Обратная матрица. Матричные уравнения

Прогресс изучения0 из 6

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы6

Единственность обратной матрицы
Критерий существования обратной матрицы
Свойства обратной матрицы
Односторонняя обратная матрица является обратной
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса–Жордана
Решение матричных уравнений

лемма

Единственность обратной матрицы

Формулировка

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство

Развернуть

Пусть $B$ и $C$ — обратные к $A$ . По ассоциативности

B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C.

$\blacksquare$

теорема

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Квадратная матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда она невырождена ( $\det A \ne 0$ ). При этом

A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\tilde A.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Если $AA^{-1} = E$ , то $\det A\cdot\det A^{-1} = \det E = 1$ , значит, $\det A \ne 0$ .

Достаточность. Вычислим произведения с присоединённой матрицей:

(A\tilde A)_{ik} = \sum_{j} a_{ij}A_{kj} = \delta_{ik}\det A, \qquad (\tilde A A)_{ik} = \sum_j A_{ji}a_{jk} = \delta_{ik}\det A.

Здесь при $i = k$ используется разложение определителя по строке, а при $i \ne k$ — разложение по чужим алгебраическим дополнениям. Итак, $A\tilde A = \tilde A A = \det A\cdot E$ . При $\det A \ne 0$ матрица $\frac{1}{\det A}\tilde A$ удовлетворяет определению обратной. Обратная матрица единственна. $\blacksquare$

теорема

Свойства обратной матрицы

Формулировка

Для обратимых матриц $A, B$ порядка $n$ и числа $\lambda \ne 0$ :

$(A^{-1})^{-1} = A$ ;
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ ;
$(A^\mathsf{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathsf{T}$ ;
$(\lambda A)^{-1} = \lambda^{-1}A^{-1}$ ;
$\det A^{-1} = 1/\det A$ .

Доказательство

Развернуть

В каждом случае достаточно проверить, что произведение в обоих порядках равно $E$ , так как обратная матрица единственна.

Равенства $AA^{-1} = A^{-1}A = E$ означают, что $A$ обратна к $A^{-1}$ .
$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = E$ , и аналогично в другом порядке.
По свойству $(AB)^\mathsf{T} = B^\mathsf{T}A^\mathsf{T}$ имеем $A^\mathsf{T}(A^{-1})^\mathsf{T} = (A^{-1}A)^\mathsf{T} = E^\mathsf{T} = E$ , и аналогично.
Очевидно.
Из $AA^{-1} = E$ получаем $\det A\det A^{-1} = 1$ . $\blacksquare$

следствие

Односторонняя обратная матрица является обратной

Формулировка

Если $A$ и $B$ — квадратные матрицы одного порядка и $AB = E$ , то $BA = E$ , то есть $B = A^{-1}$ .

Доказательство

Развернуть

Так как $\det(AB) = \det A\det B$ , имеем $\det A\det B = 1$ , значит, $\det A \ne 0$ , и существует $A^{-1}$ . Тогда

B = (A^{-1}A)B = A^{-1}(AB) = A^{-1}.

$\blacksquare$

теорема

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса–Жордана

Формулировка

Если матрица $A$ невырождена, то элементарными преобразованиями строк блочную матрицу $(A \mid E)$ можно привести к виду $(E \mid A^{-1})$ .

Доказательство

Развернуть

Строками приведём $A$ к ступенчатому виду $R$ . Каждое преобразование умножает определитель на ненулевое число, поэтому $\det R \ne 0$ . Квадратная ступенчатая $R$ верхнетреугольна, и все её диагональные элементы ненулевые. Поделив строки на диагональные элементы и обнулив наддиагональные элементы снизу вверх, приведём $R$ к $E$ .

Пусть $S$ — произведение элементарных матриц всех выполненных преобразований. Тогда $SA = E$ , и $S = A^{-1}$ . Преобразования строк блочной матрицы действуют на оба блока сразу: $S(A\mid E) = (SA \mid SE) = (E \mid A^{-1})$ . $\blacksquare$

Замечание. Если $A$ вырождена, при приведении в левом блоке появится нулевая строка.

