Определители

Прогресс изучения0 из 8

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы8

Определитель транспонированной матрицы
Линейность определителя по строке
Перестановка строк определителя
Следствия из основных свойств определителя
Определитель треугольной матрицы
Разложение определителя по строке (столбцу)
Разложение по чужим алгебраическим дополнениям
Определитель произведения матриц

теорема

Определитель транспонированной матрицы

Формулировка

$\det A^\mathsf{T} = \det A$ . Как следствие, всякое свойство определителя, сформулированное для строк, верно и для столбцов.

Доказательство

Развернуть

Так как $(A^\mathsf{T})_{ij} = a_{ji}$ ,

\det A^\mathsf{T} = \sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sgn}\sigma\; a_{\sigma(1)1}\, a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n}.

Переставим множители в каждом произведении по возрастанию первого индекса. Множитель с первым индексом $i$ — это $a_{i\,\sigma^{-1}(i)}$ , поэтому произведение равно $\prod_i a_{i\,\sigma^{-1}(i)}$ . Кроме того, $\operatorname{sgn}\sigma^{-1} = \operatorname{sgn}\sigma$ . Когда $\sigma$ пробегает $S_n$ , подстановка $\rho = \sigma^{-1}$ тоже пробегает всё $S_n$ . Значит,

\det A^\mathsf{T} = \sum_{\rho\in S_n} \operatorname{sgn}\rho\; a_{1\rho(1)}\cdots a_{n\rho(n)} = \det A.

$\blacksquare$

теорема

Линейность определителя по строке

Формулировка

Если $i$ -я строка матрицы $A$ имеет вид $a_i = \alpha b + \beta c$ , где $b, c$ — строки той же длины, то

\det A = \alpha \det A_b + \beta \det A_c,

где $A_b$ и $A_c$ получены из $A$ заменой $i$ -й строки на $b$ и на $c$ соответственно. В частности, общий множитель строки можно вынести за знак определителя, а определитель с нулевой строкой равен нулю.

Доказательство

Развернуть

Каждое слагаемое в определении $\det A$ содержит ровно один множитель из $i$ -й строки:

a_{i\sigma(i)} = \alpha b_{\sigma(i)} + \beta c_{\sigma(i)}.

Раскрыв скобки и разбив сумму на две, получаем $\alpha\det A_b + \beta\det A_c$ . При $\alpha = 0$ (нулевая строка $a_i = 0\cdot b$ ) получаем $\det A = 0$ . $\blacksquare$

теорема

Перестановка строк определителя

Формулировка

При перестановке двух строк определитель меняет знак. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Доказательство

Развернуть

Пусть $B$ получена из $A$ перестановкой строк $i$ и $j$ , и $\tau = (i\ j)$ . Тогда $k$ -я строка $B$ — это $\tau(k)$ -я строка $A$ :

\det B = \sum_{\sigma} \operatorname{sgn}\sigma \prod_{k} a_{\tau(k)\,\sigma(k)}.

Сделаем замену $k = \tau(l)$ (заметим, что $\tau^{-1} = \tau$ ): $\prod_k a_{\tau(k)\sigma(k)} = \prod_l a_{l\,(\sigma\tau)(l)}$ . Подстановка $\rho = \sigma\tau$ пробегает всё $S_n$ , и $\operatorname{sgn}\sigma = \operatorname{sgn}(\rho\tau) = -\operatorname{sgn}\rho$ . Значит,

\det B = -\sum_\rho \operatorname{sgn}\rho\prod_l a_{l\rho(l)} = -\det A.

Если строки $i$ и $j$ одинаковы, их перестановка не меняет матрицу, поэтому $\det A = -\det A$ , то есть $\det A = 0$ . $\blacksquare$

следствие

Следствия из основных свойств определителя

Формулировка

Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Определитель не изменится, если к строке прибавить другую строку, умноженную на число.
Для элементарных матриц $\det P_{ij} = -1$ , $\det D_i(\lambda) = \lambda$ , $\det T_{ij}(\lambda) = 1$ . Для любой элементарной матрицы $S$ и квадратной $A$ того же порядка $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Всё сказанное, а также линейность по строке и смена знака при перестановке строк, верно и для столбцов.

Доказательство

Развернуть

Если $a_j = \lambda a_i$ , то $\det A = \lambda\cdot(\text{определитель с равными строками}) = 0$ , так как определитель с двумя равными строками равен нулю.
По линейности $\det(\dots, a_i + \lambda a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, a_j, \dots, a_j, \dots) = \det A$ .
Сначала $\det E = 1$ : в сумме из определения ненулевое лишь слагаемое с $\sigma = \varepsilon$ . Элементарные преобразования типов 1, 2, 3 умножают определитель соответственно на $-1$ , $\lambda$ , $1$ (по свойствам перестановки строк, линейности и пункту 2). Применяя их к $E$ , получаем указанные значения $\det S$ . Применяя их к $A$ и учитывая, что $SA$ — результат того же преобразования, получаем $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ .
Следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

теорема

Определитель треугольной матрицы

Формулировка

Определитель треугольной (в частности, диагональной) матрицы равен произведению её диагональных элементов:

\det A = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A$ верхняя треугольная, то есть $a_{ij} = 0$ при $i > j$ . Слагаемое $\prod_i a_{i\sigma(i)}$ может быть ненулевым, лишь если $\sigma(i) \ge i$ при всех $i$ . Но $\sum_i \sigma(i) = \sum_i i$ , поэтому тогда $\sigma(i) = i$ для всех $i$ . Остаётся единственное слагаемое $a_{11}\cdots a_{nn}$ со знаком $\operatorname{sgn}\varepsilon = +1$ .

Нижняя треугольная матрица — транспонированная к верхней треугольной; остаётся воспользоваться равенством $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

теорема

Разложение определителя по строке (столбцу)

Формулировка

Для любых $i$ и $j$ :

\det A = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} \quad\text{(разложение по } i\text{-й строке)}, \qquad \det A = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj} \quad\text{(по } j\text{-му столбцу)}.

