Системы линейных алгебраических уравнений

Прогресс изучения0 из 8

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы8

Матричный метод решения СЛАУ
Теорема Крамера
Метод Гаусса. Равносильные преобразования системы
Теорема Кронекера–Капелли
Критерий существования ненулевых решений ОСЛАУ
Свойства решений однородных и неоднородных систем
Теорема о существовании фундаментальной системы решений
Структура общего решения ОСЛАУ и НСЛАУ

теорема

Матричный метод решения СЛАУ

Формулировка

Если матрица $A$ системы $AX = B$ квадратная и невырожденная, то система имеет единственное решение

X = A^{-1}B.

Доказательство

Развернуть

Матрица $A^{-1}$ существует. Уравнение $AX = B$ имеет единственное решение $X = A^{-1}B$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема Крамера

Формулировка

Если $\Delta = \det A \ne 0$ , то система $AX = B$ из $n$ уравнений с $n$ неизвестными имеет единственное решение

x_j = \frac{\Delta_j}{\Delta},\qquad j = 1, \dots, n,

где $\Delta_j$ — определитель матрицы, полученной из $A$ заменой $j$ -го столбца столбцом свободных членов $B$ .

Доказательство

Развернуть

Матричным методом $X = A^{-1}B = \frac{1}{\Delta}\tilde AB$ , где $\tilde A$ — присоединённая матрица, то есть

x_j = \frac1\Delta\sum_{i=1}^n A_{ij}b_i.

Сумма $\sum_i b_iA_{ij}$ — разложение $\Delta_j$ по $j$ -му столбцу: алгебраические дополнения элементов $j$ -го столбца у $A$ и у матрицы с заменённым столбцом одинаковы. $\blacksquare$

теорема

Метод Гаусса. Равносильные преобразования системы

Формулировка

Элементарные преобразования строк расширенной матрицы $(A\mid B)$ переводят систему в равносильную. Следовательно, любую СЛАУ можно заменить равносильной системой со ступенчатой расширенной матрицей (метод Гаусса).

Доказательство

Развернуть

Преобразование строк есть умножение слева на элементарную матрицу $S$ : система $AX = B$ переходит в $SAX = SB$ . Любое решение первой системы удовлетворяет второй. Обратно, умножив $SAX = SB$ на матрицу $S'$ обратного преобразования ( $S'S = E$ ), получаем $AX = B$ . Значит, множества решений совпадают. Приведение к ступенчатому виду всегда возможно. $\blacksquare$

теорема

Теорема Кронекера–Капелли

Формулировка

Система $AX = B$ совместна тогда и только тогда, когда

\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}(A\mid B).

Доказательство

Развернуть

Обозначим через $A_1, \dots, A_n$ столбцы $A$ . Система означает, что $B = x_1A_1 + \dots + x_nA_n$ .

Необходимость. Пусть $X$ — решение. Вычтем из последнего столбца $(A\mid B)$ столбцы $A_j$ , умноженные на $x_j$ . Это элементарные преобразования столбцов, и получится $(A\mid 0)$ . Нулевой столбец не влияет на ненулевые миноры, поэтому $\operatorname{rank}(A\mid B) = \operatorname{rank}(A\mid 0) = \operatorname{rank}A$ .

Достаточность. Пусть $\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}(A\mid B) = r$ . При $r = 0$ имеем $A = O$ , $B = 0$ , и любой $X$ — решение. При $r > 0$ возьмём базисный минор $M$ матрицы $A$ . Это ненулевой минор $(A\mid B)$ порядка $r = \operatorname{rank}(A\mid B)$ , то есть базисный минор и для $(A\mid B)$ . Столбец $B$ — линейная комбинация базисных столбцов: $B = \sum c_jA_j$ . Взяв $x_j = c_j$ для базисных столбцов и $x_j = 0$ для остальных, получаем решение. $\blacksquare$

теорема

Критерий существования ненулевых решений ОСЛАУ

Формулировка

Однородная система $AX = 0$ с $n$ неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда $\operatorname{rank}A < n$ . Для квадратной матрицы $A$ это равносильно $\det A = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Ненулевое решение — это нетривиальный набор $x_1, \dots, x_n$ с $\sum x_jA_j = 0$ , то есть линейная зависимость $n$ столбцов. Столбцы зависимы тогда и только тогда, когда максимальное число независимых столбцов, равное $\operatorname{rank}A$ , меньше $n$ . Для квадратной матрицы столбцы зависимы тогда и только тогда, когда $\det A = 0$ . $\blacksquare$

лемма

Свойства решений однородных и неоднородных систем

Формулировка

Сумма решений ОСЛАУ $AX = 0$ и произведение решения на число — решения той же системы.
Разность двух решений НСЛАУ $AX = B$ — решение соответствующей ОСЛАУ $AX = 0$ .
Сумма решения НСЛАУ и решения соответствующей ОСЛАУ — решение НСЛАУ.

