Плоскость в пространстве

Прогресс изучения0 из 4

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы4

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка
Специальные виды уравнения плоскости
Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями
Расстояние от точки до плоскости

теорема

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка

Формулировка

В ПДСК всякая плоскость задаётся уравнением первой степени, и всякое уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ задаёт плоскость. Вектор $\mathbf n = (A, B, C)$ — её нормальный вектор. Плоскость, проходящая через точку $M_0(x_0,y_0,z_0)$ перпендикулярно $\mathbf n$ , имеет уравнение

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0.

Доказательство

Развернуть

Точка $M$ лежит в плоскости, проходящей через $M_0$ перпендикулярно $\mathbf n$ , тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{M_0M}\perp\mathbf n$ . Это и есть указанное уравнение первой степени.

Обратно, у уравнения $Ax + By + Cz + D = 0$ есть решение $(x_0, y_0, z_0)$ . Вычитая, приводим уравнение к виду $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ , а это плоскость через $M_0$ с нормалью $(A, B, C)$ . $\blacksquare$

теорема

Специальные виды уравнения плоскости

Формулировка

Плоскость через точку $M_0$ параллельно неколлинеарным векторам $\mathbf a = (a_1,a_2,a_3)$ , $\mathbf b = (b_1,b_2,b_3)$ :

\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix} = 0; \qquad\text{параметрически: } \mathbf r = \mathbf r_0 + u\mathbf a + v\mathbf b.

Через три точки $M_1, M_2, M_3$ , не лежащие на одной прямой:

\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1\\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix} = 0.

В отрезках: $\dfrac xa + \dfrac yb + \dfrac zc = 1$ .
Нормальное: $x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma - p = 0$ , где $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ — единичная нормаль, $p \ge 0$ — расстояние от начала координат.

Доказательство

Развернуть

$M$ лежит в плоскости $\iff$ векторы $\overrightarrow{M_0M}, \mathbf a, \mathbf b$ компланарны $\iff$ их смешанное произведение равно нулю. Параметрическая форма — та же компланарность, записанная как $\overrightarrow{M_0M} = u\mathbf a + v\mathbf b$ .
Частный случай 1 с $\mathbf a = \overrightarrow{M_1M_2}$ , $\mathbf b = \overrightarrow{M_1M_3}$ .
Это уравнение 2 для точек $(a,0,0)$ , $(0,b,0)$ , $(0,0,c)$ .
Проекция $\overrightarrow{OM}$ на единичную нормаль, направленную от $O$ , постоянна и равна $p$ . $\blacksquare$

теорема

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями

Формулировка

Плоскости $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ с нормалями $\mathbf n_1, \mathbf n_2$ :

пересекаются по прямой $\iff \mathbf n_1\nparallel\mathbf n_2$ ;
параллельны $\iff \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2}\ne\dfrac{D_1}{D_2}$ ;
совпадают $\iff$ все четыре коэффициента пропорциональны.

Угол между плоскостями: $\cos\varphi = \dfrac{|(\mathbf n_1, \mathbf n_2)|}{|\mathbf n_1|\,|\mathbf n_2|}$ ; плоскости перпендикулярны $\iff (\mathbf n_1, \mathbf n_2) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Общие точки — решения системы из двух уравнений с тремя неизвестными.

Если $\mathbf n_1\nparallel\mathbf n_2$ , то ранг матрицы системы равен 2, и система совместна по теореме Кронекера–Капелли. Её общее решение имеет вид $X = X_\text{ч} + tX_1$ с одним параметром — это прямая.

Если $\mathbf n_2 = \mu\mathbf n_1$ , то при $D_2 = \mu D_1$ уравнения равносильны. Иначе ранг расширенной матрицы равен 2 при ранге матрицы системы 1, и общих точек нет.

Угол между плоскостями равен углу между нормалями или дополняет его до $\pi$ ; отсюда формула для косинуса. $\blacksquare$

теорема

Расстояние от точки до плоскости

Формулировка

Расстояние от точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ равно

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Доказательство

Развернуть

Для точки $M_1$ плоскости $d = |\operatorname{пр}_{\mathbf n}\overrightarrow{M_1M_0}| = |(\mathbf n, \overrightarrow{M_1M_0})|/|\mathbf n|$ . Раскрыв скалярное произведение и учитывая $Ax_1 + By_1 + Cz_1 = -D$ , получаем формулу. $\blacksquare$

Плоскость через три точки

Условие

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $A(1,0,1)$ , $B(2,1,3)$ , $C(0,2,1)$ , и найти расстояние от точки $D(1,1,4)$ до неё.