Доказательство

Развернуть

Шаг 1. Пусть последняя строка матрицы $A$ равна $(0, \dots, 0, a_{nn})$ . Ненулевыми могут быть лишь слагаемые с $\sigma(n) = n$ . Такие $\sigma$ взаимно однозначно соответствуют подстановкам $\sigma'$ чисел $1, \dots, n-1$ , и число инверсий у них одинаково: элемент $n$ в конце нижней строки инверсий не добавляет. Поэтому

\det A = a_{nn}\sum_{\sigma'}\operatorname{sgn}\sigma'\, a_{1\sigma'(1)}\cdots a_{n-1,\sigma'(n-1)} = a_{nn} M_{nn} = a_{nn}A_{nn}.

Шаг 2. Пусть в $i$ -й строке ненулевой лишь элемент $a_{ij}$ . Переместим $i$ -ю строку вниз $n - i$ перестановками соседних строк, а $j$ -й столбец вправо $n - j$ перестановками соседних столбцов. Порядок остальных строк и столбцов сохраняется, поэтому минор элемента в правом нижнем углу по-прежнему равен $M_{ij}$ . Определитель умножился на $(-1)^{(n-i)+(n-j)} = (-1)^{i+j}$ . По шагу 1 получаем $\det A = (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} = a_{ij}A_{ij}$ .

Шаг 3. Запишем $i$ -ю строку как сумму $n$ строк, в $k$ -й из которых ненулевым может быть лишь элемент $a_{ik}$ . По линейности и шагу 2 $\det A = \sum_k a_{ik}A_{ik}$ ; здесь важно, что $A_{ik}$ не зависят от элементов $i$ -й строки. Разложение по столбцу следует из равенства $\det A^\mathsf{T} = \det A$ . $\blacksquare$

следствие

Разложение по чужим алгебраическим дополнениям

Формулировка

Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю (то же для столбцов):

\sum_{k=1}^n a_{lk} A_{ik} = \delta_{li}\det A, \qquad \sum_{k=1}^n a_{kl} A_{kj} = \delta_{lj}\det A,

где $\delta_{li}$ — символ Кронекера.

Доказательство

Развернуть

При $l = i$ это разложение по строке. Пусть $l \ne i$ . Заменим в $A$ $i$ -ю строку на $l$ -ю. Алгебраические дополнения $A_{ik}$ не зависят от $i$ -й строки, поэтому разложение нового определителя по $i$ -й строке и есть $\sum_k a_{lk}A_{ik}$ . У новой матрицы две равные строки, поэтому её определитель равен нулю. Для столбцов рассуждение аналогично. $\blacksquare$

теорема

Определитель произведения матриц

Формулировка

Для квадратных матриц $A$ и $B$ одного порядка

\det(AB) = \det A \cdot \det B.

Доказательство

Развернуть

Приведём $A$ к ступенчатому виду: $A = S_1\cdots S_k R$ , где $S_i$ — элементарные матрицы, $R$ — ступенчатая. Так как $\det(SA) = \det S\cdot\det A$ для элементарной $S$ , получаем

\det A = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det R,\qquad \det(AB) = \det S_1\cdots\det S_k\cdot\det(RB),

так как $AB = S_1\cdots S_k(RB)$ . Достаточно доказать $\det(RB) = \det R\det B$ .

Квадратная ступенчатая матрица $R$ верхнетреугольна.

Случай а: последняя строка $R$ нулевая. Тогда $\det R = 0$ как определитель треугольной матрицы с нулём на диагонали. Последняя строка $RB$ — линейная комбинация строк $B$ с нулевыми коэффициентами, то есть тоже нулевая, и $\det(RB) = 0$ .

Случай б: нулевых строк нет. Тогда $n$ ведущих элементов стоят на диагонали, и $r_{ii} \ne 0$ . Поделив строки на $r_{ii}$ и затем обнулив наддиагональные элементы снизу вверх преобразованиями третьего типа, приведём $R$ к $E$ . Как и выше, отсюда $R = G_1\cdots G_m$ с элементарными $G_i$ . Тогда

\det(RB) = \det G_1\cdots\det G_m\det B = \det R\det B,

так как $\det R = \det(G_1\cdots G_m E) = \det G_1\cdots\det G_m$ . $\blacksquare$

Вычисление определителя четвёртого порядка

Условие

Вычислить

\Delta = \begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 2&5&1&3\\ 0&1&3&2\\ 1&3&2&4\end{vmatrix}.

Решение

Развернуть

Прибавление к строке другой, умноженной на число, определитель не меняет. Вычтем первую строку, умноженную на 2, из второй и первую из четвёртой; затем вторую строку из третьей и четвёртой:

\Delta = \begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&1&1&1\\ 0&1&3&2\\ 0&1&2&3\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&1&1&1\\ 0&0&2&1\\ 0&0&1&2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&1&1&1\\ 0&0&2&1\\ 0&0&0&3/2\end{vmatrix}.

На последнем шаге из четвёртой строки вычтена половина третьей. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов: $\Delta = 1\cdot1\cdot2\cdot\frac32 = 3$ .

Определитель кососимметрической матрицы нечётного порядка

Условие

Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечётного порядка равен нулю.

Решение

Развернуть

Пусть $A^\mathsf{T} = -A$ , порядок $n$ нечётен. Вынося множитель $-1$ из каждой из $n$ строк, получаем $\det(-A) = (-1)^n\det A = -\det A$ . Поэтому

\det A = \det A^\mathsf{T} = \det(-A) = -\det A,

откуда $\det A = 0$ . $\blacksquare$

Определитель Вандермонда третьего порядка

Условие

Доказать, что

\begin{vmatrix} 1&1&1\\ x&y&z\\ x^2&y^2&z^2\end{vmatrix} = (y-x)(z-x)(z-y).

Решение

Развернуть

Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на $x$ , а затем из второй — первую, умноженную на $x$ . Определитель не меняется:

\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 0&y-x&z-x\\ 0&y(y-x)&z(z-x)\end{vmatrix}.

Разложим по первому столбцу и вынесем из столбцов множители $y-x$ и $z-x$ :

\begin{vmatrix} y-x&z-x\\ y(y-x)&z(z-x)\end{vmatrix} = (y-x)(z-x)\begin{vmatrix}1&1\\ y&z\end{vmatrix} = (y-x)(z-x)(z-y).

$\blacksquare$

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Определители второго и третьего порядков

Определитель второго порядка:

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}.

Определитель третьего порядка:

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}.

Для запоминания используют правило треугольников (правило Саррюса). Обе формулы — частные случаи определителя $n$ -го порядка.

