Системы координат

Прогресс изучения0 из 4

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы4

Координаты вектора по точкам. Деление отрезка в данном отношении
Преобразование аффинных координат на плоскости
Преобразование прямоугольных координат. Поворот и перенос
Связь полярных и декартовых координат

теорема

Координаты вектора по точкам. Деление отрезка в данном отношении

Формулировка

Пусть в аффинной системе координат даны точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ .

$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)$ .
Точка $M$ , для которой $\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{MB}$ ( $\lambda\ne-1$ ), имеет координаты

x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda},\qquad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1+\lambda};

в частности, середина отрезка — при $\lambda = 1$ . 3. В ПДСК $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ .

Аналогичные формулы верны в пространстве.

Доказательство

Развернуть

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ и переходим к координатам.
Условие $\mathbf r - \mathbf r_A = \lambda(\mathbf r_B - \mathbf r)$ даёт $\mathbf r = \frac{\mathbf r_A + \lambda\mathbf r_B}{1+\lambda}$ для радиус-векторов; переходим к координатам.
Это длина вектора $\overrightarrow{AB}$ в ортонормированном базисе. $\blacksquare$

теорема

Преобразование аффинных координат на плоскости

Формулировка

Пусть даны «старая» система $(O; \mathbf e_1, \mathbf e_2)$ и «новая» $(O'; \mathbf e_1', \mathbf e_2')$ , причём

\mathbf e_1' = c_{11}\mathbf e_1 + c_{21}\mathbf e_2,\quad \mathbf e_2' = c_{12}\mathbf e_1 + c_{22}\mathbf e_2,\quad O'(x_0, y_0).

Тогда старые координаты $(x, y)$ точки выражаются через новые $(x', y')$ формулами

\begin{cases} x = c_{11}x' + c_{12}y' + x_0,\\ y = c_{21}x' + c_{22}y' + y_0,\end{cases} \qquad\text{т.е.}\qquad X = CX' + X_0.

Матрица перехода $C = (c_{ij})$ , столбцы которой — координаты новых базисных векторов, невырождена, и $X' = C^{-1}(X - X_0)$ .

Доказательство

Развернуть

\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'M} = x_0\mathbf e_1 + y_0\mathbf e_2 + x'\mathbf e_1' + y'\mathbf e_2'.

Подставив выражения $\mathbf e_1', \mathbf e_2'$ и приведя подобные члены, получаем разложение $\overrightarrow{OM}$ по $\mathbf e_1, \mathbf e_2$ . По единственности разложения его коэффициенты равны $x$ и $y$ .

Векторы $\mathbf e_1', \mathbf e_2'$ неколлинеарны, поэтому столбцы $C$ не пропорциональны, и $\det C \ne 0$ . Поэтому $C^{-1}$ существует, что даёт обратную формулу. $\blacksquare$

теорема

Преобразование прямоугольных координат. Поворот и перенос

Формулировка

Если обе системы прямоугольные и одинаково ориентированные, а новая ось $O'x'$ повёрнута относительно $Ox$ на угол $\varphi$ , то

\begin{cases} x = x'\cos\varphi - y'\sin\varphi + x_0,\\ y = x'\sin\varphi + y'\cos\varphi + y_0.\end{cases}

При противоположной ориентации у слагаемых с $y'$ меняются знаки. Матрица перехода ортогональна: $C^\mathsf{T}C = E$ .

