Прямая на плоскости

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Прямая на плоскости — алгебраическая кривая первого порядка
Специальные виды уравнения прямой на плоскости
Нормальный вектор прямой в ПДСК
Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Угол между прямыми на плоскости
Расстояние от точки до прямой на плоскости

теорема

Прямая на плоскости — алгебраическая кривая первого порядка

Формулировка

В любой аффинной системе координат на плоскости всякая прямая задаётся уравнением первой степени $Ax + By + C = 0$ , и всякое такое уравнение задаёт прямую. Вектор $(-B, A)$ — направляющий вектор этой прямой. Порядок кривой не зависит от выбора аффинной системы координат.

Доказательство

Развернуть

Пусть прямая проходит через $M_0(x_0, y_0)$ и имеет направляющий вектор $\mathbf a = (l, m)$ . Точка $M(x,y)$ лежит на прямой тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{M_0M}\parallel\mathbf a$ . Это означает $(x - x_0)m - (y - y_0)l = 0$ — уравнение первой степени, так как $(m, -l)\ne(0,0)$ .

Обратно, у уравнения $Ax + By + C = 0$ есть решение $(x_0, y_0)$ . Вычитая, получаем $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$ , то есть векторы $(x - x_0, y - y_0)$ и $(-B, A)$ коллинеарны. Это прямая через $M_0$ с направляющим вектором $(-B, A)$ .

Замена аффинной системы координат выражает старые координаты линейно через новые, поэтому степень уравнения сохраняется. $\blacksquare$

теорема

Специальные виды уравнения прямой на плоскости

Формулировка

Пусть прямая проходит через точку $M_0(x_0, y_0)$ с радиус-вектором $\mathbf r_0$ и имеет направляющий вектор $\mathbf a = (l, m)$ . Её можно задать уравнениями:

векторным: $\mathbf r = \mathbf r_0 + t\mathbf a$ , $t\in\mathbb R$ ;
параметрическими: $x = x_0 + lt$ , $y = y_0 + mt$ ;
каноническим: $\dfrac{x - x_0}{l} = \dfrac{y - y_0}{m}$ ;
через две точки $M_1, M_2$ : $\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}$ ;
в отрезках: $\dfrac xa + \dfrac yb = 1$ (прямая отсекает на осях отрезки $a, b \ne 0$ );
с угловым коэффициентом (в ПДСК): $y = kx + b$ , $k = \operatorname{tg}\alpha$ ;
нормальным (в ПДСК): $x\cos\theta + y\sin\theta - p = 0$ , где $p \ge 0$ — расстояние от начала координат.

В каноническом уравнении нулевой знаменатель означает, что равен нулю и соответствующий числитель.

Доказательство

Развернуть

$M$ лежит на прямой $\iff \overrightarrow{M_0M}\parallel\mathbf a \iff \overrightarrow{M_0M} = t\mathbf a$ .
Это уравнение 1 в координатах.
Получается исключением $t$ из уравнений 2.
Каноническое уравнение с $\mathbf a = \overrightarrow{M_1M_2}$ .
Уравнение 4 для точек $(a, 0)$ и $(0, b)$ .
Если прямая не вертикальна, то $l \ne 0$ , и из 3 получаем $y = \frac ml x + \left(y_0 - \frac ml x_0\right)$ , где $\frac ml = \operatorname{tg}\alpha$ .
Единичный вектор $\mathbf n = (\cos\theta, \sin\theta)$ , перпендикулярный прямой и направленный от начала координат, и точка $M$ прямой удовлетворяют $(\mathbf n, \overrightarrow{OM}) = p$ : проекция $\overrightarrow{OM}$ на $\mathbf n$ равна расстоянию от $O$ до прямой. $\blacksquare$

теорема

Нормальный вектор прямой в ПДСК

Формулировка

В ПДСК вектор $\mathbf n = (A, B)$ — нормальный вектор прямой $Ax + By + C = 0$ . Прямая, проходящая через $M_0(x_0, y_0)$ перпендикулярно $\mathbf n = (A, B)$ , имеет уравнение

A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0.