Решение

Развернуть

Уравнение плоскости через три точки:

\begin{vmatrix} x-1 & y & z-1\\ 1&1&2\\ -1&2&0\end{vmatrix} = -4(x-1) - 2y + 3(z-1) = 0 \iff 4x + 2y - 3z - 1 = 0.

Расстояние от точки $D$ :

d = \frac{|4 + 2 - 12 - 1|}{\sqrt{29}} = \frac{7}{\sqrt{29}}.

Это совпадает с высотой тетраэдра $ABCD$ , найденной через смешанное произведение.

Угол между плоскостями и расстояние между параллельными плоскостями

Условие

Найти угол между плоскостями $x + y - 1 = 0$ и $y + z - 2 = 0$ .
Найти расстояние между плоскостями $2x - y + 2z - 3 = 0$ и $4x - 2y + 4z + 3 = 0$ .

Решение

Развернуть

Нормали плоскостей $(1,1,0)$ и $(0,1,1)$ , поэтому $\cos\varphi = \dfrac{|0 + 1 + 0|}{\sqrt2\sqrt2} = \dfrac12$ , то есть $\varphi = \pi/3$ .
Плоскости параллельны: вторая записывается как $2x - y + 2z + \frac32 = 0$ . Возьмём точку $(0, -3, 0)$ первой плоскости. Расстояние от неё до второй плоскости:

d = \frac{|3 + 3/2|}{3} = \frac32.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Критерий ортогональности векторов

Формулировка

Векторы $\mathbf a$ и $\mathbf b$ ортогональны тогда и только тогда, когда $(\mathbf a, \mathbf b) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Если один из векторов нулевой, обе части верны по соглашению. Иначе $|\mathbf a|\,|\mathbf b| \ne 0$ , и $(\mathbf a, \mathbf b) = 0 \iff \cos\varphi = 0 \iff \varphi = \pi/2$ при $\varphi\in[0,\pi]$ . $\blacksquare$

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Если в ортонормированном базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ , то

(\mathbf a, \mathbf b) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2,\qquad |\mathbf a| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2},\qquad \cos\varphi = \frac{(\mathbf a, \mathbf b)}{|\mathbf a|\,|\mathbf b|}.

Доказательство

Развернуть

Раскроем $(x_1\mathbf i + y_1\mathbf j + z_1\mathbf k,\ x_2\mathbf i + y_2\mathbf j + z_2\mathbf k)$ по линейности. Учитывая $(\mathbf i,\mathbf i) = (\mathbf j,\mathbf j) = (\mathbf k,\mathbf k) = 1$ и равенство нулю попарных произведений разных векторов базиса, получаем первую формулу. Вторая — случай $\mathbf b = \mathbf a$ , третья — определение скалярного произведения. Координаты единичного вектора $\mathbf a/|\mathbf a|$ равны $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ , и сумма их квадратов равна его длине в квадрате, то есть $1$ . $\blacksquare$

Уравнения прямой в пространстве

Формулировка

Прямую через $M_0$ с направляющим вектором $\mathbf a = (l, m, n)$ можно задать уравнениями:

векторным: $\mathbf r = \mathbf r_0 + t\mathbf a$ ;
параметрическими: $x = x_0 + lt$ , $y = y_0 + mt$ , $z = z_0 + nt$ ;
каноническими: $\dfrac{x-x_0}{l} = \dfrac{y-y_0}{m} = \dfrac{z-z_0}{n}$ ;
через две точки: $\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} = \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}$ ;
общими — как пересечение двух непараллельных плоскостей:

\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0,\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0,\end{cases}

причём направляющим вектором служит $\mathbf a = \mathbf n_1\times\mathbf n_2$ .