теорема

Решение матричных уравнений

Формулировка

Пусть $A$ и $B$ — обратимые матрицы. Каждое из уравнений

AX = C, \qquad XA = C, \qquad AXB = C

имеет единственное решение соответственно

X = A^{-1}C, \qquad X = CA^{-1}, \qquad X = A^{-1}CB^{-1}.

Доказательство

Развернуть

Если $AX = C$ , то, умножив слева на $A^{-1}$ , получаем $X = A^{-1}C$ , то есть решение может быть только таким. Обратно, $A(A^{-1}C) = C$ . Остальные уравнения рассматриваются аналогично: умножаем на $A^{-1}$ справа, а в третьем — на $A^{-1}$ слева и на $B^{-1}$ справа. $\blacksquare$

Обратная матрица через присоединённую

Условие

Найти обратную к матрице

A = \begin{pmatrix} 1&2&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1\end{pmatrix}.

Решение

Развернуть

Разлагая по первой строке, получаем $\det A = 1\cdot(1-0) - 2\cdot(0-1) + 0 = 3 \ne 0$ .

Алгебраические дополнения:

A_{11} = 1,\ A_{12} = 1,\ A_{13} = -1,\quad A_{21} = -2,\ A_{22} = 1,\ A_{23} = 2,\quad A_{31} = 2,\ A_{32} = -1,\ A_{33} = 1.

Следовательно,

A^{-1} = \frac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ 1&1&-1\\ -1&2&1\end{pmatrix}.

Проверка: $A\cdot\tilde A = 3E$ .

Матричное уравнение XA = B

Условие

Решить уравнение $XA = B$ , где

A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}.

Решение

Развернуть

$\det A = -2$ , поэтому

A^{-1} = -\frac12\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&1\\ 3/2&-1/2\end{pmatrix}.

Отсюда

X = BA^{-1} = \begin{pmatrix}-2&1\\ -5/2&3/2\end{pmatrix}.

Проверка: $XA = B$ .

Обратная матрица методом Гаусса–Жордана

Условие

Методом Гаусса–Жордана найти обратную к $A = \begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$ .

Решение

Развернуть

Приводим $(A \mid E)$ элементарными преобразованиями строк:

\left(\begin{array}{cc|cc} 2&1&1&0\\ 5&3&0&1\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|cc} 2&1&1&0\\ 0&1/2&-5/2&1\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|cc} 2&1&1&0\\ 0&1&-5&2\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|cc} 1&0&3&-1\\ 0&1&-5&2\end{array}\right).

Здесь последовательно: из второй строки вычтена первая, умноженная на $5/2$ ; вторая строка умножена на 2; из первой вычтена вторая, и первая поделена на 2.

Ответ: $A^{-1} = \begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$ .

Обратная к E − A для нильпотентной матрицы

Условие

Пусть $A^k = O$ при некотором натуральном $k$ . Доказать, что матрица $E - A$ обратима и

(E - A)^{-1} = E + A + A^2 + \dots + A^{k-1}.

Решение

Развернуть

По дистрибутивности сумма «телескопируется»:

(E - A)(E + A + \dots + A^{k-1}) = E + A + \dots + A^{k-1} - A - A^2 - \dots - A^k = E - A^k = E.

Односторонней обратной достаточно, поэтому $E - A$ обратима, и обратная равна указанной сумме. $\blacksquare$

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Обратная матрица

Квадратная матрица $B$ называется обратной к квадратной матрице $A$ того же порядка, если

AB = BA = E.

Обратную матрицу обозначают $A^{-1}$ . Матрица, имеющая обратную, называется обратимой.

Невырожденная матрица

Квадратная матрица $A$ называется невырожденной, если $\det A \ne 0$ , и вырожденной, если $\det A = 0$ .

Присоединённая матрица

Присоединённой (союзной) матрицей к квадратной матрице $A$ называется транспонированная матрица алгебраических дополнений:

\tilde A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn}\end{pmatrix}, \qquad \tilde a_{ij} = A_{ji}.

