Ранг матрицы

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Простейшие свойства линейной зависимости
Теорема о базисном миноре
Критерий равенства нулю определителя
Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
Ранг ступенчатой матрицы. Вычисление ранга методом Гаусса
Метод окаймляющих миноров
Ранг как максимальное число линейно независимых строк и столбцов

лемма

Простейшие свойства линейной зависимости

Формулировка

Система из $k \ge 2$ строк линейно зависима тогда и только тогда, когда одна из строк — линейная комбинация остальных.
Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима. В частности, система, содержащая нулевую строку, линейно зависима.

Доказательство

Развернуть

Если $\sum\lambda_i a_i = 0$ и $\lambda_j \ne 0$ , то $a_j = -\sum_{i\ne j}(\lambda_i/\lambda_j)a_i$ . Обратно, если $a_j = \sum_{i\ne j}\mu_i a_i$ , то $a_j - \sum_{i\ne j}\mu_i a_i = 0$ — нетривиальная комбинация (коэффициент при $a_j$ равен $1$ ).
Нетривиальную нулевую комбинацию части системы дополним нулевыми коэффициентами при остальных строках. Для нулевой строки достаточно $1\cdot 0 = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема о базисном миноре

Формулировка

Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Доказательство

Развернуть

Перенумеровав строки и столбцы, будем считать, что базисный минор $M$ порядка $r$ стоит в левом верхнем углу. Перестановки строк и столбцов не влияют ни на линейные соотношения между строками, ни на то, равен ли минор нулю.

Независимость. Если бы базисные строки были зависимы, то их части, лежащие в $M$ , тоже были бы зависимы. Одна из строк $M$ — комбинация остальных. Вычтя эту комбинацию, получим в $M$ нулевую строку, то есть $M = 0$ — противоречие.

Выражение строк. Зафиксируем строку $i$ и столбец $j$ и рассмотрим окаймляющий определитель порядка $r+1$ :

\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1r} & a_{1j}\\ \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rr} & a_{rj}\\ a_{i1} & \dots & a_{ir} & a_{ij}\end{vmatrix}.

Если $i \le r$ или $j \le r$ , в $\Delta$ две равные строки или два равных столбца, и $\Delta = 0$ . Иначе $\Delta$ — минор порядка $r + 1 > \operatorname{rank}A$ , и $\Delta = 0$ .

Разложим $\Delta$ по последнему столбцу:

0 = \Delta = a_{1j}D_1 + \dots + a_{rj}D_r + a_{ij}M.

Алгебраические дополнения $D_l$ составлены из элементов строк $1, \dots, r, i$ и столбцов $1, \dots, r$ , поэтому от $j$ не зависят. Так как $M \ne 0$ ,

a_{ij} = \lambda_1 a_{1j} + \dots + \lambda_r a_{rj}, \qquad \lambda_l = -D_l/M,

при всех $j$ с одними и теми же $\lambda_l$ . Значит, $i$ -я строка — линейная комбинация базисных. Для столбцов рассуждение аналогично: транспонирование не меняет значений миноров. $\blacksquare$

теорема

Критерий равенства нулю определителя

Формулировка

Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда её строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство

Развернуть

Достаточность. Одна строка — линейная комбинация остальных. Вычтя из неё эту комбинацию, получим нулевую строку, и определитель равен нулю.

Необходимость. Если $\det A = 0$ , то $r = \operatorname{rank} A < n$ . При $r = 0$ матрица нулевая, и строки зависимы. При $r > 0$ найдётся небазисная строка. Она — линейная комбинация базисных, и строки зависимы. Для столбцов рассуждение аналогично. $\blacksquare$

теорема

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Формулировка

Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк и столбцов, а также при транспонировании.

Доказательство

Развернуть

Достаточно показать: если все миноры порядка $k$ матрицы $A$ равны нулю, то это верно и для полученной матрицы $A'$ . Тогда $\operatorname{rank} A' \le \operatorname{rank} A$ . Обратное преобразование тоже элементарное, поэтому верно и обратное неравенство.