Доказательство

Развернуть

$M$ лежит на прямой $\iff \overrightarrow{M_0M}\parallel\mathbf a \iff \overrightarrow{M_0M} = t\mathbf a$ .
Это уравнение 1 в координатах.
Получается исключением $t$ .
Канонические уравнения с $\mathbf a = \overrightarrow{M_1M_2}$ .
Прямая лежит в обеих плоскостях, поэтому её направляющий вектор ортогонален обеим нормалям. Вектор $\mathbf n_1\times\mathbf n_2 \ne \mathbf 0$ тоже ортогонален обеим нормалям. Два вектора, перпендикулярные одной плоскости (плоскости векторов $\mathbf n_1, \mathbf n_2$ ), коллинеарны. $\blacksquare$

Взаимное расположение прямой и плоскости

Формулировка

Пусть прямая $\mathbf r = \mathbf r_0 + t\mathbf a$ и плоскость $Ax + By + Cz + D = 0$ с нормалью $\mathbf n$ . Тогда:

прямая пересекает плоскость в одной точке $\iff (\mathbf n, \mathbf a)\ne 0$ ;
прямая параллельна плоскости $\iff (\mathbf n, \mathbf a) = 0$ и $M_0\notin\pi$ ;
прямая лежит в плоскости $\iff (\mathbf n, \mathbf a) = 0$ и $M_0\in\pi$ .

Угол $\varphi$ между прямой и плоскостью: $\sin\varphi = \dfrac{|(\mathbf n,\mathbf a)|}{|\mathbf n|\,|\mathbf a|}$ .

Доказательство

Развернуть

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости:

(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) + t\,(\mathbf n, \mathbf a) = 0.

При $(\mathbf n, \mathbf a)\ne0$ это уравнение имеет единственный корень $t$ . При $(\mathbf n, \mathbf a) = 0$ решений нет, если $M_0\notin\pi$ , и любое $t$ подходит, если $M_0\in\pi$ .

Если $\psi$ — угол между $\mathbf a$ и $\mathbf n$ , то $\varphi = |\pi/2 - \psi|$ , поэтому $\sin\varphi = |\cos\psi|$ . $\blacksquare$

Смешанное произведение в координатах

Формулировка

В правом ортонормированном базисе

\mathbf a\mathbf b\mathbf c = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\\ x_3 & y_3 & z_3\end{vmatrix}.

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда этот определитель равен нулю.

Доказательство

Развернуть

По формулам векторного и скалярного произведений в координатах

(\mathbf a\times\mathbf b, \mathbf c) = x_3\begin{vmatrix}y_1&z_1\\y_2&z_2\end{vmatrix} - y_3\begin{vmatrix}x_1&z_1\\x_2&z_2\end{vmatrix} + z_3\begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix},

а это разложение определителя по третьей строке. Второе утверждение следует из геометрического критерия компланарности. $\blacksquare$

Критерий линейной зависимости трёх векторов

Формулировка

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Если $\mathbf a, \mathbf b$ неколлинеарны, а $\mathbf c$ компланарен с ними, то $\mathbf c = \alpha\mathbf a + \beta\mathbf b$ .

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Пусть, скажем, $\mathbf c = \alpha\mathbf a + \beta\mathbf b$ . Отложим векторы от точки $O$ . Векторы $\alpha\mathbf a$ и $\beta\mathbf b$ лежат на прямых, содержащих $\mathbf a$ и $\mathbf b$ , а их сумма, построенная по правилу параллелограмма, лежит в той же плоскости.

Достаточность. Если $\mathbf a, \mathbf b$ коллинеарны, они линейно зависимы, а значит, зависима и вся тройка. Иначе отложим $\mathbf a = \overrightarrow{OA}$ , $\mathbf b = \overrightarrow{OB}$ , $\mathbf c = \overrightarrow{OC}$ в одной плоскости. Через $C$ проведём прямую, параллельную $OB$ ; она пересечёт прямую $OA$ в точке $C_1$ , так как $\mathbf a\nparallel\mathbf b$ . Тогда

\mathbf c = \overrightarrow{OC_1} + \overrightarrow{C_1C},\qquad \overrightarrow{OC_1} = \alpha\mathbf a,\quad \overrightarrow{C_1C} = \beta\mathbf b

по критерию коллинеарности двух векторов. Значит, $\alpha\mathbf a + \beta\mathbf b - \mathbf c = \mathbf 0$ . $\blacksquare$

Теорема Кронекера–Капелли

Формулировка

Система $AX = B$ совместна тогда и только тогда, когда

\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}(A\mid B).

Доказательство

Развернуть

Обозначим через $A_1, \dots, A_n$ столбцы $A$ . Система означает, что $B = x_1A_1 + \dots + x_nA_n$ .