Элементарные преобразования строк матрицы

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются:

перестановка двух строк;
умножение строки на число $\lambda \ne 0$ ;
прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число $\lambda$ .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов. Каждое элементарное преобразование обратимо: обратное к нему — элементарное преобразование того же типа (повторная перестановка тех же строк; умножение на $1/\lambda$ ; прибавление той же строки, умноженной на $-\lambda$ ).

Ступенчатая матрица

Матрица называется ступенчатой, если:

все нулевые строки (если они есть) расположены ниже ненулевых;
первый ненулевой элемент (ведущий элемент) каждой ненулевой строки расположен строго правее ведущего элемента предыдущей строки.

Например, матрица

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

ступенчатая, ведущие элементы — $1$ и $5$ .

Свойства произведения матриц

Формулировка

Если соответствующие произведения определены, то:

$(AB)C = A(BC)$ — ассоциативность;
$A(B + C) = AB + AC$ , $(A + B)C = AC + BC$ — дистрибутивность;
$(\lambda A)B = A(\lambda B) = \lambda (AB)$ ;
$E_m A = A E_n = A$ для матрицы $A$ размера $m \times n$ .

Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $AB \ne BA$ даже для квадратных матриц.

Доказательство

Развернуть

1. Пусть $A$ имеет размер $m\times n$ , $B$ — $n\times p$ , $C$ — $p\times q$ . Тогда

\big((AB)C\big)_{ij} = \sum_{l=1}^{p} (AB)_{il}\, c_{lj} = \sum_{l=1}^{p}\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kl} c_{lj}, \qquad \big(A(BC)\big)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} (BC)_{kj} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{p} a_{ik} b_{kl} c_{lj}.

Конечные суммы отличаются лишь порядком суммирования, значит, равны.

2. $\big(A(B+C)\big)_{ij} = \sum_k a_{ik}(b_{kj} + c_{kj}) = \sum_k a_{ik}b_{kj} + \sum_k a_{ik}c_{kj}$ . Второе равенство и свойство 3 проверяются аналогично.

4. Элементы единичной матрицы — символ Кронекера $\delta_{ik}$ ( $1$ при $i = k$ , $0$ иначе), поэтому $(E_m A)_{ij} = \sum_k \delta_{ik} a_{kj} = a_{ij}$ ; аналогично $A E_n = A$ .

Некоммутативность. Например,

\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.

$\blacksquare$

Разложение определителя по строке (столбцу)

Формулировка

Для любых $i$ и $j$ :

\det A = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} \quad\text{(разложение по } i\text{-й строке)}, \qquad \det A = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj} \quad\text{(по } j\text{-му столбцу)}.

Доказательство

Развернуть

Шаг 1. Пусть последняя строка матрицы $A$ равна $(0, \dots, 0, a_{nn})$ . Ненулевыми могут быть лишь слагаемые с $\sigma(n) = n$ . Такие $\sigma$ взаимно однозначно соответствуют подстановкам $\sigma'$ чисел $1, \dots, n-1$ , и число инверсий у них одинаково: элемент $n$ в конце нижней строки инверсий не добавляет. Поэтому

\det A = a_{nn}\sum_{\sigma'}\operatorname{sgn}\sigma'\, a_{1\sigma'(1)}\cdots a_{n-1,\sigma'(n-1)} = a_{nn} M_{nn} = a_{nn}A_{nn}.

Шаг 2. Пусть в $i$ -й строке ненулевой лишь элемент $a_{ij}$ . Переместим $i$ -ю строку вниз $n - i$ перестановками соседних строк, а $j$ -й столбец вправо $n - j$ перестановками соседних столбцов. Порядок остальных строк и столбцов сохраняется, поэтому минор элемента в правом нижнем углу по-прежнему равен $M_{ij}$ . Определитель умножился на $(-1)^{(n-i)+(n-j)} = (-1)^{i+j}$ . По шагу 1 получаем $\det A = (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} = a_{ij}A_{ij}$ .