Типы 1, 2. Миноры $A'$ совпадают с минорами $A$ с точностью до перестановки строк и ненулевого множителя.

Тип 3: $a_i' = a_i + \lambda a_j$ . Пусть $M'$ — минор $A'$ на строках $I$ и столбцах $J$ .

Если $i \notin I$ , то $M'$ — минор $A$ .
Если $i, j \in I$ , то $M' = M$ : прибавление строки не меняет определитель.
Если $i \in I$ , $j\notin I$ , то $M' = M + \lambda N$ , где $N$ с точностью до знака — минор $A$ на строках $(I\setminus\{i\})\cup\{j\}$ и столбцах $J$ .

Во всех случаях $M' = 0$ .

Транспонирование: миноры $A^\mathsf{T}$ — это транспонированные миноры $A$ , и они равны. Преобразования столбцов $A$ — это преобразования строк $A^\mathsf{T}$ . $\blacksquare$

теорема

Ранг ступенчатой матрицы. Вычисление ранга методом Гаусса

Формулировка

Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк. Следовательно, ранг любой матрицы равен числу ненулевых строк ступенчатой матрицы, к которой она приводится элементарными преобразованиями строк.

Доказательство

Развернуть

Пусть у ступенчатой матрицы $r$ ненулевых строк. Минор на этих строках и столбцах с ведущими элементами — определитель верхнетреугольной матрицы с ведущими элементами на диагонали. Он не равен нулю. Любой минор порядка $r + 1$ содержит нулевую строку и равен нулю. Значит, ранг равен $r$ .

Второе утверждение следует из того, что любая матрица приводится к ступенчатому виду, а элементарные преобразования не меняют ранг. $\blacksquare$

теорема

Метод окаймляющих миноров

Формулировка

Если матрица $A$ имеет ненулевой минор $M$ порядка $r$ , а все миноры порядка $r + 1$ , окаймляющие $M$ (содержащие его), равны нулю, то $\operatorname{rank} A = r$ , и $M$ — базисный минор.

Доказательство

Развернуть

В доказательстве теоремы о базисном миноре использовалось лишь равенство нулю определителей $\Delta$ , окаймляющих минор $M$ . Значит, и здесь каждая строка $A$ — линейная комбинация $r$ строк, содержащих $M$ . Вычтя из каждой остальной строки соответствующую комбинацию, получим матрицу, у которой ненулевыми могут быть лишь эти $r$ строк. Её ранг не больше $r$ : любой минор порядка $r+1$ содержит нулевую строку. Элементарные преобразования ранг не меняют, поэтому $\operatorname{rank} A \le r$ , а так как $M \ne 0$ , то $\operatorname{rank} A = r$ . $\blacksquare$

теорема

Ранг как максимальное число линейно независимых строк и столбцов

Формулировка

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк и максимальному числу её линейно независимых столбцов.

Доказательство

Развернуть

Пусть $r = \operatorname{rank} A$ . По теореме о базисном миноре $r$ базисных строк линейно независимы.

Покажем, что любые $r + 1$ строк зависимы. Пусть $B$ — матрица из этих строк. Её миноры являются минорами $A$ , поэтому $\operatorname{rank} B \le r < r+1$ . Если $\operatorname{rank} B = 0$ , строки $B$ нулевые и зависимы. Иначе у $B$ есть небазисная строка, и она — комбинация базисных строк $B$ . Строки $B$ зависимы.

Для столбцов то же рассуждение применяем к $A^\mathsf{T}$ ( $\operatorname{rank}A^\mathsf{T} = \operatorname{rank}A$ ). $\blacksquare$

Ранг матрицы методом Гаусса

Условие

Найти ранг матрицы

A = \begin{pmatrix} 1&2&-1&3\\ 2&4&-2&6\\ 1&3&0&2\\ 3&7&-1&8\end{pmatrix}.

Решение

Развернуть

Вычтем первую строку из второй (с коэффициентом 2), третьей и четвёртой (с коэффициентом 3), затем третью строку из четвёртой:

A \to \begin{pmatrix} 1&2&-1&3\\ 0&0&0&0\\ 0&1&1&-1\\ 0&1&2&-1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&2&-1&3\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}.

