Поверхности второго порядка

Прогресс изучения0 из 7

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы7

Уравнение поверхности вращения
Уравнение цилиндрической поверхности
Конус второго порядка
Исследование формы эллипсоида
Исследование формы однополостного гиперболоида
Исследование формы двуполостного гиперболоида
Исследование формы параболоидов

теорема

Уравнение поверхности вращения

Формулировка

Если кривая $F(x, z) = 0$ , $x\ge0$ , лежащая в плоскости $y = 0$ , вращается вокруг оси $Oz$ , то полученная поверхность вращения имеет уравнение

F\left(\sqrt{x^2 + y^2},\ z\right) = 0.

Например, вращение эллипса $\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ даёт эллипсоид вращения $\frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ .

Доказательство

Развернуть

Точка $M(x,y,z)$ при вращении вокруг $Oz$ описывает окружность радиуса $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ в плоскости той же высоты $z$ . Она лежит на поверхности тогда и только тогда, когда её окружность пересекает меридиан, то есть точка $(\rho, 0, z)$ лежит на исходной кривой: $F(\rho, z) = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Уравнение цилиндрической поверхности

Формулировка

Уравнение $F(x, y) = 0$ , не содержащее $z$ , задаёт в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси $Oz$ , и направляющей $F(x,y) = 0$ , $z = 0$ . Цилиндры второго порядка: эллиптический $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , гиперболический $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , параболический $y^2 = 2px$ .

Доказательство

Развернуть

Координаты точки $M(x,y,z)$ удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда ему удовлетворяет её проекция $(x,y,0)$ на плоскость $Oxy$ , то есть когда $M$ лежит на вертикальной прямой, проходящей через точку направляющей. $\blacksquare$

теорема

Конус второго порядка

Формулировка

Поверхность $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ является конической поверхностью с вершиной в начале координат. Её сечения плоскостями $z = h\ne0$ — эллипсы с полуосями $\frac{a|h|}{c}$ , $\frac{b|h|}{c}$ , а сечение плоскостью $x = 0$ — пара прямых $\frac yb = \pm\frac zc$ .

Доказательство

Развернуть

Левая часть $F$ однородна второй степени: $F(tx,ty,tz) = t^2F(x,y,z)$ . Поэтому вместе с точкой $M\ne O$ поверхности ей принадлежит вся прямая $OM$ , и поверхность состоит из прямых, проходящих через $O$ . Направляющей служит, например, эллипс в сечении $z = c$ .

Сечения находим подстановкой. При $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2h^2/c^2} + \frac{y^2}{b^2h^2/c^2} = 1$ . При $x = 0$ : $\frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$ . $\blacksquare$

теорема

Исследование формы эллипсоида

Формулировка

Эллипсоид $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ :

ограничен: $|x|\le a$ , $|y|\le b$ , $|z|\le c$ ;
симметричен относительно координатных плоскостей, осей и начала координат;
его сечения плоскостями $z = h$ при $|h| < c$ — эллипсы с полуосями $a\sqrt{1 - h^2/c^2}$ , $b\sqrt{1 - h^2/c^2}$ ; при $|h| = c$ — точки; при $|h| > c$ — пустые. То же для сечений $x = h$ , $y = h$ .

При $a = b$ это эллипсоид вращения вокруг $Oz$ , при $a = b = c$ — сфера.

Доказательство

Развернуть

Каждое слагаемое левой части неотрицательно и не превосходит 1.
Переменные входят в уравнение лишь во второй степени.
Подставим $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{h^2}{c^2}$ . Правая часть положительна, равна нулю или отрицательна соответственно при $|h| < c$ , $|h| = c$ , $|h| > c$ .

При $a = b$ это уравнение поверхности, полученной вращением эллипса вокруг оси $Oz$ . $\blacksquare$

теорема

Исследование формы однополостного гиперболоида

Формулировка

Для однополостного гиперболоида $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ :

сечения $z = h$ — эллипсы с полуосями $a\sqrt{1 + h^2/c^2}$ , $b\sqrt{1 + h^2/c^2}$ ; наименьший из них (при $h = 0$ ) — горловой эллипс;
сечения $y = h$ : при $|h| < b$ — гиперболы с действительной осью, параллельной $Ox$ ; при $|h| = b$ — пара пересекающихся прямых; при $|h| > b$ — гиперболы с действительной осью, параллельной $Oz$ .

