Матрицы и операции над ними

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Свойства линейных операций над матрицами
Свойства произведения матриц
Свойства операции транспонирования
Элементарные преобразования как умножение на элементарную матрицу
Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса)
Свойства следа матрицы

теорема

Свойства линейных операций над матрицами

Формулировка

Для любых матриц $A, B, C$ одного размера и любых чисел $\alpha, \beta$ :

$A + B = B + A$ ;
$(A + B) + C = A + (B + C)$ ;
$A + O = A$ ;
$A + (-A) = O$ ;
$1 \cdot A = A$ ;
$\alpha(\beta A) = (\alpha\beta) A$ ;
$(\alpha + \beta) A = \alpha A + \beta A$ ;
$\alpha (A + B) = \alpha A + \alpha B$ .

Доказательство

Развернуть

Все операции выполняются поэлементно, поэтому каждое равенство сводится к соответствующему свойству вещественных чисел для элемента с произвольными индексами $(i,j)$ . Например, для свойства 7:

\big((\alpha+\beta)A\big)_{ij} = (\alpha+\beta)a_{ij} = \alpha a_{ij} + \beta a_{ij} = (\alpha A)_{ij} + (\beta A)_{ij} = (\alpha A + \beta A)_{ij}.

Остальные свойства проверяются так же. $\blacksquare$

теорема

Свойства произведения матриц

Формулировка

Если соответствующие произведения определены, то:

$(AB)C = A(BC)$ — ассоциативность;
$A(B + C) = AB + AC$ , $(A + B)C = AC + BC$ — дистрибутивность;
$(\lambda A)B = A(\lambda B) = \lambda (AB)$ ;
$E_m A = A E_n = A$ для матрицы $A$ размера $m \times n$ .

Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $AB \ne BA$ даже для квадратных матриц.

Доказательство

Развернуть

1. Пусть $A$ имеет размер $m\times n$ , $B$ — $n\times p$ , $C$ — $p\times q$ . Тогда

\big((AB)C\big)_{ij} = \sum_{l=1}^{p} (AB)_{il}\, c_{lj} = \sum_{l=1}^{p}\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kl} c_{lj}, \qquad \big(A(BC)\big)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} (BC)_{kj} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{p} a_{ik} b_{kl} c_{lj}.

Конечные суммы отличаются лишь порядком суммирования, значит, равны.

2. $\big(A(B+C)\big)_{ij} = \sum_k a_{ik}(b_{kj} + c_{kj}) = \sum_k a_{ik}b_{kj} + \sum_k a_{ik}c_{kj}$ . Второе равенство и свойство 3 проверяются аналогично.

4. Элементы единичной матрицы — символ Кронекера $\delta_{ik}$ ( $1$ при $i = k$ , $0$ иначе), поэтому $(E_m A)_{ij} = \sum_k \delta_{ik} a_{kj} = a_{ij}$ ; аналогично $A E_n = A$ .

Некоммутативность. Например,

\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.

$\blacksquare$

теорема

Свойства операции транспонирования

Формулировка

$(A^\mathsf{T})^\mathsf{T} = A$ ;
$(A + B)^\mathsf{T} = A^\mathsf{T} + B^\mathsf{T}$ ;
$(\lambda A)^\mathsf{T} = \lambda A^\mathsf{T}$ ;
$(AB)^\mathsf{T} = B^\mathsf{T} A^\mathsf{T}$ .

Доказательство

Развернуть

Свойства 1–3 проверяются поэлементно. Для свойства 4 пусть $A$ имеет размер $m\times n$ , $B$ — $n\times p$ . Тогда

\big((AB)^\mathsf{T}\big)_{ij} = (AB)_{ji} = \sum_{k=1}^n a_{jk} b_{ki} = \sum_{k=1}^n (B^\mathsf{T})_{ik} (A^\mathsf{T})_{kj} = (B^\mathsf{T}A^\mathsf{T})_{ij}.

$\blacksquare$

лемма

Элементарные преобразования как умножение на элементарную матрицу

Формулировка

Элементарное преобразование строк матрицы $A$ размера $m\times n$ равносильно умножению $A$ слева на элементарную матрицу $S$ порядка $m$ , полученную из $E_m$ тем же преобразованием.

Если $S'$ — элементарная матрица обратного преобразования, то $S'S = SS' = E$ .