Во второй матрице строки переставлены и из четвёртой вычтена третья. Ненулевых строк три, поэтому $\operatorname{rank}A = 3$ .

Ранг матрицы с параметром

Условие

Найти ранг матрицы $A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&\lambda&1\\ 1&1&\lambda\end{pmatrix}$ в зависимости от $\lambda$ .

Решение

Развернуть

Вычтем первую строку из второй и третьей:

A \to \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&\lambda-1&0\\ 0&0&\lambda-1\end{pmatrix},

откуда $\det A = (\lambda - 1)^2$ . При $\lambda \ne 1$ матрица ступенчатая с тремя ненулевыми строками, $\operatorname{rank}A = 3$ . При $\lambda = 1$ остаётся одна ненулевая строка, $\operatorname{rank}A = 1$ .

Ранг методом окаймляющих миноров

Условие

Методом окаймляющих миноров найти ранг матрицы

A = \begin{pmatrix} 0&2&4&2\\ 1&1&3&2\\ 2&4&10&6\end{pmatrix}.

Решение

Развернуть

Минор на строках 1, 2 и столбцах 1, 2: $\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix} = -2 \ne 0$ . Окаймляющие его миноры третьего порядка:

\begin{vmatrix}0&2&4\\1&1&3\\2&4&10\end{vmatrix} = -2\cdot4 + 4\cdot2 = 0,\qquad \begin{vmatrix}0&2&2\\1&1&2\\2&4&6\end{vmatrix} = -2\cdot2 + 2\cdot2 = 0.

Значит, $\operatorname{rank}A = 2$ . Ступенчатый вид этой матрицы тоже содержит две ненулевые строки.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Минор k-го порядка

Минором $k$ -го порядка матрицы $A$ размера $m\times n$ ( $1 \le k \le \min(m,n)$ ) называется определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении каких-либо $k$ строк $i_1 < \dots < i_k$ и $k$ столбцов $j_1 < \dots < j_k$ матрицы $A$ .

Ранг матрицы

Рангом ненулевой матрицы $A$ называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. Обозначения: $\operatorname{rank} A$ , $\operatorname{Rg} A$ .

Линейная зависимость строк и столбцов

Выражение $\lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_k a_k$ , где $a_1, \dots, a_k$ — строки одинаковой длины, называется линейной комбинацией этих строк.

Строки $a_1, \dots, a_k$ называются линейно зависимыми, если существуют числа $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ , не все равные нулю, такие что

\lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_k a_k = 0

(нулевая строка), и линейно независимыми — в противном случае. Аналогично для столбцов.

Базисный минор

Базисным минором матрицы $A$ называется любой её ненулевой минор порядка $r = \operatorname{rank} A$ . Строки и столбцы, на которых расположен базисный минор, называются базисными.

Невырожденная матрица

Квадратная матрица $A$ называется невырожденной, если $\det A \ne 0$ , и вырожденной, если $\det A = 0$ .

Элементарные преобразования строк матрицы

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются:

перестановка двух строк;
умножение строки на число $\lambda \ne 0$ ;
прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число $\lambda$ .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов. Каждое элементарное преобразование обратимо: обратное к нему — элементарное преобразование того же типа (повторная перестановка тех же строк; умножение на $1/\lambda$ ; прибавление той же строки, умноженной на $-\lambda$ ).

Ступенчатая матрица

Матрица называется ступенчатой, если:

все нулевые строки (если они есть) расположены ниже ненулевых;
первый ненулевой элемент (ведущий элемент) каждой ненулевой строки расположен строго правее ведущего элемента предыдущей строки.

Например, матрица

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

ступенчатая, ведущие элементы — $1$ и $5$ .

Разложение определителя по строке (столбцу)

Формулировка

Для любых $i$ и $j$ :

\det A = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} \quad\text{(разложение по } i\text{-й строке)}, \qquad \det A = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj} \quad\text{(по } j\text{-му столбцу)}.