Поверхность неограничена и связна: «трубка», расширяющаяся при $|z|\to\infty$ .

Доказательство

Развернуть

При $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{h^2}{c^2} > 0$ .
При $y = h$ :

\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 - \frac{h^2}{b^2}.

При положительной правой части это гипербола с действительной осью вдоль $x$ . При нулевой — $\frac xa = \pm\frac zc$ . При отрицательной — гипербола с действительной осью вдоль $z$ . $\blacksquare$

теорема

Исследование формы двуполостного гиперболоида

Формулировка

Для двуполостного гиперболоида $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$ :

сечения $z = h$ пусты при $|h| < c$ , вырождаются в точку при $|h| = c$ , являются эллипсами при $|h| > c$ ;
сечения $x = h$ и $y = h$ — гиперболы с действительной осью, параллельной $Oz$ .

Поверхность состоит из двух полостей: $z\ge c$ и $z\le -c$ .

Доказательство

Развернуть

При $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{h^2}{c^2} - 1$ .
При $x = h$ : $\frac{z^2}{c^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{h^2}{a^2} > 0$ — гипербола с действительной осью вдоль $z$ . Для $y = h$ аналогично. $\blacksquare$

теорема

Исследование формы параболоидов

Формулировка

Эллиптический параболоид $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$ лежит в полупространстве $z\ge0$ . Его сечения $z = h > 0$ — эллипсы, а сечения $x = h$ и $y = h$ — параболы с ветвями вверх.
Гиперболический параболоид $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$ («седло»). Сечения $z = h\ne0$ — гиперболы, действительная ось которых параллельна $Ox$ при $h > 0$ и $Oy$ при $h < 0$ . Сечение $z = 0$ — пара прямых $\frac xa = \pm\frac yb$ . Сечения $x = h$ — параболы с ветвями вниз, $y = h$ — с ветвями вверх.

Доказательство

Развернуть

Левая часть неотрицательна, поэтому $z \ge 0$ . При $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2h$ . При $x = h$ : $y^2 = 2b^2\left(z - \frac{h^2}{2a^2}\right)$ — парабола с вершиной на высоте $\frac{h^2}{2a^2}$ .
При $z = h$ : $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2h$ — гипербола, ориентация которой зависит от знака $h$ . При $h = 0$ получаем пару прямых. При $x = h$ : $y^2 = -2b^2\left(z - \frac{h^2}{2a^2}\right)$ — ветви вниз. При $y = h$ : $x^2 = 2a^2\left(z + \frac{h^2}{2b^2}\right)$ — ветви вверх. $\blacksquare$

Тип поверхности и её сечения

Условие

Определить тип поверхности $4x^2 + 9y^2 - 36z^2 = 36$ и найти её сечения плоскостями $z = 0$ и $x = 3$ .

Решение

Развернуть

Разделив на 36, получаем $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} - z^2 = 1$ — однополостный гиперболоид.

Сечение $z = 0$ — горловой эллипс $\frac{x^2}9 + \frac{y^2}4 = 1$ . Сечение $x = 3$ : $\frac{y^2}4 = z^2$ , то есть пара прямых $y = \pm 2z$ . Это тот случай, когда сечение однополостного гиперболоида вырождается в пару пересекающихся прямых.

Уравнения поверхностей вращения

Условие

Составить уравнения поверхностей, полученных вращением вокруг оси $Oz$ :

параболы $z = x^2$ , $y = 0$ ;
эллипса $\dfrac{x^2}{4} + z^2 = 1$ , $y = 0$ .

Решение

Развернуть

Заменяем $x^2$ на $x^2 + y^2$ :

$z = x^2 + y^2$ — параболоид вращения;
$\dfrac{x^2 + y^2}{4} + z^2 = 1$ — сплюснутый эллипсоид вращения ( $a = b = 2$ , $c = 1$ ).

Приведение уравнения к каноническому виду выделением полных квадратов

Условие

Определить тип поверхности $4x^2 + y^2 - 8x - 4z = 0$ .

Решение

Развернуть

Выделим полный квадрат: $4(x-1)^2 + y^2 = 4(z + 1)$ , то есть

(x - 1)^2 + \frac{y^2}{4} = z + 1.