Шаг 3. Запишем $i$ -ю строку как сумму $n$ строк, в $k$ -й из которых ненулевым может быть лишь элемент $a_{ik}$ . По линейности и шагу 2 $\det A = \sum_k a_{ik}A_{ik}$ ; здесь важно, что $A_{ik}$ не зависят от элементов $i$ -й строки. Разложение по столбцу следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Разложение по чужим алгебраическим дополнениям

Формулировка

Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю (то же для столбцов):

\sum_{k=1}^n a_{lk} A_{ik} = \delta_{li}\det A, \qquad \sum_{k=1}^n a_{kl} A_{kj} = \delta_{lj}\det A,

где $\delta_{li}$ — символ Кронекера.

Доказательство

Развернуть

При $l = i$ это разложение по строке. Пусть $l \ne i$ . Заменим в $A$ $i$ -ю строку на $l$ -ю. Алгебраические дополнения $A_{ik}$ не зависят от $i$ -й строки, поэтому разложение нового определителя по $i$ -й строке и есть $\sum_k a_{lk}A_{ik}$ . У новой матрицы две равные строки, поэтому её определитель равен нулю. Для столбцов рассуждение аналогично. $\blacksquare$

Определитель произведения матриц

Формулировка

Для квадратных матриц $A$ и $B$ одного порядка

\det(AB) = \det A \cdot \det B.

Доказательство

Развернуть

Приведём $A$ к ступенчатому виду: $A = S_1\cdots S_k R$ , где $S_i$ — элементарные матрицы, $R$ — ступенчатая. Так как $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ для элементарной $S$ , получаем

\det A = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det R,\qquad \det(AB) = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det(RB),

так как $AB = S_1\cdots S_k(RB)$ . Достаточно доказать $\det(RB) = \det R\det B$ .

Квадратная ступенчатая матрица $R$ верхнетреугольна.

Случай а: последняя строка $R$ нулевая. Тогда $\det R = 0$ как определитель треугольной матрицы с нулём на диагонали. Последняя строка $RB$ — линейная комбинация строк $B$ с нулевыми коэффициентами, то есть тоже нулевая, и $\det(RB) = 0$ .

Случай б: нулевых строк нет. Тогда $n$ ведущих элементов стоят на диагонали, и $r_{ii} \ne 0$ . Поделив строки на $r_{ii}$ и затем обнулив наддиагональные элементы снизу вверх преобразованиями третьего типа, приведём $R$ к $E$ . Как и выше, отсюда $R = G_1\cdots G_m$ с элементарными $G_i$ . Тогда

\det(RB) = \det G_1\cdots\det G_m\det B = \det R\det B,

так как $\det R = \det(G_1\cdots G_m E) = \det G_1\cdots\det G_m$ . $\blacksquare$

Преобразование аффинных координат на плоскости

Формулировка

Пусть даны «старая» система $(O; \mathbf e_1, \mathbf e_2)$ и «новая» $(O'; \mathbf e_1', \mathbf e_2')$ , причём

\mathbf e_1' = c_{11}\mathbf e_1 + c_{21}\mathbf e_2,\quad \mathbf e_2' = c_{12}\mathbf e_1 + c_{22}\mathbf e_2,\quad O'(x_0, y_0).

Тогда старые координаты $(x, y)$ точки выражаются через новые $(x', y')$ формулами

\begin{cases} x = c_{11}x' + c_{12}y' + x_0,\\ y = c_{21}x' + c_{22}y' + y_0,\end{cases} \qquad\text{т.е.}\qquad X = CX' + X_0.

Матрица перехода $C = (c_{ij})$ , столбцы которой — координаты новых базисных векторов, невырождена, и $X' = C^{-1}(X - X_0)$ .

Доказательство

Развернуть

\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'M} = x_0\mathbf e_1 + y_0\mathbf e_2 + x'\mathbf e_1' + y'\mathbf e_2'.

Подставив выражения $\mathbf e_1', \mathbf e_2'$ и приведя подобные члены, получаем разложение $\overrightarrow{OM}$ по $\mathbf e_1, \mathbf e_2$ . По единственности разложения его коэффициенты равны $x$ и $y$ .