Доказательство

Развернуть

Шаг 1. Пусть последняя строка матрицы $A$ равна $(0, \dots, 0, a_{nn})$ . Ненулевыми могут быть лишь слагаемые с $\sigma(n) = n$ . Такие $\sigma$ взаимно однозначно соответствуют подстановкам $\sigma'$ чисел $1, \dots, n-1$ , и число инверсий у них одинаково: элемент $n$ в конце нижней строки инверсий не добавляет. Поэтому

\det A = a_{nn}\sum_{\sigma'}\operatorname{sgn}\sigma'\, a_{1\sigma'(1)}\cdots a_{n-1,\sigma'(n-1)} = a_{nn} M_{nn} = a_{nn}A_{nn}.

Шаг 2. Пусть в $i$ -й строке ненулевой лишь элемент $a_{ij}$ . Переместим $i$ -ю строку вниз $n - i$ перестановками соседних строк, а $j$ -й столбец вправо $n - j$ перестановками соседних столбцов. Порядок остальных строк и столбцов сохраняется, поэтому минор элемента в правом нижнем углу по-прежнему равен $M_{ij}$ . Определитель умножился на $(-1)^{(n-i)+(n-j)} = (-1)^{i+j}$ . По шагу 1 получаем $\det A = (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} = a_{ij}A_{ij}$ .

Шаг 3. Запишем $i$ -ю строку как сумму $n$ строк, в $k$ -й из которых ненулевым может быть лишь элемент $a_{ik}$ . По линейности и шагу 2 $\det A = \sum_k a_{ik}A_{ik}$ ; здесь важно, что $A_{ik}$ не зависят от элементов $i$ -й строки. Разложение по столбцу следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Следствия из основных свойств определителя

Формулировка

Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Определитель не изменится, если к строке прибавить другую строку, умноженную на число.
Для элементарных матриц $\det P_{ij} = -1$ , $\det D_i(\lambda) = \lambda$ , $\det T_{ij}(\lambda) = 1$ . Для любой элементарной матрицы $S$ и квадратной $A$ того же порядка $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Всё сказанное, а также линейность по строке и смена знака при перестановке строк, верно и для столбцов.

Доказательство

Развернуть

Если $a_j = \lambda a_i$ , то $\det A = \lambda\cdot(\text{определитель с равными строками}) = 0$ , так как определитель с двумя равными строками равен нулю.
По линейности $\det(\dots, a_i + \lambda a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A$ .
Сначала $\det E = 1$ : в сумме из определения ненулевое лишь слагаемое с $\sigma = \varepsilon$ . Элементарные преобразования типов 1, 2, 3 умножают определитель соответственно на $-1$ , $\lambda$ , $1$ (по свойствам перестановки строк, линейности и пункту 2). Применяя их к $E$ , получаем указанные значения $\det S$ . Применяя их к $A$ и учитывая, что $SA$ — результат того же преобразования, получаем $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Определитель транспонированной матрицы

Формулировка

$\det A^\mathsf{T} = \det A$ . Как следствие, всякое свойство определителя, сформулированное для строк, верно и для столбцов.

Доказательство

Развернуть

Так как $(A^\mathsf{T})_{ij} = a_{ji}$ ,

\det A^\mathsf{T} = \sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sgn}\sigma\; a_{\sigma(1)1}\, a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n}.

Переставим множители в каждом произведении по возрастанию первого индекса. Множитель с первым индексом $i$ — это $a_{i\,\sigma^{-1}(i)}$ , поэтому произведение равно $\prod_i a_{i\,\sigma^{-1}(i)}$ . Кроме того, $\operatorname{sgn}\sigma^{-1} = \operatorname{sgn}\sigma$ . Когда $\sigma$ пробегает $S_n$ , подстановка $\rho = \sigma^{-1}$ тоже пробегает всё $S_n$ . Значит,

\det A^\mathsf{T} = \sum_{\rho\in S_n} \operatorname{sgn}\rho\; a_{1\rho(1)}\cdots a_{n\rho(n)} = \det A.