После переноса начала координат в точку $(1, 0, -1)$ получаем $\dfrac{x'^2}{1/2} + \dfrac{y'^2}{2} = 2z'$ — эллиптический параболоид с вершиной $(1,0,-1)$ и осью, параллельной $Oz$ .

Определение конуса по уравнению

Условие

Определить тип поверхности $x^2 = y^2 + z^2$ и описать её сечения плоскостями $x = h$ .

Решение

Развернуть

Уравнение $y^2 + z^2 - x^2 = 0$ однородно второй степени, поэтому это конус второго порядка с вершиной в начале координат и осью $Ox$ . Сечения $x = h\ne0$ — окружности $y^2 + z^2 = h^2$ радиуса $|h|$ , то есть это круговой конус.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Алгебраическая поверхность второго порядка

Алгебраической поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты которых в ПДСК удовлетворяют уравнению второй степени

\sum_{i,j=1}^3 a_{ij}x_ix_j + 2\sum_{i=1}^3 a_ix_i + a_0 = 0,

где $a_{ij} = a_{ji}$ и не все $a_{ij}$ равны нулю ( $x_1 = x$ , $x_2 = y$ , $x_3 = z$ ).

Поверхность вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской кривой (меридиана) вокруг прямой (оси вращения), лежащей в плоскости кривой. Сечения поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси, — окружности (параллели) с центрами на оси.

Цилиндрическая поверхность

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми (образующими), параллельными заданному направлению и пересекающими заданную кривую (направляющую).

Коническая поверхность. Конус второго порядка

Конической поверхностью с вершиной $O$ называется поверхность, образованная прямыми (образующими), проходящими через $O$ и точки заданной кривой (направляющей), не проходящей через $O$ .

Конусом второго порядка называется поверхность

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0.

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой ПДСК задаётся уравнением

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,\qquad a, b, c > 0.

Однополостный и двуполостный гиперболоиды

Однополостным гиперболоидом называется поверхность

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1,

двуполостным — поверхность

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1.

Эллиптический и гиперболический параболоиды

Эллиптическим параболоидом называется поверхность

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z,

гиперболическим параболоидом — поверхность

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z.

Метод сечений

Метод сечений — способ исследования формы поверхности по линиям её пересечения с плоскостями, параллельными координатным: $z = h$ , $y = h$ , $x = h$ . Подставив $z = h$ в уравнение поверхности, получают уравнение кривой сечения в этой плоскости и изучают, как оно меняется с $h$ .

Координаты вектора по точкам. Деление отрезка в данном отношении

Формулировка

Пусть в аффинной системе координат даны точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ .

$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)$ .
Точка $M$ , для которой $\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{MB}$ ( $\lambda\ne-1$ ), имеет координаты

x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda},\qquad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1+\lambda};

в частности, середина отрезка — при $\lambda = 1$ . 3. В ПДСК $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ .

Аналогичные формулы верны в пространстве.

Доказательство

Развернуть

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ и переходим к координатам.
Условие $\mathbf r - \mathbf r_A = \lambda(\mathbf r_B - \mathbf r)$ даёт $\mathbf r = \frac{\mathbf r_A + \lambda\mathbf r_B}{1+\lambda}$ для радиус-векторов; переходим к координатам.
Это длина вектора $\overrightarrow{AB}$ в ортонормированном базисе. $\blacksquare$

Классификация поверхностей второго порядка

Формулировка

Любая поверхность второго порядка в подходящей прямоугольной системе координат задаётся одним из $17$ канонических уравнений ( $a, b, c, p > 0$ ):

$\operatorname{rank}A$	Канонические уравнения
3	эллипсоид $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ; мнимый эллипсоид ( $= -1$ ); мнимый конус (точка, $= 0$ ); однополостный гиперболоид $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ ; двуполостный гиперболоид ( $= -1$ ); конус ( $= 0$ )
2	эллиптический параболоид $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$ ; гиперболический параболоид $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$ ; эллиптический, мнимый эллиптический и гиперболический цилиндры; пара пересекающихся плоскостей; пара мнимых пересекающихся плоскостей (прямая)
1	параболический цилиндр $y^2 = 2px$ ; пара параллельных, мнимых параллельных и совпадающих плоскостей

Доказательство

Развернуть

По теореме о приведении уравнение принимает вид $\sum_{i\le r}\lambda_iz_i^2 + c' = 0$ или $\sum_{i\le r}\lambda_iz_i^2 + 2\beta z_{r+1} = 0$ (второй возможен лишь при $r < 3$ ). Перебираем случаи.