Доказательство

Развернуть

Направляющий вектор прямой равен $(-B, A)$ , а $\big((A,B), (-B,A)\big) = -AB + BA = 0$ , поэтому $\mathbf n\perp$ прямой. Второе утверждение: $M$ лежит на прямой $\iff (\mathbf n, \overrightarrow{M_0M}) = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Формулировка

Прямые $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ :

пересекаются (в одной точке) $\iff A_1B_2 - A_2B_1 \ne 0$ ;
параллельны (и различны) $\iff \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} \ne \dfrac{C_1}{C_2}$ ;
совпадают $\iff \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2}$ .

Пропорции понимаются в смысле пропорциональности строк коэффициентов.

Доказательство

Развернуть

Общие точки прямых — решения системы из двух уравнений. Если её определитель $A_1B_2 - A_2B_1 \ne 0$ , решение единственно (формулы Крамера).

Пусть определитель равен нулю. Тогда строки $(A_1, B_1)$ и $(A_2, B_2)$ пропорциональны: $(A_2, B_2) = \mu(A_1, B_1)$ . Если и $C_2 = \mu C_1$ , уравнения равносильны, и прямые совпадают. Иначе ранг матрицы системы равен 1, а расширенной — 2, и общих точек нет, то есть прямые параллельны. $\blacksquare$

теорема

Угол между прямыми на плоскости

Формулировка

В ПДСК угол $\varphi\in[0, \pi/2]$ между прямыми $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ находится по формуле

\cos\varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}},

а для прямых $y = k_1x + b_1$ , $y = k_2x + b_2$ при $k_1k_2 \ne -1$ —

\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}\right|.

Прямые перпендикулярны $\iff A_1A_2 + B_1B_2 = 0 \iff k_1k_2 = -1$ .

Доказательство

Развернуть

Угол между прямыми равен углу между их нормальными векторами или дополняет его до $\pi$ . Поэтому в формуле для косинуса угла между векторами берётся модуль. Для угловых коэффициентов $k_i = \operatorname{tg}\alpha_i$ угол между прямыми равен $|\alpha_2 - \alpha_1|$ или дополняет его до $\pi$ ; применяем формулу тангенса разности. $\blacksquare$

теорема

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Формулировка

В ПДСК расстояние от точки $M_0(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ равно

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

Доказательство

Развернуть

Пусть $M_1(x_1, y_1)$ — точка прямой, $\mathbf n = (A, B)$ — нормальный вектор. Искомое расстояние — модуль проекции $\overrightarrow{M_1M_0}$ на $\mathbf n$ :

d = \frac{|(\mathbf n, \overrightarrow{M_1M_0})|}{|\mathbf n|} = \frac{|A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1)|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}},

так как $Ax_1 + By_1 = -C$ . $\blacksquare$

Перпендикулярная прямая и расстояние до прямой

Условие

Составить уравнение прямой, проходящей через $A(1,2)$ перпендикулярно прямой $3x - 4y + 5 = 0$ . Найти расстояние от точки $B(2,-1)$ до данной прямой.

Решение

Развернуть

Нормальный вектор данной прямой $(3,-4)$ служит направляющим вектором искомой. Значит, её нормальный вектор — $(4,3)$ :

4(x - 1) + 3(y - 2) = 0 \iff 4x + 3y - 10 = 0.

Расстояние от $B$ до данной прямой: $d = \dfrac{|3\cdot2 - 4\cdot(-1) + 5|}{5} = 3$ .

Расстояние между параллельными прямыми

Условие

Установить взаимное расположение прямых $2x - y + 3 = 0$ и $4x - 2y - 1 = 0$ и найти расстояние между ними.