Доказательство

Развернуть

По определению произведения $(SA)_{ij} = \sum_k s_{ik} a_{kj}$ , то есть $i$ -я строка матрицы $SA$ равна $\sum_k s_{ik}\cdot(k\text{-я строка } A)$ .

Если $S = T_{ij}(\lambda)$ , то в $i$ -й строке $S$ стоят $1$ на месте $i$ и $\lambda$ на месте $j$ , а остальные строки — как у $E$ . Значит, $i$ -я строка $SA$ равна $a_i + \lambda a_j$ , а остальные строки не меняются — это и есть преобразование третьего типа. Для $P_{ij}$ и $D_i(\lambda)$ рассуждение аналогично.

Применим к $E$ сначала преобразование, затем обратное к нему: получим снова $E$ . По доказанному первое действие даёт $SE = S$ , второе — $S'S$ . Значит, $S'S = E$ . Меняя роли преобразований, получаем $SS' = E$ . $\blacksquare$

теорема

Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса)

Формулировка

Любую матрицу $A$ конечным числом элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду $R$ . Равносильно: существуют элементарные матрицы $S_1, \dots, S_k$ такие, что

A = S_1 S_2 \cdots S_k R.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу строк $m$ . При $m = 1$ любая матрица ступенчатая.

Пусть $m > 1$ . Если $A = O$ , доказывать нечего. Иначе пусть $j_1$ — номер первого ненулевого столбца. Перестановкой строк добьёмся $a_{1j_1} \ne 0$ . Затем из каждой $i$ -й строки ( $i \ge 2$ ) вычтем первую, умноженную на $a_{ij_1}/a_{1j_1}$ . После этого в столбцах с номерами $\le j_1$ у строк $2, \dots, m$ стоят нули.

По предположению индукции строки $2,\dots,m$ приводятся к ступенчатому виду. Эти преобразования не затрагивают первую строку. Нули в столбцах с номерами $\le j_1$ у строк $2,\dots,m$ сохраняются, так как линейная комбинация нулей равна нулю. Значит, ведущие элементы строк $2,\dots,m$ стоят правее $j_1$ , и вся матрица ступенчатая.

Выполненные преобразования означают, что $S_k' \cdots S_1' A = R$ , где $S_i'$ — элементарные матрицы. Умножая слева последовательно на элементарные матрицы обратных преобразований $S_1, \dots, S_k$ (для них $S_iS_i' = E$ ), получаем $A = S_1 \cdots S_k R$ . $\blacksquare$

теорема

Свойства следа матрицы

Формулировка

Для квадратных матриц $A, B$ одного порядка и числа $\lambda$ :

$\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr} A + \operatorname{tr} B$ , $\operatorname{tr}(\lambda A) = \lambda \operatorname{tr} A$ ;
$\operatorname{tr} A^\mathsf{T} = \operatorname{tr} A$ ;
$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ . Это верно и для прямоугольных $A$ размера $m\times n$ и $B$ размера $n\times m$ .

Доказательство

Развернуть

Свойства 1 и 2 очевидны: транспонирование не меняет диагональ. Для свойства 3:

\operatorname{tr}(AB) = \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{ki} = \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^m b_{ki} a_{ik} = \operatorname{tr}(BA).

$\blacksquare$

Произведение матриц в разном порядке

Условие

Для матриц

A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

найти $AB$ и $BA$ . Перестановочны ли матрицы $A$ и $B$ ?

Решение

Развернуть

AB = \begin{pmatrix}1\cdot0+2\cdot1 & 1\cdot1+2\cdot0\\ 3\cdot0+4\cdot1 & 3\cdot1+4\cdot0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}, \qquad BA = \begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}.

Умножение на $B$ справа переставляет столбцы $A$ , а слева — строки. $AB \ne BA$ , матрицы не перестановочны.

Уравнение AB − BA = E не имеет решений

Условие

Доказать, что не существует квадратных матриц $A$ и $B$ порядка $n \ge 1$ таких, что $AB - BA = E$ .

Решение

Развернуть

След линеен и $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , поэтому

\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0.

Но $\operatorname{tr} E = n \ne 0$ . Противоречие. $\blacksquare$

Приведение матрицы к ступенчатому виду

Условие

Привести к ступенчатому виду матрицу

A = \begin{pmatrix} 0&2&4&2\\ 1&1&3&2\\ 2&4&10&6\end{pmatrix}.