Доказательство

Развернуть

По свойствам произведения матриц:

$A(X_1 + X_2) = AX_1 + AX_2 = 0$ , $A(\lambda X) = \lambda AX = 0$ .
$A(X_1 - X_2) = B - B = 0$ .
$A(X_\text{ч} + Y) = B + 0 = B$ . $\blacksquare$

теорема

Теорема о существовании фундаментальной системы решений

Формулировка

Если $\operatorname{rank}A = r < n$ , то однородная система $AX = 0$ имеет фундаментальную систему решений из $n - r$ решений. При $r = n$ система имеет только нулевое решение.

Доказательство

Развернуть

Случай $r = n$ следует из критерия существования ненулевых решений. Пусть $r < n$ . При $r = 0$ ( $A = O$ ) ФСР — столбцы единичной матрицы. Пусть $r > 0$ . Перенумеровав уравнения и неизвестные, будем считать, что базисный минор $M$ стоит в левом верхнем углу.

Строки с номерами $> r$ — комбинации первых $r$ строк, поэтому соответствующие уравнения следуют из первых $r$ . Система равносильна системе

\sum_{j=1}^r a_{ij}x_j = -\sum_{j=r+1}^n a_{ij}x_j,\qquad i = 1,\dots,r.

При любых значениях свободных неизвестных $x_{r+1}, \dots, x_n$ эта система относительно базисных неизвестных имеет матрицу $M$ с $\det M \ne 0$ . Базисные неизвестные определяются однозначно.

Пусть $X_k$ ( $k = 1, \dots, n-r$ ) — решение, у которого $x_{r+k} = 1$ , а остальные свободные неизвестные равны нулю.

Независимость. Если $\sum c_kX_k = 0$ , то, глядя на координаты свободных неизвестных, получаем $c_k = 0$ .

Полнота. Пусть $X$ — решение со свободными координатами $c_1, \dots, c_{n-r}$ . Разность решений — тоже решение, поэтому $Y = X - \sum c_kX_k$ — решение, у которого все свободные неизвестные равны нулю. По единственности (Крамер) его базисные координаты тоже нули, то есть $Y = 0$ . Значит, $X = \sum c_kX_k$ . $\blacksquare$

теорема

Структура общего решения ОСЛАУ и НСЛАУ

Формулировка

Если $\operatorname{rank}A = r < n$ и $X_1, \dots, X_{n-r}$ — ФСР системы $AX = 0$ , то её общее решение

X_\text{оо} = c_1X_1 + \dots + c_{n-r}X_{n-r},\qquad c_k \in \mathbb{R}.

Общее решение совместной системы $AX = B$ равно сумме её частного решения $X_\text{ч}$ и общего решения соответствующей однородной системы:

X_\text{он} = X_\text{ч} + c_1X_1 + \dots + c_{n-r}X_{n-r}.

Доказательство

Развернуть

ФСР существует по предыдущей теореме. Любое решение — её линейная комбинация по определению ФСР, а любая линейная комбинация решений однородной системы — снова решение.
Совместность проверяется по теореме Кронекера–Капелли. Если $X$ — решение $AX = B$ , то $X - X_\text{ч}$ — решение однородной системы, то есть $X - X_\text{ч} = \sum c_kX_k$ . Обратно, $X_\text{ч} + \sum c_kX_k$ — решение $AX = B$ . $\blacksquare$

Решение системы по формулам Крамера

Условие

Решить систему

\begin{cases} x + 2y = 5,\\ y + z = 3,\\ x + z = 2.\end{cases}

Решение

Развернуть

\Delta = \begin{vmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&0&1\end{vmatrix} = 3,\quad \Delta_1 = \begin{vmatrix}5&2&0\\3&1&1\\2&0&1\end{vmatrix} = 3,\quad \Delta_2 = \begin{vmatrix}1&5&0\\0&3&1\\1&2&1\end{vmatrix} = 6,\quad \Delta_3 = \begin{vmatrix}1&2&5\\0&1&3\\1&0&2\end{vmatrix} = 3.

По формулам Крамера $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 1$ .

Фундаментальная система решений однородной системы

Условие

Найти ФСР и общее решение системы

\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 0,\\ 2x_1 + 4x_2 - x_3 + 3x_4 = 0.\end{cases}

Решение

Развернуть

Вычтем из второго уравнения удвоенное первое: $x_3 + x_4 = 0$ . Ранг матрицы равен 2, $n = 4$ , поэтому ФСР состоит из двух решений.

Базисные неизвестные $x_1, x_3$ , свободные $x_2, x_4$ :

x_3 = -x_4,\qquad x_1 = -2x_2 + x_3 - x_4 = -2x_2 - 2x_4.

Полагая $(x_2, x_4) = (1, 0)$ и $(0, 1)$ , получаем

X_1 = (-2, 1, 0, 0)^\mathsf{T},\qquad X_2 = (-2, 0, -1, 1)^\mathsf{T}.

Общее решение: $X = c_1X_1 + c_2X_2$ .