Определитель n-го порядка

Определителем квадратной матрицы $A = (a_{ij})$ порядка $n$ называется число

\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}\sigma\; a_{1\sigma(1)}\, a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}.

Сумма содержит $n!$ слагаемых. Каждое слагаемое — произведение $n$ элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, со знаком соответствующей подстановки. Обозначения: $\det A$ , $|A|$ . При $n = 2, 3$ получаются формулы из определения определителей второго и третьего порядков.

Дополнительный минор и алгебраическое дополнение

Дополнительным минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ квадратной матрицы $A$ порядка $n$ называется определитель порядка $n - 1$ матрицы, полученной из $A$ вычёркиванием $i$ -й строки и $j$ -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ называется число $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ .

Линейные операции над матрицами и транспонирование

Пусть $A = (a_{ij})$ и $B = (b_{ij})$ — матрицы одного размера $m \times n$ , $\lambda$ — число.

Суммой $A + B$ называется матрица $C$ того же размера с элементами $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ .
Произведением матрицы на число называется матрица $\lambda A$ с элементами $\lambda a_{ij}$ .
Разность: $A - B = A + (-1)B$ .

Транспонированной к матрице $A$ размера $m\times n$ называется матрица $A^\mathsf{T}$ размера $n\times m$ с элементами $(A^\mathsf{T})_{ij} = a_{ji}$ : строки матрицы $A$ становятся столбцами $A^\mathsf{T}$ .

Цикл. Транспозиция как подстановка

Подстановка называется циклом длины $k$ и обозначается $(i_1\ i_2\ \dots\ i_k)$ , если

\sigma(i_1) = i_2,\ \ \sigma(i_2) = i_3,\ \dots,\ \sigma(i_{k-1}) = i_k,\ \ \sigma(i_k) = i_1,

а остальные элементы она оставляет на месте. Цикл длины 2 называется транспозицией $(i\ j)$ . Циклы называются независимыми, если у них нет общих элементов.

Элементарные матрицы

Элементарной матрицей называется квадратная матрица, полученная из единичной матрицы $E$ одним элементарным преобразованием строк:

$P_{ij}$ — перестановкой $i$ -й и $j$ -й строк;
$D_i(\lambda)$ , $\lambda \ne 0$ — умножением $i$ -й строки на $\lambda$ ;
$T_{ij}(\lambda)$ , $i \ne j$ — прибавлением к $i$ -й строке $j$ -й строки, умноженной на $\lambda$ (это единичная матрица, у которой на месте $(i,j)$ стоит $\lambda$ ).

Виды матриц

Нулевая матрица $O$ — все элементы равны нулю.
Матрица-строка (размера $1\times n$ ) и матрица-столбец (размера $m\times 1$ ).
Элементы $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ квадратной матрицы образуют её главную диагональ.
Диагональная матрица: $a_{ij} = 0$ при $i \ne j$ .
Единичная матрица $E$ (или $E_n$ ) — диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
Верхняя треугольная: $a_{ij} = 0$ при $i > j$ ; нижняя треугольная: $a_{ij} = 0$ при $i < j$ .
Симметрическая: $a_{ij} = a_{ji}$ при всех $i,j$ , то есть $A^\mathsf{T} = A$ ; кососимметрическая: $A^\mathsf{T} = -A$ .

Чётность и знак подстановки

Чётностью подстановки $\sigma$ называется чётность перестановки $(\sigma(1), \sigma(2), \dots, \sigma(n))$ — нижней строки её записи при упорядоченной верхней строке. Знак подстановки:

\operatorname{sgn}\sigma = (-1)^{\operatorname{inv}(\sigma(1), \dots, \sigma(n))}.

Ступенчатая матрица

Матрица называется ступенчатой, если:

все нулевые строки (если они есть) расположены ниже ненулевых;
первый ненулевой элемент (ведущий элемент) каждой ненулевой строки расположен строго правее ведущего элемента предыдущей строки.

Например, матрица

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

ступенчатая, ведущие элементы — $1$ и $5$ .

Знак произведения подстановок

Формулировка

$\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \operatorname{sgn}\sigma \cdot \operatorname{sgn}\tau$ .
Если $\sigma$ разложена в произведение $m$ транспозиций, то $\operatorname{sgn}\sigma = (-1)^m$ . В частности, чётность числа транспозиций не зависит от разложения.
$\operatorname{sgn}\sigma^{-1} = \operatorname{sgn}\sigma$ ; знак цикла длины $k$ равен $(-1)^{k-1}$ .

Доказательство

Развернуть

Лемма. Если $t = (i\ j)$ , то $\operatorname{sgn}(\sigma t) = -\operatorname{sgn}\sigma$ . Действительно, $(\sigma t)(i) = \sigma(j)$ , $(\sigma t)(j) = \sigma(i)$ , остальные значения те же. Значит, нижняя строка записи $\sigma t$ получается из нижней строки $\sigma$ транспозицией элементов на местах $i$ и $j$ , и чётность меняется.

Пусть $\tau = t_1 t_2 \cdots t_m$ — разложение в транспозиции (оно существует: каждый цикл — произведение транспозиций). Применяя лемму $m$ раз к $\sigma\tau = (\dots((\sigma t_1) t_2)\dots) t_m$ , получаем

\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = (-1)^m \operatorname{sgn}\sigma.

При $\sigma = \varepsilon$ (нижняя строка без инверсий, $\operatorname{sgn}\varepsilon = 1$ ) это даёт $\operatorname{sgn}\tau = (-1)^m$ , что доказывает пункт 2. Подставив это в предыдущее равенство, получаем пункт 1.

Из $\sigma\sigma^{-1} = \varepsilon$ следует $\operatorname{sgn}\sigma\operatorname{sgn}\sigma^{-1} = 1$ . Цикл длины $k$ — произведение $k-1$ транспозиций. $\blacksquare$

Теорема о базисном миноре

Формулировка

Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Доказательство

Развернуть

Перенумеровав строки и столбцы, будем считать, что базисный минор $M$ порядка $r$ стоит в левом верхнем углу. Перестановки строк и столбцов не влияют ни на линейные соотношения между строками, ни на то, равен ли минор нулю.