Решение

Развернуть

Действуем по методу Гаусса. Переставим первую и вторую строки, затем из третьей вычтем удвоенную первую:

\begin{pmatrix} 1&1&3&2\\ 0&2&4&2\\ 2&4&10&6\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&1&3&2\\ 0&2&4&2\\ 0&2&4&2\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&1&3&2\\ 0&2&4&2\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}.

На последнем шаге из третьей строки вычтена вторая. Получена ступенчатая матрица с двумя ненулевыми строками.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Матрица

Матрицей размера $m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел $a_{ij}$ ( $i = 1,\dots,m$ , $j = 1,\dots,n$ ), состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов:

A = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\end{pmatrix}.

Число $a_{ij}$ — элемент матрицы, стоящий в $i$ -й строке и $j$ -м столбце. При $m = n$ матрица называется квадратной порядка $n$ .

Виды матриц

Нулевая матрица $O$ — все элементы равны нулю.
Матрица-строка (размера $1\times n$ ) и матрица-столбец (размера $m\times 1$ ).
Элементы $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ квадратной матрицы образуют её главную диагональ.
Диагональная матрица: $a_{ij} = 0$ при $i \ne j$ .
Единичная матрица $E$ (или $E_n$ ) — диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
Верхняя треугольная: $a_{ij} = 0$ при $i > j$ ; нижняя треугольная: $a_{ij} = 0$ при $i < j$ .
Симметрическая: $a_{ij} = a_{ji}$ при всех $i,j$ , то есть $A^\mathsf{T} = A$ ; кососимметрическая: $A^\mathsf{T} = -A$ .

Равенство матриц

Матрицы $A = (a_{ij})$ и $B = (b_{ij})$ называются равными, если они имеют одинаковый размер и $a_{ij} = b_{ij}$ при всех $i, j$ .

Линейные операции над матрицами и транспонирование

Пусть $A = (a_{ij})$ и $B = (b_{ij})$ — матрицы одного размера $m \times n$ , $\lambda$ — число.

Суммой $A + B$ называется матрица $C$ того же размера с элементами $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ .
Произведением матрицы на число называется матрица $\lambda A$ с элементами $\lambda a_{ij}$ .
Разность: $A - B = A + (-1)B$ .

Транспонированной к матрице $A$ размера $m\times n$ называется матрица $A^\mathsf{T}$ размера $n\times m$ с элементами $(A^\mathsf{T})_{ij} = a_{ji}$ : строки матрицы $A$ становятся столбцами $A^\mathsf{T}$ .

Произведение матриц

Пусть $A$ — матрица размера $m\times n$ , $B$ — матрица размера $n\times p$ (число столбцов $A$ равно числу строк $B$ ; такие матрицы называют согласованными). Произведением $AB$ называется матрица $C$ размера $m\times p$ с элементами

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj},

то есть $c_{ij}$ — сумма попарных произведений элементов $i$ -й строки $A$ на соответствующие элементы $j$ -го столбца $B$ .

Элементарные преобразования строк матрицы

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются:

перестановка двух строк;
умножение строки на число $\lambda \ne 0$ ;
прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число $\lambda$ .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов. Каждое элементарное преобразование обратимо: обратное к нему — элементарное преобразование того же типа (повторная перестановка тех же строк; умножение на $1/\lambda$ ; прибавление той же строки, умноженной на $-\lambda$ ).

Элементарные матрицы

Элементарной матрицей называется квадратная матрица, полученная из единичной матрицы $E$ одним элементарным преобразованием строк:

$P_{ij}$ — перестановкой $i$ -й и $j$ -й строк;
$D_i(\lambda)$ , $\lambda \ne 0$ — умножением $i$ -й строки на $\lambda$ ;
$T_{ij}(\lambda)$ , $i \ne j$ — прибавлением к $i$ -й строке $j$ -й строки, умноженной на $\lambda$ (это единичная матрица, у которой на месте $(i,j)$ стоит $\lambda$ ).

Ступенчатая матрица

Матрица называется ступенчатой, если:

все нулевые строки (если они есть) расположены ниже ненулевых;
первый ненулевой элемент (ведущий элемент) каждой ненулевой строки расположен строго правее ведущего элемента предыдущей строки.