Общее решение неоднородной системы

Условие

Исследовать на совместность и найти общее решение системы

\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 1,\\ 2x_1 + 4x_2 - x_3 + 3x_4 = 3.\end{cases}

Решение

Развернуть

Приведём расширенную матрицу:

\left(\begin{array}{cccc|c} 1&2&-1&1&1\\ 2&4&-1&3&3\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cccc|c} 1&2&-1&1&1\\ 0&0&1&1&1\end{array}\right).

$\operatorname{rank}A = \operatorname{rank}(A\mid B) = 2$ , и система совместна.

Из второго уравнения $x_3 = 1 - x_4$ , из первого $x_1 = 2 - 2x_2 - 2x_4$ . При $x_2 = x_4 = 0$ получаем частное решение $X_\text{ч} = (2, 0, 1, 0)^\mathsf{T}$ . ФСР соответствующей однородной системы найдена в предыдущей задаче. Общее решение:

X = \begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\end{pmatrix} + c_1\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\\1\end{pmatrix}.

Однородная система с параметром

Условие

При каких $\lambda$ система

\begin{cases} x + y + z = 0,\\ x + \lambda y + z = 0,\\ x + y + \lambda z = 0\end{cases}

имеет ненулевые решения? Найти их.

Решение

Развернуть

Определитель системы равен $(\lambda - 1)^2$ . Ненулевые решения есть лишь при $\lambda = 1$ . Тогда система сводится к уравнению $x + y + z = 0$ , и её решения

X = c_1(-1, 1, 0)^\mathsf{T} + c_2(-1, 0, 1)^\mathsf{T}.

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Система линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из $m$ уравнений с $n$ неизвестными называется система

\begin{cases} a_{11}x_1 + \dots + a_{1n}x_n = b_1,\\ \dots\dots\dots\\ a_{m1}x_1 + \dots + a_{mn}x_n = b_m,\end{cases} \qquad\text{или в матричной форме}\qquad AX = B.

Здесь $A = (a_{ij})$ — матрица системы, $X$ — столбец неизвестных, $B$ — столбец свободных членов, $(A\mid B)$ — расширенная матрица.

Решение — столбец чисел, обращающий все уравнения в верные равенства.
Система совместна, если имеет хотя бы одно решение, и несовместна — иначе.
Совместная система определённая, если решение единственно, и неопределённая — иначе.
Система однородная (ОСЛАУ), если $B = 0$ , и неоднородная (НСЛАУ) — иначе.

Равносильные системы

Две системы с одними и теми же неизвестными называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Фундаментальная система решений

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы $AX = 0$ называется набор линейно независимых решений $X_1, \dots, X_k$ этой системы такой, что любое её решение является их линейной комбинацией.

Общее решение. Базисные и свободные неизвестные

Общим решением системы называется выражение, зависящее от произвольных постоянных, которое при всевозможных значениях постоянных даёт все решения системы и только их.

Если $\operatorname{rank} A = r$ и выбран базисный минор матрицы $A$ , то неизвестные, соответствующие столбцам базисного минора, называются базисными (главными), а остальные $n - r$ неизвестных — свободными.

Невырожденная матрица

Квадратная матрица $A$ называется невырожденной, если $\det A \ne 0$ , и вырожденной, если $\det A = 0$ .

Присоединённая матрица

Присоединённой (союзной) матрицей к квадратной матрице $A$ называется транспонированная матрица алгебраических дополнений:

\tilde A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn}\end{pmatrix}, \qquad \tilde a_{ij} = A_{ji}.

Элементарные преобразования строк матрицы

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются:

перестановка двух строк;
умножение строки на число $\lambda \ne 0$ ;
прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число $\lambda$ .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов. Каждое элементарное преобразование обратимо: обратное к нему — элементарное преобразование того же типа (повторная перестановка тех же строк; умножение на $1/\lambda$ ; прибавление той же строки, умноженной на $-\lambda$ ).

Ранг матрицы

Рангом ненулевой матрицы $A$ называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. Обозначения: $\operatorname{rank} A$ , $\operatorname{Rg} A$ .

Базисный минор

Базисным минором матрицы $A$ называется любой её ненулевой минор порядка $r = \operatorname{rank} A$ . Строки и столбцы, на которых расположен базисный минор, называются базисными.

Линейная зависимость строк и столбцов

Выражение $\lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_k a_k$ , где $a_1, \dots, a_k$ — строки одинаковой длины, называется линейной комбинацией этих строк.

Строки $a_1, \dots, a_k$ называются линейно зависимыми, если существуют числа $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ , не все равные нулю, такие что

\lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_k a_k = 0

(нулевая строка), и линейно независимыми — в противном случае. Аналогично для столбцов.

Решение матричных уравнений

Формулировка

Пусть $A$ и $B$ — обратимые матрицы. Каждое из уравнений

AX = C, \qquad XA = C, \qquad AXB = C

имеет единственное решение соответственно

X = A^{-1}C, \qquad X = CA^{-1}, \qquad X = A^{-1}CB^{-1}.

