Комплексные числа

Прогресс изучения0 из 5

Отмечай теоремы кнопками ✓ (изучено) и ↻ (повторить)

Все теоремы темы5

Свойства арифметических операций над комплексными числами
Свойства сопряжения и модуля
Умножение и деление в тригонометрической форме
Формула Муавра
Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

теорема

Свойства арифметических операций над комплексными числами

Формулировка

Сложение и умножение комплексных чисел коммутативны, ассоциативны и связаны законом дистрибутивности. $0$ и $1$ — нейтральные элементы. Каждое $z\ne0$ имеет обратное

z^{-1} = \frac{\bar z}{|z|^2},\qquad\text{и}\qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\bar z_2}{|z_2|^2}\quad(z_2\ne0).

Таким образом, $\mathbb C$ — поле.

Доказательство

Развернуть

Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность проверяются непосредственно по формулам операций и сводятся к свойствам вещественных чисел. Далее,

z\bar z = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 + i(-xy + yx) = |z|^2,

поэтому $z\cdot\frac{\bar z}{|z|^2} = 1$ при $z\ne0$ . Деление определяется как умножение на обратное. $\blacksquare$

теорема

Свойства сопряжения и модуля

Формулировка

$\overline{z_1\pm z_2} = \bar z_1\pm\bar z_2$ , $\overline{z_1z_2} = \bar z_1\bar z_2$ ;
$z\bar z = |z|^2$ ; $z\in\mathbb R \iff z = \bar z$ ;
$|z_1z_2| = |z_1|\,|z_2|$ ;
$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ .

Доказательство

Развернуть

1, 2 проверяются непосредственно (равенство $z\bar z = |z|^2$ уже проверено при выводе формулы деления).

$|z_1z_2|^2 = z_1z_2\overline{z_1z_2} = z_1\bar z_1\,z_2\bar z_2 = |z_1|^2|z_2|^2$ .
Сумма комплексных чисел соответствует сумме радиус-векторов, а для векторов это неравенство треугольника. $\blacksquare$

теорема

Умножение и деление в тригонометрической форме

Формулировка

Если $z_k = r_k(\cos\varphi_k + i\sin\varphi_k)$ , то

z_1z_2 = r_1r_2\big(\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\big),\qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\big(\cos(\varphi_1-\varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)\big).

При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются: $e^{i\varphi_1}e^{i\varphi_2} = e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$ .

Доказательство

Развернуть

Перемножаем по определению:

(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2) = (\cos\varphi_1\cos\varphi_2 - \sin\varphi_1\sin\varphi_2) + i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2 + \cos\varphi_1\sin\varphi_2)

и применяем формулы косинуса и синуса суммы. Формула для частного проверяется умножением её правой части на $z_2$ . $\blacksquare$

теорема

Формула Муавра

Формулировка

Для $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ и любого целого $n$ (при $n < 0$ считаем $z\ne0$ )

z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi).

Доказательство

Развернуть

При $n = 0$ равенство очевидно. При $n \ge 1$ — индукция: $z^{n+1} = z^n\cdot z$ , и модули перемножаются, а аргументы складываются. При $n < 0$ : $z^n = 1/z^{-n}$ , и формула для частного в тригонометрической форме даёт нужное. $\blacksquare$

теорема

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

Формулировка

Число $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\ne0$ имеет ровно $n$ различных корней $n$ -й степени:

w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\qquad k = 0, 1, \dots, n-1.

Они расположены в вершинах правильного $n$ -угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]r$ .

Доказательство

Развернуть

Ищем $w = \rho(\cos\psi + i\sin\psi)$ . По формуле Муавра $w^n = \rho^n(\cos n\psi + i\sin n\psi)$ . Равенство $w^n = z$ равносильно $\rho^n = r$ и $n\psi = \varphi + 2\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ , то есть $\rho = \sqrt[n]r$ , $\psi = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}$ .

Значения $k$ и $k + n$ дают аргументы, различающиеся на $2\pi$ , то есть одно и то же число. При $k = 0, \dots, n-1$ аргументы различаются менее чем на $2\pi$ и не кратно ему, поэтому числа различны. Соседние корни отличаются поворотом на $2\pi/n$ . $\blacksquare$

0на повторение
0новых сегодня
0освоено

Как это работает

Упражнения собраны из теорем, определений и задач темы. Отвечать нужно касанием — печатать формулы не придётся:

узнать — дана формулировка без названия, выберите теорему;
пропуск — в формулировке пропущена формула, выберите верную среди похожих;
ошибка — в определении или формулировке одна формула искажена, нажмите на неё;
связи — отметьте, на что опирается доказательство;
порядок — соберите доказательство из перемешанных шагов;
в док-ве — восстановите формулу внутри доказательства;
задача — отметьте утверждения, которые нужны для решения; после ответа откроется решение.