Независимость. Если бы базисные строки были зависимы, то их части, лежащие в $M$ , тоже были бы зависимы. Одна из строк $M$ — комбинация остальных. Вычтя эту комбинацию, получим в $M$ нулевую строку, то есть $M = 0$ — противоречие.

Выражение строк. Зафиксируем строку $i$ и столбец $j$ и рассмотрим окаймляющий определитель порядка $r+1$ :

\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1r} & a_{1j}\\ \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rr} & a_{rj}\\ a_{i1} & \dots & a_{ir} & a_{ij}\end{vmatrix}.

Если $i \le r$ или $j \le r$ , в $\Delta$ две равные строки или два равных столбца, и $\Delta = 0$ . Иначе $\Delta$ — минор порядка $r + 1 > \operatorname{rank}A$ , и $\Delta = 0$ .

Разложим $\Delta$ по последнему столбцу:

0 = \Delta = a_{1j}D_1 + \dots + a_{rj}D_r + a_{ij}M.

Алгебраические дополнения $D_l$ составлены из элементов строк $1, \dots, r, i$ и столбцов $1, \dots, r$ , поэтому от $j$ не зависят. Так как $M \ne 0$ ,

a_{ij} = \lambda_1 a_{1j} + \dots + \lambda_r a_{rj}, \qquad \lambda_l = -D_l/M,

при всех $j$ с одними и теми же $\lambda_l$ . Значит, $i$ -я строка — линейная комбинация базисных. Для столбцов рассуждение аналогично: транспонирование не меняет значений миноров. $\blacksquare$

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Формулировка

Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк и столбцов, а также при транспонировании.

Доказательство

Развернуть

Достаточно показать: если все миноры порядка $k$ матрицы $A$ равны нулю, то это верно и для полученной матрицы $A'$ . Тогда $\operatorname{rank} A' \le \operatorname{rank} A$ . Обратное преобразование тоже элементарное, поэтому верно и обратное неравенство.

Типы 1, 2. Миноры $A'$ совпадают с минорами $A$ с точностью до перестановки строк и ненулевого множителя.

Тип 3: $a_i' = a_i + \lambda a_j$ . Пусть $M'$ — минор $A'$ на строках $I$ и столбцах $J$ .

Если $i \notin I$ , то $M'$ — минор $A$ .
Если $i, j \in I$ , то $M' = M$ : прибавление строки не меняет определитель.
Если $i \in I$ , $j\notin I$ , то $M' = M + \lambda N$ , где $N$ с точностью до знака — минор $A$ на строках $(I\setminus\{i\})\cup\{j\}$ и столбцах $J$ .

Во всех случаях $M' = 0$ .

Транспонирование: миноры $A^\mathsf{T}$ — это транспонированные миноры $A$ , и они равны. Преобразования столбцов $A$ — это преобразования строк $A^\mathsf{T}$ . $\blacksquare$

Ранг как максимальное число линейно независимых строк и столбцов

Формулировка

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк и максимальному числу её линейно независимых столбцов.

Доказательство

Развернуть

Пусть $r = \operatorname{rank} A$ . По теореме о базисном миноре $r$ базисных строк линейно независимы.

Покажем, что любые $r + 1$ строк зависимы. Пусть $B$ — матрица из этих строк. Её миноры являются минорами $A$ , поэтому $\operatorname{rank} B \le r < r+1$ . Если $\operatorname{rank} B = 0$ , строки $B$ нулевые и зависимы. Иначе у $B$ есть небазисная строка, и она — комбинация базисных строк $B$ . Строки $B$ зависимы.

Для столбцов то же рассуждение применяем к $A^\mathsf{T}$ ( $\operatorname{rank}A^\mathsf{T} = \operatorname{rank}A$ ). $\blacksquare$

Свойства определителя Грама

Формулировка

$G(a_1,\dots,a_k)\ge0$ , причём $G = 0$ тогда и только тогда, когда $a_1,\dots,a_k$ линейно зависимы.
Матрица Грама любого базиса невырождена, и её определитель положителен.
Для двух векторов в $V_3$ величина $\sqrt{G(a,b)}$ равна площади параллелограмма, построенного на $a$ и $b$ .

Доказательство

Развернуть

Если $\sum_jc_ja_j = 0$ нетривиально, то $\sum_jc_j(a_i,a_j) = 0$ при всех $i$ : столбцы $\Gamma$ линейно зависимы, и $G = 0$ .

Пусть векторы независимы, $L = \operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ , и $P$ — матрица, столбцы которой — координаты $a_j$ в ортонормированном базисе $L$ . Тогда $(a_i,a_j) =$ сумма произведений координат, то есть $\Gamma = P^\mathsf{T}P$ , и $G = (\det P)^2 > 0$ , так как столбцы $P$ независимы.

Частный случай п. 1.
$G(a,b) = |a|^2|b|^2 - (a,b)^2 = |a|^2|b|^2\sin^2\varphi$ . $\blacksquare$

Свойства ортогональных матриц

Формулировка

$Q^\mathsf{T}Q = E\iff QQ^\mathsf{T} = E\iff Q^{-1} = Q^\mathsf{T}$ ; столбцы (и строки) ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему.
$\det Q = \pm1$ .
Произведение ортогональных матриц и матрица, обратная к ортогональной, ортогональны.
Все корни характеристического многочлена ортогональной матрицы по модулю равны $1$ ; вещественные собственные значения равны $\pm1$ .

Доказательство

Развернуть

Односторонняя обратная квадратной матрицы является обратной. Элемент $(i,j)$ матрицы $Q^\mathsf{T}Q$ — скалярное произведение $i$ -го и $j$ -го столбцов; для $QQ^\mathsf{T}$ — строк.
$1 = \det E = \det Q^\mathsf{T}\det Q = (\det Q)^2$ .
$(Q_1Q_2)^\mathsf{T}Q_1Q_2 = Q_2^\mathsf{T}Q_1^\mathsf{T}Q_1Q_2 = E$ ; $(Q^{-1})^\mathsf{T}Q^{-1} = QQ^\mathsf{T} = E$ .
Если $QZ = \lambda Z$ , $Z\ne0$ — комплексный столбец, то $\bar Z^\mathsf{T}Q^\mathsf{T}QZ = \bar Z^\mathsf{T}Z$ , а левая часть равна $\overline{\lambda Z}^\mathsf{T}\lambda Z = |\lambda|^2\bar Z^\mathsf{T}Z$ . Так как $\bar Z^\mathsf{T}Z > 0$ , получаем $|\lambda| = 1$ . $\blacksquare$

Формула Остроградского–Лиувилля

Формулировка

Для любых решений $y_1, \dots, y_n$ уравнения $y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \dots + p_n(x)y = 0$ с непрерывными на $I$ коэффициентами

W(x) = W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^xp_1(t)\,dt\right),\qquad x, x_0\in I.