Доказательство

Развернуть

Если $AX = C$ , то, умножив слева на $A^{-1}$ , получаем $X = A^{-1}C$ , то есть решение может быть только таким. Обратно, $A(A^{-1}C) = C$ . Остальные уравнения рассматриваются аналогично: умножаем на $A^{-1}$ справа, а в третьем — на $A^{-1}$ слева и на $B^{-1}$ справа. $\blacksquare$

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Квадратная матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда она невырождена ( $\det A \ne 0$ ). При этом

A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\tilde A.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Если $AA^{-1} = E$ , то $\det A\cdot\det A^{-1} = \det E = 1$ , значит, $\det A \ne 0$ .

Достаточность. Вычислим произведения с присоединённой матрицей:

(A\tilde A)_{ik} = \sum_{j} a_{ij}A_{kj} = \delta_{ik}\det A, \qquad (\tilde A A)_{ik} = \sum_j A_{ji}a_{jk} = \delta_{ik}\det A.

Здесь при $i = k$ используется разложение определителя по строке, а при $i \ne k$ — разложение по чужим алгебраическим дополнениям. Итак, $A\tilde A = \tilde A A = \det A\cdot E$ . При $\det A \ne 0$ матрица $\frac{1}{\det A}\tilde A$ удовлетворяет определению обратной. Обратная матрица единственна. $\blacksquare$

Разложение определителя по строке (столбцу)

Формулировка

Для любых $i$ и $j$ :

\det A = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} \quad\text{(разложение по } i\text{-й строке)}, \qquad \det A = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj} \quad\text{(по } j\text{-му столбцу)}.

Доказательство

Развернуть

Шаг 1. Пусть последняя строка матрицы $A$ равна $(0, \dots, 0, a_{nn})$ . Ненулевыми могут быть лишь слагаемые с $\sigma(n) = n$ . Такие $\sigma$ взаимно однозначно соответствуют подстановкам $\sigma'$ чисел $1, \dots, n-1$ , и число инверсий у них одинаково: элемент $n$ в конце нижней строки инверсий не добавляет. Поэтому

\det A = a_{nn}\sum_{\sigma'}\operatorname{sgn}\sigma'\, a_{1\sigma'(1)}\cdots a_{n-1,\sigma'(n-1)} = a_{nn} M_{nn} = a_{nn}A_{nn}.

Шаг 2. Пусть в $i$ -й строке ненулевой лишь элемент $a_{ij}$ . Переместим $i$ -ю строку вниз $n - i$ перестановками соседних строк, а $j$ -й столбец вправо $n - j$ перестановками соседних столбцов. Порядок остальных строк и столбцов сохраняется, поэтому минор элемента в правом нижнем углу по-прежнему равен $M_{ij}$ . Определитель умножился на $(-1)^{(n-i)+(n-j)} = (-1)^{i+j}$ . По шагу 1 получаем $\det A = (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} = a_{ij}A_{ij}$ .

Шаг 3. Запишем $i$ -ю строку как сумму $n$ строк, в $k$ -й из которых ненулевым может быть лишь элемент $a_{ik}$ . По линейности и шагу 2 $\det A = \sum_k a_{ik}A_{ik}$ ; здесь важно, что $A_{ik}$ не зависят от элементов $i$ -й строки. Разложение по столбцу следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Формулировка

Прямые $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ :

пересекаются (в одной точке) $\iff A_1B_2 - A_2B_1 \ne 0$ ;
параллельны (и различны) $\iff \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} \ne \dfrac{C_1}{C_2}$ ;
совпадают $\iff \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2}$ .

Пропорции понимаются в смысле пропорциональности строк коэффициентов.

Доказательство

Развернуть

Общие точки прямых — решения системы из двух уравнений. Если её определитель $A_1B_2 - A_2B_1 \ne 0$ , решение единственно (формулы Крамера).

Пусть определитель равен нулю. Тогда строки $(A_1, B_1)$ и $(A_2, B_2)$ пропорциональны: $(A_2, B_2) = \mu(A_1, B_1)$ . Если и $C_2 = \mu C_1$ , уравнения равносильны, и прямые совпадают. Иначе ранг матрицы системы равен 1, а расширенной — 2, и общих точек нет, то есть прямые параллельны. $\blacksquare$

Ортогональная проекция и расстояние до подпространства

Формулировка

Ортогональная проекция вектора на подпространство существует и единственна.
Если $e_1,\dots,e_k$ — ортонормированный базис $L$ , то $\operatorname{pr}_Lx = \sum_{i=1}^k(x,e_i)e_i$ .
Если $a_1,\dots,a_k$ — произвольный базис $L$ , то $\operatorname{pr}_Lx = \sum c_ja_j$ , где коэффициенты — единственное решение системы

\sum_{j=1}^k(a_i,a_j)c_j = (x,a_i),\qquad i = 1,\dots,k.

Проекция — ближайший к $x$ вектор подпространства: $|x - u| > |x - \operatorname{pr}_Lx|$ при $u\in L$ , $u\ne\operatorname{pr}_Lx$ . Поэтому $\rho(x,L) = |x - \operatorname{pr}_Lx|$ .