Решение

Развернуть

$\frac24 = \frac{-1}{-2} \ne \frac{3}{-1}$ , поэтому прямые параллельны. Запишем вторую прямую как $2x - y - \frac12 = 0$ и возьмём на первой прямой точку $(0, 3)$ . Расстояние от неё до второй прямой:

d = \frac{|0 - 3 - 1/2|}{\sqrt5} = \frac{7}{2\sqrt5}.

Высота треугольника

Условие

Дан треугольник $A(0,0)$ , $B(4,2)$ , $C(1,3)$ . Составить уравнение высоты, проведённой из вершины $C$ , и найти её длину.

Решение

Развернуть

$\overrightarrow{AB} = (4,2)$ — нормальный вектор высоты:

4(x - 1) + 2(y - 3) = 0 \iff 2x + y - 5 = 0.

Прямая $AB$ проходит через начало координат с направляющим вектором $(4,2)$ : $x - 2y = 0$ . Длина высоты — расстояние от $C$ до прямой $AB$ :

h = \frac{|1 - 6|}{\sqrt5} = \sqrt5.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Линейные операции в координатах

Формулировка

Пусть в некотором базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ . Тогда:

$\mathbf a + \mathbf b = (x_1+x_2,\ y_1+y_2,\ z_1+z_2)$ , $\lambda\mathbf a = (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1)$ ;
$\mathbf a = \mathbf b$ тогда и только тогда, когда их координаты совпадают;
при $\mathbf a \ne \mathbf 0$ векторы $\mathbf a$ и $\mathbf b$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ .

Доказательство

Развернуть

По свойствам линейных операций

\mathbf a + \mathbf b = (x_1\mathbf e_1 + y_1\mathbf e_2 + z_1\mathbf e_3) + (x_2\mathbf e_1 + \dots) = (x_1+x_2)\mathbf e_1 + (y_1+y_2)\mathbf e_2 + (z_1+z_2)\mathbf e_3.

Для $\lambda\mathbf a$ аналогично.

Следует из единственности разложения.
Коллинеарность с ненулевым $\mathbf a$ означает $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ ; по пунктам 1, 2 это равносильно пропорциональности координат. $\blacksquare$

Координаты вектора по точкам. Деление отрезка в данном отношении

Формулировка

Пусть в аффинной системе координат даны точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ .

$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)$ .
Точка $M$ , для которой $\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{MB}$ ( $\lambda\ne-1$ ), имеет координаты

x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda},\qquad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1+\lambda};

в частности, середина отрезка — при $\lambda = 1$ . 3. В ПДСК $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ .

Аналогичные формулы верны в пространстве.

Доказательство

Развернуть

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ и переходим к координатам.
Условие $\mathbf r - \mathbf r_A = \lambda(\mathbf r_B - \mathbf r)$ даёт $\mathbf r = \frac{\mathbf r_A + \lambda\mathbf r_B}{1+\lambda}$ для радиус-векторов; переходим к координатам.
Это длина вектора $\overrightarrow{AB}$ в ортонормированном базисе. $\blacksquare$

Преобразование аффинных координат на плоскости

Формулировка

Пусть даны «старая» система $(O; \mathbf e_1, \mathbf e_2)$ и «новая» $(O'; \mathbf e_1', \mathbf e_2')$ , причём

\mathbf e_1' = c_{11}\mathbf e_1 + c_{21}\mathbf e_2,\quad \mathbf e_2' = c_{12}\mathbf e_1 + c_{22}\mathbf e_2,\quad O'(x_0, y_0).

Тогда старые координаты $(x, y)$ точки выражаются через новые $(x', y')$ формулами

\begin{cases} x = c_{11}x' + c_{12}y' + x_0,\\ y = c_{21}x' + c_{22}y' + y_0,\end{cases} \qquad\text{т.е.}\qquad X = CX' + X_0.

Матрица перехода $C = (c_{ij})$ , столбцы которой — координаты новых базисных векторов, невырождена, и $X' = C^{-1}(X - X_0)$ .