$\blacksquare$

Теорема о существовании фундаментальной системы решений

Формулировка

Если $\operatorname{rank}A = r < n$ , то однородная система $AX = 0$ имеет фундаментальную систему решений из $n - r$ решений. При $r = n$ система имеет только нулевое решение.

Доказательство

Развернуть

Случай $r = n$ следует из критерия существования ненулевых решений. Пусть $r < n$ . При $r = 0$ ( $A = O$ ) ФСР — столбцы единичной матрицы. Пусть $r > 0$ . Перенумеровав уравнения и неизвестные, будем считать, что базисный минор $M$ стоит в левом верхнем углу.

Строки с номерами $> r$ — комбинации первых $r$ строк, поэтому соответствующие уравнения следуют из первых $r$ . Система равносильна системе

\sum_{j=1}^r a_{ij}x_j = -\sum_{j=r+1}^n a_{ij}x_j,\qquad i = 1,\dots,r.

При любых значениях свободных неизвестных $x_{r+1}, \dots, x_n$ эта система относительно базисных неизвестных имеет матрицу $M$ с $\det M \ne 0$ . Базисные неизвестные определяются однозначно.

Пусть $X_k$ ( $k = 1, \dots, n-r$ ) — решение, у которого $x_{r+k} = 1$ , а остальные свободные неизвестные равны нулю.

Независимость. Если $\sum c_kX_k = 0$ , то, глядя на координаты свободных неизвестных, получаем $c_k = 0$ .

Полнота. Пусть $X$ — решение со свободными координатами $c_1, \dots, c_{n-r}$ . Разность решений — тоже решение, поэтому $Y = X - \sum c_kX_k$ — решение, у которого все свободные неизвестные равны нулю. По единственности (Крамер) его базисные координаты тоже нули, то есть $Y = 0$ . Значит, $X = \sum c_kX_k$ . $\blacksquare$

Теорема Кронекера–Капелли

Формулировка

Система $AX = B$ совместна тогда и только тогда, когда

\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}(A\mid B).

Доказательство

Развернуть

Обозначим через $A_1, \dots, A_n$ столбцы $A$ . Система означает, что $B = x_1A_1 + \dots + x_nA_n$ .

Необходимость. Пусть $X$ — решение. Вычтем из последнего столбца $(A\mid B)$ столбцы $A_j$ , умноженные на $x_j$ . Это элементарные преобразования столбцов, и получится $(A\mid 0)$ . Нулевой столбец не влияет на ненулевые миноры, поэтому $\operatorname{rank}(A\mid B) = \operatorname{rank}(A\mid 0) = \operatorname{rank}A$ .

Достаточность. Пусть $\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}(A\mid B) = r$ . При $r = 0$ имеем $A = O$ , $B = 0$ , и любой $X$ — решение. При $r > 0$ возьмём базисный минор $M$ матрицы $A$ . Это ненулевой минор $(A\mid B)$ порядка $r = \operatorname{rank}(A\mid B)$ , то есть базисный минор и для $(A\mid B)$ . Столбец $B$ — линейная комбинация базисных столбцов: $B = \sum c_jA_j$ . Взяв $x_j = c_j$ для базисных столбцов и $x_j = 0$ для остальных, получаем решение. $\blacksquare$

Критерий существования ненулевых решений ОСЛАУ

Формулировка

Однородная система $AX = 0$ с $n$ неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда $\operatorname{rank}A < n$ . Для квадратной матрицы $A$ это равносильно $\det A = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Ненулевое решение — это нетривиальный набор $x_1, \dots, x_n$ с $\sum x_jA_j = 0$ , то есть линейная зависимость $n$ столбцов. Столбцы зависимы тогда и только тогда, когда максимальное число независимых столбцов, равное $\operatorname{rank}A$ , меньше $n$ . Для квадратной матрицы столбцы зависимы тогда и только тогда, когда $\det A = 0$ . $\blacksquare$

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Пусть $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $e'$ . Тогда:

$T$ невырождена, и $T^{-1}$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ ;
координаты вектора в старом ( $X$ ) и новом ( $X'$ ) базисах связаны формулой

X = TX',\qquad X' = T^{-1}X;

если $S$ — матрица перехода от $e'$ к $e''$ , то матрица перехода от $e$ к $e''$ равна $TS$ .