Например, матрица

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

ступенчатая, ведущие элементы — $1$ и $5$ .

След матрицы

Следом квадратной матрицы $A$ порядка $n$ называется сумма её диагональных элементов:

\operatorname{tr} A = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} = \sum_{i=1}^n a_{ii}.

Определитель произведения матриц

Формулировка

Для квадратных матриц $A$ и $B$ одного порядка

\det(AB) = \det A \cdot \det B.

Доказательство

Развернуть

Приведём $A$ к ступенчатому виду: $A = S_1\cdots S_k R$ , где $S_i$ — элементарные матрицы, $R$ — ступенчатая. Так как $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ для элементарной $S$ , получаем

\det A = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det R,\qquad \det(AB) = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det(RB),

так как $AB = S_1\cdots S_k(RB)$ . Достаточно доказать $\det(RB) = \det R\det B$ .

Квадратная ступенчатая матрица $R$ верхнетреугольна.

Случай а: последняя строка $R$ нулевая. Тогда $\det R = 0$ как определитель треугольной матрицы с нулём на диагонали. Последняя строка $RB$ — линейная комбинация строк $B$ с нулевыми коэффициентами, то есть тоже нулевая, и $\det(RB) = 0$ .

Случай б: нулевых строк нет. Тогда $n$ ведущих элементов стоят на диагонали, и $r_{ii} \ne 0$ . Поделив строки на $r_{ii}$ и затем обнулив наддиагональные элементы снизу вверх преобразованиями третьего типа, приведём $R$ к $E$ . Как и выше, отсюда $R = G_1\cdots G_m$ с элементарными $G_i$ . Тогда

\det(RB) = \det G_1\cdots\det G_m\det B = \det R\det B,

так как $\det R = \det(G_1\cdots G_m E) = \det G_1\cdots\det G_m$ . $\blacksquare$

Решение матричных уравнений

Формулировка

Пусть $A$ и $B$ — обратимые матрицы. Каждое из уравнений

AX = C, \qquad XA = C, \qquad AXB = C

имеет единственное решение соответственно

X = A^{-1}C, \qquad X = CA^{-1}, \qquad X = A^{-1}CB^{-1}.

Доказательство

Развернуть

Если $AX = C$ , то, умножив слева на $A^{-1}$ , получаем $X = A^{-1}C$ , то есть решение может быть только таким. Обратно, $A(A^{-1}C) = C$ . Остальные уравнения рассматриваются аналогично: умножаем на $A^{-1}$ справа, а в третьем — на $A^{-1}$ слева и на $B^{-1}$ справа. $\blacksquare$

Единственность обратной матрицы

Формулировка

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство

Развернуть

Пусть $B$ и $C$ — обратные к $A$ . По ассоциативности

B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C.

$\blacksquare$

Свойства решений однородных и неоднородных систем

Формулировка

Сумма решений ОСЛАУ $AX = 0$ и произведение решения на число — решения той же системы.
Разность двух решений НСЛАУ $AX = B$ — решение соответствующей ОСЛАУ $AX = 0$ .
Сумма решения НСЛАУ и решения соответствующей ОСЛАУ — решение НСЛАУ.

Доказательство

Развернуть

По свойствам произведения матриц:

$A(X_1 + X_2) = AX_1 + AX_2 = 0$ , $A(\lambda X) = \lambda AX = 0$ .
$A(X_1 - X_2) = B - B = 0$ .
$A(X_\text{ч} + Y) = B + 0 = B$ . $\blacksquare$

Свойства обратной матрицы

Формулировка

Для обратимых матриц $A, B$ порядка $n$ и числа $\lambda \ne 0$ :

$(A^{-1})^{-1} = A$ ;
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ ;
$(A^\mathsf{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathsf{T}$ ;
$(\lambda A)^{-1} = \lambda^{-1}A^{-1}$ ;
$\det A^{-1} = 1/\det A$ .

Доказательство

Развернуть

В каждом случае достаточно проверить, что произведение в обоих порядках равно $E$ , так как обратная матрица единственна.