Доказательство

Развернуть

\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'M} = x_0\mathbf e_1 + y_0\mathbf e_2 + x'\mathbf e_1' + y'\mathbf e_2'.

Подставив выражения $\mathbf e_1', \mathbf e_2'$ и приведя подобные члены, получаем разложение $\overrightarrow{OM}$ по $\mathbf e_1, \mathbf e_2$ . По единственности разложения его коэффициенты равны $x$ и $y$ .

Векторы $\mathbf e_1', \mathbf e_2'$ неколлинеарны, поэтому столбцы $C$ не пропорциональны, и $\det C \ne 0$ . Поэтому $C^{-1}$ существует, что даёт обратную формулу. $\blacksquare$

Критерий линейной зависимости двух векторов

Формулировка

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Если $\mathbf a \ne \mathbf 0$ и $\mathbf b$ коллинеарен $\mathbf a$ , то $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ при единственном $\lambda$ .

Доказательство

Развернуть

Лемма. Пусть $\mathbf a \ne \mathbf 0$ и $\mathbf b\parallel\mathbf a$ . Положим $\lambda = |\mathbf b|/|\mathbf a|$ при $\mathbf b\uparrow\uparrow\mathbf a$ и $\lambda = -|\mathbf b|/|\mathbf a|$ при $\mathbf b\uparrow\downarrow\mathbf a$ ( $\lambda = 0$ при $\mathbf b = \mathbf 0$ ). Тогда $\lambda\mathbf a$ и $\mathbf b$ имеют одинаковые длину и направление, то есть $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ . Единственность: из $\lambda\mathbf a = \mu\mathbf a$ следует $(\lambda-\mu)\mathbf a = \mathbf 0$ , и так как $|\lambda - \mu|\,|\mathbf a| = 0$ , получаем $\lambda = \mu$ .

Необходимость. Один из векторов выражается через другой, $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ . По определению умножения на число такие векторы коллинеарны.

Достаточность. Если $\mathbf a = \mathbf 0$ , то $1\cdot\mathbf a + 0\cdot\mathbf b = \mathbf 0$ . Иначе по лемме $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ , то есть $\lambda\mathbf a - \mathbf b = \mathbf 0$ . $\blacksquare$

Критерий ортогональности векторов

Формулировка

Векторы $\mathbf a$ и $\mathbf b$ ортогональны тогда и только тогда, когда $(\mathbf a, \mathbf b) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Если один из векторов нулевой, обе части верны по соглашению. Иначе $|\mathbf a|\,|\mathbf b| \ne 0$ , и $(\mathbf a, \mathbf b) = 0 \iff \cos\varphi = 0 \iff \varphi = \pi/2$ при $\varphi\in[0,\pi]$ . $\blacksquare$

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Если в ортонормированном базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ , то

(\mathbf a, \mathbf b) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2,\qquad |\mathbf a| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2},\qquad \cos\varphi = \frac{(\mathbf a, \mathbf b)}{|\mathbf a|\,|\mathbf b|}.

Доказательство

Развернуть

Раскроем $(x_1\mathbf i + y_1\mathbf j + z_1\mathbf k,\ x_2\mathbf i + y_2\mathbf j + z_2\mathbf k)$ по линейности. Учитывая $(\mathbf i,\mathbf i) = (\mathbf j,\mathbf j) = (\mathbf k,\mathbf k) = 1$ и равенство нулю попарных произведений разных векторов базиса, получаем первую формулу. Вторая — случай $\mathbf b = \mathbf a$ , третья — определение скалярного произведения. Координаты единичного вектора $\mathbf a/|\mathbf a|$ равны $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ , и сумма их квадратов равна его длине в квадрате, то есть $1$ . $\blacksquare$

Теорема Крамера

Формулировка

Если $\Delta = \det A \ne 0$ , то система $AX = B$ из $n$ уравнений с $n$ неизвестными имеет единственное решение

x_j = \frac{\Delta_j}{\Delta},\qquad j = 1, \dots, n,

где $\Delta_j$ — определитель матрицы, полученной из $A$ заменой $j$ -го столбца столбцом свободных членов $B$ .