Доказательство

Развернуть

Производная определителя, элементы которого — дифференцируемые функции, равна сумме $n$ определителей, в каждом из которых продифференцирована одна строка. Это следует из формулы полного развёртывания и правила дифференцирования произведения.

Если продифференцировать строку с номером $j < n$ (производные порядка $j - 1$ ), получится строка производных порядка $j$ , совпадающая со следующей строкой. Такой определитель равен нулю.

Остаётся определитель с продифференцированной последней строкой $\bigl(y_1^{(n)}, \dots, y_n^{(n)}\bigr)$ . Из уравнения

y_k^{(n)} = -p_1y_k^{(n-1)} - p_2y_k^{(n-2)} - \dots - p_ny_k.

По линейности определителя по строке он распадается на сумму. Слагаемые с $p_2, \dots, p_n$ содержат строку, пропорциональную одной из предыдущих, и равны нулю, а слагаемое с $p_1$ равно $-p_1W$ . Итак, $W' = -p_1W$ — линейное однородное уравнение первого порядка, откуда следует формула. $\blacksquare$

Формула Остроградского–Лиувилля для системы

Формулировка

Для любых решений $x^{(1)}, \dots, x^{(n)}$ однородной системы $x' = A(t)x$

W(t) = W(t_0)\exp\int_{t_0}^t\operatorname{tr}A(s)\,ds.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\Phi$ — матрица со столбцами $x^{(k)}$ . Производная $\det\Phi$ равна сумме определителей $D_i$ , в каждом из которых продифференцирована $i$ -я строка. Обозначим через $\Phi_k$ $k$ -ю строку матрицы $\Phi$ . Из $\Phi' = A\Phi$ следует, что $i$ -я строка $\Phi'$ равна $\sum_ka_{ik}\Phi_k$ .

По линейности определителя по строке $D_i = \sum_ka_{ik}\det(\dots)$ , где на $i$ -м месте стоит $k$ -я строка $\Phi$ . При $k\ne i$ получаются две равные строки и определитель равен нулю, а при $k = i$ — исходный определитель. Поэтому $D_i = a_{ii}W$ , и

W' = (a_{11} + \dots + a_{nn})W = \operatorname{tr}A(t)\,W.

Решение этого линейного уравнения даёт формулу. $\blacksquare$

Элементарные преобразования как умножение на элементарную матрицу

Формулировка

Элементарное преобразование строк матрицы $A$ размера $m\times n$ равносильно умножению $A$ слева на элементарную матрицу $S$ порядка $m$ , полученную из $E_m$ тем же преобразованием.

Если $S'$ — элементарная матрица обратного преобразования, то $S'S = SS' = E$ .

Доказательство

Развернуть

По определению произведения $(SA)_{ij} = \sum_k s_{ik} a_{kj}$ , то есть $i$ -я строка матрицы $SA$ равна $\sum_k s_{ik}\cdot(k\text{-я строка } A)$ .

Если $S = T_{ij}(\lambda)$ , то в $i$ -й строке $S$ стоят $1$ на месте $i$ и $\lambda$ на месте $j$ , а остальные строки — как у $E$ . Значит, $i$ -я строка $SA$ равна $a_i + \lambda a_j$ , а остальные строки не меняются — это и есть преобразование третьего типа. Для $P_{ij}$ и $D_i(\lambda)$ рассуждение аналогично.

Применим к $E$ сначала преобразование, затем обратное к нему: получим снова $E$ . По доказанному первое действие даёт $SE = S$ , второе — $S'S$ . Значит, $S'S = E$ . Меняя роли преобразований, получаем $SS' = E$ . $\blacksquare$

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса–Жордана

Формулировка

Если матрица $A$ невырождена, то элементарными преобразованиями строк блочную матрицу $(A \mid E)$ можно привести к виду $(E \mid A^{-1})$ .

Доказательство

Развернуть

Строками приведём $A$ к ступенчатому виду $R$ . Каждое преобразование умножает определитель на ненулевое число, поэтому $\det R \ne 0$ . Квадратная ступенчатая $R$ верхнетреугольна, и все её диагональные элементы ненулевые. Поделив строки на диагональные элементы и обнулив наддиагональные элементы снизу вверх, приведём $R$ к $E$ .

Пусть $S$ — произведение элементарных матриц всех выполненных преобразований. Тогда $SA = E$ , и $S = A^{-1}$ . Преобразования строк блочной матрицы действуют на оба блока сразу: $S(A\mid E) = (SA \mid SE) = (E \mid A^{-1})$ . $\blacksquare$

Замечание. Если $A$ вырождена, при приведении в левом блоке появится нулевая строка.

Критерий равенства нулю определителя

Формулировка

Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда её строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство

Развернуть

Достаточность. Одна строка — линейная комбинация остальных. Вычтя из неё эту комбинацию, получим нулевую строку, и определитель равен нулю.

Необходимость. Если $\det A = 0$ , то $r = \operatorname{rank} A < n$ . При $r = 0$ матрица нулевая, и строки зависимы. При $r > 0$ найдётся небазисная строка. Она — линейная комбинация базисных, и строки зависимы. Для столбцов рассуждение аналогично. $\blacksquare$

Ранг ступенчатой матрицы. Вычисление ранга методом Гаусса

Формулировка

Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк. Следовательно, ранг любой матрицы равен числу ненулевых строк ступенчатой матрицы, к которой она приводится элементарными преобразованиями строк.

Доказательство

Развернуть

Пусть у ступенчатой матрицы $r$ ненулевых строк. Минор на этих строках и столбцах с ведущими элементами — определитель верхнетреугольной матрицы с ведущими элементами на диагонали. Он не равен нулю. Любой минор порядка $r + 1$ содержит нулевую строку и равен нулю. Значит, ранг равен $r$ .

