Кривые второго порядка

Из определения следует уравнение. Условие $r_1 + r_2 = 2a$ записывается как

Возведя в квадрат и упростив, получаем $a\sqrt{(x-c)^2+y^2} = a^2 - cx$. Ещё раз возводим в квадрат:

и после деления на $a^2b^2$ — каноническое уравнение.

Из уравнения следует определение. Пусть $(x,y)$ удовлетворяет уравнению. Подставив $y^2 = b^2 - \frac{b^2}{a^2}x^2$, получаем

Так как $|x|\le a$ и $e < 1$, имеем $a + ex > 0$, то есть $r_1 = a + ex$. Аналогично $r_2 = a - ex$, и $r_1 + r_2 = 2a$.

Симметрии следуют из того, что в уравнение $x$ и $y$ входят во второй степени. $\blacksquare$

Пусть $y_0 \ne 0$. Вблизи $M_0$ эллипс — график функции $y(x)$. Дифференцируя тождество $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, получаем $y'(x_0) = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$. Касательная:

Умножая на $y_0/b^2$ и учитывая $\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$, получаем указанное уравнение.

В вершинах $(\pm a, 0)$ эллипс вблизи вершины — график $x(y)$ с $x'(0) = 0$, касательная $x = \pm a$; формула даёт то же самое. $\blacksquare$

Пусть $M_0(x_0, y_0)$, касательная $\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} - 1 = 0$, $N = \sqrt{x_0^2/a^4 + y_0^2/b^4}$. По формуле расстояния от точки до прямой и формулам для фокальных радиусов

Синус угла между $MF_i$ и касательной равен $d_i/r_i = \frac{1}{aN}$ — одинаковый для обоих фокусов, а сами углы острые. Значит, углы равны.

Подставив фокусы в левую часть уравнения касательной, получаем $-\frac{ex_0}{a} - 1 < 0$ и $\frac{ex_0}{a} - 1 < 0$ (так как $|ex_0| < a$). Значит, оба фокуса лежат по одну сторону от касательной, и касательная — биссектриса внешнего угла треугольника $F_1MF_2$. $\blacksquare$

Из определения следует уравнение. Пусть $r_1 - r_2 = \pm 2a$, то есть $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = \sqrt{(x-c)^2+y^2} \pm 2a$. Возводя в квадрат, получаем $cx - a^2 = \pm a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$. Ещё раз:

что после деления на $a^2b^2$ даёт каноническое уравнение.

Из уравнения следует определение. Подставив $y^2 = \frac{b^2}{a^2}x^2 - b^2$, получаем $r_1^2 = (ex + a)^2$, $r_2^2 = (ex - a)^2$. Из уравнения $|x|\ge a$, и так как $e > 1$, $|ex| > a$. При $x \ge a$: $r_1 = ex + a$, $r_2 = ex - a$, $r_1 - r_2 = 2a$. При $x\le-a$: $r_1 = -ex - a$, $r_2 = a - ex$, $r_2 - r_1 = 2a$. $\blacksquare$

По симметрии достаточно рассмотреть часть $x \ge a$, $y \ge 0$, где $y = \frac ba\sqrt{x^2 - a^2}$, и прямую $bx - ay = 0$. Расстояние от точки до этой прямой:

$\blacksquare$

При $y_0 \ne 0$ дифференцируем уравнение неявно: $y'(x_0) = \dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$. Уравнение касательной $y - y_0 = \dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}(x - x_0)$ после умножения на $y_0/b^2$ и учёта $\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ принимает указанный вид. В вершинах $(\pm a, 0)$ касательные $x = \pm a$ также получаются из формулы. $\blacksquare$

Для касательной $\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} - 1 = 0$ с $N = \sqrt{x_0^2/a^4 + y_0^2/b^4}$ по формуле расстояния от точки до прямой и формулам для фокальных радиусов

Синусы углов между касательной и прямыми $MF_1$, $MF_2$ равны $d_i/r_i = \frac1{aN}$, поэтому углы равны.

Значения левой части уравнения касательной в фокусах, $-\frac{ex_0}{a} - 1$ и $\frac{ex_0}a - 1$, имеют разные знаки, так как $|ex_0| > a$. Значит, фокусы лежат по разные стороны от касательной, и она делит угол $F_1MF_2$ пополам. $\blacksquare$

Для $M(x,y)$: $r = \sqrt{(x - p/2)^2 + y^2}$, расстояние до директрисы $x = -p/2$ равно $|x + p/2|$. Обе величины неотрицательны, поэтому их равенство равносильно равенству квадратов:

Из уравнения $x \ge 0$, поэтому $r = x + p/2$. $\blacksquare$

При $y_0\ne0$ из $2yy' = 2p$ получаем $y'(x_0) = p/y_0$, и касательная $y - y_0 = \frac{p}{y_0}(x - x_0)$. Умножив на $y_0$ и подставив $y_0^2 = 2px_0$, получаем $yy_0 = px - px_0 + 2px_0 = p(x + x_0)$. В вершине $(0,0)$ касательная $x = 0$, что совпадает с формулой. $\blacksquare$

В вершине касательная перпендикулярна оси, и утверждение очевидно. Пусть $M_0(x_0, y_0)$, $y_0\ne0$. Касательная $yy_0 = p(x + x_0)$ пересекает ось $Ox$ в точке $T(-x_0, 0)$. Тогда

(это фокальный радиус параболы), то есть треугольник $FM_0T$ равнобедренный, и $\angle FM_0T = \angle FTM_0$. Луч из $M_0$, параллельный оси, образует с касательной угол, равный $\angle FTM_0$ (соответственные углы при параллельных прямых). $\blacksquare$

Для эллипса $r_1 = a + ex = e\left(x + \frac ae\right)$, и $x + \frac ae = d_1$ — расстояние до директрисы $x = -\frac ae$ (положительно, так как $x\ge -a > -\frac ae$).

Для гиперболы $r_1 = |ex + a| = e\left|x + \frac ae\right| = ed_1$. Для $r_2$ рассуждения аналогичны. $\blacksquare$