Доказательство

Развернуть

$x = \sum_jx_j'e_j' = \sum_jx_j'\sum_it_{ij}e_i = \sum_i\Big(\sum_jt_{ij}x_j'\Big)e_i$ . По единственности разложения $x_i = \sum_jt_{ij}x_j'$ , то есть $X = TX'$ .
Столбцы $T$ — координаты линейно независимых векторов $e_j'$ , поэтому они линейно независимы, и $\det T\ne0$ . Значит, обратная матрица существует. Если $T'$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ , то по п. 2 $X = TX'$ и $X' = T'X$ для всех $X$ , откуда $TT' = E$ , то есть $T' = T^{-1}$ .
$e'' = e'S = (eT)S = e(TS)$ : подставляем разложения так же, как в п. 2. $\blacksquare$

Свойства определителя Грама

Формулировка

$G(a_1,\dots,a_k)\ge0$ , причём $G = 0$ тогда и только тогда, когда $a_1,\dots,a_k$ линейно зависимы.
Матрица Грама любого базиса невырождена, и её определитель положителен.
Для двух векторов в $V_3$ величина $\sqrt{G(a,b)}$ равна площади параллелограмма, построенного на $a$ и $b$ .

Доказательство

Развернуть

Если $\sum_jc_ja_j = 0$ нетривиально, то $\sum_jc_j(a_i,a_j) = 0$ при всех $i$ : столбцы $\Gamma$ линейно зависимы, и $G = 0$ .

Пусть векторы независимы, $L = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ , и $P$ — матрица, столбцы которой — координаты $a_j$ в ортонормированном базисе $L$ . Тогда $(a_i,a_j) =$ сумма произведений координат, то есть $\Gamma = P^\mathsf{T}P$ , и $G = (\det P)^2 > 0$ , так как столбцы $P$ независимы.

Частный случай п. 1.
$G(a,b) = |a|^2|b|^2 - (a,b)^2 = |a|^2|b|^2\sin^2\varphi$ . $\blacksquare$

Матрицы суммы, произведения и обратного оператора

Формулировка

Пусть $A, B$ — матрицы операторов $\mathcal A, \mathcal B$ в базисе $e$ . Тогда:

матрицы операторов $\mathcal A + \mathcal B$ , $\lambda\mathcal A$ , $\mathcal A\mathcal B$ равны $A + B$ , $\lambda A$ , $AB$ ;
оператор $\mathcal A$ обратим тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}$ , что равносильно $\det A\ne0$ ; при этом матрица $\mathcal A^{-1}$ равна $A^{-1}$ .

Доказательство

Развернуть

В координатах $(\mathcal A + \mathcal B)x$ имеет столбец $AX + BX = (A + B)X$ , а $\mathcal A(\mathcal Bx)$ — столбец $A(BX) = (AB)X$ . Матрица оператора определяется его действием на координаты.
Если $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}$ , то $\mathcal A$ инъективен, и по теореме о ранге и дефекте $\operatorname{rank}\mathcal A = n$ , то есть он и сюръективен. Обратное отображение биекции линейно, так что $\mathcal A$ обратим. Если же $\mathcal Ax = 0$ при $x\ne0$ , обратного нет.

$\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}\iff$ однородная система $AX = 0$ имеет только нулевое решение $\iff\det A\ne0$ . Из $\mathcal A\mathcal A^{-1} = \mathcal I$ по п. 1 получаем $A\cdot[\mathcal A^{-1}] = E$ . $\blacksquare$

Линейность определителя по строке

Формулировка

Если $i$ -я строка матрицы $A$ имеет вид $a_i = \alpha b + \beta c$ , где $b, c$ — строки той же длины, то

\det A = \alpha \det A_b + \beta \det A_c,

где $A_b$ и $A_c$ получены из $A$ заменой $i$ -й строки на $b$ и на $c$ соответственно. В частности, общий множитель строки можно вынести за знак определителя, а определитель с нулевой строкой равен нулю.