Доказательство

Развернуть

Следует из $V = L\oplus L^\perp$ .
Вектор $z = x - \sum(x,e_i)e_i$ удовлетворяет $(z,e_j) = (x,e_j) - (x,e_j) = 0$ , то есть $z\in L^\perp$ .
Условие $x - \sum c_ja_j\perp a_i$ при всех $i$ — это указанная система. Её матрица — матрица Грама базиса, она невырождена, поэтому решение единственно.
Пусть $y = \operatorname{pr}_Lx$ , $z = x - y$ . Для $u\in L$ вектор $y - u$ лежит в $L$ и ортогонален $z$ , поэтому по теореме Пифагора

|x - u|^2 = |z|^2 + |y - u|^2 > |z|^2\quad\text{при}\ u\ne y.

$\blacksquare$

Центр гиперповерхности второго порядка

Формулировка

При переносе начала координат в точку $X_0$ уравнение принимает вид

Y^\mathsf{T}AY + 2(AX_0 + b)^\mathsf{T}Y + \big(X_0^\mathsf{T}AX_0 + 2b^\mathsf{T}X_0 + c\big) = 0.

Точка $X_0$ с $AX_0 = -b$ называется центром: после переноса в неё линейные члены исчезают, а свободный член становится равным $b^\mathsf{T}X_0 + c$ . Если $\det A\ne0$ , центр единствен (центральная гиперповерхность).

Доказательство

Развернуть

Подставим $X = X_0 + Y$ и раскроем скобки с учётом симметричности $A$ : $X_0^\mathsf{T}AY = Y^\mathsf{T}AX_0 = (AX_0)^\mathsf{T}Y$ . При $AX_0 = -b$ свободный член равен $X_0^\mathsf{T}AX_0 + 2b^\mathsf{T}X_0 + c = -b^\mathsf{T}X_0 + 2b^\mathsf{T}X_0 + c$ . При $\det A\ne0$ система $AX_0 = -b$ имеет единственное решение. $\blacksquare$

Элементарные преобразования как умножение на элементарную матрицу

Формулировка

Элементарное преобразование строк матрицы $A$ размера $m\times n$ равносильно умножению $A$ слева на элементарную матрицу $S$ порядка $m$ , полученную из $E_m$ тем же преобразованием.

Если $S'$ — элементарная матрица обратного преобразования, то $S'S = SS' = E$ .

Доказательство

Развернуть

По определению произведения $(SA)_{ij} = \sum_k s_{ik} a_{kj}$ , то есть $i$ -я строка матрицы $SA$ равна $\sum_k s_{ik}\cdot(k\text{-я строка } A)$ .

Если $S = T_{ij}(\lambda)$ , то в $i$ -й строке $S$ стоят $1$ на месте $i$ и $\lambda$ на месте $j$ , а остальные строки — как у $E$ . Значит, $i$ -я строка $SA$ равна $a_i + \lambda a_j$ , а остальные строки не меняются — это и есть преобразование третьего типа. Для $P_{ij}$ и $D_i(\lambda)$ рассуждение аналогично.

Применим к $E$ сначала преобразование, затем обратное к нему: получим снова $E$ . По доказанному первое действие даёт $SE = S$ , второе — $S'S$ . Значит, $S'S = E$ . Меняя роли преобразований, получаем $SS' = E$ . $\blacksquare$

Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса)

Формулировка

Любую матрицу $A$ конечным числом элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду $R$ . Равносильно: существуют элементарные матрицы $S_1, \dots, S_k$ такие, что

A = S_1 S_2 \cdots S_k R.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу строк $m$ . При $m = 1$ любая матрица ступенчатая.

Пусть $m > 1$ . Если $A = O$ , доказывать нечего. Иначе пусть $j_1$ — номер первого ненулевого столбца. Перестановкой строк добьёмся $a_{1j_1} \ne 0$ . Затем из каждой $i$ -й строки ( $i \ge 2$ ) вычтем первую, умноженную на $a_{ij_1}/a_{1j_1}$ . После этого в столбцах с номерами $\le j_1$ у строк $2, \dots, m$ стоят нули.

По предположению индукции строки $2,\dots,m$ приводятся к ступенчатому виду. Эти преобразования не затрагивают первую строку. Нули в столбцах с номерами $\le j_1$ у строк $2,\dots,m$ сохраняются, так как линейная комбинация нулей равна нулю. Значит, ведущие элементы строк $2,\dots,m$ стоят правее $j_1$ , и вся матрица ступенчатая.

Выполненные преобразования означают, что $S_k' \cdots S_1' A = R$ , где $S_i'$ — элементарные матрицы. Умножая слева последовательно на элементарные матрицы обратных преобразований $S_1, \dots, S_k$ (для них $S_iS_i' = E$ ), получаем $A = S_1 \cdots S_k R$ . $\blacksquare$

Теорема о базисном миноре

Формулировка

Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Доказательство

Развернуть

Перенумеровав строки и столбцы, будем считать, что базисный минор $M$ порядка $r$ стоит в левом верхнем углу. Перестановки строк и столбцов не влияют ни на линейные соотношения между строками, ни на то, равен ли минор нулю.