Доказательство

Развернуть

Единичный вектор $\mathbf i'$ , образующий угол $\varphi$ с $\mathbf i$ , имеет координаты $(\cos\varphi, \sin\varphi)$ . Единичный вектор $\mathbf j'\perp\mathbf i'$ равен $\pm(-\sin\varphi, \cos\varphi)$ , со знаком $+$ при той же ориентации. Подставляем в формулы преобразования аффинных координат. Элементы $C^\mathsf{T}C$ — попарные скалярные произведения столбцов, то есть $(\mathbf i',\mathbf i')$ , $(\mathbf i',\mathbf j')$ и т.д. Они образуют $E$ . $\blacksquare$

теорема

Связь полярных и декартовых координат

Формулировка

Если полюс совпадает с началом ПДСК, а полярная ось — с положительной полуосью $Ox$ , то

x = r\cos\varphi,\quad y = r\sin\varphi;\qquad r = \sqrt{x^2+y^2},\quad \cos\varphi = \frac{x}{r},\ \ \sin\varphi = \frac yr.

Доказательство

Развернуть

Единичный вектор, образующий угол $\varphi$ с $\mathbf i$ , равен $(\cos\varphi, \sin\varphi)$ , и $\overrightarrow{OM}$ — этот вектор, умноженный на $r = |OM|$ . Формула для $r$ — это длина вектора $\overrightarrow{OM}$ . $\blacksquare$

Деление отрезка в заданном отношении

Условие

Найти точку $M$ , делящую отрезок $AB$ в отношении $AM : MB = 2 : 1$ , если $A(1,-2)$ , $B(4,7)$ .

Решение

Развернуть

При $\lambda = 2$ :

x = \frac{1 + 2\cdot4}{3} = 3,\qquad y = \frac{-2 + 2\cdot7}{3} = 4.

Ответ: $M(3, 4)$ .

Переход к новой аффинной системе координат

Условие

Новая система задана началом $O'(1, 2)$ и векторами $\mathbf e_1' = \mathbf e_1 + \mathbf e_2$ , $\mathbf e_2' = -\mathbf e_1 + \mathbf e_2$ . Найти старые координаты точки с новыми координатами $(2, 1)$ и новые координаты точки $P(3, 3)$ .

Решение

Развернуть

Матрица перехода $C = \begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$ . Формулы перехода:

x = x' - y' + 1,\qquad y = x' + y' + 2.

Для $(x', y') = (2, 1)$ : $x = 2$ , $y = 5$ .

Для $P(3,3)$ : $x' - y' = 2$ , $x' + y' = 1$ , откуда $x' = 3/2$ , $y' = -1/2$ .

Перевод между полярными и декартовыми координатами

Условие

Найти декартовы координаты точки с полярными координатами $r = 2$ , $\varphi = 2\pi/3$ .
Найти полярные координаты точки $(-1, -1)$ , $\varphi\in[0, 2\pi)$ .

Решение

Развернуть

Используем формулы $x = r\cos\varphi$ , $y = r\sin\varphi$ :

$x = 2\cos\frac{2\pi}{3} = -1$ , $y = 2\sin\frac{2\pi}3 = \sqrt3$ .
$r = \sqrt2$ , $\cos\varphi = \sin\varphi = -\frac{1}{\sqrt2}$ , поэтому $\varphi = \frac{5\pi}4$ .

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Аффинная и прямоугольная системы координат

Аффинной системой координат на плоскости называется совокупность точки $O$ (начала координат) и базиса $(\mathbf e_1, \mathbf e_2)$ . Координатами точки $M$ называются координаты её радиус-вектора $\overrightarrow{OM}$ в этом базисе: если $\overrightarrow{OM} = x\mathbf e_1 + y\mathbf e_2$ , то $M(x, y)$ .

Если базис ортонормированный, система называется прямоугольной декартовой (ПДСК). В пространстве аффинная система координат задаётся точкой и тройкой некомпланарных векторов.

Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости задаётся точкой $O$ (полюсом) и выходящим из неё лучом (полярной осью). Точке $M \ne O$ сопоставляются полярный радиус $r = |OM| > 0$ и полярный угол $\varphi$ — угол поворота от полярной оси до луча $OM$ против часовой стрелки. Угол обычно берут в промежутке $[0, 2\pi)$ или $(-\pi, \pi]$ . У полюса $r = 0$ , а угол не определён.