Доказательство

Развернуть

Каждое слагаемое в определении $\det A$ содержит ровно один множитель из $i$ -й строки:

a_{i\sigma(i)} = \alpha b_{\sigma(i)} + \beta c_{\sigma(i)}.

Раскрыв скобки и разбив сумму на две, получаем $\alpha\det A_b + \beta\det A_c$ . При $\alpha = 0$ (нулевая строка $a_i = 0\cdot b$ ) получаем $\det A = 0$ . $\blacksquare$

Определитель треугольной матрицы

Формулировка

Определитель треугольной (в частности, диагональной) матрицы равен произведению её диагональных элементов:

\det A = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A$ верхняя треугольная, то есть $a_{ij} = 0$ при $i > j$ . Слагаемое $\prod_i a_{i\sigma(i)}$ может быть ненулевым, лишь если $\sigma(i) \ge i$ при всех $i$ . Но $\sum_i \sigma(i) = \sum_i i$ , поэтому тогда $\sigma(i) = i$ для всех $i$ . Остаётся единственное слагаемое $a_{11}\cdots a_{nn}$ со знаком $\operatorname{sgn}\varepsilon = +1$ .

Нижняя треугольная матрица — транспонированная к верхней треугольной; остаётся воспользоваться равенством $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса)

Формулировка

Любую матрицу $A$ конечным числом элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду $R$ . Равносильно: существуют элементарные матрицы $S_1, \dots, S_k$ такие, что

A = S_1 S_2 \cdots S_k R.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу строк $m$ . При $m = 1$ любая матрица ступенчатая.

Пусть $m > 1$ . Если $A = O$ , доказывать нечего. Иначе пусть $j_1$ — номер первого ненулевого столбца. Перестановкой строк добьёмся $a_{1j_1} \ne 0$ . Затем из каждой $i$ -й строки ( $i \ge 2$ ) вычтем первую, умноженную на $a_{ij_1}/a_{1j_1}$ . После этого в столбцах с номерами $\le j_1$ у строк $2, \dots, m$ стоят нули.

По предположению индукции строки $2,\dots,m$ приводятся к ступенчатому виду. Эти преобразования не затрагивают первую строку. Нули в столбцах с номерами $\le j_1$ у строк $2,\dots,m$ сохраняются, так как линейная комбинация нулей равна нулю. Значит, ведущие элементы строк $2,\dots,m$ стоят правее $j_1$ , и вся матрица ступенчатая.

Выполненные преобразования означают, что $S_k' \cdots S_1' A = R$ , где $S_i'$ — элементарные матрицы. Умножая слева последовательно на элементарные матрицы обратных преобразований $S_1, \dots, S_k$ (для них $S_iS_i' = E$ ), получаем $A = S_1 \cdots S_k R$ . $\blacksquare$

Теоремы Фредгольма для вырожденного ядра

Формулировка

Пусть ядро вещественно и вырождено, $D(\lambda) = \det(E - \lambda M)$ . Тогда:

характеристические числа — корни многочлена $D(\lambda)$ ( $D(0) = 1$ ), их конечное число;
если $D(\lambda)\ne 0$ , уравнение однозначно разрешимо при любой $f$ ;
если $D(\lambda) = 0$ , однородное уравнение и союзное однородное уравнение имеют одинаковое число $n - \operatorname{rank}(E - \lambda M)$ линейно независимых решений;
при $D(\lambda) = 0$ неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогональна всем решениям союзного однородного уравнения.