Независимость. Если бы базисные строки были зависимы, то их части, лежащие в $M$ , тоже были бы зависимы. Одна из строк $M$ — комбинация остальных. Вычтя эту комбинацию, получим в $M$ нулевую строку, то есть $M = 0$ — противоречие.

Выражение строк. Зафиксируем строку $i$ и столбец $j$ и рассмотрим окаймляющий определитель порядка $r+1$ :

\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1r} & a_{1j}\\ \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rr} & a_{rj}\\ a_{i1} & \dots & a_{ir} & a_{ij}\end{vmatrix}.

Если $i \le r$ или $j \le r$ , в $\Delta$ две равные строки или два равных столбца, и $\Delta = 0$ . Иначе $\Delta$ — минор порядка $r + 1 > \operatorname{rank}A$ , и $\Delta = 0$ .

Разложим $\Delta$ по последнему столбцу:

0 = \Delta = a_{1j}D_1 + \dots + a_{rj}D_r + a_{ij}M.

Алгебраические дополнения $D_l$ составлены из элементов строк $1, \dots, r, i$ и столбцов $1, \dots, r$ , поэтому от $j$ не зависят. Так как $M \ne 0$ ,

a_{ij} = \lambda_1 a_{1j} + \dots + \lambda_r a_{rj}, \qquad \lambda_l = -D_l/M,

при всех $j$ с одними и теми же $\lambda_l$ . Значит, $i$ -я строка — линейная комбинация базисных. Для столбцов рассуждение аналогично: транспонирование не меняет значений миноров. $\blacksquare$

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Формулировка

Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк и столбцов, а также при транспонировании.

Доказательство

Развернуть

Достаточно показать: если все миноры порядка $k$ матрицы $A$ равны нулю, то это верно и для полученной матрицы $A'$ . Тогда $\operatorname{rank} A' \le \operatorname{rank} A$ . Обратное преобразование тоже элементарное, поэтому верно и обратное неравенство.

Типы 1, 2. Миноры $A'$ совпадают с минорами $A$ с точностью до перестановки строк и ненулевого множителя.

Тип 3: $a_i' = a_i + \lambda a_j$ . Пусть $M'$ — минор $A'$ на строках $I$ и столбцах $J$ .

Если $i \notin I$ , то $M'$ — минор $A$ .
Если $i, j \in I$ , то $M' = M$ : прибавление строки не меняет определитель.
Если $i \in I$ , $j\notin I$ , то $M' = M + \lambda N$ , где $N$ с точностью до знака — минор $A$ на строках $(I\setminus\{i\})\cup\{j\}$ и столбцах $J$ .

Во всех случаях $M' = 0$ .

Транспонирование: миноры $A^\mathsf{T}$ — это транспонированные миноры $A$ , и они равны. Преобразования столбцов $A$ — это преобразования строк $A^\mathsf{T}$ . $\blacksquare$

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями

Формулировка

Плоскости $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ с нормалями $\mathbf n_1, \mathbf n_2$ :

пересекаются по прямой $\iff \mathbf n_1\nparallel\mathbf n_2$ ;
параллельны $\iff \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2}\ne\dfrac{D_1}{D_2}$ ;
совпадают $\iff$ все четыре коэффициента пропорциональны.

Угол между плоскостями: $\cos\varphi = \dfrac{|(\mathbf n_1, \mathbf n_2)|}{|\mathbf n_1|\,|\mathbf n_2|}$ ; плоскости перпендикулярны $\iff (\mathbf n_1, \mathbf n_2) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Общие точки — решения системы из двух уравнений с тремя неизвестными.

Если $\mathbf n_1\nparallel\mathbf n_2$ , то ранг матрицы системы равен 2, и система совместна по теореме Кронекера–Капелли. Её общее решение имеет вид $X = X_\text{ч} + tX_1$ с одним параметром — это прямая.

Если $\mathbf n_2 = \mu\mathbf n_1$ , то при $D_2 = \mu D_1$ уравнения равносильны. Иначе ранг расширенной матрицы равен 2 при ранге матрицы системы 1, и общих точек нет.

Угол между плоскостями равен углу между нормалями или дополняет его до $\pi$ ; отсюда формула для косинуса. $\blacksquare$

Теоремы Фредгольма для вырожденного ядра

Формулировка

Пусть ядро вещественно и вырождено, $D(\lambda) = \det(E - \lambda M)$ . Тогда:

характеристические числа — корни многочлена $D(\lambda)$ ( $D(0) = 1$ ), их конечное число;
если $D(\lambda)\ne 0$ , уравнение однозначно разрешимо при любой $f$ ;
если $D(\lambda) = 0$ , однородное уравнение и союзное однородное уравнение имеют одинаковое число $n - \operatorname{rank}(E - \lambda M)$ линейно независимых решений;
при $D(\lambda) = 0$ неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ ортогональна всем решениям союзного однородного уравнения.