Векторы $\mathbf e_1', \mathbf e_2'$ неколлинеарны, поэтому столбцы $C$ не пропорциональны, и $\det C \ne 0$ . Поэтому $C^{-1}$ существует, что даёт обратную формулу. $\blacksquare$

Теорема Крамера

Формулировка

Если $\Delta = \det A \ne 0$ , то система $AX = B$ из $n$ уравнений с $n$ неизвестными имеет единственное решение

x_j = \frac{\Delta_j}{\Delta},\qquad j = 1, \dots, n,

где $\Delta_j$ — определитель матрицы, полученной из $A$ заменой $j$ -го столбца столбцом свободных членов $B$ .

Доказательство

Развернуть

Матричным методом $X = A^{-1}B = \frac{1}{\Delta}\tilde AB$ , где $\tilde A$ — присоединённая матрица, то есть

x_j = \frac1\Delta\sum_{i=1}^n A_{ij}b_i.

Сумма $\sum_i b_iA_{ij}$ — разложение $\Delta_j$ по $j$ -му столбцу: алгебраические дополнения элементов $j$ -го столбца у $A$ и у матрицы с заменённым столбцом одинаковы. $\blacksquare$

Матричный метод решения СЛАУ

Формулировка

Если матрица $A$ системы $AX = B$ квадратная и невырожденная, то система имеет единственное решение

X = A^{-1}B.

Доказательство

Развернуть

Матрица $A^{-1}$ существует. Уравнение $AX = B$ имеет единственное решение $X = A^{-1}B$ . $\blacksquare$

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Пусть $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $e'$ . Тогда:

$T$ невырождена, и $T^{-1}$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ ;
координаты вектора в старом ( $X$ ) и новом ( $X'$ ) базисах связаны формулой

X = TX',\qquad X' = T^{-1}X;

если $S$ — матрица перехода от $e'$ к $e''$ , то матрица перехода от $e$ к $e''$ равна $TS$ .

Доказательство

Развернуть

$x = \sum_jx_j'e_j' = \sum_jx_j'\sum_it_{ij}e_i = \sum_i\Big(\sum_jt_{ij}x_j'\Big)e_i$ . По единственности разложения $x_i = \sum_jt_{ij}x_j'$ , то есть $X = TX'$ .
Столбцы $T$ — координаты линейно независимых векторов $e_j'$ , поэтому они линейно независимы, и $\det T\ne0$ . Значит, обратная матрица существует. Если $T'$ — матрица перехода от $e'$ к $e$ , то по п. 2 $X = TX'$ и $X' = T'X$ для всех $X$ , откуда $TT' = E$ , то есть $T' = T^{-1}$ .
$e'' = e'S = (eT)S = e(TS)$ : подставляем разложения так же, как в п. 2. $\blacksquare$

Теорема Гамильтона–Кэли

Формулировка

Каждый оператор (каждая квадратная матрица) является корнем своего характеристического многочлена: $\chi_A(A) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\chi(\lambda) = \sum_{k=0}^nc_k\lambda^k$ . Для присоединённой матрицы верно тождество

(A - \lambda E)\,\widetilde{(A - \lambda E)} = \det(A - \lambda E)E = \chi(\lambda)E.

Элементы присоединённой матрицы — алгебраические дополнения, то есть многочлены от $\lambda$ степени не выше $n - 1$ . Поэтому

\widetilde{(A - \lambda E)} = B_0 + \lambda B_1 + \dots + \lambda^{n-1}B_{n-1}

с числовыми матрицами $B_k$ . Приравниваем коэффициенты при степенях $\lambda$ :

AB_0 = c_0E,\qquad AB_k - B_{k-1} = c_kE\ \ (1\le k\le n - 1),\qquad -B_{n-1} = c_nE.