Базис. Координаты вектора

Базисом в $V_3$ называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов $(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)$ ; в $V_2$ — упорядоченная пара неколлинеарных векторов; в $V_1$ — любой ненулевой вектор.

Если $\mathbf a = x\mathbf e_1 + y\mathbf e_2 + z\mathbf e_3$ , то числа $x, y, z$ называются координатами вектора $\mathbf a$ в базисе $(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)$ ; пишут $\mathbf a = (x, y, z)$ .

Ортогональность. Ортонормированный базис

Ненулевые векторы называются ортогональными ( $\mathbf a\perp\mathbf b$ ), если угол между ними равен $\pi/2$ . Нулевой вектор считается ортогональным любому.

Базис $(\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k)$ называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Точка $O$ вместе с ортонормированным базисом образует прямоугольную декартову систему координат (ПДСК).

Линейные операции в координатах

Формулировка

Пусть в некотором базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ . Тогда:

$\mathbf a + \mathbf b = (x_1+x_2,\ y_1+y_2,\ z_1+z_2)$ , $\lambda\mathbf a = (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1)$ ;
$\mathbf a = \mathbf b$ тогда и только тогда, когда их координаты совпадают;
при $\mathbf a \ne \mathbf 0$ векторы $\mathbf a$ и $\mathbf b$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ .

Доказательство

Развернуть

По свойствам линейных операций

\mathbf a + \mathbf b = (x_1\mathbf e_1 + y_1\mathbf e_2 + z_1\mathbf e_3) + (x_2\mathbf e_1 + \dots) = (x_1+x_2)\mathbf e_1 + (y_1+y_2)\mathbf e_2 + (z_1+z_2)\mathbf e_3.

Для $\lambda\mathbf a$ аналогично.

Следует из единственности разложения.
Коллинеарность с ненулевым $\mathbf a$ означает $\mathbf b = \lambda\mathbf a$ ; по пунктам 1, 2 это равносильно пропорциональности координат. $\blacksquare$

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Если в ортонормированном базисе $\mathbf a = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf b = (x_2, y_2, z_2)$ , то

(\mathbf a, \mathbf b) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2,\qquad |\mathbf a| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2},\qquad \cos\varphi = \frac{(\mathbf a, \mathbf b)}{|\mathbf a|\,|\mathbf b|}.

Доказательство

Развернуть

Раскроем $(x_1\mathbf i + y_1\mathbf j + z_1\mathbf k,\ x_2\mathbf i + y_2\mathbf j + z_2\mathbf k)$ по линейности. Учитывая $(\mathbf i,\mathbf i) = (\mathbf j,\mathbf j) = (\mathbf k,\mathbf k) = 1$ и равенство нулю попарных произведений разных векторов базиса, получаем первую формулу. Вторая — случай $\mathbf b = \mathbf a$ , третья — определение скалярного произведения. Координаты единичного вектора $\mathbf a/|\mathbf a|$ равны $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ , и сумма их квадратов равна его длине в квадрате, то есть $1$ . $\blacksquare$

Каноническое уравнение эллипса

Формулировка

В канонической системе координат эллипс задаётся уравнением

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad b^2 = a^2 - c^2,

а фокальные радиусы его точки $M(x, y)$ равны $r_1 = a + ex$ , $r_2 = a - ex$ . Эллипс симметричен относительно осей координат и начала, лежит в прямоугольнике $|x|\le a$ , $|y|\le b$ .

Доказательство

Развернуть

Из определения следует уравнение. Условие $r_1 + r_2 = 2a$ записывается как

\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}.

Возведя в квадрат и упростив, получаем $a\sqrt{(x-c)^2+y^2} = a^2 - cx$ . Ещё раз возводим в квадрат:

(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2),

и после деления на $a^2b^2$ — каноническое уравнение.