Доказательство

Развернуть

Решения однородного уравнения — функции $x = \lambda\sum c_ia_i$ с $(E - \lambda M)c = 0$ . Так как $a_i$ линейно независимы и $\lambda\ne 0$ , соответствие $c\mapsto x$ взаимно однозначно. Значит, число независимых решений равно $n - \operatorname{rank}(E - \lambda M)$ , и ненулевые решения есть тогда и только тогда, когда $D(\lambda) = 0$ . Это даёт пп. 1, 2.

Союзное ядро $K(s, t) = \sum b_i(t)a_i(s)$ — тоже вырожденное, с ролями $a_i\leftrightarrow b_i$ . Его матрица — транспонированная $M^T$ . Ранги $E - \lambda M$ и $E - \lambda M^T$ равны (ранг матрицы равен рангу транспонированной), что даёт п. 3.

П. 4. По теореме Кронекера–Капелли система $(E - \lambda M)c = F$ разрешима тогда и только тогда, когда $F$ ортогонален всем решениям $d$ системы $(E - \lambda M^T)d = 0$ (ортогональность образа матрицы ядру транспонированной). Решения союзного однородного уравнения — функции $y = \lambda\sum d_jb_j$ , и $(f, y) = \lambda\sum d_jF_j = \lambda(d, F)$ . Значит, условие $F\perp d$ равносильно $f\perp y$ . $\blacksquare$

Линейные операции в координатной форме

Формулировка

Пусть в базисе $e$ векторы $x$ , $y$ имеют координатные столбцы $X$ , $Y$ . Тогда:

координатный столбец $x + y$ равен $X + Y$ , а $\lambda x$ — $\lambda X$ ;
векторы $a_1,\dots,a_k$ линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы, то есть ранг матрицы, составленной из этих столбцов, равен $k$ ;
максимальное число линейно независимых векторов среди $a_1,\dots,a_k$ равно рангу этой матрицы.

Доказательство

Развернуть

$x + y = \sum x_ie_i + \sum y_ie_i = \sum(x_i + y_i)e_i$ ; по единственности разложения это и есть координаты суммы. Для $\lambda x$ аналогично.
По п. 1 равенство $\sum\lambda_ja_j = 0$ равносильно $\sum\lambda_jA_j = 0$ для координатных столбцов $A_j$ (нулевой вектор имеет нулевые координаты). Значит, линейные соотношения между векторами и между их столбцами одни и те же. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых столбцов.
Следует из п. 2 и той же теоремы о ранге. $\blacksquare$

Ранг матрицы

Простейшие свойства линейной зависимости

Формулировка

Доказательство

Теорема о базисном миноре

Формулировка

Доказательство

Критерий равенства нулю определителя

Формулировка

Доказательство

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Формулировка

Доказательство

Ранг ступенчатой матрицы. Вычисление ранга методом Гаусса

Формулировка

Доказательство

Метод окаймляющих миноров

Формулировка

Доказательство

Ранг как максимальное число линейно независимых строк и столбцов

Формулировка

Доказательство

Ранг матрицы методом Гаусса

Условие

Решение

Ранг матрицы с параметром

Условие

Решение

Ранг методом окаймляющих миноров

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Минор k-го порядка

Ранг матрицы

Линейная зависимость строк и столбцов

Базисный минор

Невырожденная матрица

Элементарные преобразования строк матрицы

Ступенчатая матрица

Разложение определителя по строке (столбцу)

Формулировка

Доказательство

Следствия из основных свойств определителя

Формулировка

Доказательство

Определитель транспонированной матрицы

Формулировка

Доказательство

Теорема о существовании фундаментальной системы решений

Формулировка

Доказательство

Теорема Кронекера–Капелли

Формулировка

Доказательство

Критерий существования ненулевых решений ОСЛАУ

Формулировка

Доказательство

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Доказательство

Свойства определителя Грама

Формулировка

Доказательство

Матрицы суммы, произведения и обратного оператора

Формулировка

Доказательство

Линейность определителя по строке

Формулировка

Доказательство

Определитель треугольной матрицы

Формулировка

Доказательство

Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса)

Формулировка

Доказательство

Теоремы Фредгольма для вырожденного ядра

Формулировка

Доказательство

Линейные операции в координатной форме