Умножим $k$ -е равенство слева на $A^k$ и сложим:

\sum_{k=0}^nc_kA^k = AB_0 + \sum_{k=1}^{n-1}\big(A^{k+1}B_k - A^kB_{k-1}\big) - A^nB_{n-1} = 0,

так как сумма телескопическая. Для оператора: матрица $\chi(\mathcal A)$ равна $\chi(A)$ . $\blacksquare$

Матрицы суммы, произведения и обратного оператора

Формулировка

Пусть $A, B$ — матрицы операторов $\mathcal A, \mathcal B$ в базисе $e$ . Тогда:

матрицы операторов $\mathcal A + \mathcal B$ , $\lambda\mathcal A$ , $\mathcal A\mathcal B$ равны $A + B$ , $\lambda A$ , $AB$ ;
оператор $\mathcal A$ обратим тогда и только тогда, когда $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}$ , что равносильно $\det A\ne0$ ; при этом матрица $\mathcal A^{-1}$ равна $A^{-1}$ .

Доказательство

Развернуть

В координатах $(\mathcal A + \mathcal B)x$ имеет столбец $AX + BX = (A + B)X$ , а $\mathcal A(\mathcal Bx)$ — столбец $A(BX) = (AB)X$ . Матрица оператора определяется его действием на координаты.
Если $\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}$ , то $\mathcal A$ инъективен, и по теореме о ранге и дефекте $\operatorname{rank}\mathcal A = n$ , то есть он и сюръективен. Обратное отображение биекции линейно, так что $\mathcal A$ обратим. Если же $\mathcal Ax = 0$ при $x\ne0$ , обратного нет.

$\operatorname{Ker}\mathcal A = \{0\}\iff$ однородная система $AX = 0$ имеет только нулевое решение $\iff\det A\ne0$ . Из $\mathcal A\mathcal A^{-1} = \mathcal I$ по п. 1 получаем $A\cdot[\mathcal A^{-1}] = E$ . $\blacksquare$

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Формулировка

Любая квадратичная форма невырожденной линейной заменой переменных приводится к каноническому виду. Заменой масштабов $y_i\mapsto y_i/\sqrt{|c_i|}$ она приводится к нормальному виду.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу переменных; если форма нулевая, доказывать нечего.

Случай 1: есть ненулевой коэффициент при квадрате, скажем $b_{11}\ne0$ . Выделим полный квадрат по всем слагаемым, содержащим $x_1$ :

q = b_{11}\Big(x_1 + \sum_{j>1}\frac{b_{1j}}{b_{11}}x_j\Big)^2 + q_1(x_2,\dots,x_n).

Замена $y_1 = x_1 + \sum_{j>1}\frac{b_{1j}}{b_{11}}x_j$ , $y_j = x_j$ ( $j > 1$ ) имеет треугольную матрицу с единицами на диагонали, то есть невырождена. К форме $q_1$ от меньшего числа переменных применяем предположение индукции.

Случай 2: все $b_{ii} = 0$ , но, например, $b_{12}\ne0$ . Замена $x_1 = y_1 + y_2$ , $x_2 = y_1 - y_2$ , $x_j = y_j$ ( $j > 2$ ) невырождена и превращает $2b_{12}x_1x_2$ в $2b_{12}(y_1^2 - y_2^2)$ . Другие слагаемые квадратов $y_1^2$ , $y_2^2$ не дают, так как они линейны по $x_1$ и по $x_2$ . Значит, появился ненулевой квадрат, и мы в случае 1.

Композиция невырожденных замен невырождена. $\blacksquare$

Свойства операции транспонирования

Формулировка

$(A^\mathsf{T})^\mathsf{T} = A$ ;
$(A + B)^\mathsf{T} = A^\mathsf{T} + B^\mathsf{T}$ ;
$(\lambda A)^\mathsf{T} = \lambda A^\mathsf{T}$ ;
$(AB)^\mathsf{T} = B^\mathsf{T} A^\mathsf{T}$ .

Доказательство

Развернуть

Свойства 1–3 проверяются поэлементно. Для свойства 4 пусть $A$ имеет размер $m\times n$ , $B$ — $n\times p$ . Тогда

\big((AB)^\mathsf{T}\big)_{ij} = (AB)_{ji} = \sum_{k=1}^n a_{jk} b_{ki} = \sum_{k=1}^n (B^\mathsf{T})_{ik} (A^\mathsf{T})_{kj} = (B^\mathsf{T}A^\mathsf{T})_{ij}.