Необходимость. Пусть $X$ — решение. Вычтем из последнего столбца $(A\mid B)$ столбцы $A_j$ , умноженные на $x_j$ . Это элементарные преобразования столбцов, и получится $(A\mid 0)$ . Нулевой столбец не влияет на ненулевые миноры, поэтому $\operatorname{rank}(A\mid B) = \operatorname{rank}(A\mid 0) = \operatorname{rank}A$ .

Достаточность. Пусть $\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}(A\mid B) = r$ . При $r = 0$ имеем $A = O$ , $B = 0$ , и любой $X$ — решение. При $r > 0$ возьмём базисный минор $M$ матрицы $A$ . Это ненулевой минор $(A\mid B)$ порядка $r = \operatorname{rank}(A\mid B)$ , то есть базисный минор и для $(A\mid B)$ . Столбец $B$ — линейная комбинация базисных столбцов: $B = \sum c_jA_j$ . Взяв $x_j = c_j$ для базисных столбцов и $x_j = 0$ для остальных, получаем решение. $\blacksquare$

Структура общего решения ОСЛАУ и НСЛАУ

Формулировка

Если $\operatorname{rank}A = r < n$ и $X_1, \dots, X_{n-r}$ — ФСР системы $AX = 0$ , то её общее решение

X_\text{оо} = c_1X_1 + \dots + c_{n-r}X_{n-r},\qquad c_k \in \mathbb{R}.

Общее решение совместной системы $AX = B$ равно сумме её частного решения $X_\text{ч}$ и общего решения соответствующей однородной системы:

X_\text{он} = X_\text{ч} + c_1X_1 + \dots + c_{n-r}X_{n-r}.

Доказательство

Развернуть

ФСР существует по предыдущей теореме. Любое решение — её линейная комбинация по определению ФСР, а любая линейная комбинация решений однородной системы — снова решение.
Совместность проверяется по теореме Кронекера–Капелли. Если $X$ — решение $AX = B$ , то $X - X_\text{ч}$ — решение однородной системы, то есть $X - X_\text{ч} = \sum c_kX_k$ . Обратно, $X_\text{ч} + \sum c_kX_k$ — решение $AX = B$ . $\blacksquare$

Линейные операции в координатах

Формулировка

Пусть в некотором базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ . Тогда:

$\mathbf a + \mathbf b = (x_1+x_2,\ y_1+y_2,\ z_1+z_2)$ , $\lambda\mathbf a = (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1)$ ;
$\mathbf a = \mathbf b$ тогда и только тогда, когда их координаты совпадают;
при $\mathbf a \ne \mathbf 0$ векторы $\mathbf a$ и $\mathbf b$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ .

Доказательство

Развернуть

По свойствам линейных операций

\mathbf a + \mathbf b = (x_1\mathbf e_1 + y_1\mathbf e_2 + z_1\mathbf e_3) + (x_2\mathbf e_1 + \dots) = (x_1+x_2)\mathbf e_1 + (y_1+y_2)\mathbf e_2 + (z_1+z_2)\mathbf e_3.

Для $\lambda\mathbf a$ аналогично.

Следует из единственности разложения.
Коллинеарность с ненулевым $\mathbf a$ означает $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ ; по пунктам 1, 2 это равносильно пропорциональности координат. $\blacksquare$

Плоскость в пространстве

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка

Формулировка

Доказательство

Специальные виды уравнения плоскости

Формулировка

Доказательство

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями

Формулировка

Доказательство

Расстояние от точки до плоскости

Формулировка

Доказательство

Плоскость через три точки

Условие

Решение

Угол между плоскостями и расстояние между параллельными плоскостями

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости

Угол между векторами. Проекция вектора на ось

Критерий ортогональности векторов

Формулировка

Доказательство

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Доказательство

Уравнения прямой в пространстве

Формулировка

Доказательство

Взаимное расположение прямой и плоскости

Формулировка

Доказательство

Смешанное произведение в координатах

Формулировка

Доказательство

Критерий линейной зависимости трёх векторов

Формулировка

Доказательство

Теорема Кронекера–Капелли

Формулировка

Доказательство

Структура общего решения ОСЛАУ и НСЛАУ

Формулировка

Доказательство

Линейные операции в координатах

Формулировка

Доказательство