Доказательство

Развернуть

Матричным методом $X = A^{-1}B = \frac{1}{\Delta}\tilde AB$ , где $\tilde A$ — присоединённая матрица, то есть

x_j = \frac1\Delta\sum_{i=1}^n A_{ij}b_i.

Сумма $\sum_i b_iA_{ij}$ — разложение $\Delta_j$ по $j$ -му столбцу: алгебраические дополнения элементов $j$ -го столбца у $A$ и у матрицы с заменённым столбцом одинаковы. $\blacksquare$

Теорема Кронекера–Капелли

Формулировка

Система $AX = B$ совместна тогда и только тогда, когда

\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}(A\mid B).

Доказательство

Развернуть

Обозначим через $A_1, \dots, A_n$ столбцы $A$ . Система означает, что $B = x_1A_1 + \dots + x_nA_n$ .

Необходимость. Пусть $X$ — решение. Вычтем из последнего столбца $(A\mid B)$ столбцы $A_j$ , умноженные на $x_j$ . Это элементарные преобразования столбцов, и получится $(A\mid 0)$ . Нулевой столбец не влияет на ненулевые миноры, поэтому $\operatorname{rank}(A\mid B) = \operatorname{rank}(A\mid 0) = \operatorname{rank}A$ .

Достаточность. Пусть $\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}(A\mid B) = r$ . При $r = 0$ имеем $A = O$ , $B = 0$ , и любой $X$ — решение. При $r > 0$ возьмём базисный минор $M$ матрицы $A$ . Это ненулевой минор $(A\mid B)$ порядка $r = \operatorname{rank}(A\mid B)$ , то есть базисный минор и для $(A\mid B)$ . Столбец $B$ — линейная комбинация базисных столбцов: $B = \sum c_jA_j$ . Взяв $x_j = c_j$ для базисных столбцов и $x_j = 0$ для остальных, получаем решение. $\blacksquare$

Оптическое свойство эллипса

Формулировка

Касательная к эллипсу в точке $M$ образует равные углы с фокальными радиусами $MF_1$ и $MF_2$ . Иначе говоря, нормаль в точке $M$ — биссектриса угла $F_1MF_2$ : луч, вышедший из одного фокуса, после отражения от эллипса проходит через другой фокус.

Доказательство

Развернуть

Пусть $M_0(x_0, y_0)$ , касательная $\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} - 1 = 0$ , $N = \sqrt{x_0^2/a^4 + y_0^2/b^4}$ . По формуле расстояния от точки до прямой и формулам для фокальных радиусов

d_1 = \frac{\left|-\frac{cx_0}{a^2} - 1\right|}{N} = \frac{a + ex_0}{aN} = \frac{r_1}{aN},\qquad d_2 = \frac{\left|\frac{cx_0}{a^2} - 1\right|}{N} = \frac{a - ex_0}{aN} = \frac{r_2}{aN}.

Синус угла между $MF_i$ и касательной равен $d_i/r_i = \frac{1}{aN}$ — одинаковый для обоих фокусов, а сами углы острые. Значит, углы равны.