Равенства $AA^{-1} = A^{-1}A = E$ означают, что $A$ обратна к $A^{-1}$ .
$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = E$ , и аналогично в другом порядке.
По свойству $(AB)^\mathsf{T} = B^\mathsf{T}A^\mathsf{T}$ имеем $A^\mathsf{T}(A^{-1})^\mathsf{T} = (A^{-1}A)^\mathsf{T} = E^\mathsf{T} = E$ , и аналогично.
Очевидно.
Из $AA^{-1} = E$ получаем $\det A\det A^{-1} = 1$ . $\blacksquare$

Существование и свойства сопряжённого оператора

Формулировка

Для любого оператора в конечномерном евклидовом пространстве сопряжённый существует и единствен.
В ортонормированном базисе матрица $\mathcal A^*$ равна $A^\mathsf{T}$ ; в произвольном базисе с матрицей Грама $\Gamma$ она равна $\Gamma^{-1}A^\mathsf{T}\Gamma$ .
$(\mathcal A^*)^* = \mathcal A$ , $(\mathcal A + \mathcal B)^* = \mathcal A^* + \mathcal B^*$ , $(\lambda\mathcal A)^* = \lambda\mathcal A^*$ , $(\mathcal A\mathcal B)^* = \mathcal B^*\mathcal A^*$ .

Доказательство

Развернуть

Единственность. Если $(x, \mathcal By) = (x, \mathcal Cy)$ для всех $x$ , то при $x = \mathcal By - \mathcal Cy$ получаем $|\mathcal By - \mathcal Cy|^2 = 0$ .

Существование и матрица. В базисе с матрицей Грама $\Gamma$ равенство $(\mathcal Ax, y) = (x, \mathcal A^*y)$ записывается как

(AX)^\mathsf{T}\Gamma Y = X^\mathsf{T}\Gamma A^*Y\quad\text{для всех } X, Y,

то есть $A^\mathsf{T}\Gamma = \Gamma A^*$ . Так как $\Gamma$ невырождена, $A^* = \Gamma^{-1}A^\mathsf{T}\Gamma$ подходит, и оператор с этой матрицей — сопряжённый. В ОНБ $\Gamma = E$ .

Проверяется подстановкой, например $(\mathcal A\mathcal Bx, y) = (\mathcal Bx, \mathcal A^*y) = (x, \mathcal B^*\mathcal A^*y)$ . $\blacksquare$

Следствия из основных свойств определителя

Формулировка

Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Определитель не изменится, если к строке прибавить другую строку, умноженную на число.
Для элементарных матриц $\det P_{ij} = -1$ , $\det D_i(\lambda) = \lambda$ , $\det T_{ij}(\lambda) = 1$ . Для любой элементарной матрицы $S$ и квадратной $A$ того же порядка $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Всё сказанное, а также линейность по строке и смена знака при перестановке строк, верно и для столбцов.

Доказательство

Развернуть

Если $a_j = \lambda a_i$ , то $\det A = \lambda\cdot(\text{определитель с равными строками}) = 0$ , так как определитель с двумя равными строками равен нулю.
По линейности $\det(\dots, a_i + \lambda a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A$ .
Сначала $\det E = 1$ : в сумме из определения ненулевое лишь слагаемое с $\sigma = \varepsilon$ . Элементарные преобразования типов 1, 2, 3 умножают определитель соответственно на $-1$ , $\lambda$ , $1$ (по свойствам перестановки строк, линейности и пункту 2). Применяя их к $E$ , получаем указанные значения $\det S$ . Применяя их к $A$ и учитывая, что $SA$ — результат того же преобразования, получаем $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса–Жордана

Формулировка

Если матрица $A$ невырождена, то элементарными преобразованиями строк блочную матрицу $(A \mid E)$ можно привести к виду $(E \mid A^{-1})$ .

Доказательство

Развернуть

Строками приведём $A$ к ступенчатому виду $R$ . Каждое преобразование умножает определитель на ненулевое число, поэтому $\det R \ne 0$ . Квадратная ступенчатая $R$ верхнетреугольна, и все её диагональные элементы ненулевые. Поделив строки на диагональные элементы и обнулив наддиагональные элементы снизу вверх, приведём $R$ к $E$ .

Пусть $S$ — произведение элементарных матриц всех выполненных преобразований. Тогда $SA = E$ , и $S = A^{-1}$ . Преобразования строк блочной матрицы действуют на оба блока сразу: $S(A\mid E) = (SA \mid SE) = (E \mid A^{-1})$ . $\blacksquare$

Замечание. Если $A$ вырождена, при приведении в левом блоке появится нулевая строка.

