение скалярного произведения. Координаты единичного вектора $\mathbf a/|\mathbf a|$ равны $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ , и сумма их квадратов равна его длине в квадрате, то есть $1$ . $\blacksquare$

Векторное произведение в координатах

Формулировка

Если в правом ортонормированном базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ , то

\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix} = (y_1z_2 - z_1y_2,\ \ z_1x_2 - x_1z_2,\ \ x_1y_2 - y_1x_2).

Доказательство

Развернуть

По определению для правого ортонормированного базиса

\mathbf i\times\mathbf j = \mathbf k,\quad \mathbf j\times\mathbf k = \mathbf i,\quad \mathbf k\times\mathbf i = \mathbf j,\quad \mathbf i\times\mathbf i = \mathbf j\times\mathbf j = \mathbf k\times\mathbf k = \mathbf 0.

Раскроем $(x_1\mathbf i + y_1\mathbf j + z_1\mathbf k)\times(x_2\mathbf i + y_2\mathbf j + z_2\mathbf k)$ (с учётом антикоммутативности, например $\mathbf j\times\mathbf i = -\mathbf k$ ):

x_1y_2\mathbf k - x_1z_2\mathbf j - y_1x_2\mathbf k + y_1z_2\mathbf i + z_1x_2\mathbf j - z_1y_2\mathbf i.

Это и есть разложение указанного определителя по первой строке. $\blacksquare$

Смешанное произведение в координатах

Формулировка

В правом ортонормированном базисе

\mathbf a\mathbf b\mathbf c = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\\ x_3 & y_3 & z_3\end{vmatrix}.

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда этот определитель равен нулю.

Доказательство

Развернуть

По формулам векторного и скалярного произведений в координатах

(\mathbf a\times\mathbf b, \mathbf c) = x_3\begin{vmatrix}y_1&z_1\\y_2&z_2\end{vmatrix} - y_3\begin{vmatrix}x_1&z_1\\x_2&z_2\end{vmatrix} + z_3\begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix},

а это разложение определителя по третьей строке. Второе утверждение следует из геометрического критерия компланарности. $\blacksquare$

Прямая в пространстве

Уравнения прямой в пространстве

Формулировка

Доказательство

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Формулировка

Доказательство

Взаимное расположение прямой и плоскости

Формулировка

Доказательство

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Формулировка

Доказательство

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Формулировка

Доказательство

Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Условие

Решение

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Условие

Решение

Пересечение прямой с плоскостью и угол между ними

Условие

Решение

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Направляющий вектор и канонические уравнения прямой в пространстве

Скрещивающиеся прямые. Угол между прямой и плоскостью

Векторное произведение векторов

Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости

Критерий линейной зависимости двух векторов

Формулировка

Доказательство

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка

Формулировка

Доказательство

Критерий коллинеарности. Геометрический смысл векторного произведения

Формулировка

Доказательство

Геометрический смысл смешанного произведения. Критерий компланарности

Формулировка

Доказательство

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Доказательство

Векторное произведение в координатах

Формулировка

Доказательство

Смешанное произведение в координатах

Формулировка

Доказательство