Подставив фокусы в левую часть уравнения касательной, получаем $-\frac{ex_0}{a} - 1 < 0$ и $\frac{ex_0}{a} - 1 < 0$ (так как $|ex_0| < a$ ). Значит, оба фокуса лежат по одну сторону от касательной, и касательная — биссектриса внешнего угла треугольника $F_1MF_2$ . $\blacksquare$

Асимптоты гиперболы

Формулировка

Прямые $y = \pm\dfrac bax$ являются асимптотами гиперболы $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ : расстояние от точки гиперболы до соответствующей прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Доказательство

Развернуть

По симметрии достаточно рассмотреть часть $x \ge a$ , $y \ge 0$ , где $y = \frac ba\sqrt{x^2 - a^2}$ , и прямую $bx - ay = 0$ . Расстояние от точки до этой прямой:

d = \frac{|bx - ay|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{b\left(x - \sqrt{x^2-a^2}\right)}{c} = \frac{ba^2}{c\left(x + \sqrt{x^2 - a^2}\right)} \xrightarrow[x\to+\infty]{} 0.

$\blacksquare$

Оптическое свойство гиперболы

Формулировка

Касательная к гиперболе в точке $M$ является биссектрисой угла $F_1MF_2$ : луч, направленный в один фокус, после отражения от гиперболы идёт так, будто вышел из другого фокуса.

Доказательство

Развернуть

Для касательной $\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} - 1 = 0$ с $N = \sqrt{x_0^2/a^4 + y_0^2/b^4}$ по формуле расстояния от точки до прямой и формулам для фокальных радиусов

d_1 = \frac{|ex_0 + a|}{aN} = \frac{r_1}{aN},\qquad d_2 = \frac{|ex_0 - a|}{aN} = \frac{r_2}{aN}.

Синусы углов между касательной и прямыми $MF_1$ , $MF_2$ равны $d_i/r_i = \frac1{aN}$ , поэтому углы равны.

Значения левой части уравнения касательной в фокусах, $-\frac{ex_0}{a} - 1$ и $\frac{ex_0}a - 1$ , имеют разные знаки, так как $|ex_0| > a$ . Значит, фокусы лежат по разные стороны от касательной, и она делит угол $F_1MF_2$ пополам. $\blacksquare$

Каноническое уравнение параболы

Формулировка

В канонической системе координат парабола задаётся уравнением

y^2 = 2px,

а фокальный радиус её точки равен $r = x + p/2$ . Парабола лежит в полуплоскости $x\ge0$ и симметрична относительно оси $Ox$ .

Доказательство

Развернуть

Для $M(x,y)$ : $r = \sqrt{(x - p/2)^2 + y^2}$ , расстояние до директрисы $x = -p/2$ равно $|x + p/2|$ . Обе величины неотрицательны, поэтому их равенство равносильно равенству квадратов:

x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}4 \iff y^2 = 2px.

Из уравнения $x \ge 0$ , поэтому $r = x + p/2$ . $\blacksquare$

Прямая на плоскости

Прямая на плоскости — алгебраическая кривая первого порядка

Формулировка

Доказательство

Специальные виды уравнения прямой на плоскости

Формулировка

Доказательство

Нормальный вектор прямой в ПДСК

Формулировка

Доказательство

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Формулировка

Доказательство

Угол между прямыми на плоскости

Формулировка

Доказательство

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Формулировка

Доказательство

Перпендикулярная прямая и расстояние до прямой

Условие

Решение

Расстояние между параллельными прямыми

Условие

Решение

Высота треугольника

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Направляющий и нормальный векторы прямой

Алгебраическая кривая первого порядка

Угол между векторами. Проекция вектора на ось

Линейные операции в координатах

Формулировка

Доказательство

Координаты вектора по точкам. Деление отрезка в данном отношении

Формулировка

Доказательство

Преобразование аффинных координат на плоскости

Формулировка

Доказательство

Критерий линейной зависимости двух векторов

Формулировка

Доказательство

Критерий ортогональности векторов

Формулировка

Доказательство

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Доказательство

Теорема Крамера

Формулировка

Доказательство

Теорема Кронекера–Капелли

Формулировка

Доказательство

Оптическое свойство эллипса

Формулировка

Доказательство

Асимптоты гиперболы

Формулировка

Доказательство

Оптическое свойство гиперболы

Формулировка

Доказательство

Каноническое уравнение параболы

Формулировка

Доказательство