$\blacksquare$

Свойства ортогональных матриц

Формулировка

$Q^\mathsf{T}Q = E\iff QQ^\mathsf{T} = E\iff Q^{-1} = Q^\mathsf{T}$ ; столбцы (и строки) ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему.
$\det Q = \pm1$ .
Произведение ортогональных матриц и матрица, обратная к ортогональной, ортогональны.
Все корни характеристического многочлена ортогональной матрицы по модулю равны $1$ ; вещественные собственные значения равны $\pm1$ .

Доказательство

Развернуть

Односторонняя обратная квадратной матрицы является обратной. Элемент $(i,j)$ матрицы $Q^\mathsf{T}Q$ — скалярное произведение $i$ -го и $j$ -го столбцов; для $QQ^\mathsf{T}$ — строк.
$1 = \det E = \det Q^\mathsf{T}\det Q = (\det Q)^2$ .
$(Q_1Q_2)^\mathsf{T}Q_1Q_2 = Q_2^\mathsf{T}Q_1^\mathsf{T}Q_1Q_2 = E$ ; $(Q^{-1})^\mathsf{T}Q^{-1} = QQ^\mathsf{T} = E$ .
Если $QZ = \lambda Z$ , $Z\ne0$ — комплексный столбец, то $\bar Z^\mathsf{T}Q^\mathsf{T}QZ = \bar Z^\mathsf{T}Z$ , а левая часть равна $\overline{\lambda Z}^\mathsf{T}\lambda Z = |\lambda|^2\bar Z^\mathsf{T}Z$ . Так как $\bar Z^\mathsf{T}Z > 0$ , получаем $|\lambda| = 1$ . $\blacksquare$

Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса)

Формулировка

Любую матрицу $A$ конечным числом элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду $R$ . Равносильно: существуют элементарные матрицы $S_1, \dots, S_k$ такие, что

A = S_1 S_2 \cdots S_k R.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу строк $m$ . При $m = 1$ любая матрица ступенчатая.

Пусть $m > 1$ . Если $A = O$ , доказывать нечего. Иначе пусть $j_1$ — номер первого ненулевого столбца. Перестановкой строк добьёмся $a_{1j_1} \ne 0$ . Затем из каждой $i$ -й строки ( $i \ge 2$ ) вычтем первую, умноженную на $a_{ij_1}/a_{1j_1}$ . После этого в столбцах с номерами $\le j_1$ у строк $2, \dots, m$ стоят нули.

По предположению индукции строки $2,\dots,m$ приводятся к ступенчатому виду. Эти преобразования не затрагивают первую строку. Нули в столбцах с номерами $\le j_1$ у строк $2,\dots,m$ сохраняются, так как линейная комбинация нулей равна нулю. Значит, ведущие элементы строк $2,\dots,m$ стоят правее $j_1$ , и вся матрица ступенчатая.

Выполненные преобразования означают, что $S_k' \cdots S_1' A = R$ , где $S_i'$ — элементарные матрицы. Умножая слева последовательно на элементарные матрицы обратных преобразований $S_1, \dots, S_k$ (для них $S_iS_i' = E$ ), получаем $A = S_1 \cdots S_k R$ . $\blacksquare$

Элементарные преобразования как умножение на элементарную матрицу

Формулировка

Элементарное преобразование строк матрицы $A$ размера $m\times n$ равносильно умножению $A$ слева на элементарную матрицу $S$ порядка $m$ , полученную из $E_m$ тем же преобразованием.

Если $S'$ — элементарная матрица обратного преобразования, то $S'S = SS' = E$ .

Доказательство

Развернуть

По определению произведения $(SA)_{ij} = \sum_k s_{ik} a_{kj}$ , то есть $i$ -я строка матрицы $SA$ равна $\sum_k s_{ik}\cdot(k\text{-я строка } A)$ .