Доказательство

Развернуть

Решения однородного уравнения — функции $x = \lambda\sum c_ia_i$ с $(E - \lambda M)c = 0$ . Так как $a_i$ линейно независимы и $\lambda\ne 0$ , соответствие $c\mapsto x$ взаимно однозначно. Значит, число независимых решений равно $n - \operatorname{rank}(E - \lambda M)$ , и ненулевые решения есть тогда и только тогда, когда $D(\lambda) = 0$ . Это даёт пп. 1, 2.

Союзное ядро $K(s, t) = \sum b_i(t)a_i(s)$ — тоже вырожденное, с ролями $a_i\leftrightarrow b_i$ . Его матрица — транспонированная $M^T$ . Ранги $E - \lambda M$ и $E - \lambda M^T$ равны (ранг матрицы равен рангу транспонированной), что даёт п. 3.

П. 4. По теореме Кронекера–Капелли система $(E - \lambda M)c = F$ разрешима тогда и только тогда, когда $F$ ортогонален всем решениям $d$ системы $(E - \lambda M^T)d = 0$ (ортогональность образа матрицы ядру транспонированной). Решения союзного однородного уравнения — функции $y = \lambda\sum d_jb_j$ , и $(f, y) = \lambda\sum d_jF_j = \lambda(d, F)$ . Значит, условие $F\perp d$ равносильно $f\perp y$ . $\blacksquare$

Ранг как максимальное число линейно независимых строк и столбцов

Формулировка

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк и максимальному числу её линейно независимых столбцов.

Доказательство

Развернуть

Пусть $r = \operatorname{rank} A$ . По теореме о базисном миноре $r$ базисных строк линейно независимы.

Покажем, что любые $r + 1$ строк зависимы. Пусть $B$ — матрица из этих строк. Её миноры являются минорами $A$ , поэтому $\operatorname{rank} B \le r < r+1$ . Если $\operatorname{rank} B = 0$ , строки $B$ нулевые и зависимы. Иначе у $B$ есть небазисная строка, и она — комбинация базисных строк $B$ . Строки $B$ зависимы.

Для столбцов то же рассуждение применяем к $A^\mathsf{T}$ ( $\operatorname{rank}A^\mathsf{T} = \operatorname{rank}A$ ). $\blacksquare$

Критерий равенства нулю определителя

Формулировка

Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда её строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство

Развернуть

Достаточность. Одна строка — линейная комбинация остальных. Вычтя из неё эту комбинацию, получим нулевую строку, и определитель равен нулю.

Необходимость. Если $\det A = 0$ , то $r = \operatorname{rank} A < n$ . При $r = 0$ матрица нулевая, и строки зависимы. При $r > 0$ найдётся небазисная строка. Она — линейная комбинация базисных, и строки зависимы. Для столбцов рассуждение аналогично. $\blacksquare$

Лемма о линейной зависимости линейных комбинаций

Формулировка

Если каждый из векторов $b_1,\dots,b_m$ является линейной комбинацией векторов $a_1,\dots,a_k$ и $m > k$ , то система $b_1,\dots,b_m$ линейно зависима.

Доказательство

Развернуть

Пусть $b_j = \sum_{i=1}^kc_{ij}a_i$ . Ищем числа $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ , не все нулевые, с $\sum_j\lambda_jb_j = 0$ . Так как

\sum_{j=1}^m\lambda_jb_j = \sum_{i=1}^k\Big(\sum_{j=1}^mc_{ij}\lambda_j\Big)a_i,

достаточно, чтобы выполнялись $k$ равенств $\sum_jc_{ij}\lambda_j = 0$ , $i = 1,\dots,k$ . Это однородная система из $k$ уравнений с $m > k$ неизвестными. Ранг её матрицы не больше $k < m$ , поэтому по критерию существования ненулевых решений однородной системы у неё есть ненулевое решение. $\blacksquare$

Свойства произведения матриц

Формулировка

Если соответствующие произведения определены, то:

$(AB)C = A(BC)$ — ассоциативность;
$A(B + C) = AB + AC$ , $(A + B)C = AC + BC$ — дистрибутивность;
$(\lambda A)B = A(\lambda B) = \lambda (AB)$ ;
$E_m A = A E_n = A$ для матрицы $A$ размера $m \times n$ .

Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $AB \ne BA$ даже для квадратных матриц.

Доказательство

Развернуть

1. Пусть $A$ имеет размер $m\times n$ , $B$ — $n\times p$ , $C$ — $p\times q$ . Тогда

\big((AB)C\big)_{ij} = \sum_{l=1}^{p} (AB)_{il}\, c_{lj} = \sum_{l=1}^{p}\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kl} c_{lj}, \qquad \big(A(BC)\big)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} (BC)_{kj} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{p} a_{ik} b_{kl} c_{lj}.

Конечные суммы отличаются лишь порядком суммирования, значит, равны.

2. $\big(A(B+C)\big)_{ij} = \sum_k a_{ik}(b_{kj} + c_{kj}) = \sum_k a_{ik}b_{kj} + \sum_k a_{ik}c_{kj}$ . Второе равенство и свойство 3 проверяются аналогично.