Из уравнения следует определение. Пусть $(x,y)$ удовлетворяет уравнению. Подставив $y^2 = b^2 - \frac{b^2}{a^2}x^2$ , получаем

r_1^2 = (x + c)^2 + y^2 = \frac{c^2}{a^2}x^2 + 2cx + a^2 = (a + ex)^2.

Так как $|x|\le a$ и $e < 1$ , имеем $a + ex > 0$ , то есть $r_1 = a + ex$ . Аналогично $r_2 = a - ex$ , и $r_1 + r_2 = 2a$ .

Симметрии следуют из того, что в уравнение $x$ и $y$ входят во второй степени. $\blacksquare$

Каноническое уравнение гиперболы

Формулировка

В канонической системе координат гипербола задаётся уравнением

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad b^2 = c^2 - a^2,

а фокальные радиусы её точки равны $r_1 = |ex + a|$ , $r_2 = |ex - a|$ . Гипербола состоит из двух ветвей $x \ge a$ и $x\le -a$ .

Доказательство

Развернуть

Из определения следует уравнение. Пусть $r_1 - r_2 = \pm 2a$ , то есть $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = \sqrt{(x-c)^2+y^2} \pm 2a$ . Возводя в квадрат, получаем $cx - a^2 = \pm a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$ . Ещё раз:

(c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2),

что после деления на $a^2b^2$ даёт каноническое уравнение.

Из уравнения следует определение. Подставив $y^2 = \frac{b^2}{a^2}x^2 - b^2$ , получаем $r_1^2 = (ex + a)^2$ , $r_2^2 = (ex - a)^2$ . Из уравнения $|x|\ge a$ , и так как $e > 1$ , $|ex| > a$ . При $x \ge a$ : $r_1 = ex + a$ , $r_2 = ex - a$ , $r_1 - r_2 = 2a$ . При $x\le-a$ : $r_1 = -ex - a$ , $r_2 = a - ex$ , $r_2 - r_1 = 2a$ . $\blacksquare$

Каноническое уравнение параболы

Формулировка

В канонической системе координат парабола задаётся уравнением

y^2 = 2px,

а фокальный радиус её точки равен $r = x + p/2$ . Парабола лежит в полуплоскости $x\ge0$ и симметрична относительно оси $Ox$ .

Доказательство

Развернуть

Для $M(x,y)$ : $r = \sqrt{(x - p/2)^2 + y^2}$ , расстояние до директрисы $x = -p/2$ равно $|x + p/2|$ . Обе величины неотрицательны, поэтому их равенство равносильно равенству квадратов:

x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}4 \iff y^2 = 2px.

Из уравнения $x \ge 0$ , поэтому $r = x + p/2$ . $\blacksquare$

Прямая на плоскости — алгебраическая кривая первого порядка

Формулировка

В любой аффинной системе координат на плоскости всякая прямая задаётся уравнением первой степени $Ax + By + C = 0$ , и всякое такое уравнение задаёт прямую. Вектор $(-B, A)$ — направляющий вектор этой прямой. Порядок кривой не зависит от выбора аффинной системы координат.

Доказательство

Развернуть

Пусть прямая проходит через $M_0(x_0, y_0)$ и имеет направляющий вектор $\mathbf a = (l, m)$ . Точка $M(x,y)$ лежит на прямой тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{M_0M}\parallel\mathbf a$ . Это означает $(x - x_0)m - (y - y_0)l = 0$ — уравнение первой степени, так как $(m, -l)\ne(0,0)$ .

Обратно, у уравнения $Ax + By + C = 0$ есть решение $(x_0, y_0)$ . Вычитая, получаем $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$ , то есть векторы $(x - x_0, y - y_0)$ и $(-B, A)$ коллинеарны. Это прямая через $M_0$ с направляющим вектором $(-B, A)$ .