Второе утверждение следует из того, что любая матрица приводится к ступенчатому виду, а элементарные преобразования не меняют ранг. $\blacksquare$

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Квадратная матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда она невырождена ( $\det A \ne 0$ ). При этом

A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\tilde A.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Если $AA^{-1} = E$ , то $\det A\cdot\det A^{-1} = \det E = 1$ , значит, $\det A \ne 0$ .

Достаточность. Вычислим произведения с присоединённой матрицей:

(A\tilde A)_{ik} = \sum_{j} a_{ij}A_{kj} = \delta_{ik}\det A, \qquad (\tilde A A)_{ik} = \sum_j A_{ji}a_{jk} = \delta_{ik}\det A.

Здесь при $i = k$ используется разложение определителя по строке, а при $i \ne k$ — разложение по чужим алгебраическим дополнениям. Итак, $A\tilde A = \tilde A A = \det A\cdot E$ . При $\det A \ne 0$ матрица $\frac{1}{\det A}\tilde A$ удовлетворяет определению обратной. Обратная матрица единственна. $\blacksquare$

Теорема Крамера

Формулировка

Если $\Delta = \det A \ne 0$ , то система $AX = B$ из $n$ уравнений с $n$ неизвестными имеет единственное решение

x_j = \frac{\Delta_j}{\Delta},\qquad j = 1, \dots, n,

где $\Delta_j$ — определитель матрицы, полученной из $A$ заменой $j$ -го столбца столбцом свободных членов $B$ .

Доказательство

Развернуть

Матричным методом $X = A^{-1}B = \frac{1}{\Delta}\tilde AB$ , где $\tilde A$ — присоединённая матрица, то есть

x_j = \frac1\Delta\sum_{i=1}^n A_{ij}b_i.

Сумма $\sum_i b_iA_{ij}$ — разложение $\Delta_j$ по $j$ -му столбцу: алгебраические дополнения элементов $j$ -го столбца у $A$ и у матрицы с заменённым столбцом одинаковы. $\blacksquare$

Смешанное произведение в координатах

Формулировка

В правом ортонормированном базисе

\mathbf a\mathbf b\mathbf c = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\\ x_3 & y_3 & z_3\end{vmatrix}.

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда этот определитель равен нулю.

Доказательство

Развернуть

По формулам векторного и скалярного произведений в координатах

(\mathbf a\times\mathbf b, \mathbf c) = x_3\begin{vmatrix}y_1&z_1\\y_2&z_2\end{vmatrix} - y_3\begin{vmatrix}x_1&z_1\\x_2&z_2\end{vmatrix} + z_3\begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix},

а это разложение определителя по третьей строке. Второе утверждение следует из геометрического критерия компланарности. $\blacksquare$

Восстановление уравнения по фундаментальной системе

Формулировка

Пусть $y_1, \dots, y_n\in C^n(I)$ и $W[y_1, \dots, y_n](x)\ne 0$ на $I$ . Тогда существует единственное уравнение вида $y^{(n)} + p_1y^{(n-1)} + \dots + p_ny = 0$ с непрерывными коэффициентами, для которого эти функции образуют ФСР:

\frac{W[y_1, \dots, y_n, y](x)}{W[y_1, \dots, y_n](x)} = 0.

Доказательство

Развернуть

Разложим $W[y_1, \dots, y_n, y]$ по последнему столбцу $(y, y', \dots, y^{(n)})^T$ . Коэффициент при $y^{(n)}$ равен $W[y_1, \dots, y_n]\ne 0$ , остальные коэффициенты непрерывны. После деления получаем уравнение требуемого вида. При $y = y_k$ определитель имеет два равных столбца и обращается в нуль, так что все $y_k$ — решения, а они независимы, так как $W\ne 0$ .

Единственность: если два таких уравнения имеют общую ФСР, то их разность $(p_1 - q_1)y^{(n-1)} + \dots + (p_n - q_n)y = 0$ обращается в тождество на всех $y_k$ , а значит, и на всех их комбинациях. Если некоторый коэффициент разности, скажем при $y^{(m)}$ с наибольшим $m$ , не равен нулю в точке $x_1$ , то вблизи $x_1$ получается уравнение порядка $m < n$ с $n$ линейно независимыми решениями. Это противоречит тому, что размерность пространства его решений равна $m$ . $\blacksquare$

Собственные значения — корни характеристического многочлена

Формулировка

Число $\lambda$ (из поля, над которым рассматривается пространство) является собственным значением тогда и только тогда, когда $\chi(\lambda) = 0$ .
$\dim V_\lambda = n - \operatorname{rank}(A - \lambda E)$ ; собственные векторы находятся из однородной системы $(A - \lambda E)X = 0$ .
Геометрическая кратность собственного значения не превосходит алгебраической.

Доказательство

Развернуть

$\lambda$ — собственное значение $\iff\operatorname{Ker}(\mathcal A - \lambda\mathcal I)\ne\{0\}\iff\det(A - \lambda E) = 0$ по критерию обратимости оператора.
Теорема о ранге и дефекте для $\mathcal A - \lambda\mathcal I$ .
Пусть $g = \dim V_\lambda$ . Дополним базис $V_\lambda$ до базиса $V$ . В нём матрица блочно-треугольная с левым верхним блоком $\lambda E_g$ , так как $V_\lambda$ инвариантно. Разлагая определитель по первым столбцам, получаем $\chi(t) = (\lambda - t)^g\chi_C(t)$ , где $C$ — правый нижний блок. Значит, кратность корня $\lambda$ не меньше $g$ . $\blacksquare$

Теорема Гамильтона–Кэли

Формулировка

Каждый оператор (каждая квадратная матрица) является корнем своего характеристического многочлена: $\chi_A(A) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Пусть $\chi(\lambda) = \sum_{k=0}^nc_k\lambda^k$ . Для присоединённой матрицы верно тождество

(A - \lambda E)\,\widetilde{(A - \lambda E)} = \det(A - \lambda E)E = \chi(\lambda)E.

Элементы присоединённой матрицы — алгебраические дополнения, то есть многочлены от $\lambda$ степени не выше $n - 1$ . Поэтому

\widetilde{(A - \lambda E)} = B_0 + \lambda B_1 + \dots + \lambda^{n-1}B_{n-1}

с числовыми матрицами $B_k$ . Приравниваем коэффициенты при степенях $\lambda$ :

AB_0 = c_0E,\qquad AB_k - B_{k-1} = c_kE\ \ (1\le k\le n - 1),\qquad -B_{n-1} = c_nE.