Если $S = T_{ij}(\lambda)$ , то в $i$ -й строке $S$ стоят $1$ на месте $i$ и $\lambda$ на месте $j$ , а остальные строки — как у $E$ . Значит, $i$ -я строка $SA$ равна $a_i + \lambda a_j$ , а остальные строки не меняются — это и есть преобразование третьего типа. Для $P_{ij}$ и $D_i(\lambda)$ рассуждение аналогично.

Применим к $E$ сначала преобразование, затем обратное к нему: получим снова $E$ . По доказанному первое действие даёт $SE = S$ , второе — $S'S$ . Значит, $S'S = E$ . Меняя роли преобразований, получаем $SS' = E$ . $\blacksquare$

Следствия из основных свойств определителя

Формулировка

Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Определитель не изменится, если к строке прибавить другую строку, умноженную на число.
Для элементарных матриц $\det P_{ij} = -1$ , $\det D_i(\lambda) = \lambda$ , $\det T_{ij}(\lambda) = 1$ . Для любой элементарной матрицы $S$ и квадратной $A$ того же порядка $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Всё сказанное, а также линейность по строке и смена знака при перестановке строк, верно и для столбцов.

Доказательство

Развернуть

Если $a_j = \lambda a_i$ , то $\det A = \lambda\cdot(\text{определитель с равными строками}) = 0$ , так как определитель с двумя равными строками равен нулю.
По линейности $\det(\dots, a_i + \lambda a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A$ .
Сначала $\det E = 1$ : в сумме из определения ненулевое лишь слагаемое с $\sigma = \varepsilon$ . Элементарные преобразования типов 1, 2, 3 умножают определитель соответственно на $-1$ , $\lambda$ , $1$ (по свойствам перестановки строк, линейности и пункту 2). Применяя их к $E$ , получаем указанные значения $\det S$ . Применяя их к $A$ и учитывая, что $SA$ — результат того же преобразования, получаем $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Определитель треугольной матрицы

Формулировка

Определитель треугольной (в частности, диагональной) матрицы равен произведению её диагональных элементов:

\det A = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A$ верхняя треугольная, то есть $a_{ij} = 0$ при $i > j$ . Слагаемое $\prod_i a_{i\sigma(i)}$ может быть ненулевым, лишь если $\sigma(i) \ge i$ при всех $i$ . Но $\sum_i \sigma(i) = \sum_i i$ , поэтому тогда $\sigma(i) = i$ для всех $i$ . Остаётся единственное слагаемое $a_{11}\cdots a_{nn}$ со знаком $\operatorname{sgn}\varepsilon = +1$ .

Нижняя треугольная матрица — транспонированная к верхней треугольной; остаётся воспользоваться равенством $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

Обратная матрица. Матричные уравнения

Единственность обратной матрицы

Формулировка

Доказательство

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Доказательство

Свойства обратной матрицы

Формулировка

Доказательство

Односторонняя обратная матрица является обратной

Формулировка

Доказательство

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса–Жордана

Формулировка

Доказательство

Решение матричных уравнений

Формулировка

Доказательство

Обратная матрица через присоединённую

Условие

Решение

Матричное уравнение XA = B

Условие

Решение

Обратная матрица методом Гаусса–Жордана

Условие

Решение

Обратная к E − A для нильпотентной матрицы

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Обратная матрица

Невырожденная матрица

Присоединённая матрица

Элементарные преобразования строк матрицы

Ступенчатая матрица

Свойства произведения матриц

Формулировка

Доказательство

Разложение определителя по строке (столбцу)

Формулировка

Доказательство

Разложение по чужим алгебраическим дополнениям

Формулировка

Доказательство

Определитель произведения матриц

Формулировка

Доказательство

Преобразование аффинных координат на плоскости

Формулировка

Доказательство

Теорема Крамера

Формулировка

Доказательство

Матричный метод решения СЛАУ

Формулировка

Доказательство

Преобразование координат при переходе к новому базису

Формулировка

Доказательство

Теорема Гамильтона–Кэли

Формулировка

Доказательство

Матрицы суммы, произведения и обратного оператора

Формулировка

Доказательство

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Формулировка

Доказательство

Свойства операции транспонирования

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогональных матриц

Формулировка

Доказательство

Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса)

Формулировка

Доказательство