Ответ проверяется сразу. Верные упражнения возвращаются всё реже — через дни, недели, месяцы (алгоритм FSRS), ошибки — ещё в этой же сессии. Если ответили наугад, нажмите «Угадал», и упражнение вернётся раньше. Сложные упражнения открываются, когда освоены простые: сначала узнать теорему, потом формулы, потом доказательство. Названия теорем в ответах можно нажать — теорема откроется в окне поверх страницы.

В день вводится не больше 15 новых упражнений темы. Теоремы, отмеченные кнопкой ↻, идут первыми. Прогресс хранится в этом браузере.

С клавиатуры: 1–9 выбрать · Enter проверить / дальше ·Backspace убрать последний шаг · Ctrl+Z отменить

Упражнения темы

новоезаучиваетсяна повторенииосвоенозакрыто

Комплексное число. Алгебраическая форма

Комплексным числом называется выражение $z = x + iy$ , где $x, y\in\mathbb R$ , а $i$ — мнимая единица, $i^2 = -1$ . Числа $x = \operatorname{Re} z$ и $y = \operatorname{Im} z$ — действительная и мнимая части. Числа $z_1, z_2$ равны, если $\operatorname{Re}z_1 = \operatorname{Re}z_2$ и $\operatorname{Im}z_1 = \operatorname{Im}z_2$ .

Операции:

(x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) = (x_1 + x_2) + i(y_1+y_2),

(x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1).

Множество комплексных чисел обозначают $\mathbb C$ . Числу $x + iy$ соответствует точка $(x,y)$ (или её радиус-вектор) комплексной плоскости.

Сопряжённое число. Модуль

Число $\bar z = x - iy$ называется сопряжённым к $z = x + iy$ . Модулем $z$ называется число $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ — расстояние от начала координат до точки $z$ .

Аргумент. Тригонометрическая и показательная формы

Аргументом числа $z \ne 0$ называется любое число $\varphi$ такое, что

\cos\varphi = \frac{x}{|z|},\qquad \sin\varphi = \frac{y}{|z|}.

Аргумент определён с точностью до $2\pi k$ . Его главное значение $\arg z\in(-\pi, \pi]$ .

Тригонометрическая форма: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ , $r = |z|$ . С обозначением (формула Эйлера) $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ получаем показательную форму $z = re^{i\varphi}$ .

Корень n-й степени из комплексного числа

Корнем $n$ -й степени из комплексного числа $z$ называется любое комплексное число $w$ такое, что $w^n = z$ .

Существование собственных векторов и инвариантных подпространств малой размерности

Формулировка

Любой оператор в ненулевом конечномерном комплексном пространстве имеет собственный вектор, то есть одномерное инвариантное подпространство.
Любой оператор в ненулевом конечномерном вещественном пространстве имеет инвариантное подпространство размерности $1$ или $2$ .

Доказательство

Развернуть

По основной теореме алгебры $\chi$ имеет комплексный корень, а он является собственным значением.
Пусть $A$ — матрица оператора в некотором базисе. Если у $\chi$ есть вещественный корень, есть и собственный вектор. Иначе возьмём комплексный корень $\lambda = \alpha + i\beta$ , $\beta\ne0$ , и ненулевое решение $Z = U + iV$ системы $AZ = \lambda Z$ ( $U, V$ — вещественные столбцы). Отделяя вещественную и мнимую части, получаем

AU = \alpha U - \beta V,\qquad AV = \beta U + \alpha V.

Значит, векторы с координатами $U$ и $V$ порождают инвариантное подпространство, причём оно ненулевое, так как $Z\ne0$ , и его размерность не больше $2$ . $\blacksquare$

Формулы стереографической проекции. Круговое свойство

Формулировка

Точке $z = u + iv\in\mathbb C$ соответствует точка сферы

x_1 = \frac{2u}{1 + |z|^2},\qquad x_2 = \frac{2v}{1 + |z|^2},\qquad x_3 = \frac{|z|^2 - 1}{|z|^2 + 1},

и обратно $z = \dfrac{x_1 + ix_2}{1 - x_3}$ . Стереографическая проекция — взаимно однозначное соответствие между $S$ и $\overline{\mathbb C}$ .

Окружностям на сфере соответствуют окружности и прямые на плоскости (прямые — окружностям, проходящим через $N$ ), и обратно.