$r = 3$ : только первый вид. По знакам $\lambda_i$ (после умножения уравнения на $-1$ и перенумерации осей) остаются случаи «все одного знака» и «два одного, один другого». Каждый из них с $c' < 0$ , $c' > 0$ , $c' = 0$ даёт по одной поверхности — всего $6$ .
$r = 2$ , второй вид: параболоиды эллиптический (одинаковые знаки) и гиперболический (разные).
$r = 2$ , первый вид: при одинаковых знаках — эллиптический цилиндр, мнимый цилиндр или прямая; при разных — гиперболический цилиндр или пара пересекающихся плоскостей.
$r = 1$ , второй вид: параболический цилиндр.
$r = 1$ , первый вид: $\lambda_1z_1^2 = -c'$ — пара параллельных, мнимых параллельных или совпадающих плоскостей.

Итого $6 + 2 + 5 + 1 + 3 = 17$ . $\blacksquare$

Каноническое уравнение гиперболы

Формулировка

В канонической системе координат гипербола задаётся уравнением

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad b^2 = c^2 - a^2,

а фокальные радиусы её точки равны $r_1 = |ex + a|$ , $r_2 = |ex - a|$ . Гипербола состоит из двух ветвей $x \ge a$ и $x\le -a$ .

Доказательство

Развернуть

Из определения следует уравнение. Пусть $r_1 - r_2 = \pm 2a$ , то есть $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = \sqrt{(x-c)^2+y^2} \pm 2a$ . Возводя в квадрат, получаем $cx - a^2 = \pm a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$ . Ещё раз:

(c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2),

что после деления на $a^2b^2$ даёт каноническое уравнение.

Из уравнения следует определение. Подставив $y^2 = \frac{b^2}{a^2}x^2 - b^2$ , получаем $r_1^2 = (ex + a)^2$ , $r_2^2 = (ex - a)^2$ . Из уравнения $|x|\ge a$ , и так как $e > 1$ , $|ex| > a$ . При $x \ge a$ : $r_1 = ex + a$ , $r_2 = ex - a$ , $r_1 - r_2 = 2a$ . При $x\le-a$ : $r_1 = -ex - a$ , $r_2 = a - ex$ , $r_2 - r_1 = 2a$ . $\blacksquare$

Каноническое уравнение параболы

Формулировка

В канонической системе координат парабола задаётся уравнением

y^2 = 2px,

а фокальный радиус её точки равен $r = x + p/2$ . Парабола лежит в полуплоскости $x\ge0$ и симметрична относительно оси $Ox$ .

Доказательство

Развернуть

Для $M(x,y)$ : $r = \sqrt{(x - p/2)^2 + y^2}$ , расстояние до директрисы $x = -p/2$ равно $|x + p/2|$ . Обе величины неотрицательны, поэтому их равенство равносильно равенству квадратов:

x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}4 \iff y^2 = 2px.

Из уравнения $x \ge 0$ , поэтому $r = x + p/2$ . $\blacksquare$

Поверхности второго порядка

Уравнение поверхности вращения

Формулировка

Доказательство

Уравнение цилиндрической поверхности

Формулировка

Доказательство

Конус второго порядка

Формулировка

Доказательство

Исследование формы эллипсоида

Формулировка

Доказательство

Исследование формы однополостного гиперболоида

Формулировка

Доказательство

Исследование формы двуполостного гиперболоида

Формулировка

Доказательство

Исследование формы параболоидов

Формулировка

Доказательство

Тип поверхности и её сечения

Условие

Решение

Уравнения поверхностей вращения

Условие

Решение

Приведение уравнения к каноническому виду выделением полных квадратов

Условие

Решение

Определение конуса по уравнению

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Алгебраическая поверхность второго порядка

Поверхность вращения

Цилиндрическая поверхность

Коническая поверхность. Конус второго порядка

Эллипсоид

Однополостный и двуполостный гиперболоиды

Эллиптический и гиперболический параболоиды

Метод сечений

Координаты вектора по точкам. Деление отрезка в данном отношении

Формулировка

Доказательство

Классификация поверхностей второго порядка

Формулировка

Доказательство

Каноническое уравнение гиперболы

Формулировка

Доказательство

Каноническое уравнение параболы

Формулировка

Доказательство