Метод Гаусса. Равносильные преобразования системы

Формулировка

Элементарные преобразования строк расширенной матрицы $(A\mid B)$ переводят систему в равносильную. Следовательно, любую СЛАУ можно заменить равносильной системой со ступенчатой расширенной матрицей (метод Гаусса).

Доказательство

Развернуть

Преобразование строк есть умножение слева на элементарную матрицу $S$ : система $AX = B$ переходит в $SAX = SB$ . Любое решение первой системы удовлетворяет второй. Обратно, умножив $SAX = SB$ на матрицу $S'$ обратного преобразования ( $S'S = E$ ), получаем $AX = B$ . Значит, множества решений совпадают. Приведение к ступенчатому виду всегда возможно. $\blacksquare$

Ранг ступенчатой матрицы. Вычисление ранга методом Гаусса

Формулировка

Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк. Следовательно, ранг любой матрицы равен числу ненулевых строк ступенчатой матрицы, к которой она приводится элементарными преобразованиями строк.

Доказательство

Развернуть

Пусть у ступенчатой матрицы $r$ ненулевых строк. Минор на этих строках и столбцах с ведущими элементами — определитель верхнетреугольной матрицы с ведущими элементами на диагонали. Он не равен нулю. Любой минор порядка $r + 1$ содержит нулевую строку и равен нулю. Значит, ранг равен $r$ .

Второе утверждение следует из того, что любая матрица приводится к ступенчатому виду, а элементарные преобразования не меняют ранг. $\blacksquare$

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Если $A$ — матрица оператора $\mathcal A$ в базисе $e$ , а $T$ — матрица перехода от $e$ к $e'$ , то матрица $\mathcal A$ в базисе $e'$ равна

A' = T^{-1}AT.

Для отображения $V\to W$ с матрицами перехода $T$ в $V$ и $S$ в $W$ : $A' = S^{-1}AT$ . 2. Подобные матрицы имеют одинаковые определитель, ранг и след. Поэтому определитель, ранг и след оператора не зависят от выбора базиса.

Доказательство

Развернуть

Пусть $Y = AX$ . Подставим $X = TX'$ , $Y = SY'$ : $SY' = ATX'$ , откуда $Y' = S^{-1}ATX'$ при всех $X'$ . Для оператора $S = T$ .
$\det(T^{-1}AT) = \det T^{-1}\det A\det T = \det A$ . Умножение на невырожденную матрицу не меняет ранг: по неравенствам для ранга $\operatorname{rank}(T^{-1}AT)\le\operatorname{rank}A$ , и наоборот, так как $A = T(T^{-1}AT)T^{-1}$ . Для следа $\operatorname{tr}(T^{-1}(AT)) = \operatorname{tr}((AT)T^{-1}) = \operatorname{tr}A$ . $\blacksquare$

Матрицы и операции над ними

Свойства линейных операций над матрицами

Формулировка

Доказательство

Свойства произведения матриц

Формулировка

Доказательство

Свойства операции транспонирования

Формулировка

Доказательство

Элементарные преобразования как умножение на элементарную матрицу

Формулировка

Доказательство

Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса)

Формулировка

Доказательство

Свойства следа матрицы

Формулировка

Доказательство

Произведение матриц в разном порядке

Условие

Решение

Уравнение AB − BA = E не имеет решений

Условие

Решение

Приведение матрицы к ступенчатому виду

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Матрица

Виды матриц

Равенство матриц

Линейные операции над матрицами и транспонирование

Произведение матриц

Элементарные преобразования строк матрицы

Элементарные матрицы

Ступенчатая матрица

След матрицы

Определитель произведения матриц

Формулировка

Доказательство

Решение матричных уравнений

Формулировка

Доказательство

Единственность обратной матрицы

Формулировка

Доказательство

Свойства решений однородных и неоднородных систем

Формулировка

Доказательство

Свойства обратной матрицы

Формулировка

Доказательство

Существование и свойства сопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Следствия из основных свойств определителя

Формулировка

Доказательство

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса–Жордана

Формулировка

Доказательство

Метод Гаусса. Равносильные преобразования системы

Формулировка

Доказательство

Ранг ступенчатой матрицы. Вычисление ранга методом Гаусса

Формулировка

Доказательство

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Доказательство