Умножим $k$ -е равенство слева на $A^k$ и сложим:

\sum_{k=0}^nc_kA^k = AB_0 + \sum_{k=1}^{n-1}\big(A^{k+1}B_k - A^kB_{k-1}\big) - A^nB_{n-1} = 0,

так как сумма телескопическая. Для оператора: матрица $\chi(\mathcal A)$ равна $\chi(A)$ . $\blacksquare$

Приведение матрицы к ступенчатому виду (метод Гаусса)

Формулировка

Любую матрицу $A$ конечным числом элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду $R$ . Равносильно: существуют элементарные матрицы $S_1, \dots, S_k$ такие, что

A = S_1 S_2 \cdots S_k R.

Доказательство

Развернуть

Индукция по числу строк $m$ . При $m = 1$ любая матрица ступенчатая.

Пусть $m > 1$ . Если $A = O$ , доказывать нечего. Иначе пусть $j_1$ — номер первого ненулевого столбца. Перестановкой строк добьёмся $a_{1j_1} \ne 0$ . Затем из каждой $i$ -й строки ( $i \ge 2$ ) вычтем первую, умноженную на $a_{ij_1}/a_{1j_1}$ . После этого в столбцах с номерами $\le j_1$ у строк $2, \dots, m$ стоят нули.

По предположению индукции строки $2,\dots,m$ приводятся к ступенчатому виду. Эти преобразования не затрагивают первую строку. Нули в столбцах с номерами $\le j_1$ у строк $2,\dots,m$ сохраняются, так как линейная комбинация нулей равна нулю. Значит, ведущие элементы строк $2,\dots,m$ стоят правее $j_1$ , и вся матрица ступенчатая.

Выполненные преобразования означают, что $S_k' \cdots S_1' A = R$ , где $S_i'$ — элементарные матрицы. Умножая слева последовательно на элементарные матрицы обратных преобразований $S_1, \dots, S_k$ (для них $S_iS_i' = E$ ), получаем $A = S_1 \cdots S_k R$ . $\blacksquare$

Свойства произведения матриц

Формулировка

Если соответствующие произведения определены, то:

$(AB)C = A(BC)$ — ассоциативность;
$A(B + C) = AB + AC$ , $(A + B)C = AC + BC$ — дистрибутивность;
$(\lambda A)B = A(\lambda B) = \lambda (AB)$ ;
$E_m A = A E_n = A$ для матрицы $A$ размера $m \times n$ .

Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $AB \ne BA$ даже для квадратных матриц.

Доказательство

Развернуть

1. Пусть $A$ имеет размер $m\times n$ , $B$ — $n\times p$ , $C$ — $p\times q$ . Тогда

\big((AB)C\big)_{ij} = \sum_{l=1}^{p} (AB)_{il}\, c_{lj} = \sum_{l=1}^{p}\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kl} c_{lj}, \qquad \big(A(BC)\big)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} (BC)_{kj} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{p} a_{ik} b_{kl} c_{lj}.

Конечные суммы отличаются лишь порядком суммирования, значит, равны.

2. $\big(A(B+C)\big)_{ij} = \sum_k a_{ik}(b_{kj} + c_{kj}) = \sum_k a_{ik}b_{kj} + \sum_k a_{ik}c_{kj}$ . Второе равенство и свойство 3 проверяются аналогично.

4. Элементы единичной матрицы — символ Кронекера $\delta_{ik}$ ( $1$ при $i = k$ , $0$ иначе), поэтому $(E_m A)_{ij} = \sum_k \delta_{ik} a_{kj} = a_{ij}$ ; аналогично $A E_n = A$ .

Некоммутативность. Например,

\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.

$\blacksquare$

Односторонняя обратная матрица является обратной

Формулировка

Если $A$ и $B$ — квадратные матрицы одного порядка и $AB = E$ , то $BA = E$ , то есть $B = A^{-1}$ .

Доказательство

Развернуть

Так как $\det(AB) = \det A\det B$ , имеем $\det A\det B = 1$ , значит, $\det A \ne 0$ , и существует $A^{-1}$ . Тогда

B = (A^{-1}A)B = A^{-1}(AB) = A^{-1}.

$\blacksquare$

Свойства обратной матрицы

Формулировка

Для обратимых матриц $A, B$ порядка $n$ и числа $\lambda \ne 0$ :

$(A^{-1})^{-1} = A$ ;
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ ;
$(A^\mathsf{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathsf{T}$ ;
$(\lambda A)^{-1} = \lambda^{-1}A^{-1}$ ;
$\det A^{-1} = 1/\det A$ .

Доказательство

Развернуть

В каждом случае достаточно проверить, что произведение в обоих порядках равно $E$ , так как обратная матрица единственна.

Равенства $AA^{-1} = A^{-1}A = E$ означают, что $A$ обратна к $A^{-1}$ .
$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = E$ , и аналогично в другом порядке.
По свойству $(AB)^\mathsf{T} = B^\mathsf{T}A^\mathsf{T}$ имеем $A^\mathsf{T}(A^{-1})^\mathsf{T} = (A^{-1}A)^\mathsf{T} = E^\mathsf{T} = E$ , и аналогично.
Очевидно.
Из $AA^{-1} = E$ получаем $\det A\det A^{-1} = 1$ . $\blacksquare$

Преобразование матрицы формы при замене базиса

Формулировка

Если $T$ — матрица перехода от базиса $e$ к $e'$ , то матрица формы в новом базисе

B' = T^\mathsf{T}BT.

Следовательно, ранг формы не зависит от базиса, а знак определителя её матрицы сохраняется.

Доказательство

Развернуть

Подставим $X = TX'$ , $Y = TY'$ : $b(x,y) = X'^\mathsf{T}(T^\mathsf{T}BT)Y'$ . Матрица формы определена однозначно ( $b_{ij}' = b(e_i', e_j')$ ), поэтому $B' = T^\mathsf{T}BT$ . Умножение на невырожденные матрицы не меняет ранг, а $\det B' = (\det T)^2\det B$ . $\blacksquare$

Инвариантность характеристического многочлена

Формулировка

Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены; поэтому характеристический многочлен оператора определён корректно.
$\chi_A(\lambda) = (-\lambda)^n + (-\lambda)^{n-1}\operatorname{tr}A + \dots + \det A$ .