Доказательство

Развернуть

Точки луча $NP$ имеют вид $N + s(P - N)$ . Пересечение с плоскостью $x_3 = 0$ получается при $s = \frac1{1 - x_3}$ , что даёт $z = \frac{x_1 + ix_2}{1 - x_3}$ . Обратно, прямая через $N$ и $(u, v, 0)$ пересекает сферу ещё в одной точке. Подставляя $(su, sv, 1 - s)$ в уравнение сферы, получаем $s^2|z|^2 + (1 - s)^2 = 1$ , откуда $s = \frac{2}{1 + |z|^2}$ , и формулы следуют. При $|z|\to\infty$ точка стремится к $N$ .
Окружность на сфере — пересечение сферы с плоскостью $Ax_1 + Bx_2 + Cx_3 = D$ . Подставляя формулы и умножая на $1 + |z|^2$ , получаем

(C - D)(u^2 + v^2) + 2Au + 2Bv - (C + D) = 0.

Это окружность при $C\ne D$ и прямая при $C = D$ , то есть когда плоскость проходит через $N$ . Обратно, любое уравнение окружности или прямой приводится к такому виду. $\blacksquare$

Свойства ортогональных матриц

Формулировка

$Q^\mathsf{T}Q = E\iff QQ^\mathsf{T} = E\iff Q^{-1} = Q^\mathsf{T}$ ; столбцы (и строки) ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему.
$\det Q = \pm1$ .
Произведение ортогональных матриц и матрица, обратная к ортогональной, ортогональны.
Все корни характеристического многочлена ортогональной матрицы по модулю равны $1$ ; вещественные собственные значения равны $\pm1$ .

Доказательство

Развернуть

Односторонняя обратная квадратной матрицы является обратной. Элемент $(i,j)$ матрицы $Q^\mathsf{T}Q$ — скалярное произведение $i$ -го и $j$ -го столбцов; для $QQ^\mathsf{T}$ — строк.
$1 = \det E = \det Q^\mathsf{T}\det Q = (\det Q)^2$ .
$(Q_1Q_2)^\mathsf{T}Q_1Q_2 = Q_2^\mathsf{T}Q_1^\mathsf{T}Q_1Q_2 = E$ ; $(Q^{-1})^\mathsf{T}Q^{-1} = QQ^\mathsf{T} = E$ .
Если $QZ = \lambda Z$ , $Z\ne0$ — комплексный столбец, то $\bar Z^\mathsf{T}Q^\mathsf{T}QZ = \bar Z^\mathsf{T}Z$ , а левая часть равна $\overline{\lambda Z}^\mathsf{T}\lambda Z = |\lambda|^2\bar Z^\mathsf{T}Z$ . Так как $\bar Z^\mathsf{T}Z > 0$ , получаем $|\lambda| = 1$ . $\blacksquare$

Вещественность собственных значений самосопряжённого оператора

Формулировка

Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора (симметричной вещественной матрицы) вещественны.

Доказательство

Развернуть

Пусть $A$ — симметричная матрица оператора в ортонормированном базисе, $\lambda\in\mathbb C$ — корень $\chi$ , и $Z\ne0$ — комплексный столбец с $AZ = \lambda Z$ . Рассмотрим число $s = \bar Z^\mathsf{T}AZ$ . Так как $A$ вещественна и симметрична,

\bar s = Z^\mathsf{T}A\bar Z = (Z^\mathsf{T}A\bar Z)^\mathsf{T} = \bar Z^\mathsf{T}A^\mathsf{T}Z = \bar Z^\mathsf{T}AZ = s,

то есть $s$ вещественно. С другой стороны, $s = \lambda\bar Z^\mathsf{T}Z = \lambda\sum|z_i|^2$ , и $\sum|z_i|^2 > 0$ . Значит, $\lambda = s/\sum|z_i|^2\in\mathbb R$ . $\blacksquare$

Существование непрерывной ветви аргумента вдоль пути

Формулировка

Если путь $\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb C$ не проходит через точку $a$ , то непрерывная ветвь $\theta(t)$ аргумента $\gamma(t) - a$ существует и определена однозначно с точностью до слагаемого $2\pi k$ . Поэтому приращение аргумента вдоль пути и индекс замкнутого пути определены корректно, а индекс — целое число.

Доказательство

Развернуть

Пусть $\delta = \min_t|\gamma(t) - a| > 0$ . По равномерной непрерывности $\gamma$ разобьём отрезок точками $\alpha = t_0 < t_1 < \dots < t_m = \beta$ так, чтобы на каждом $[t_{k-1}, t_k]$ было $|\gamma(t) - \gamma(t_{k-1})| < \delta$ . Тогда $\gamma(t) - a$ лежит в круге с центром $\gamma(t_{k-1}) - a$ , не содержащем нуля. В таком круге аргумент имеет непрерывную ветвь (круг лежит в открытой полуплоскости, граница которой проходит через нуль, и значения аргумента можно выбрать в интервале длины $\pi$ с центром $\arg(\gamma(t_{k-1}) - a)$ ). Склеивая ветви на соседних отрезках (подбирая на каждом следующем отрезке слагаемое $2\pi k$ так, чтобы значения совпали в точке $t_{k-1}$ ), получаем непрерывную ветвь на всём $[\alpha, \beta]$ .