Замена аффинной системы координат выражает старые координаты линейно через новые, поэтому степень уравнения сохраняется. $\blacksquare$

Уравнение поверхности вращения

Формулировка

Если кривая $F(x, z) = 0$ , $x\ge0$ , лежащая в плоскости $y = 0$ , вращается вокруг оси $Oz$ , то полученная поверхность вращения имеет уравнение

F\left(\sqrt{x^2 + y^2},\ z\right) = 0.

Например, вращение эллипса $\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ даёт эллипсоид вращения $\frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ .

Доказательство

Развернуть

Точка $M(x,y,z)$ при вращении вокруг $Oz$ описывает окружность радиуса $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ в плоскости той же высоты $z$ . Она лежит на поверхности тогда и только тогда, когда её окружность пересекает меридиан, то есть точка $(\rho, 0, z)$ лежит на исходной кривой: $F(\rho, z) = 0$ . $\blacksquare$

Теорема о разложении вектора по базису

Формулировка

Любой вектор $\mathbf a \in V_3$ раскладывается по базису $(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)$ :

\mathbf a = x\mathbf e_1 + y\mathbf e_2 + z\mathbf e_3,

и это разложение единственно. Аналогичные утверждения верны в $V_2$ и $V_1$ .

Доказательство

Развернуть

Существование в $V_3$ следует из линейной зависимости любых четырёх векторов, в $V_2$ — из критерия компланарности трёх векторов, в $V_1$ — из критерия коллинеарности двух векторов.

Единственность. Если $\mathbf a = \sum x_i\mathbf e_i = \sum x_i'\mathbf e_i$ , то $\sum(x_i - x_i')\mathbf e_i = \mathbf 0$ . Векторы базиса некомпланарны и линейно независимы, поэтому $x_i = x_i'$ . $\blacksquare$

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Квадратная матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда она невырождена ( $\det A \ne 0$ ). При этом

A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\tilde A.

Доказательство

Развернуть

Необходимость. Если $AA^{-1} = E$ , то $\det A\cdot\det A^{-1} = \det E = 1$ , значит, $\det A \ne 0$ .

Достаточность. Вычислим произведения с присоединённой матрицей:

(A\tilde A)_{ik} = \sum_{j} a_{ij}A_{kj} = \delta_{ik}\det A, \qquad (\tilde A A)_{ik} = \sum_j A_{ji}a_{jk} = \delta_{ik}\det A.

Здесь при $i = k$ используется разложение определителя по строке, а при $i \ne k$ — разложение по чужим алгебраическим дополнениям. Итак, $A\tilde A = \tilde A A = \det A\cdot E$ . При $\det A \ne 0$ матрица $\frac{1}{\det A}\tilde A$ удовлетворяет определению обратной. Обратная матрица единственна. $\blacksquare$

Системы координат

Координаты вектора по точкам. Деление отрезка в данном отношении

Формулировка

Доказательство

Преобразование аффинных координат на плоскости

Формулировка

Доказательство

Преобразование прямоугольных координат. Поворот и перенос

Формулировка

Доказательство

Связь полярных и декартовых координат

Формулировка

Доказательство

Деление отрезка в заданном отношении

Условие

Решение

Переход к новой аффинной системе координат

Условие

Решение

Перевод между полярными и декартовыми координатами

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Аффинная и прямоугольная системы координат

Полярная система координат

Базис. Координаты вектора

Ортогональность. Ортонормированный базис

Линейные операции в координатах

Формулировка

Доказательство

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Формулировка

Доказательство

Каноническое уравнение эллипса

Формулировка

Доказательство

Каноническое уравнение гиперболы

Формулировка

Доказательство

Каноническое уравнение параболы

Формулировка

Доказательство

Прямая на плоскости — алгебраическая кривая первого порядка

Формулировка

Доказательство

Уравнение поверхности вращения

Формулировка

Доказательство

Теорема о разложении вектора по базису

Формулировка

Доказательство

Критерий существования обратной матрицы

Формулировка

Доказательство