Доказательство

Развернуть

$\det(T^{-1}AT - \lambda E) = \det\big(T^{-1}(A - \lambda E)T\big) = \det T^{-1}\det(A - \lambda E)\det T = \det(A - \lambda E)$ .
В определителе $\det(A - \lambda E)$ слагаемое, соответствующее подстановке $\sigma\ne\varepsilon$ , содержит не больше $n - 2$ диагональных множителей, поэтому имеет степень по $\lambda$ не выше $n - 2$ . Значит, коэффициенты при $\lambda^n$ и $\lambda^{n-1}$ берутся из произведения $\prod(a_{ii} - \lambda)$ ; это $(-1)^n$ и $(-1)^{n-1}\sum a_{ii}$ . Свободный член равен $\chi(0) = \det A$ . $\blacksquare$

Преобразование матрицы оператора при смене базиса

Формулировка

Если $A$ — матрица оператора $\mathcal A$ в базисе $e$ , а $T$ — матрица перехода от $e$ к $e'$ , то матрица $\mathcal A$ в базисе $e'$ равна

A' = T^{-1}AT.

Для отображения $V\to W$ с матрицами перехода $T$ в $V$ и $S$ в $W$ : $A' = S^{-1}AT$ . 2. Подобные матрицы имеют одинаковые определитель, ранг и след. Поэтому определитель, ранг и след оператора не зависят от выбора базиса.

Доказательство

Развернуть

Пусть $Y = AX$ . Подставим $X = TX'$ , $Y = SY'$ : $SY' = ATX'$ , откуда $Y' = S^{-1}ATX'$ при всех $X'$ . Для оператора $S = T$ .
$\det(T^{-1}AT) = \det T^{-1}\det A\det T = \det A$ . Умножение на невырожденную матрицу не меняет ранг: по неравенствам для ранга $\operatorname{rank}(T^{-1}AT)\le\operatorname{rank}A$ , и наоборот, так как $A = T(T^{-1}AT)T^{-1}$ . Для следа $\operatorname{tr}(T^{-1}(AT)) = \operatorname{tr}((AT)T^{-1}) = \operatorname{tr}A$ . $\blacksquare$

Одновременное приведение пары квадратичных форм

Формулировка

Если $q_1$ положительно определена, а $q_2$ — любая квадратичная форма, то существует базис, в котором

q_1 = y_1^2 + \dots + y_n^2,\qquad q_2 = \mu_1y_1^2 + \dots + \mu_ny_n^2,

где $\mu_i$ — корни уравнения $\det(B_2 - \mu B_1) = 0$ .

Доказательство

Развернуть

Полярная форма $b_1$ формы $q_1$ симметрична и положительно определена, то есть является скалярным произведением. В полученном евклидовом пространстве приведём $q_2$ к главным осям: в ортонормированном относительно $b_1$ базисе $q_1 = \sum y_i^2$ , а $q_2 = \sum\mu_iy_i^2$ .

Если $T$ — матрица перехода, то $T^\mathsf{T}B_1T = E$ , $T^\mathsf{T}B_2T = \operatorname{diag}(\mu_i)$ , и

\prod(\mu_i - \mu) = \det\big(T^\mathsf{T}(B_2 - \mu B_1)T\big) = (\det T)^2\det(B_2 - \mu B_1).

$\blacksquare$

Инвариантность I₁, I₂, I₃ и определителя расширенной матрицы

Формулировка

При переходе к другой прямоугольной системе координат ( $X = QX' + X_0$ , $Q$ ортогональна) характеристический многочлен матрицы $A$ (в частности, $\operatorname{tr}A$ и $\det A$ ) и определитель расширенной матрицы $\hat A$ не меняются. Для кривых это означает инвариантность $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ .

Доказательство

Развернуть

Квадратичная часть преобразуется как $A' = Q^\mathsf{T}AQ = Q^{-1}AQ$ (перенос её не меняет), а подобные матрицы имеют одинаковый характеристический многочлен.

В однородных координатах замена записывается как $\hat X = P\hat X'$ с $P = \begin{pmatrix}Q&X_0\\0&1\end{pmatrix}$ , поэтому $\hat A' = P^\mathsf{T}\hat AP$ . Так как $\det P = \det Q = \pm1$ , получаем $\det\hat A' = (\det P)^2\det\hat A = \det\hat A$ . $\blacksquare$

Определители

Определитель транспонированной матрицы

Формулировка

Доказательство

Линейность определителя по строке

Формулировка

Доказательство

Перестановка строк определителя

Формулировка

Доказательство

Следствия из основных свойств определителя

Формулировка

Доказательство

Определитель треугольной матрицы

Формулировка

Доказательство

Разложение определителя по строке (столбцу)

Формулировка

Доказательство

Разложение по чужим алгебраическим дополнениям

Формулировка

Доказательство

Определитель произведения матриц

Формулировка

Доказательство

Вычисление определителя четвёртого порядка

Условие

Решение

Определитель кососимметрической матрицы нечётного порядка

Условие

Решение

Определитель Вандермонда третьего порядка

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Определители второго и третьего порядков

Определитель n-го порядка

Дополнительный минор и алгебраическое дополнение

Линейные операции над матрицами и транспонирование

Цикл. Транспозиция как подстановка

Элементарные матрицы

Виды матриц

Чётность и знак подстановки

Ступенчатая матрица

Знак произведения подстановок

Формулировка

Доказательство

Теорема о базисном миноре

Формулировка

Доказательство

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Формулировка

Доказательство

Ранг как максимальное число линейно независимых строк и столбцов

Формулировка

Доказательство

Свойства определителя Грама

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогональных матриц

Формулировка

Доказательство

Формула Остроградского–Лиувилля

Формулировка

Доказательство

Формула Остроградского–Лиувилля для системы

Формулировка

Доказательство

Элементарные преобразования как умножение на элементарную матрицу

Формулировка

Доказательство

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса–Жордана

Формулировка

Доказательство

Критерий равенства нулю определителя

Формулировка

Доказательство

Ранг ступенчатой матрицы. Вычисление ранга методом Гаусса

Формулировка