Если $\theta_1$ , $\theta_2$ — две непрерывные ветви, то $\theta_1 - \theta_2$ непрерывна и принимает значения в $2\pi\mathbb Z$ . Значит, она постоянна. Поэтому разность $\theta(\beta) - \theta(\alpha)$ от выбора ветви не зависит. Для замкнутого пути $\gamma(\beta) = \gamma(\alpha)$ , и эта разность кратна $2\pi$ . $\blacksquare$

Свойства показательной и тригонометрических функций

Формулировка

$e^z$ — целая функция, $(e^z)' = e^z$ , $e^{z_1 + z_2} = e^{z_1}e^{z_2}$ , $e^z\ne 0$ , $|e^z| = e^x$ , $\operatorname{Arg}e^z = y + 2\pi k$ , $k\in\mathbb Z$ ; функция периодична с периодом $2\pi i$ .
$e^z$ однолистна в любой горизонтальной полосе ширины $2\pi$ ; полосу $0 < \operatorname{Im}z < \pi$ она конформно отображает на верхнюю полуплоскость, а полосу $0 < \operatorname{Im}z < 2\pi$ — на $\mathbb C\setminus[0, +\infty)$ .
$\cos z$ , $\sin z$ — целые функции, $(\sin z)' = \cos z$ , $(\cos z)' = -\sin z$ , $\cos^2z + \sin^2z = 1$ , $\cos iz = \operatorname{ch}z$ , $\sin iz = i\operatorname{sh}z$ . Они периодичны с периодом $2\pi$ ; нули $\sin z$ — только числа $\pi k$ , нули $\cos z$ — только числа $\frac\pi2 + \pi k$ , $k\in\mathbb Z$ ; они не ограничены в $\mathbb C$ .

Доказательство

Развернуть

$u = e^x\cos y$ , $v = e^x\sin y$ удовлетворяют условиям Коши–Римана, и $(e^z)' = u_x + iv_x = e^z$ . Формула сложения следует из формулы умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. $|e^z| = e^x > 0$ , и $e^{z + 2\pi i} = e^z$ .
$e^{z_1} = e^{z_2}$ равносильно $z_1 - z_2 = 2\pi ik$ , поэтому в полосе ширины $2\pi$ (без одной граничной прямой) функция однолистна. Прямая $y = c$ переходит в луч $\arg w = c$ , отрезок $x = c$ , $0 < y < \pi$ — в полуокружность $|w| = e^c$ в верхней полуплоскости. Значит, полоса $0 < y < \pi$ переходит в верхнюю полуплоскость; аналогично для полосы ширины $2\pi$ .
Голоморфность и формулы производных следуют из свойств экспоненты. $\cos^2z + \sin^2z = \frac{(e^{iz} + e^{-iz})^2 - (e^{iz} - e^{-iz})^2}{4} = 1$ . Уравнение $\sin z = 0$ равносильно $e^{2iz} = 1$ , то есть $2iz = 2\pi ik$ , $z = \pi k$ . Нули $\cos z$ получаются из тождества $\cos z = \sin\left(z + \frac\pi2\right)$ . Неограниченность: $|\cos(iy)| = \operatorname{ch}y\to\infty$ . $\blacksquare$

Комплексные числа

Свойства арифметических операций над комплексными числами

Формулировка

Доказательство

Свойства сопряжения и модуля

Формулировка

Доказательство

Умножение и деление в тригонометрической форме

Формулировка

Доказательство

Формула Муавра

Формулировка

Доказательство

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

Формулировка

Доказательство

Возведение в степень по формуле Муавра

Условие

Решение

Корни третьей степени

Условие

Решение

Деление комплексных чисел

Условие

Решение

Упражнения темы

Сессия завершена

Комплексное число. Алгебраическая форма

Сопряжённое число. Модуль

Аргумент. Тригонометрическая и показательная формы

Корень n-й степени из комплексного числа

Существование собственных векторов и инвариантных подпространств малой размерности

Формулировка

Доказательство

Формулы стереографической проекции. Круговое свойство

Формулировка

Доказательство

Свойства ортогональных матриц

Формулировка

Доказательство

Вещественность собственных значений самосопряжённого оператора

Формулировка

Доказательство

Существование непрерывной ветви аргумента вдоль пути

Формулировка

Доказательство

Свойства показательной и тригонометрических функций

Формулировка

Доказательство