4. Элементы единичной матрицы — символ Кронекера $\delta_{ik}$ ( $1$ при $i = k$ , $0$ иначе), поэтому $(E_m A)_{ij} = \sum_k \delta_{ik} a_{kj} = a_{ij}$ ; аналогично $A E_n = A$ .

Некоммутативность. Например,

\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.

$\blacksquare$

Подпространство решений однородной системы

Формулировка

Множество решений однородной системы $AX = 0$ с $n$ неизвестными — подпространство $\mathbb R^n$ размерности $n - \operatorname{rank}A$ ; фундаментальная система решений — его базис.
Обратно, любое подпространство $L\subset\mathbb R^n$ является множеством решений некоторой однородной системы.

Доказательство

Развернуть

Сумма решений и произведение решения на число — решения, так что это подпространство. По теореме о фундаментальной системе решений любое решение — линейная комбинация $n - r$ линейно независимых решений ФСР, а значит, ФСР — базис.
Пусть $a_1,\dots,a_k$ — базис $L$ , и $A_L$ — матрица со строками $a_i$ . Рассмотрим подпространство $M$ решений системы $A_LY = 0$ ; его размерность $n - k$ . Пусть $b_1,\dots,b_{n-k}$ — базис $M$ , а $B$ — матрица со строками $b_j$ . Каждый $a_i$ удовлетворяет системе $BX = 0$ , так как $(b_j, a_i) = \sum b_{jm}a_{im} = 0$ . Подпространство решений системы $BX = 0$ имеет размерность $n - \operatorname{rank}B = n - (n - k) = k$ и содержит $L$ ; значит, совпадает с $L$ . $\blacksquare$

Нахождение базисов суммы и пересечения подпространств

Формулировка

Пусть $L_1 = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_p)$ , $L_2 = \operatorname{span}(b_1,\dots,b_q)$ в $\mathbb R^n$ . Тогда:

$L_1 + L_2 = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_p,b_1,\dots,b_q)$ ; базис суммы — максимальная линейно независимая подсистема этих векторов;
вектор $x$ лежит в $L_1\cap L_2$ тогда и только тогда, когда

x = \sum_{i=1}^p\alpha_ia_i = \sum_{j=1}^q\beta_jb_j

для некоторого решения $(\alpha,\beta)$ однородной системы $\sum\alpha_ia_i - \sum\beta_jb_j = 0$ . Подставляя в $\sum\alpha_ia_i$ векторы ФСР этой системы, получаем систему, порождающую пересечение; если $a_i$ и $b_j$ — базисы $L_1$ и $L_2$ , это базис пересечения.

Доказательство

Развернуть

Любой $x_1 + x_2$ — комбинация всех $a_i$ и $b_j$ , и обратно. Базис оболочки — максимальная независимая подсистема.
Первое утверждение — определение пересечения. Отображение $(\alpha,\beta)\mapsto\sum\alpha_ia_i$ линейно и переводит пространство решений системы на $L_1\cap L_2$ , поэтому образы векторов ФСР порождают пересечение.

Если $a_i$ и $b_j$ — базисы, то из $\sum\alpha_ia_i = 0$ следует $\alpha = 0$ , а тогда и $\sum\beta_jb_j = 0$ , то есть $\beta = 0$ . Значит, отображение инъективно, и образы векторов ФСР линейно независимы. $\blacksquare$

Системы линейных алгебраических уравнений

Матричный метод решения СЛАУ

Формулировка

Доказательство

Теорема Крамера

Формулировка

Доказательство

Метод Гаусса. Равносильные преобразования системы

Формулировка

Доказательство

Теорема Кронекера–Капелли

Формулировка

Доказательство

Критерий существования ненулевых решений ОСЛАУ

Формулировка

Доказательство

Свойства решений однородных и неоднородных систем

Формулировка

Доказательство

Теорема о существовании фундаментальной системы решений

Формулировка

Доказательство

Структура общего решения ОСЛАУ и НСЛАУ

Формулировка

Доказательство

Решение системы по формулам Крамера

Условие

Решение

Фундаментальная система решений однородной системы

Условие

Решение

Общее решение неоднородной системы

Условие

Решение

Однородная система с параметром

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Система линейных алгебраических уравнений

Равносильные системы

Фундаментальная система решений

Общее решение. Базисные и свободные неизвестные

Невырожденная матрица

Присоединённая матрица

Элементарные преобразования строк матрицы

Ранг матрицы

Базисный минор

Линейная зависимость строк и столбцов

Решение матричных уравнений

Формулировка

Доказательство

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Доказательство

Разложение определителя по строке (столбцу)

Формулировка

Доказательство

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Формулировка

Доказательство

Ортогональная проекция и расстояние до подпространства

Формулировка

Доказательство

Центр гиперповерхности второго порядка

Формулировка

Доказательство

Элементарные преобразования как умножение на элементарную матрицу

Формулировка

Доказательство

Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса)

Формулировка

Доказательство

Теорема о базисном миноре

Формулировка

Доказательство

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Формулировка

Доказательство

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями